Bac matematică M4 pedagogic 2016, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle \frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}=0{,}111

.

Vezi rezolvarea

Transformăm prima fracție în număr zecimal: împărțirea la $\displaystyle 10$ mută virgula o poziție spre stânga, deci $\displaystyle \dfrac{1}{10}=0{,}1$ .
$\displaystyle \dfrac{1}{10}=0{,}1$
Transformăm a doua fracție: împărțirea la $\displaystyle 100$ mută virgula două poziții spre stânga, deci $\displaystyle \dfrac{1}{100}=0{,}01$ .
$\displaystyle \dfrac{1}{100}=0{,}01$
Transformăm a treia fracție: împărțirea la $\displaystyle 1000$ mută virgula trei poziții spre stânga, deci $\displaystyle \dfrac{1}{1000}=0{,}001$ . Așa avem toate cele trei fracții scrise ca numere zecimale.
$\displaystyle \dfrac{1}{10}=0{,}1$ , $\displaystyle \ \dfrac{1}{100}=0{,}01$ , $\displaystyle \ \dfrac{1}{1000}=0{,}001$
Înlocuim fracțiile cu valorile lor zecimale în suma din enunț și adunăm, aliniind zecimalele: $\displaystyle 0{,}100+0{,}010+0{,}001=0{,}111$ .
$\displaystyle 0{,}1+0{,}01+0{,}001=0{,}111$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați valorile reale ale lui

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle f(x)\ge g(x)

, unde

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x-1

și

\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=x+1

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim expresiile funcțiilor $\displaystyle f$ și $\displaystyle g$ în inegalitatea $\displaystyle f(x)\ge g(x)$ și obținem o inegalitate de gradul întâi în $\displaystyle x$ .
$\displaystyle 2x-1\ge x+1$
Mutăm termenii cu $\displaystyle x$ în membrul stâng și numerele în membrul drept: scădem $\displaystyle x$ din ambii membri și adunăm $\displaystyle 1$ la ambii membri.
$\displaystyle 2x-x\ge 1+1$
Reducem termenii asemenea și obținem soluția inegalității. Mulțimea valorilor lui $\displaystyle x$ este intervalul de la $\displaystyle 2$ la $\displaystyle +\infty$ , cu $\displaystyle 2$ inclus.
$\displaystyle x\ge 2\Leftrightarrow x\in[2,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 2^{x^2}=2^{4x-3}

.

Vezi rezolvarea

Funcția exponențială cu baza $\displaystyle 2$ este injectivă, deci $\displaystyle 2^{a}=2^{b}$ implică $\displaystyle a=b$ . Egalăm exponenții: $\displaystyle x^{2}=4x-3$ .
$\displaystyle x^{2}=4x-3$
Mutăm toți termenii în membrul stâng: $\displaystyle x^{2}-4x+3=0$ .
$\displaystyle x^{2}-4x+3=0$
Calculăm discriminantul pentru $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=-4$ , $\displaystyle c=3$ : $\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=16-12=4$ .
$\displaystyle \Delta=16-12=4$
Aplicăm formula $\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4\pm 2}{2}$ , deci $\displaystyle x_1=1$ și $\displaystyle x_2=3$ .
$\displaystyle x_1=1\text{ și }x_2=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

O firmă folosește

\displaystyle 5000

de lei pentru publicitate, sumă care reprezintă

\displaystyle 5\%

din profitul anual al firmei. Calculați profitul anual al firmei.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $\displaystyle x$ profitul anual al firmei, în lei. Suma de $\displaystyle 5000$ de lei reprezintă $\displaystyle 5\%$ din $\displaystyle x$ .
$\displaystyle 5\%\cdot x=5000$
Transformăm procentul în fracție: $\displaystyle 5\%=\dfrac{5}{100}=\dfrac{1}{20}$ . Deci $\displaystyle 5\%$ din $\displaystyle x$ este $\displaystyle \dfrac{x}{20}$ .
$\displaystyle 5\%\cdot x=\frac{x}{20}$
Scriem ecuația $\displaystyle \dfrac{x}{20}=5000$ . Înmulțim ambii membri cu $\displaystyle 20$ și obținem $\displaystyle x=5000\cdot 20$ .
$\displaystyle \frac{x}{20}=5000\Rightarrow x=5000\cdot 20$
Calculăm produsul: $\displaystyle 5000\cdot 20=100000$ . Profitul anual al firmei este $\displaystyle 100000$ de lei.
$\displaystyle x=100000\text{ de lei}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(4,0)

,

\displaystyle B(8,3)

și

\displaystyle C(0,3)

. Calculați aria triunghiului

\displaystyle ABC

.

Vezi rezolvarea

Observăm că punctele $\displaystyle B$ și $\displaystyle C$ au aceeași ordonată, $\displaystyle 3$ , deci dreapta $\displaystyle BC$ este orizontală, paralelă cu axa $\displaystyle Ox$ . Putem lua $\displaystyle BC$ ca bază a triunghiului.
$\displaystyle BC\parallel Ox$ , $\displaystyle \ y=3$
Calculăm lungimea bazei $\displaystyle BC$ ca diferența absciselor: $\displaystyle BC=|8-0|$ .
$\displaystyle BC=|8-0|=8$
Înălțimea din $\displaystyle A$ este distanța de la $\displaystyle A$ la dreapta $\displaystyle BC$ , adică la dreapta de ecuație $\displaystyle y=3$ . Cum $\displaystyle A$ are ordonata $\displaystyle 0$ , distanța este $\displaystyle |3-0|$ .
$\displaystyle h=|3-0|=3$
Aplicăm formula ariei: $\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{BC\cdot h}{2}$ , adică $\displaystyle \dfrac{8\cdot 3}{2}$ .
$\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{8\cdot 3}{2}=12$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Arătați că

\displaystyle 2\sin^2 30^\circ+2\cos^2 60^\circ=1

.

Vezi rezolvarea

Folosim valorile cunoscute din tabelul unghiurilor uzuale: $\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}$ și $\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}$ , $\displaystyle \ \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}$
Ridicăm la pătrat: $\displaystyle \sin^2 30^\circ=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}$ și $\displaystyle \cos^2 60^\circ=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}$ .
$\displaystyle \sin^2 30^\circ=\dfrac{1}{4}$ , $\displaystyle \ \cos^2 60^\circ=\dfrac{1}{4}$
Înlocuim în expresie: $\displaystyle 2\sin^2 30^\circ+2\cos^2 60^\circ=2\cdot\dfrac{1}{4}+2\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1$ . Egalitatea este demonstrată.
$\displaystyle 2\sin^2 30^\circ+2\cos^2 60^\circ=2\cdot\dfrac{1}{4}+2\cdot\dfrac{1}{4}=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6

.

Arătați că

\displaystyle 0\circ(-3)=-3

.

Vezi rezolvarea

Scriem definiția legii de compoziție pentru $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle y=-3$ , adică înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 0$ și $\displaystyle y$ cu $\displaystyle -3$ în expresia $\displaystyle xy+3x+3y+6$ .
$\displaystyle 0\circ(-3)=0\cdot(-3)+3\cdot 0+3\cdot(-3)+6$
Calculăm fiecare produs: $\displaystyle 0\cdot(-3)=0$ , $\displaystyle 3\cdot 0=0$ , iar $\displaystyle 3\cdot(-3)=-9$ .
$\displaystyle 0+0-9+6$
Adunăm termenii: $\displaystyle -9+6=-3$ . Am obținut exact valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.
$\displaystyle 0\circ(-3)=-3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6

.

Arătați că

\displaystyle x\circ y=(x+3)(y+3)-3

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Pornim de la definiția legii de compoziție: $\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6$ .
$\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6$
Vrem să obținem produsul $\displaystyle (x+3)(y+3)$ , care conține termenul $\displaystyle 9$ . De aceea scriem $\displaystyle 6=9-3$ .
$\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+9-3$
Grupăm primii doi termeni și factorizăm $\displaystyle x$ : $\displaystyle xy+3x=x(y+3)$ . Apoi grupăm $\displaystyle 3y+9$ și factorizăm $\displaystyle 3$ : $\displaystyle 3y+9=3(y+3)$ .
$\displaystyle x\circ y=x(y+3)+3(y+3)-3$
Factorizăm $\displaystyle y+3$ comun și obținem forma cerută, pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ .
$\displaystyle x\circ y=(x+3)(y+3)-3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6

.

Arătați că

\displaystyle (-3)\circ x=-3

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Dezvoltăm $\displaystyle (x+3)(y+3)=xy+3x+3y+9$ . Scăzând $\displaystyle 3$ obținem exact expresia dată: $\displaystyle xy+3x+3y+6$ .
$\displaystyle x\circ y=(x+3)(y+3)-3$
Pentru $\displaystyle (-3)\circ x$ punem $\displaystyle -3$ în locul primului element și $\displaystyle x$ în locul celui de-al doilea.
$\displaystyle (-3)\circ x=((-3)+3)(x+3)-3$
Avem $\displaystyle (-3)+3=0$ , deci $\displaystyle 0\cdot(x+3)=0$ pentru orice $\displaystyle x$ real. Rămâne $\displaystyle 0-3=-3$ , deci egalitatea este adevărată pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle 0-3=-3\text{, pentru orice număr real }x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6

.

Verificați dacă

\displaystyle e=-2

este element neutru al legii de compoziție „

\displaystyle \circ

”.

Vezi rezolvarea

Scriem legea sub formă factorizată, ca să facem calculele mai ușor. Din $\displaystyle (x+3)(y+3)=xy+3x+3y+9$ rezultă că $\displaystyle xy+3x+3y+6=(x+3)(y+3)-3$ .
$\displaystyle x\circ y=(x+3)(y+3)-3$
Pentru $\displaystyle e=-2$ și $\displaystyle x$ real oarecare, calculăm $\displaystyle x\circ(-2)$ . Înlocuim $\displaystyle y=-2$ în forma factorizată: factorul $\displaystyle (-2)+3$ este $\displaystyle 1$ , deci rămâne $\displaystyle x+3-3=x$ .
$\displaystyle x\circ(-2)=(x+3)((-2)+3)-3=x+3-3=x$
Pentru ca $\displaystyle -2$ să fie element neutru, trebuie să verificăm egalitatea și în cealaltă ordine, adică $\displaystyle (-2)\circ x=x$ pentru orice $\displaystyle x$ real, pentru că legea nu a fost dată ca fiind comutativă.
$\displaystyle (-2)\circ x=x\text{ ?}$
Calculăm $\displaystyle (-2)\circ x$ cu forma factorizată: factorul $\displaystyle (-2)+3$ este $\displaystyle 1$ , deci rămâne $\displaystyle x+3-3=x$ . Am obținut $\displaystyle x\circ(-2)=(-2)\circ x=x$ pentru orice $\displaystyle x$ real, deci $\displaystyle e=-2$ este element neutru al legii.
$\displaystyle (-2)\circ x=((-2)+3)(x+3)-3=x+3-3=x\text{, deci }e=-2\text{ este element neutru}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6

.

Calculați

\displaystyle (-2016)\circ(-2015)\circ\ldots\circ(-3)

.

Vezi rezolvarea

Observăm că legea se poate scrie factorizat. Avem $\displaystyle (x+3)(y+3)=xy+3x+3y+9$ , deci $\displaystyle x\circ y=(x+3)(y+3)-3$ .
$\displaystyle x\circ y=(x+3)(y+3)-3$
Calculăm $\displaystyle x\circ(-3)$ pentru orice $\displaystyle x$ real. Înlocuim $\displaystyle y=-3$ : $\displaystyle x\circ(-3)=(x+3)(-3+3)-3=(x+3)\cdot 0-3=-3$ .
$\displaystyle x\circ(-3)=-3\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}$
Legea este asociativă, deci putem grupa expresia astfel încât ultimul element $\displaystyle -3$ să fie compus cu rezultatul celorlalte: $\displaystyle (-2016)\circ(-2015)\circ\ldots\circ(-3)=\left((-2016)\circ(-2015)\circ\ldots\circ(-4)\right)\circ(-3)$ .
$\displaystyle (-2016)\circ(-2015)\circ\ldots\circ(-3)=\left((-2016)\circ(-2015)\circ\ldots\circ(-4)\right)\circ(-3)$
Paranteza din stânga este un număr real $\displaystyle x$ . Din $\displaystyle x\circ(-3)=-3$ rezultă că întreaga compunere este egală cu $\displaystyle -3$ .
$\displaystyle (-2016)\circ(-2015)\circ\ldots\circ(-3)=-3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6

.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle x\circ x\circ x=5

.

Vezi rezolvarea

Observăm că legea se poate scrie sub o formă mai comodă: $\displaystyle (x+3)(y+3)=xy+3x+3y+9$ , deci $\displaystyle x\circ y=(x+3)(y+3)-3$ .
$\displaystyle x\circ y=(x+3)(y+3)-3$
Calculăm $\displaystyle x\circ x$ , luând $\displaystyle y=x$ în forma de mai sus: $\displaystyle x\circ x=(x+3)(x+3)-3$ .
$\displaystyle x\circ x=(x+3)^{2}-3$
Folosim asociativitatea: $\displaystyle x\circ x\circ x=(x\circ x)\circ x$ . Aplicăm forma $\displaystyle (a+3)(b+3)-3$ pentru $\displaystyle a=x\circ x$ și $\displaystyle b=x$ . Cum $\displaystyle a+3=(x+3)^{2}$ , obținem $\displaystyle (x+3)^{2}(x+3)-3$ .
$\displaystyle x\circ x\circ x=(x+3)^{3}-3$
Înlocuim în ecuația dată: $\displaystyle (x+3)^{3}-3=5$ , deci $\displaystyle (x+3)^{3}=8$ .
$\displaystyle (x+3)^{3}=8$
Funcția $\displaystyle t\mapsto t^{3}$ este injectivă pe $\displaystyle \mathbb{R}$ , iar $\displaystyle 8=2^{3}$ , deci $\displaystyle x+3=2$ , adică $\displaystyle x=-1$ .
$\displaystyle x=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Arătați că

\displaystyle \det A=1

.

Vezi rezolvarea

Pentru o matrice de ordin 2 avem $\displaystyle \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=a\cdot d-b\cdot c$ , adică produsul de pe diagonala principală minus produsul de pe diagonala secundară.
$\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c$
Pentru $\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix}$ avem $\displaystyle a=5$ , $\displaystyle b=2$ , $\displaystyle c=2$ , $\displaystyle d=1$ , deci scriem determinantul ca diferența produselor.
$\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}5&2\\2&1\end{vmatrix}=5\cdot1-2\cdot2$
Calculăm produsele: $\displaystyle 5\cdot1=5$ și $\displaystyle 2\cdot2=4$ . Apoi $\displaystyle 5-4=1$ , deci $\displaystyle \det A=1$ , ceea ce trebuia arătat.
$\displaystyle 5-4=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Arătați că

\displaystyle A^2-6A=-I_2

, unde

\displaystyle A^2=A\cdot A

.

Vezi rezolvarea

Scriem produsul $\displaystyle A\cdot A$ , înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua.
$\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix}$
Calculăm fiecare element: $\displaystyle 5\cdot5+2\cdot2=29$ , $\displaystyle 5\cdot2+2\cdot1=12$ , $\displaystyle 2\cdot5+1\cdot2=12$ , $\displaystyle 2\cdot2+1\cdot1=5$ .
$\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}29&12\\12&5\end{pmatrix}$
Înmulțim fiecare element al matricei $\displaystyle A$ cu $\displaystyle 6$ .
$\displaystyle 6A=\begin{pmatrix}30&12\\12&6\end{pmatrix}$
Scădem matricele element cu element și observăm că rezultatul este $\displaystyle -I_2$ .
$\displaystyle A^2-6A=\begin{pmatrix}29&12\\12&5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}30&12\\12&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-I_2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle \det(xA)=4

.

Vezi rezolvarea

Înmulțim fiecare element al matricei $\displaystyle A$ cu numărul real $\displaystyle x$ și obținem matricea $\displaystyle xA$ .
$\displaystyle xA=\begin{pmatrix}5x&2x\\2x&x\end{pmatrix}$
Calculăm determinantul matricei $\displaystyle xA$ : produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
$\displaystyle \det(xA)=5x\cdot x-2x\cdot 2x=5x^{2}-4x^{2}=x^{2}$
Înlocuim determinantul în ecuația $\displaystyle \det(xA)=4$ și obținem ecuația $\displaystyle x^{2}=4$ .
$\displaystyle x^{2}=4$
Rezolvăm ecuația: $\displaystyle x=\pm\sqrt{4}$ , deci $\displaystyle x$ poate fi $\displaystyle -2$ sau $\displaystyle 2$ . Ambele valori sunt numere reale.
$\displaystyle x_1=-2\text{ și }x_2=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Arătați că

\displaystyle \det\left(A^2-6A+aI_2\right)\ge 0

, pentru orice număr real

\displaystyle a

, unde

\displaystyle A^2=A\cdot A

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle A^2=A\cdot A$ , înmulțind matricea cu ea însăși: $\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}5\cdot 5+2\cdot 2&5\cdot 2+2\cdot 1\\2\cdot 5+1\cdot 2&2\cdot 2+1\cdot 1\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}29&12\\12&5\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle 6A$ , înmulțind fiecare element al matricei $\displaystyle A$ cu $\displaystyle 6$ .
$\displaystyle 6A=\begin{pmatrix}30&12\\12&6\end{pmatrix}$
Scădem element cu element: $\displaystyle A^2-6A=\begin{pmatrix}29-30&12-12\\12-12&5-6\end{pmatrix}$ . Obținem minus matricea unitate $\displaystyle I_2$ .
$\displaystyle A^2-6A=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-I_2$
Adăugăm $\displaystyle aI_2$ : $\displaystyle A^2-6A+aI_2=-I_2+aI_2=(a-1)I_2$ . Determinantul acestei matrice diagonale este cel de mai jos.
$\displaystyle A^2-6A+aI_2=\begin{pmatrix}a-1&0\\0&a-1\end{pmatrix}\Rightarrow\det\left(A^2-6A+aI_2\right)=\begin{vmatrix}a-1&0\\0&a-1\end{vmatrix}$
Calculăm determinantul: $\displaystyle (a-1)(a-1)-0\cdot 0=(a-1)^2$ . Un pătrat de număr real este mai mare sau egal cu zero, deci inegalitatea este adevărată pentru orice $\displaystyle a$ real.
$\displaystyle \det\left(A^2-6A+aI_2\right)=(a-1)^2\ge 0\text{, pentru orice număr real }a$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Determinați inversa matricei

\displaystyle B

, unde

\displaystyle B=A+I_2

.

Vezi rezolvarea

Calculăm matricea $\displaystyle B$ adunând element cu element matricele $\displaystyle A$ și $\displaystyle I_2$ : $\displaystyle B=A+I_2=\begin{pmatrix}5+1&2+0\\2+0&1+1\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle B=\begin{pmatrix}6&2\\2&2\end{pmatrix}$
Calculăm determinantul lui $\displaystyle B$ : produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică $\displaystyle \det B=6\cdot 2-2\cdot 2=12-4=8$ . Cum $\displaystyle \det B\ne 0$ , matricea $\displaystyle B$ este inversabilă.
$\displaystyle \det B=\begin{vmatrix}6&2\\2&2\end{vmatrix}=8\ne 0$
Aflăm matricea adjunctă a lui $\displaystyle B$ . Pentru o matrice de ordin 2, interschimbăm elementele de pe diagonala principală și schimbăm semnul elementelor de pe diagonala secundară: din $\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ obținem $\displaystyle \begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle B^{*}=\begin{pmatrix}2&-2\\-2&6\end{pmatrix}$
Aplicăm formula $\displaystyle B^{-1}=\dfrac{1}{\det B}\cdot B^{*}$ , deci $\displaystyle B^{-1}=\dfrac{1}{8}\begin{pmatrix}2&-2\\-2&6\end{pmatrix}$ . Simplificăm fiecare element: $\displaystyle \dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$ , $\displaystyle \dfrac{-2}{8}=-\dfrac{1}{4}$ , $\displaystyle \dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$ .
$\displaystyle B^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Determinați matricele

\displaystyle X=\begin{pmatrix}a&b\\b&a\end{pmatrix}\in\mathcal{M}_2(\mathbb{Z})

, știind că

\displaystyle \det X=8

.

Vezi rezolvarea

Calculăm determinantul matricei $\displaystyle X$ : produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică $\displaystyle \det X=a\cdot a-b\cdot b$ .
$\displaystyle \det X=\begin{vmatrix}a&b\\b&a\end{vmatrix}=a^{2}-b^{2}$
Impunem condiția $\displaystyle \det X=8$ și descompunem diferența de pătrate cu formula $\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ .
$\displaystyle a^{2}-b^{2}=8\Leftrightarrow (a-b)(a+b)=8$
Deoarece $\displaystyle a,b\in\mathbb{Z}$ , numerele $\displaystyle a-b$ și $\displaystyle a+b$ sunt divizori întregi ai lui $\displaystyle 8$ . Ele au aceeași paritate, pentru că suma lor, $\displaystyle 2a$ , este pară. Produsul $\displaystyle 8$ fiind par, ambii factori sunt pari. Descompunerile lui $\displaystyle 8$ în doi factori pari sunt $\displaystyle 2\cdot 4$ , $\displaystyle 4\cdot 2$ , $\displaystyle (-2)(-4)$ și $\displaystyle (-4)(-2)$ .
$\displaystyle (a-b,\ a+b)\in\{(2,4),\ (4,2),\ (-2,-4),\ (-4,-2)\}$
Rezolvăm fiecare sistem, folosind $\displaystyle a=\dfrac{(a-b)+(a+b)}{2}$ și $\displaystyle b=\dfrac{(a+b)-(a-b)}{2}$ . Pentru $\displaystyle (2,4)$ obținem $\displaystyle a=3,\ b=1$ . Pentru $\displaystyle (4,2)$ obținem $\displaystyle a=3,\ b=-1$ . Pentru $\displaystyle (-2,-4)$ obținem $\displaystyle a=-3,\ b=-1$ . Pentru $\displaystyle (-4,-2)$ obținem $\displaystyle a=-3,\ b=1$ .
$\displaystyle (a,b)\in\{(3,1),\ (3,-1),\ (-3,-1),\ (-3,1)\}$
Scriem matricele corespunzătoare perechilor $\displaystyle (a,b)$ găsite. Toate verifică $\displaystyle a^{2}-b^{2}=9-1=8$ , deci convin.
$\displaystyle X=\begin{pmatrix}-3&-1\\-1&-3\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \ X=\begin{pmatrix}-3&1\\1&-3\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \ X=\begin{pmatrix}3&-1\\-1&3\end{pmatrix}\text{ sau }X=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M4 pedagogic 2016, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.1)

Subiectul II.1.2)

Subiectul II.1.3)

Subiectul II.1.4)

Subiectul II.1.5)

Subiectul II.1.6)

Subiectul III.1.1)

Subiectul III.1.2)

Subiectul III.1.3)

Subiectul III.1.4)

Subiectul III.1.5)

Subiectul III.1.6)

Aceeași sesiune, alți ani