Bac matematică M4 pedagogic 2020, model, test de evaluare 1: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 2⋅(12−1+12+1)=4\displaystyle \sqrt{2}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}-1}+\frac{1}{\sqrt{2}+1}\right)=4.
Vezi rezolvarea
  1. Raționalizăm prima fracție: amplificăm cu conjugatul 2+1\displaystyle \sqrt{2}+1. La numitor folosim formula diferenței de pătrate: (2−1)(2+1)=2−1=1\displaystyle (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)=2-1=1.
    12−1=2+1(2)2−12=2+11=2+1\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2})^{2}-1^{2}}=\frac{\sqrt{2}+1}{1}=\sqrt{2}+1
  2. Raționalizăm a doua fracție: amplificăm cu conjugatul 2−1\displaystyle \sqrt{2}-1. Numitorul devine din nou 2−1=1\displaystyle 2-1=1.
    12+1=2−1(2)2−12=2−11=2−1\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^{2}-1^{2}}=\frac{\sqrt{2}-1}{1}=\sqrt{2}-1
  3. Înlocuim cele două fracții în expresia dată, cu paranteza rămasă.
    2⋅(2+1+2−1)\displaystyle \sqrt{2}\cdot\left(\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\right)
  4. Reducem termenii din paranteză: +1\displaystyle +1 și −1\displaystyle -1 se anulează, iar 2+2=22\displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}.
    2⋅22\displaystyle \sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}
  5. Efectuăm înmulțirea: 2⋅2=2\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2, deci obținem 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4. Egalitatea este demonstrată.
    2⋅22=2⋅2=4\displaystyle \sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=2\cdot 2=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+m\displaystyle f(x)=x+m, unde m\displaystyle m este număr natural. Determinați numerele naturale m\displaystyle m pentru care f(−1)≤0\displaystyle f(-1)\le 0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu −1\displaystyle -1 în expresia funcției f(x)=x+m\displaystyle f(x)=x+m și obținem f(−1)=−1+m\displaystyle f(-1)=-1+m.
    f(−1)=−1+m\displaystyle f(-1)=-1+m
  2. Scriem condiția din enunț: f(−1)≤0\displaystyle f(-1)\le 0, deci −1+m≤0\displaystyle -1+m\le 0.
    −1+m≤0\displaystyle -1+m\le 0
  3. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri ai inegalității și obținem m≤1\displaystyle m\le 1.
    m≤1\displaystyle m\le 1
  4. Cum m\displaystyle m este număr natural, păstrăm doar valorile naturale care sunt mai mici sau egale cu 1\displaystyle 1, adică 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1. Verificare: pentru m=0\displaystyle m=0, f(−1)=−1\displaystyle f(-1)=-1, iar pentru m=1\displaystyle m=1, f(−1)=0\displaystyle f(-1)=0, ambele mai mici sau egale cu 0\displaystyle 0.
    −1+m≤0⇔m≤1, deci m=0 sau m=1\displaystyle -1+m\le 0 \Leftrightarrow m\le 1\text{, deci }m=0\text{ sau }m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2lg⁡x=lg⁡(2x+8)\displaystyle 2\lg x=\lg(2x+8).
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență ale logaritmilor: x>0\displaystyle x>0 și 2x+8>0\displaystyle 2x+8>0. Din x>0\displaystyle x>0 rezultă automat 2x+8>0\displaystyle 2x+8>0, deci condiția este x>0\displaystyle x>0.
    x∈(0,∞)\displaystyle x\in(0,\infty)
  2. Folosim proprietatea alg⁡b=lg⁡ba\displaystyle a\lg b=\lg b^{a}, valabilă pentru b>0\displaystyle b>0. Ecuația devine lg⁡x2=lg⁡(2x+8)\displaystyle \lg x^{2}=\lg(2x+8).
    lg⁡x2=lg⁡(2x+8)\displaystyle \lg x^{2}=\lg(2x+8)
  3. Funcția logaritm este injectivă, deci egalitatea logaritmilor implică egalitatea argumentelor: x2=2x+8\displaystyle x^{2}=2x+8. Mutăm totul în stânga și obținem ecuația de gradul al doilea x2−2x−8=0\displaystyle x^{2}-2x-8=0.
    lg⁡x2=lg⁡(2x+8)⇒x2−2x−8=0\displaystyle \lg x^{2}=\lg(2x+8)\Rightarrow x^{2}-2x-8=0
  4. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=(−2)2−4⋅1⋅(−8)=36\displaystyle \Delta=(-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-8)=36, deci x=2±62\displaystyle x=\dfrac{2\pm6}{2}, adică x1=−2\displaystyle x_1=-2 și x2=4\displaystyle x_2=4.
    x1=−2\displaystyle x_1=-2, x2=4\displaystyle \ x_2=4
  5. Verificăm condiția x>0\displaystyle x>0. Valoarea x=−2\displaystyle x=-2 nu este pozitivă, deci nu convine. Valoarea x=4\displaystyle x=4 este pozitivă, deci convine. Singura soluție este x=4\displaystyle x=4.
    x=−2, care nu convine sau x=4, care convine\displaystyle x=-2\text{, care nu convine sau }x=4\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o ieftinire cu 10%\displaystyle 10\% prețul unui obiect este 540\displaystyle 540 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul inițial al obiectului, în lei. Ieftinirea cu 10%\displaystyle 10\% înseamnă că se scade din x\displaystyle x valoarea 10100⋅x\displaystyle \dfrac{10}{100}\cdot x.
    x−10100⋅x\displaystyle x-\frac{10}{100}\cdot x
  2. Prețul după ieftinire este 540\displaystyle 540 de lei, deci scriem ecuația.
    x−10100⋅x=540\displaystyle x-\frac{10}{100}\cdot x=540
  3. Dăm factor comun pe x\displaystyle x și calculăm: 1−10100=90100=910\displaystyle 1-\dfrac{10}{100}=\dfrac{90}{100}=\dfrac{9}{10}.
    910⋅x=540\displaystyle \frac{9}{10}\cdot x=540
  4. Împărțim 540\displaystyle 540 la 910\displaystyle \dfrac{9}{10}, adică îl înmulțim cu 109\displaystyle \dfrac{10}{9}. Obținem x=540⋅109=60⋅10\displaystyle x=540\cdot\dfrac{10}{9}=60\cdot 10, deci prețul inițial a fost de 600\displaystyle 600 de lei.
    x=600 de lei\displaystyle x=600\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul M(2,−2)\displaystyle M(2,-2) și este perpendiculară pe dreapta d\displaystyle d de ecuație y=x\displaystyle y=x.
Vezi rezolvarea
  1. Dreapta d\displaystyle d are ecuația y=x\displaystyle y=x, deci panta ei este md=1\displaystyle m_d=1.
    md=1\displaystyle m_d=1
  2. Pentru două drepte perpendiculare, produsul pantelor este −1\displaystyle -1. Notăm cu m\displaystyle m panta dreptei căutate și obținem m⋅md=−1\displaystyle m\cdot m_d=-1, adică m⋅1=−1\displaystyle m\cdot 1=-1.
    m=−1\displaystyle m=-1
  3. Scriem ecuația dreptei care trece prin M(2,−2)\displaystyle M(2,-2) și are panta m=−1\displaystyle m=-1, folosind formula y−yM=m(x−xM)\displaystyle y-y_M=m(x-x_M).
    y−(−2)=−1⋅(x−2), adica˘ y+2=−(x−2)\displaystyle y-(-2)=-1\cdot(x-2)\text{, adică }y+2=-(x-2)
  4. Desfacem parantezele: y+2=−x+2\displaystyle y+2=-x+2, de unde, scăzând 2 din ambii membri, obținem y=−x\displaystyle y=-x.
    y+2=−(x−2), deci y=−x\displaystyle y+2=-(x-2)\text{, deci }y=-x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați perimetrul pătratului ABCD\displaystyle ABCD, știind că are diagonala AC=22\displaystyle AC=2\sqrt{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu l\displaystyle l latura pătratului. Diagonala unui pătrat de latură l\displaystyle l este l2\displaystyle l\sqrt{2} (din teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic isoscel ABC\displaystyle ABC: AC2=AB2+BC2=2l2\displaystyle AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}=2l^{2}).
    AC=l2\displaystyle AC=l\sqrt{2}
  2. Egalăm formula diagonalei cu valoarea dată: l2=22\displaystyle l\sqrt{2}=2\sqrt{2}.
    l2=22\displaystyle l\sqrt{2}=2\sqrt{2}
  3. Împărțim ambii membri la 2\displaystyle \sqrt{2} și obținem latura pătratului: l=222=2\displaystyle l=\dfrac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=2.
    AB=l=2\displaystyle AB=l=2
  4. Perimetrul pătratului este de patru ori latura: PABCD=4⋅AB=4⋅2=8\displaystyle P_{ABCD}=4\cdot AB=4\cdot 2=8.
    PABCD=4⋅AB=8\displaystyle P_{ABCD}=4\cdot AB=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy−4(x+y)+7\displaystyle x*y=2xy-4(x+y)+7. Arătați că (−2)∗2=−1\displaystyle (-2)*2=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∗y=2xy−4(x+y)+7\displaystyle x*y=2xy-4(x+y)+7. Pentru (−2)∗2\displaystyle (-2)*2 luăm x=−2\displaystyle x=-2 și y=2\displaystyle y=2.
    x=−2 și y=2\displaystyle x=-2\text{ și }y=2
  2. Înlocuim în formulă: (−2)∗2=2⋅(−2)⋅2−4⋅(−2+2)+7\displaystyle (-2)*2=2\cdot(-2)\cdot 2-4\cdot(-2+2)+7.
    (−2)∗2=2⋅(−2)⋅2−4⋅(−2+2)+7\displaystyle (-2)*2=2\cdot(-2)\cdot 2-4\cdot(-2+2)+7
  3. Calculăm produsul: 2⋅(−2)⋅2=−8\displaystyle 2\cdot(-2)\cdot 2=-8. Calculăm suma din paranteză: −2+2=0\displaystyle -2+2=0.
    −8\displaystyle -8
  4. Obținem −8−4⋅0+7=−8−0+7=−1\displaystyle -8-4\cdot 0+7=-8-0+7=-1. Deci (−2)∗2=−1\displaystyle (-2)*2=-1, ceea ce trebuia arătat.
    −1\displaystyle -1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy−4(x+y)+7\displaystyle x*y=2xy-4(x+y)+7.

Demonstrați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Comutativitatea înseamnă că x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y. Pornim de la definiția legii pentru x∗y\displaystyle x*y.
    x∗y=2xy−4(x+y)+7\displaystyle x*y=2xy-4(x+y)+7
  2. Folosim comutativitatea înmulțirii și a adunării numerelor reale: xy=yx\displaystyle xy=yx și x+y=y+x\displaystyle x+y=y+x. Înlocuim în expresie.
    x∗y=2xy−4(x+y)+7=2yx−4(y+x)+7\displaystyle x*y=2xy-4(x+y)+7=2yx-4(y+x)+7
  3. Expresia obținută este exact definiția lui y∗x\displaystyle y*x, deoarece în definiție se înlocuiește x\displaystyle x cu y\displaystyle y și y\displaystyle y cu x\displaystyle x. Deci x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, adică legea este comutativă.
    =y∗x, pentru orice numere \displaystyle =y*x\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy−4(x+y)+7\displaystyle x*y=2xy-4(x+y)+7.

Demonstrați că x∗y=2(x−2)(y−2)−1\displaystyle x*y=2(x-2)(y-2)-1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție, x∗y=2xy−4(x+y)+7\displaystyle x*y=2xy-4(x+y)+7, și desfacem parantezele: −4(x+y)=−4x−4y\displaystyle -4(x+y)=-4x-4y.
    x∗y=2xy−4x−4y+7\displaystyle x*y=2xy-4x-4y+7
  2. Scriem 7=8−1\displaystyle 7=8-1, pentru a obține termenul 8\displaystyle 8, necesar la factorizare.
    x∗y=2xy−4x−4y+8−1\displaystyle x*y=2xy-4x-4y+8-1
  3. Grupăm 2xy−4x=2x(y−2)\displaystyle 2xy-4x=2x(y-2) și −4y+8=−4(y−2)\displaystyle -4y+8=-4(y-2), deci expresia devine o sumă în care apare factorul y−2\displaystyle y-2.
    x∗y=2x(y−2)−4(y−2)−1\displaystyle x*y=2x(y-2)-4(y-2)-1
  4. Scoatem factor comun pe y−2\displaystyle y-2: (y−2)(2x−4)−1\displaystyle (y-2)(2x-4)-1, iar 2x−4=2(x−2)\displaystyle 2x-4=2(x-2). Obținem forma cerută, valabilă pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=2(x−2)(y−2)−1, pentru orice numere \displaystyle x*y=2(x-2)(y-2)-1\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy−4(x+y)+7\displaystyle x*y=2xy-4(x+y)+7.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care (x+1)∗x=3\displaystyle (x+1)*x=3.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se poate scrie sub forma x∗y=2(x−2)(y−2)−1\displaystyle x*y=2(x-2)(y-2)-1. Verificăm: 2(x−2)(y−2)−1=2xy−4x−4y+8−1=2xy−4(x+y)+7\displaystyle 2(x-2)(y-2)-1=2xy-4x-4y+8-1=2xy-4(x+y)+7.
    x∗y=2(x−2)(y−2)−1\displaystyle x*y=2(x-2)(y-2)-1
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu x+1\displaystyle x+1 și y\displaystyle y cu x\displaystyle x și egalăm cu 3\displaystyle 3: 2(x+1−2)(x−2)−1=3\displaystyle 2(x+1-2)(x-2)-1=3. Factorul x+1−2\displaystyle x+1-2 devine x−1\displaystyle x-1.
    2(x−1)(x−2)−1=3\displaystyle 2(x-1)(x-2)-1=3
  3. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri: 2(x−1)(x−2)=4\displaystyle 2(x-1)(x-2)=4, apoi împărțim la 2\displaystyle 2: (x−1)(x−2)=2\displaystyle (x-1)(x-2)=2. Dezvoltăm: x2−3x+2=2\displaystyle x^{2}-3x+2=2, deci x2−3x=0\displaystyle x^{2}-3x=0.
    x2−3x=0\displaystyle x^{2}-3x=0
  4. Dăm factor comun pe x\displaystyle x: x(x−3)=0\displaystyle x(x-3)=0. Un produs este nul când cel puțin un factor este nul, deci x=0\displaystyle x=0 sau x=3\displaystyle x=3.
    x=0 sau x=3\displaystyle x=0\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy−4(x+y)+7\displaystyle x*y=2xy-4(x+y)+7.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care 22x∗2x=−1\displaystyle 2^{2x}*2^{x}=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se poate scrie în formă factorizată: x∗y=2(x−2)(y−2)−1\displaystyle x*y=2(x-2)(y-2)-1. Verificăm: 2(xy−2x−2y+4)−1=2xy−4x−4y+7\displaystyle 2(xy-2x-2y+4)-1=2xy-4x-4y+7.
    x∗y=2(x−2)(y−2)−1\displaystyle x*y=2(x-2)(y-2)-1
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 22x\displaystyle 2^{2x} și y\displaystyle y cu 2x\displaystyle 2^{x} în forma factorizată și obținem ecuația 2(22x−2)(2x−2)−1=−1\displaystyle 2\left(2^{2x}-2\right)\left(2^{x}-2\right)-1=-1.
    2(22x−2)(2x−2)−1=−1\displaystyle 2\left(2^{2x}-2\right)\left(2^x-2\right)-1=-1
  3. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri și obținem 2(22x−2)(2x−2)=0\displaystyle 2\left(2^{2x}-2\right)\left(2^x-2\right)=0. Produsul este nul când unul dintre factori este nul.
    22x−2=0 sau 2x−2=0\displaystyle 2^{2x}-2=0\text{ sau }2^x-2=0
  4. Rezolvăm prima ecuație: 22x=21\displaystyle 2^{2x}=2^{1}, deci 2x=1\displaystyle 2x=1, adică x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2}.
    x=12\displaystyle x=\frac{1}{2}
  5. Rezolvăm a doua ecuație: 2x=21\displaystyle 2^{x}=2^{1}, deci x=1\displaystyle x=1. Ambele valori sunt soluții, deoarece ecuația exponențială nu are restricții.
    x=12 sau x=1\displaystyle x=\frac{1}{2}\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=2xy−4(x+y)+7\displaystyle x*y=2xy-4(x+y)+7.

Determinați valorile reale nenule ale lui x\displaystyle x pentru care x∗1x≤−1\displaystyle x*\frac{1}{x}\le -1.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem legea de compoziție la forma factorizată. Desfacem parantezele în expresia 2(x−2)(y−2)−1\displaystyle 2(x-2)(y-2)-1 și obținem exact 2xy−4x−4y+7\displaystyle 2xy-4x-4y+7, deci x∗y=2(x−2)(y−2)−1\displaystyle x*y=2(x-2)(y-2)-1.
    x∗y=2(x−2)(y−2)−1\displaystyle x*y=2(x-2)(y-2)-1
  2. Înlocuim y\displaystyle y cu 1x\displaystyle \dfrac{1}{x} (x\displaystyle x este nenul) și scriem inegalitatea cerută: 2(x−2)(1x−2)−1≤−1\displaystyle 2(x-2)\left(\dfrac{1}{x}-2\right)-1\le -1. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri și obținem 2(x−2)(1x−2)≤0\displaystyle 2(x-2)\left(\dfrac{1}{x}-2\right)\le 0. Aducem a doua paranteză la același numitor: 1x−2=1−2xx\displaystyle \dfrac{1}{x}-2=\dfrac{1-2x}{x}.
    2(x−2)(1x−2)−1≤−1⇔2(x−2)⋅1−2xx≤0\displaystyle 2(x-2)\left(\frac{1}{x}-2\right)-1\le -1\Leftrightarrow 2(x-2)\cdot\frac{1-2x}{x}\le 0
  3. Împărțim cu 2\displaystyle 2 (număr pozitiv, sensul inegalității se păstrează) și înmulțim cu −1\displaystyle -1, ceea ce schimbă sensul inegalității. Scriem 1−2x=−(2x−1)\displaystyle 1-2x=-(2x-1) și obținem o inegalitate cu factori de forma x−2\displaystyle x-2, 2x−1\displaystyle 2x-1 și x\displaystyle x, în care x≠0\displaystyle x\ne 0.
    (x−2)(2x−1)x≥0\displaystyle \frac{(x-2)(2x-1)}{x}\ge 0,x≠0\displaystyle \quad x\ne 0
  4. Aflăm punctele în care factorii se anulează: x−2=0\displaystyle x-2=0 pentru x=2\displaystyle x=2, 2x−1=0\displaystyle 2x-1=0 pentru x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2}, iar numitorul se anulează pentru x=0\displaystyle x=0. Studiem semnul fracției pe intervalele determinate de 0\displaystyle 0, 12\displaystyle \dfrac{1}{2} și 2\displaystyle 2. Pe (−∞,0)\displaystyle (-\infty,0): numărătorul este pozitiv (produs de doi factori negativi), iar numitorul este negativ, deci fracția este negativă. Pe (0,12)\displaystyle \left(0,\dfrac{1}{2}\right): x−2<0\displaystyle x-2<0, 2x−1<0\displaystyle 2x-1<0, x>0\displaystyle x>0, deci fracția este pozitivă. Pe (12,2)\displaystyle \left(\dfrac{1}{2},2\right): x−2<0\displaystyle x-2<0, 2x−1>0\displaystyle 2x-1>0, x>0\displaystyle x>0, deci fracția este negativă. Pe (2,+∞)\displaystyle (2,+\infty): toți factorii sunt pozitivi, deci fracția este pozitivă. Ne trebuie semnul plus sau zero. Zerourile 12\displaystyle \dfrac{1}{2} și 2\displaystyle 2 se includ, iar 0\displaystyle 0 se exclude.
    x−∞0122+∞(x−2)(2x−1)x−nedef.+0−0+\displaystyle \begin{array}{c|ccccccc} x & -\infty & & 0 & & \frac{1}{2} & & 2 & & +\infty \\ \hline \frac{(x-2)(2x-1)}{x} & & - & \text{nedef.} & + & 0 & - & 0 & + & \end{array}
  5. Reunim intervalele pe care fracția este pozitivă sau zero. Mulțimea valorilor lui x\displaystyle x este (0,12]∪[2,+∞)\displaystyle \left(0,\dfrac{1}{2}\right]\cup[2,+\infty).
    x∈(0,12]∪[2,+∞)\displaystyle x\in\left(0,\frac{1}{2}\right]\cup[2,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a02)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2 & a\\ 0 & 2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(a))=4\displaystyle \det(A(a))=4, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a) și amintim regula pentru un determinant de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică ∣pqrs∣=p⋅s−q⋅r\displaystyle \begin{vmatrix}p & q\\ r & s\end{vmatrix}=p\cdot s-q\cdot r.
    det⁡(A(a))=∣2a02∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}2 & a\\ 0 & 2\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula: pe diagonala principală avem 2\displaystyle 2 și 2\displaystyle 2, iar pe cea secundară a\displaystyle a și 0\displaystyle 0. Obținem 2⋅2−a⋅0\displaystyle 2\cdot 2-a\cdot 0, adică 2⋅2−0⋅a\displaystyle 2\cdot 2-0\cdot a.
    det⁡(A(a))=2⋅2−0⋅a\displaystyle \det(A(a))=2\cdot 2-0\cdot a
  3. Calculăm: 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4, iar 0⋅a=0\displaystyle 0\cdot a=0 pentru orice a\displaystyle a real. Rezultatul nu depinde de a\displaystyle a, deci determinantul este mereu 4\displaystyle 4.
    4−0=4, pentru orice numa˘r real a\displaystyle 4-0=4\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a02)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2 & a\\ 0 & 2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(0)⋅A(2020)=2A(2020)\displaystyle A(0)\cdot A(2020)=2A(2020).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în A(a)=(2a02)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2 & a\\ 0 & 2\end{pmatrix} și obținem matricea A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)=(2002)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}
  2. Înlocuim a=2020\displaystyle a=2020 în forma generală a matricei și obținem A(2020)\displaystyle A(2020).
    A(2020)=(2202002)\displaystyle A(2020)=\begin{pmatrix}2 & 2020\\ 0 & 2\end{pmatrix}
  3. Scriem produsul A(0)⋅A(2020)\displaystyle A(0)\cdot A(2020) și observăm că A(0)=2I2\displaystyle A(0)=2I_2, unde I2\displaystyle I_2 este matricea unitate de ordin 2.
    A(0)⋅A(2020)=(2002)⋅(2202002)=2⋅(1001)⋅(2202002)\displaystyle A(0)\cdot A(2020)=\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 & 2020\\ 0 & 2\end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 & 2020\\ 0 & 2\end{pmatrix}
  4. Matricea unitate este element neutru la înmulțire, deci I2⋅A(2020)=A(2020)\displaystyle I_2\cdot A(2020)=A(2020). Rămâne 2⋅A(2020)\displaystyle 2\cdot A(2020), ceea ce trebuia arătat.
    A(0)⋅A(2020)=2(2202002)=2A(2020)\displaystyle A(0)\cdot A(2020)=2\begin{pmatrix}2 & 2020\\ 0 & 2\end{pmatrix}=2A(2020)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a02)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2 & a\\ 0 & 2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că A(−a)⋅A(a)=4I2\displaystyle A(-a)\cdot A(a)=4I_2, pentru orice număr real a\displaystyle a, unde I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu −a\displaystyle -a în A(a)\displaystyle A(a) și obținem A(−a)=(2−a02)\displaystyle A(-a)=\begin{pmatrix}2 & -a\\ 0 & 2\end{pmatrix}.
    A(−a)=(2−a02)\displaystyle A(-a)=\begin{pmatrix}2 & -a\\ 0 & 2\end{pmatrix}
  2. Scriem produsul A(−a)⋅A(a)\displaystyle A(-a)\cdot A(a) cu cele două matrice.
    A(−a)⋅A(a)=(2−a02)⋅(2a02)\displaystyle A(-a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}2 & -a\\ 0 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2 & a\\ 0 & 2\end{pmatrix}
  3. Calculăm fiecare element, înmulțind linie cu coloană. Prima linie: 2⋅2+(−a)⋅0=4\displaystyle 2\cdot 2+(-a)\cdot 0=4 și 2⋅a+(−a)⋅2=0\displaystyle 2\cdot a+(-a)\cdot 2=0. A doua linie: 0⋅2+2⋅0=0\displaystyle 0\cdot 2+2\cdot 0=0 și 0⋅a+2⋅2=4\displaystyle 0\cdot a+2\cdot 2=4.
    A(−a)⋅A(a)=(2⋅2+(−a)⋅02a+(−a)⋅20⋅2+2⋅00⋅a+2⋅2)=(4004)\displaystyle A(-a)\cdot A(a)=\begin{pmatrix}2\cdot 2+(-a)\cdot 0 & 2a+(-a)\cdot 2\\ 0\cdot 2+2\cdot 0 & 0\cdot a+2\cdot 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}
  4. Scoatem factorul 4\displaystyle 4 în fața matricei și recunoaștem matricea unitate I2\displaystyle I_2. Rezultatul nu depinde de a\displaystyle a, deci egalitatea este adevărată pentru orice număr real a\displaystyle a.
    (4004)=4(1001)=4I2, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \begin{pmatrix}4 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=4I_2\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a02)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2 & a\\ 0 & 2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele naturale nenule m\displaystyle m și n\displaystyle n pentru care A(m)⋅A(n)=2A(2)\displaystyle A(m)\cdot A(n)=2A(2).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(m)⋅A(n)\displaystyle A(m)\cdot A(n) înmulțind matricele linie cu coloană. Elementul de pe prima linie și prima coloană este 2⋅2+m⋅0=4\displaystyle 2\cdot 2+m\cdot 0=4. Elementul de pe prima linie și a doua coloană este 2⋅n+m⋅2=2(n+m)\displaystyle 2\cdot n+m\cdot 2=2(n+m). Pe a doua linie obținem 0\displaystyle 0 și 4\displaystyle 4.
    A(m)⋅A(n)=(42(n+m)04)\displaystyle A(m)\cdot A(n)=\begin{pmatrix}4 & 2(n+m)\\ 0 & 4\end{pmatrix}
  2. Calculăm membrul drept: înmulțim matricea A(2)=(2202)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2 & 2\\ 0 & 2\end{pmatrix} cu 2\displaystyle 2, adică fiecare element al ei se înmulțește cu 2\displaystyle 2.
    2A(2)=(4404)\displaystyle 2A(2)=\begin{pmatrix}4 & 4\\ 0 & 4\end{pmatrix}
  3. Egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice. Elementele 4\displaystyle 4, 0\displaystyle 0, 4\displaystyle 4 coincid deja. Din elementul de pe prima linie și a doua coloană rezultă 2(n+m)=4\displaystyle 2(n+m)=4, deci n+m=2\displaystyle n+m=2.
    (42(n+m)04)=2(2202)⇔n+m=2\displaystyle \begin{pmatrix}4 & 2(n+m)\\ 0 & 4\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}2 & 2\\ 0 & 2\end{pmatrix}\Leftrightarrow n+m=2
  4. Căutăm numere naturale nenule cu suma 2\displaystyle 2. Cum m≥1\displaystyle m\geq 1 și n≥1\displaystyle n\geq 1, avem m+n≥2\displaystyle m+n\geq 2, iar egalitatea are loc doar când m=n=1\displaystyle m=n=1.
    m=1 și n=1\displaystyle m=1\text{ și }n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a02)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2 & a\\ 0 & 2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care A(a2)−2A(a)+A(−3)=O2\displaystyle A\left(a^2\right)-2A(a)+A(-3)=O_2, unde O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem fiecare matrice din egalitate, înlocuind parametrul în A(a)=(2a02)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2 & a\\ 0 & 2\end{pmatrix}: A(a2)=(2a202)\displaystyle A\left(a^{2}\right)=\begin{pmatrix}2 & a^{2}\\ 0 & 2\end{pmatrix}, iar A(−3)=(2−302)\displaystyle A(-3)=\begin{pmatrix}2 & -3\\ 0 & 2\end{pmatrix}.
    (2a202)−2(2a02)+(2−302)=(0000)\displaystyle \begin{pmatrix}2 & a^{2}\\ 0 & 2\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}2 & a\\ 0 & 2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2 & -3\\ 0 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}
  2. Efectuăm operațiile element cu element. Pe diagonală obținem 2−4+2=0\displaystyle 2-4+2=0, iar în colțul dreapta sus obținem a2−2a−3\displaystyle a^{2}-2a-3. Elementul de jos-stânga este 0\displaystyle 0.
    (0a2−2a−300)=(0000)\displaystyle \begin{pmatrix}0 & a^{2}-2a-3\\ 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}
  3. Două matrice sunt egale când elementele corespunzătoare sunt egale. Singura condiție netrivială este cea din colțul dreapta sus: a2−2a−3=0\displaystyle a^{2}-2a-3=0.
    a2−2a−3=0\displaystyle a^{2}-2a-3=0
  4. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=(−2)2−4⋅1⋅(−3)=16\displaystyle \Delta=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot(-3)=16, deci a=2±42\displaystyle a=\dfrac{2\pm 4}{2}, adică a=−1\displaystyle a=-1 sau a=3\displaystyle a=3. Verificare: (a+1)(a−3)=a2−2a−3\displaystyle (a+1)(a-3)=a^{2}-2a-3.
    a=−1 sau a=3\displaystyle a=-1\text{ sau }a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(2a02)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}2 & a\\ 0 & 2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că există o infinitate de perechi de numere reale (x,y)\displaystyle (x,y) pentru care A(−3)⋅(xy)=(−2y2x+y)\displaystyle A(-3)\cdot\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2y\\ 2x+y\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=−3\displaystyle a=-3 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(−3)\displaystyle A(-3).
    A(−3)=(2−302)\displaystyle A(-3)=\begin{pmatrix}2 & -3\\ 0 & 2\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul: prima linie dă 2⋅x+(−3)⋅y\displaystyle 2\cdot x+(-3)\cdot y, iar a doua linie dă 0⋅x+2⋅y\displaystyle 0\cdot x+2\cdot y.
    (2−302)⋅(xy)=(2x−3y2y)\displaystyle \begin{pmatrix}2 & -3\\ 0 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x-3y\\ 2y\end{pmatrix}
  3. Egalăm componentele corespunzătoare ale celor două coloane: 2x−3y=−2y\displaystyle 2x-3y=-2y și 2y=2x+y\displaystyle 2y=2x+y.
    {2x−3y=−2y2y=2x+y\displaystyle \begin{cases}2x-3y=-2y\\ 2y=2x+y\end{cases}
  4. Din prima ecuație, mutând termenii, obținem 2x=y\displaystyle 2x=y. Din a doua, 2y−y=2x\displaystyle 2y-y=2x, adică y=2x\displaystyle y=2x. Ecuațiile coincid, deci rămâne o singură condiție.
    y=2x\displaystyle y=2x
  5. Orice pereche (x,2x)\displaystyle (x,2x) cu x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} verifică relația, iar x\displaystyle x poate fi ales în infinit de multe moduri. De exemplu: (0,0)\displaystyle (0,0), (1,2)\displaystyle (1,2), (−1,−2)\displaystyle (-1,-2).
    Exista˘ o infinitate de \displaystyle \text{Există o infinitate de }perechi de numere reale (x,2x) care verifica˘ relația \displaystyle \text{perechi de numere reale }(x,2x)\text{ care verifică relația }data˘\displaystyle \text{dată}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.