Bac matematică M4 pedagogic 2021, model, test de evaluare 2: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că log⁡36+log⁡32−log⁡34=1\displaystyle \log_3 6+\log_3 2-\log_3 4=1.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim proprietatea sumei de logaritmi în aceeași bază: log⁡ax+log⁡ay=log⁡a(x⋅y)\displaystyle \log_a x+\log_a y=\log_a (x\cdot y). Astfel, log⁡36+log⁡32=log⁡3(6⋅2)\displaystyle \log_3 6+\log_3 2=\log_3 (6\cdot 2).
    log⁡36+log⁡32=log⁡312\displaystyle \log_3 6+\log_3 2=\log_3 12
  2. Folosim proprietatea diferenței de logaritmi: log⁡ax−log⁡ay=log⁡axy\displaystyle \log_a x-\log_a y=\log_a \dfrac{x}{y}. Scădem log⁡34\displaystyle \log_3 4 și obținem un singur logaritm: log⁡312−log⁡34=log⁡3124\displaystyle \log_3 12-\log_3 4=\log_3 \dfrac{12}{4}.
    log⁡36+log⁡32−log⁡34=log⁡36⋅24\displaystyle \log_3 6+\log_3 2-\log_3 4=\log_3\frac{6\cdot 2}{4}
  3. Calculăm fracția: 124=3\displaystyle \dfrac{12}{4}=3. Rămâne log⁡33\displaystyle \log_3 3, care este 1\displaystyle 1, deoarece 31=3\displaystyle 3^{1}=3.
    log⁡33=1\displaystyle \log_3 3=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x−4\displaystyle f(x)=3x-4. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care punctul A(m,m)\displaystyle A(m,m) aparține graficului funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(m,m)\displaystyle A(m,m) aparține graficului funcției f\displaystyle f dacă și numai dacă ordonata sa este f(m)\displaystyle f(m), adică f(m)=m\displaystyle f(m)=m.
    f(m)=m\displaystyle f(m)=m
  2. Calculăm f(m)\displaystyle f(m) înlocuind x\displaystyle x cu m\displaystyle m în f(x)=3x−4\displaystyle f(x)=3x-4.
    f(m)=3m−4\displaystyle f(m)=3m-4
  3. Din f(m)=m\displaystyle f(m)=m obținem ecuația de gradul întâi 3m−4=m\displaystyle 3m-4=m.
    3m−4=m\displaystyle 3m-4=m
  4. Mutăm termenii cu m\displaystyle m în stânga: 3m−m=4\displaystyle 3m-m=4, deci 2m=4\displaystyle 2m=4, de unde m=2\displaystyle m=2. Verificare: f(2)=3⋅2−4=2\displaystyle f(2)=3\cdot 2-4=2, deci A(2,2)\displaystyle A(2,2) este pe grafic.
    3m−4=m⇔2m=4⇔m=2\displaystyle 3m-4=m\Leftrightarrow 2m=4\Leftrightarrow m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 4x=2x2−3\displaystyle 4^x=2^{x^2-3}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem 4=22\displaystyle 4=2^{2}, deci 4x=(22)x=22x\displaystyle 4^{x}=\left(2^{2}\right)^{x}=2^{2x}.
    4x=22x\displaystyle 4^{x}=2^{2x}
  2. Ecuația devine 22x=2x2−3\displaystyle 2^{2x}=2^{x^{2}-3}. Cum baza 2\displaystyle 2 este pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1, egalăm exponenții: 2x=x2−3\displaystyle 2x=x^{2}-3.
    22x=2x2−3⇔2x=x2−3\displaystyle 2^{2x}=2^{x^{2}-3}\Leftrightarrow 2x=x^{2}-3
  3. Mutăm termenii în membrul stâng: x2−2x−3=0\displaystyle x^{2}-2x-3=0.
    x2−2x−3=0\displaystyle x^{2}-2x-3=0
  4. Avem a=1\displaystyle a=1, b=−2\displaystyle b=-2, c=−3\displaystyle c=-3, deci Δ=b2−4ac=(−2)2−4⋅1⋅(−3)=4+12=16\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4\cdot 1\cdot(-3)=4+12=16.
    Δ=16\displaystyle \Delta=16
  5. Rădăcinile sunt x=2±162=2±42\displaystyle x=\dfrac{2\pm\sqrt{16}}{2}=\dfrac{2\pm 4}{2}, adică x1=2−42=−1\displaystyle x_{1}=\dfrac{2-4}{2}=-1 și x2=2+42=3\displaystyle x_{2}=\dfrac{2+4}{2}=3.
    x=−1 sau x=3\displaystyle x=-1\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă suma cifrelor egală cu 9\displaystyle 9.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția clasică a probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}
  2. Numerele naturale de două cifre sunt cele de la 10\displaystyle 10 până la 99\displaystyle 99. Numărul lor este 99−10+1\displaystyle 99-10+1.
    99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90
  3. Căutăm numerele ab‾\displaystyle \overline{ab} cu a+b=9\displaystyle a+b=9. Cifra a\displaystyle a poate fi de la 1\displaystyle 1 la 9\displaystyle 9, iar b=9−a\displaystyle b=9-a este o cifră validă pentru fiecare astfel de a\displaystyle a. Le scriem pe rând.
    18\displaystyle 18, 27\displaystyle \ 27, 36\displaystyle \ 36, 45\displaystyle \ 45, 54\displaystyle \ 54, 63\displaystyle \ 63, 72\displaystyle \ 72, 81\displaystyle \ 81, 90\displaystyle \ 90
  4. Numărăm numerele găsite: sunt 9\displaystyle 9 cazuri favorabile.
    9 cazuri favorabile\displaystyle 9\text{ cazuri favorabile}
  5. Înlocuim în formula probabilității și simplificăm fracția prin 9\displaystyle 9.
    p=990=110\displaystyle p=\dfrac{9}{90}=\dfrac{1}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−3,5)\displaystyle A(-3,5) și B(1,3)\displaystyle B(1,3). Determinați coordonatele punctului M\displaystyle M, unde M\displaystyle M este simetricul punctului A\displaystyle A față de punctul B\displaystyle B.
Vezi rezolvarea
  1. Deoarece M\displaystyle M este simetricul lui A\displaystyle A față de B\displaystyle B, punctul B\displaystyle B este mijlocul segmentului AM\displaystyle AM. Notăm M(xM,yM)\displaystyle M(x_M, y_M).
    B este mijlocul segmentului AM\displaystyle B\text{ este mijlocul segmentului }AM
  2. Folosim formulele mijlocului: xB=xA+xM2\displaystyle x_B=\dfrac{x_A+x_M}{2} și yB=yA+yM2\displaystyle y_B=\dfrac{y_A+y_M}{2}. Înlocuim A(−3,5)\displaystyle A(-3,5) și B(1,3)\displaystyle B(1,3).
    1=−3+xM2 și 3=5+yM2\displaystyle 1=\frac{-3+x_M}{2}\text{ și }3=\frac{5+y_M}{2}
  3. Din prima ecuație, înmulțind cu 2\displaystyle 2, obținem −3+xM=2\displaystyle -3+x_M=2, deci xM=5\displaystyle x_M=5.
    xM=5\displaystyle x_M=5
  4. Din a doua ecuație, înmulțind cu 2\displaystyle 2, obținem 5+yM=6\displaystyle 5+y_M=6, deci yM=1\displaystyle y_M=1.
    yM=1\displaystyle y_M=1
  5. Așadar punctul căutat este M(5,1)\displaystyle M(5,1).
    xM=5\displaystyle x_M=5, yM=1\displaystyle \ y_M=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că (cos⁡120∘−sin⁡30∘)2=cos⁡230∘+cos⁡260∘\displaystyle (\cos 120^\circ-\sin 30^\circ)^2=\cos^2 30^\circ+\cos^2 60^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm cos⁡120∘\displaystyle \cos 120^\circ. Folosim formula cos⁡(180∘−x)=−cos⁡x\displaystyle \cos(180^\circ-x)=-\cos x, deci cos⁡120∘=−cos⁡60∘=−12\displaystyle \cos 120^\circ=-\cos 60^\circ=-\dfrac{1}{2}.
    cos⁡120∘=−12\displaystyle \cos 120^\circ=-\dfrac{1}{2}
  2. Folosim valoarea cunoscută sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2} și calculăm diferența din paranteză: −12−12=−1\displaystyle -\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=-1.
    cos⁡120∘−sin⁡30∘=−12−12=−1\displaystyle \cos 120^\circ-\sin 30^\circ=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=-1
  3. Ridicăm la pătrat și obținem valoarea membrului stâng: (−1)2=1\displaystyle (-1)^2=1.
    (cos⁡120∘−sin⁡30∘)2=(−12−12)2=1\displaystyle (\cos 120^\circ-\sin 30^\circ)^2=\left(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\right)^2=1
  4. Pentru membrul drept folosim valorile cos⁡30∘=32\displaystyle \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} și cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2} și le ridicăm la pătrat: (32)2=34\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4} și (12)2=14\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}.
    cos⁡230∘=34, cos⁡260∘=14\displaystyle \cos^2 30^\circ=\dfrac{3}{4}\text{, }\cos^2 60^\circ=\dfrac{1}{4}
  5. Adunăm: 34+14=1\displaystyle \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}=1. Membrul drept este egal cu 1\displaystyle 1, ca și membrul stâng, deci egalitatea este adevărată.
    cos⁡230∘+cos⁡260∘=(32)2+(12)2=1, deci (cos⁡120∘−sin⁡30∘)2=cos⁡230∘+cos⁡260∘\displaystyle \cos^2 30^\circ+\cos^2 60^\circ=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=1\text{, deci }(\cos 120^\circ-\sin 30^\circ)^2=\cos^2 30^\circ+\cos^2 60^\circ
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−4(x+y)+20\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+20.

Arătați că 4∗2021=4\displaystyle 4*2021=4.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∗y=xy−4(x+y)+20\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+20 și înlocuim x=4\displaystyle x=4, y=2021\displaystyle y=2021.
    4∗2021=4⋅2021−4(4+2021)+20\displaystyle 4*2021=4\cdot 2021-4(4+2021)+20
  2. Calculăm suma din paranteză: 4+2021=2025\displaystyle 4+2021=2025, deci expresia devine 4⋅2021−4⋅2025+20\displaystyle 4\cdot 2021-4\cdot 2025+20.
    4⋅2021−4⋅2025+20\displaystyle 4\cdot 2021-4\cdot 2025+20
  3. Dăm factor comun pe 4\displaystyle 4 între primii doi termeni: 4(2021−2025)+20=4⋅(−4)+20\displaystyle 4(2021-2025)+20=4\cdot(-4)+20.
    4⋅(−4)+20=−16+20\displaystyle 4\cdot(-4)+20=-16+20
  4. Calculăm: −16+20=4\displaystyle -16+20=4, deci 4∗2021=4\displaystyle 4*2021=4, ceea ce trebuia arătat.
    4∗2021=4\displaystyle 4*2021=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−4(x+y)+20\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+20.

Arătați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii pentru două numere reale oarecare x\displaystyle x și y\displaystyle y: x∗y=xy−4(x+y)+20\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+20.
    x∗y=xy−4(x+y)+20\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+20
  2. Folosim comutativitatea înmulțirii și a adunării numerelor reale: xy=yx\displaystyle xy=yx și x+y=y+x\displaystyle x+y=y+x. Înlocuim în expresie.
    x∗y=xy−4(x+y)+20=yx−4(y+x)+20\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+20=yx-4(y+x)+20
  3. Expresia obținută este chiar definiția lui y∗x\displaystyle y*x, adică y∗x=yx−4(y+x)+20\displaystyle y*x=yx-4(y+x)+20. Deci x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale, adică legea este comutativă.
    x∗y=y∗x, pentru orice numere \displaystyle x*y=y*x\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−4(x+y)+20\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+20.

Demonstrați că x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii, x∗y=xy−4(x+y)+20\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+20, și desfacem parantezele: −4(x+y)=−4x−4y\displaystyle -4(x+y)=-4x-4y.
    x∗y=xy−4x−4y+20\displaystyle x*y=xy-4x-4y+20
  2. Scriem 20=16+4\displaystyle 20=16+4, pentru că produsul (x−4)(y−4)\displaystyle (x-4)(y-4) are termenul liber 16\displaystyle 16.
    x∗y=xy−4x−4y+16+4\displaystyle x*y=xy-4x-4y+16+4
  3. Dăm factor comun pe x\displaystyle x din xy−4x\displaystyle xy-4x și pe −4\displaystyle -4 din −4y+16\displaystyle -4y+16.
    x∗y=x(y−4)−4(y−4)+4\displaystyle x*y=x(y-4)-4(y-4)+4
  4. Dăm factor comun pe y−4\displaystyle y-4 și obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=(x−4)(y−4)+4, pentru orice numere \displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−4(x+y)+20\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+20.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗(x−4)=x\displaystyle x*(x-4)=x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea sub o formă mai comodă: x∗y=xy−4x−4y+20\displaystyle x*y=xy-4x-4y+20. Cum (x−4)(y−4)=xy−4x−4y+16\displaystyle (x-4)(y-4)=xy-4x-4y+16, obținem x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4.
    x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4
  2. Înlocuim y\displaystyle y cu x−4\displaystyle x-4. Atunci y−4=x−8\displaystyle y-4=x-8, deci x∗(x−4)=(x−4)(x−8)+4\displaystyle x*(x-4)=(x-4)(x-8)+4.
    x∗(x−4)=(x−4)(x−8)+4\displaystyle x*(x-4)=(x-4)(x-8)+4
  3. Scriem ecuația (x−4)(x−8)+4=x\displaystyle (x-4)(x-8)+4=x. Dezvoltăm: (x−4)(x−8)=x2−12x+32\displaystyle (x-4)(x-8)=x^{2}-12x+32, deci ecuația devine x2−12x+36=x\displaystyle x^{2}-12x+36=x, adică x2−13x+36=0\displaystyle x^{2}-13x+36=0. Descompunem: x2−13x+36=(x−4)(x−9)\displaystyle x^{2}-13x+36=(x-4)(x-9).
    (x−4)(x−8)+4=x⇔(x−4)(x−9)=0\displaystyle (x-4)(x-8)+4=x\Leftrightarrow (x-4)(x-9)=0
  4. Un produs este zero când un factor este zero, deci x−4=0\displaystyle x-4=0 sau x−9=0\displaystyle x-9=0. Rezultă x=4\displaystyle x=4 sau x=9\displaystyle x=9.
    x=4 sau x=9\displaystyle x=4\text{ sau }x=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−4(x+y)+20\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+20.

Arătați că x∗y≥8\displaystyle x*y\geq 8, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, cu x≥6\displaystyle x\geq 6 și y≥6\displaystyle y\geq 6.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm (x−4)(y−4)=xy−4x−4y+16\displaystyle (x-4)(y-4)=xy-4x-4y+16. Atunci xy−4(x+y)+20=(xy−4x−4y+16)+4\displaystyle xy-4(x+y)+20=(xy-4x-4y+16)+4, deci legea se scrie sub forma x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4.
    x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4
  2. Din x≥6\displaystyle x\geq 6 scăzând 4\displaystyle 4 obținem x−4≥2\displaystyle x-4\geq 2, iar din y≥6\displaystyle y\geq 6 obținem y−4≥2\displaystyle y-4\geq 2.
    x−4≥2 și y−4≥2\displaystyle x-4\geq 2\text{ și }y-4\geq 2
  3. Ambii factori sunt numere pozitive, deci putem înmulți cele două inegalități membru cu membru: (x−4)(y−4)≥2⋅2=4\displaystyle (x-4)(y-4)\geq 2\cdot 2=4.
    (x−4)(y−4)≥4\displaystyle (x-4)(y-4)\geq 4
  4. Adunăm 4\displaystyle 4 la ambii membri: (x−4)(y−4)+4≥4+4=8\displaystyle (x-4)(y-4)+4\geq 4+4=8. Cum x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4, rezultă x∗y≥8\displaystyle x*y\geq 8, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, cu x≥6\displaystyle x\geq 6 și y≥6\displaystyle y\geq 6.
    (x−4)(y−4)+4≥8⇒x∗y≥8, pentru orice numere \displaystyle (x-4)(y-4)+4\geq 8\Rightarrow x*y\geq 8\text{, pentru orice numere }reale x și y, cu x≥6 și y≥6\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y\text{, cu }x\geq 6\text{ și }y\geq 6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−4(x+y)+20\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+20.

Calculați 12∗22∗32∗…∗20212\displaystyle 1^2*2^2*3^2*\ldots*2021^2.
Vezi rezolvarea
  1. Rescriem legea sub formă factorizată: x∗y=xy−4x−4y+20=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=xy-4x-4y+20=(x-4)(y-4)+4, pentru că (x−4)(y−4)=xy−4x−4y+16\displaystyle (x-4)(y-4)=xy-4x-4y+16.
    x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4
  2. Calculăm x∗4=(x−4)⋅0+4=4\displaystyle x*4=(x-4)\cdot 0+4=4 și analog 4∗y=0⋅(y−4)+4=4\displaystyle 4*y=0\cdot(y-4)+4=4, pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale. Deci 4\displaystyle 4 este element absorbant.
    x∗4=4\displaystyle x*4=4, 4∗y=4, pentru orice numere \displaystyle \ 4*y=4\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
  3. Observăm că în șir apare 22=4\displaystyle 2^2=4. Legea fiind asociativă, putem grupa factorii: 12∗22∗32∗…∗20212=(12∗4)∗(32∗42∗…∗20212)\displaystyle 1^2*2^2*3^2*\ldots*2021^2=(1^2*4)*(3^2*4^2*\ldots*2021^2).
    12∗22∗32∗…∗20212=(12∗4)∗(32∗42∗…∗20212)\displaystyle 1^2*2^2*3^2*\ldots*2021^2=(1^2*4)*(3^2*4^2*\ldots*2021^2)
  4. Aplicăm absorbția: 12∗4=1∗4=4\displaystyle 1^2*4=1*4=4, apoi 4∗(32∗42∗…∗20212)=4\displaystyle 4*(3^2*4^2*\ldots*2021^2)=4. Deci rezultatul este 4\displaystyle 4.
    12∗22∗32∗…∗20212=4∗(32∗42∗…∗20212)=4\displaystyle 1^2*2^2*3^2*\ldots*2021^2=4*(3^2*4^2*\ldots*2021^2)=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−2130)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2&1\\3&0\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x)=(x31x−2)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}x&3\\1&x-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=−3\displaystyle \det A=-3.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula determinantului de ordinul doi: ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c.
    ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c
  2. Pentru matricea A\displaystyle A avem a=−2\displaystyle a=-2, b=1\displaystyle b=1, c=3\displaystyle c=3 și d=0\displaystyle d=0. Înlocuim aceste valori în formulă.
    det⁡A=∣−2130∣=−2⋅0−1⋅3\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}-2&1\\3&0\end{vmatrix}=-2\cdot 0-1\cdot 3
  3. Calculăm produsele: −2⋅0=0\displaystyle -2\cdot 0=0, iar 1⋅3=3\displaystyle 1\cdot 3=3. Rămâne 0−3=−3\displaystyle 0-3=-3, deci det⁡A=−3\displaystyle \det A=-3, așa cum trebuia arătat.
    0−3=−3\displaystyle 0-3=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−2130)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2&1\\3&0\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x)=(x31x−2)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}x&3\\1&x-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A+M(6)=4⋅(1111)\displaystyle A+M(6)=4\cdot\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 6\displaystyle 6 în matricea M(x)\displaystyle M(x). Elementul din colțul stânga sus este 6\displaystyle 6, iar elementul din colțul dreapta jos este 6−2=4\displaystyle 6-2=4.
    M(6)=(6314)\displaystyle M(6)=\begin{pmatrix}6&3\\1&4\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele A\displaystyle A și M(6)\displaystyle M(6) element cu element, adică adunăm elementele aflate pe aceleași poziții.
    A+M(6)=(−2+61+33+10+4)\displaystyle A+M(6)=\begin{pmatrix}-2+6&1+3\\3+1&0+4\end{pmatrix}
  3. Efectuăm calculele din fiecare element al matricei sumă.
    A+M(6)=(4444)\displaystyle A+M(6)=\begin{pmatrix}4&4\\4&4\end{pmatrix}
  4. Dăm factor comun pe 4\displaystyle 4 în fața matricei, deoarece toate elementele sunt egale cu 4\displaystyle 4. Obținem egalitatea cerută.
    A+M(6)=4(1111)\displaystyle A+M(6)=4\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−2130)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2&1\\3&0\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x)=(x31x−2)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}x&3\\1&x-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(M(x))=(x+1)(x−3)\displaystyle \det(M(x))=(x+1)(x-3), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei M(x)\displaystyle M(x), unde x\displaystyle x este un număr real oarecare: det⁡(M(x))=∣x31x−2∣\displaystyle \det(M(x))=\begin{vmatrix}x&3\\1&x-2\end{vmatrix}.
    det⁡(M(x))=∣x31x−2∣\displaystyle \det(M(x))=\begin{vmatrix}x&3\\1&x-2\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică x⋅(x−2)−3⋅1\displaystyle x\cdot(x-2)-3\cdot 1.
    det⁡(M(x))=x(x−2)−3⋅1=x(x−2)−3\displaystyle \det(M(x))=x(x-2)-3\cdot 1=x(x-2)-3
  3. Efectuăm înmulțirea: x(x−2)=x2−2x\displaystyle x(x-2)=x^{2}-2x. Obținem trinomul x2−2x−3\displaystyle x^{2}-2x-3.
    det⁡(M(x))=x2−2x−3\displaystyle \det(M(x))=x^{2}-2x-3
  4. Descompunem trinomul în factori. Căutăm două numere cu suma −2\displaystyle -2 și produsul −3\displaystyle -3: acestea sunt 1\displaystyle 1 și −3\displaystyle -3. Scriem −2x=x−3x\displaystyle -2x=x-3x și grupăm: x2+x−3x−3=x(x+1)−3(x+1)=(x+1)(x−3)\displaystyle x^{2}+x-3x-3=x(x+1)-3(x+1)=(x+1)(x-3).
    x2−2x−3=x2+x−3x−3=x(x+1)−3(x+1)=(x+1)(x−3)\displaystyle x^{2}-2x-3=x^{2}+x-3x-3=x(x+1)-3(x+1)=(x+1)(x-3)
  5. Concluzie: egalitatea s-a obținut pentru un x\displaystyle x real oarecare, deci det⁡(M(x))=(x+1)(x−3)\displaystyle \det(M(x))=(x+1)(x-3), pentru orice număr real x\displaystyle x.
    det⁡(M(x))=(x+1)(x−3), pentru orice numa˘r real x\displaystyle \det(M(x))=(x+1)(x-3)\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−2130)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2&1\\3&0\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x)=(x31x−2)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}x&3\\1&x-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele întregi a\displaystyle a pentru care det⁡(A+M(2))=9−a2\displaystyle \det(A+M(2))=9-a^2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în M(x)\displaystyle M(x): elementele sunt 2\displaystyle 2, 3\displaystyle 3, 1\displaystyle 1 și 2−2=0\displaystyle 2-2=0.
    M(2)=(2310)\displaystyle M(2)=\begin{pmatrix}2&3\\1&0\end{pmatrix}
  2. Adunăm A\displaystyle A și M(2)\displaystyle M(2) element cu element: −2+2=0\displaystyle -2+2=0, 1+3=4\displaystyle 1+3=4, 3+1=4\displaystyle 3+1=4, 0+0=0\displaystyle 0+0=0.
    A+M(2)=(−2130)+(2310)=(0440)\displaystyle A+M(2)=\begin{pmatrix}-2&1\\3&0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&3\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&4\\4&0\end{pmatrix}
  3. Determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: 0⋅0−4⋅4\displaystyle 0\cdot 0-4\cdot 4.
    det⁡(A+M(2))=0⋅0−4⋅4=−16\displaystyle \det(A+M(2))=0\cdot 0-4\cdot 4=-16
  4. Din condiția det⁡(A+M(2))=9−a2\displaystyle \det(A+M(2))=9-a^2 și din det⁡(A+M(2))=−16\displaystyle \det(A+M(2))=-16 obținem ecuația 9−a2=−16\displaystyle 9-a^2=-16. Mutăm a2\displaystyle a^2 în dreapta și −16\displaystyle -16 în stânga.
    9−a2=−16⇔a2=25\displaystyle 9-a^2=-16\Leftrightarrow a^2=25
  5. Din a2=25\displaystyle a^2=25 rezultă a=±5\displaystyle a=\pm 5. Ambele valori sunt numere întregi, deci convin.
    a=−5 sau a=5\displaystyle a=-5\text{ sau }a=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−2130)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2&1\\3&0\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x)=(x31x−2)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}x&3\\1&x-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care M(x)⋅M(x)=4I2\displaystyle M(x)\cdot M(x)=4I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul M(x)⋅M(x)\displaystyle M(x)\cdot M(x) înmulțind linii cu coloane. Linia 1, coloana 1: x⋅x+3⋅1=x2+3\displaystyle x\cdot x+3\cdot 1=x^{2}+3. Linia 1, coloana 2: x⋅3+3(x−2)=6x−6\displaystyle x\cdot 3+3(x-2)=6x-6. Linia 2, coloana 1: 1⋅x+(x−2)⋅1=2x−2\displaystyle 1\cdot x+(x-2)\cdot 1=2x-2. Linia 2, coloana 2: 1⋅3+(x−2)2=x2−4x+7\displaystyle 1\cdot 3+(x-2)^{2}=x^{2}-4x+7.
    M(x)⋅M(x)=(x2+36x−62x−2x2−4x+7)\displaystyle M(x)\cdot M(x)=\begin{pmatrix}x^2+3&6x-6\\2x-2&x^2-4x+7\end{pmatrix}, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  2. Scriem 4I2=(4004)\displaystyle 4I_2=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix} și egalăm matricele element cu element. Obținem sistemul de patru ecuații de mai jos.
    {x2+3=46x−6=02x−2=0x2−4x+7=4\displaystyle \begin{cases}x^2+3=4\\6x-6=0\\2x-2=0\\x^2-4x+7=4\end{cases}
  3. Rezolvăm fiecare ecuație. Din prima: x2=1\displaystyle x^{2}=1, deci x=−1 sau x=1\displaystyle x=-1\text{ sau }x=1. Din a doua: 6x=6\displaystyle 6x=6, deci x=1\displaystyle x=1. Din a treia: 2x=2\displaystyle 2x=2, deci x=1\displaystyle x=1. Din a patra: x2−4x+3=0\displaystyle x^{2}-4x+3=0, cu soluțiile x=1 sau x=3\displaystyle x=1\text{ sau }x=3.
    x∈{−1,1}\displaystyle x\in\{-1,1\}, x=1\displaystyle \ x=1, x=1\displaystyle \ x=1, x∈{1,3}\displaystyle \ x\in\{1,3\}
  4. Egalitatea de matrice cere ca toate cele patru ecuații să fie îndeplinite simultan. Singura valoare comună tuturor mulțimilor de soluții este x=1\displaystyle x=1, deci aceasta convine.
    x=1, care convine\displaystyle x=1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−2130)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2&1\\3&0\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x)=(x31x−2)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}x&3\\1&x-2\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul natural n\displaystyle n pentru care M(n)+M(n+1)+M(n+2)=3M(2022)\displaystyle M(n)+M(n+1)+M(n+2)=3M(2022).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în M(x)\displaystyle M(x) pe x\displaystyle x cu n\displaystyle n, n+1\displaystyle n+1 și n+2\displaystyle n+2. Obținem M(n)=(n31n−2)\displaystyle M(n)=\begin{pmatrix}n&3\\1&n-2\end{pmatrix}, M(n+1)=(n+131n−1)\displaystyle M(n+1)=\begin{pmatrix}n+1&3\\1&n-1\end{pmatrix} și M(n+2)=(n+231n)\displaystyle M(n+2)=\begin{pmatrix}n+2&3\\1&n\end{pmatrix}.
    M(n)=(n31n−2)\displaystyle M(n)=\begin{pmatrix}n&3\\1&n-2\end{pmatrix}, M(n+1)=(n+131n−1)\displaystyle \ M(n+1)=\begin{pmatrix}n+1&3\\1&n-1\end{pmatrix}, M(n+2)=(n+231n)\displaystyle \ M(n+2)=\begin{pmatrix}n+2&3\\1&n\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele element cu element. Pe poziția (1,1)\displaystyle (1,1): n+(n+1)+(n+2)=3n+3\displaystyle n+(n+1)+(n+2)=3n+3. Pe poziția (2,2)\displaystyle (2,2): (n−2)+(n−1)+n=3n−3\displaystyle (n-2)+(n-1)+n=3n-3. Pe poziția (1,2)\displaystyle (1,2): 3+3+3=9\displaystyle 3+3+3=9, iar pe poziția (2,1)\displaystyle (2,1): 1+1+1=3\displaystyle 1+1+1=3.
    M(n)+M(n+1)+M(n+2)=(3n+3933n−3)\displaystyle M(n)+M(n+1)+M(n+2)=\begin{pmatrix}3n+3&9\\3&3n-3\end{pmatrix}
  3. Avem M(2022)=(2022312020)\displaystyle M(2022)=\begin{pmatrix}2022&3\\1&2020\end{pmatrix}, deci înmulțind cu 3\displaystyle 3 fiecare element obținem 3M(2022)\displaystyle 3M(2022).
    3M(2022)=(3⋅2022933⋅2020)\displaystyle 3M(2022)=\begin{pmatrix}3\cdot 2022&9\\3&3\cdot 2020\end{pmatrix}
  4. Egalăm matricele element cu element. Elementele de pe pozițiile (1,2)\displaystyle (1,2) și (2,1)\displaystyle (2,1) coincid. Din poziția (1,1)\displaystyle (1,1): 3n+3=3⋅2022\displaystyle 3n+3=3\cdot 2022, deci n+1=2022\displaystyle n+1=2022 și n=2021\displaystyle n=2021. Pe poziția (2,2)\displaystyle (2,2): 3n−3=3⋅2020\displaystyle 3n-3=3\cdot 2020, deci n−1=2020\displaystyle n-1=2020, adică tot n=2021\displaystyle n=2021. Numărul 2021\displaystyle 2021 este natural, deci convine.
    n=2021, care convine\displaystyle n=2021\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.