Bac matematică M4 pedagogic 2020, model, test de evaluare 11: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (2−(13)2):179=1\displaystyle \left(2-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\right):\frac{17}{9}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm pătratul fracției din paranteză: (13)2=19\displaystyle \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}=\dfrac{1}{9}.
    (13)2=19\displaystyle \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}=\dfrac{1}{9}
  2. Înlocuim în expresie și scriem 2=189\displaystyle 2=\dfrac{18}{9}, ca să putem face scăderea la același numitor: (2−19):179=18−19:179\displaystyle \left(2-\dfrac{1}{9}\right):\dfrac{17}{9}=\dfrac{18-1}{9}:\dfrac{17}{9}.
    (2−19):179=18−19:179\displaystyle \left(2-\dfrac{1}{9}\right):\dfrac{17}{9}=\dfrac{18-1}{9}:\dfrac{17}{9}
  3. Efectuăm scăderea de la numărător: 18−1=17\displaystyle 18-1=17, deci paranteza este egală cu 179\displaystyle \dfrac{17}{9}.
    18−19=179\displaystyle \dfrac{18-1}{9}=\dfrac{17}{9}
  4. Rămâne împărțirea unei fracții nenule la ea însăși: 179:179=1\displaystyle \dfrac{17}{9}:\dfrac{17}{9}=1. Deci egalitatea cerută este adevărată.
    179:179=1\displaystyle \dfrac{17}{9}:\dfrac{17}{9}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x+a\displaystyle f(x)=4x+a, unde a\displaystyle a este număr real. Arătați că, pentru orice număr real a\displaystyle a, f(2)−f(−2)=16\displaystyle f(2)-f(-2)=16.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în expresia funcției: f(2)=4⋅2+a\displaystyle f(2)=4\cdot 2+a.
    f(2)=8+a\displaystyle f(2)=8+a
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu −2\displaystyle -2 în expresia funcției: f(−2)=4⋅(−2)+a\displaystyle f(-2)=4\cdot(-2)+a.
    f(−2)=−8+a\displaystyle f(-2)=-8+a
  3. Facem diferența f(2)−f(−2)=8+a−(−8+a)\displaystyle f(2)-f(-2)=8+a-(-8+a). Termenii cu a\displaystyle a se reduc, deci rezultatul nu depinde de a\displaystyle a: 8+a+8−a=16\displaystyle 8+a+8-a=16, pentru orice număr real a\displaystyle a.
    f(2)−f(−2)=8+a−(−8+a)=16, pentru orice numa˘r real a\displaystyle f(2)-f(-2)=8+a-(-8+a)=16\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 3x2+3=34x\displaystyle 3^{x^{2}+3}=3^{4x}.
Vezi rezolvarea
  1. Cele două puteri au aceeași bază, 3\displaystyle 3, care este pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1. Funcția exponențială este injectivă, deci puterile sunt egale exact când exponenții sunt egali: x2+3=4x\displaystyle x^{2}+3=4x.
    x2+3=4x\displaystyle x^{2}+3=4x
  2. Mutăm toți termenii în membrul stâng și obținem o ecuație de gradul al doilea în forma generală: x2−4x+3=0\displaystyle x^{2}-4x+3=0.
    x2+3=4x⇔x2−4x+3=0\displaystyle x^{2}+3=4x\Leftrightarrow x^{2}-4x+3=0
  3. Calculăm discriminantul ecuației, cu a=1\displaystyle a=1, b=−4\displaystyle b=-4, c=3\displaystyle c=3: Δ=b2−4ac=(−4)2−4⋅1⋅3=16−12=4\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4.
    Δ=16−12=4\displaystyle \Delta=16-12=4
  4. Aplicăm formula soluțiilor: x1,2=−b±Δ2a=4±22\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4\pm 2}{2}. Rezultă x1=4−22=1\displaystyle x_1=\dfrac{4-2}{2}=1 și x2=4+22=3\displaystyle x_2=\dfrac{4+2}{2}=3.
    x1=1 și x2=3\displaystyle x_1=1\text{ și }x_2=3
  5. Verificăm: pentru x=1\displaystyle x=1, ambii exponenți sunt 4\displaystyle 4, iar pentru x=3\displaystyle x=3, ambii exponenți sunt 12\displaystyle 12. Soluțiile ecuației sunt x=1\displaystyle x=1 și x=3\displaystyle x=3.
    x=1 sau x=3\displaystyle x=1\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Prețul unui obiect este 120\displaystyle 120 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se scumpește de două ori, succesiv, cu câte 5%\displaystyle 5\%.
Vezi rezolvarea
  1. Prima scumpire de 5%\displaystyle 5\% se calculează din prețul inițial de 120\displaystyle 120 de lei. Mai întâi aflăm cât reprezintă 5%\displaystyle 5\% din 120\displaystyle 120.
    5100⋅120=6\displaystyle \frac{5}{100}\cdot 120=6
  2. Adunăm creșterea la prețul inițial și obținem prețul după prima scumpire: 120+5100⋅120=120+6\displaystyle 120+\dfrac{5}{100}\cdot 120=120+6.
    120+5100⋅120=126 de lei\displaystyle 120+\frac{5}{100}\cdot 120=126\text{ de lei}
  3. A doua scumpire de 5%\displaystyle 5\% se aplică prețului curent, adică 126\displaystyle 126 de lei, nu celui inițial. Calculăm 5%\displaystyle 5\% din 126\displaystyle 126.
    5100⋅126=6,3\displaystyle \frac{5}{100}\cdot 126=6{,}3
  4. Adunăm această creștere la 126\displaystyle 126 de lei și obținem prețul final al obiectului: 126+6,3\displaystyle 126+6{,}3.
    126+5100⋅126=132,3 de lei\displaystyle 126+\frac{5}{100}\cdot 126=132{,}3\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,7)\displaystyle A(3,7) și B(3,−7)\displaystyle B(3,-7). Determinați distanța de la punctul O\displaystyle O la punctul C\displaystyle C, unde C\displaystyle C este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formulele pentru coordonatele mijlocului C\displaystyle C al segmentului AB\displaystyle AB: xC=xA+xB2\displaystyle x_C=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yC=yA+yB2\displaystyle y_C=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xC=xA+xB2\displaystyle x_C=\dfrac{x_A+x_B}{2},yC=yA+yB2\displaystyle \quad y_C=\dfrac{y_A+y_B}{2}
  2. Înlocuim coordonatele punctelor A(3,7)\displaystyle A(3,7) și B(3,−7)\displaystyle B(3,-7): xC=3+32=3\displaystyle x_C=\dfrac{3+3}{2}=3 și yC=7+(−7)2=0\displaystyle y_C=\dfrac{7+(-7)}{2}=0. Deci mijlocul este C(3,0)\displaystyle C(3,0).
    C(3,0)\displaystyle C(3,0)
  3. Folosim formula distanței dintre O(0,0)\displaystyle O(0,0) și C(3,0)\displaystyle C(3,0): OC=(xC−xO)2+(yC−yO)2=(3−0)2+(0−0)2=9\displaystyle OC=\sqrt{(x_C-x_O)^{2}+(y_C-y_O)^{2}}=\sqrt{(3-0)^{2}+(0-0)^{2}}=\sqrt{9}.
    OC=32+02=9\displaystyle OC=\sqrt{3^{2}+0^{2}}=\sqrt{9}
  4. Calculăm 9=3\displaystyle \sqrt{9}=3. Deci distanța de la O\displaystyle O la C\displaystyle C este OC=3\displaystyle OC=3.
    OC=3\displaystyle OC=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că m(∡B)=45∘\displaystyle m(\measuredangle B)=45^\circ, AB=5\displaystyle AB=5 și AC=5\displaystyle AC=5.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că AB=AC=5\displaystyle AB=AC=5, deci triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel cu baza BC\displaystyle BC. Unghiurile de la bază sunt egale: m(∡C)=45∘\displaystyle m(\measuredangle C)=45^\circ.
    m(∡C)=m(∡B)=45∘\displaystyle m(\measuredangle C)=m(\measuredangle B)=45^\circ
  2. Suma unghiurilor unui triunghi este 180∘\displaystyle 180^\circ, deci m(∡A)=180∘−45∘−45∘=90∘\displaystyle m(\measuredangle A)=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ. Triunghiul este dreptunghic în A\displaystyle A.
    m(∡A)=90∘\displaystyle m(\measuredangle A)=90^\circ
  3. Catetele sunt AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC, deci aria este semiprodusul lor.
    AΔABC=AB⋅AC2=5⋅52\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{5\cdot 5}{2}
  4. Calculăm: 252=12,5\displaystyle \dfrac{25}{2}=12{,}5.
    AΔABC=252=12,5\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{25}{2}=12{,}5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−2020\displaystyle x*y=x+y-2020.

Arătați că 2000∗20=0\displaystyle 2000*20=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție dată: x∗y=x+y−2020\displaystyle x*y=x+y-2020, pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale.
    x∗y=x+y−2020\displaystyle x*y=x+y-2020
  2. Înlocuim x=2000\displaystyle x=2000 și y=20\displaystyle y=20 în definiția legii.
    2000∗20=2000+20−2020\displaystyle 2000*20=2000+20-2020
  3. Adunăm primii doi termeni: 2000+20=2020\displaystyle 2000+20=2020, deci rămâne diferența 2020−2020\displaystyle 2020-2020.
    2000∗20=2020−2020\displaystyle 2000*20=2020-2020
  4. Diferența a două numere egale este 0\displaystyle 0, deci 2000∗20=0\displaystyle 2000*20=0, ceea ce trebuia arătat.
    2000∗20=0\displaystyle 2000*20=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−2020\displaystyle x*y=x+y-2020.

Arătați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este asociativă dacă pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R} avem (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z). Calculăm separat cei doi membri, începând cu primul. Mai întâi înlocuim x∗y\displaystyle x*y cu x+y−2020\displaystyle x+y-2020.
    (x∗y)∗z=(x+y−2020)∗z\displaystyle (x*y)*z=(x+y-2020)*z
  2. Aplicăm definiția legii pentru numerele x+y−2020\displaystyle x+y-2020 și z\displaystyle z: le adunăm și scădem 2020\displaystyle 2020. Reducem termenii asemenea și obținem x+y+z−4040\displaystyle x+y+z-4040.
    (x∗y)∗z=(x+y−2020)+z−2020=x+y+z−4040\displaystyle (x*y)*z=(x+y-2020)+z-2020=x+y+z-4040
  3. Trecem la al doilea membru. Mai întâi înlocuim y∗z\displaystyle y*z cu y+z−2020\displaystyle y+z-2020.
    x∗(y∗z)=x∗(y+z−2020)\displaystyle x*(y*z)=x*(y+z-2020)
  4. Aplicăm definiția legii pentru numerele x\displaystyle x și y+z−2020\displaystyle y+z-2020: le adunăm și scădem 2020\displaystyle 2020. După reducerea termenilor obținem tot x+y+z−4040\displaystyle x+y+z-4040.
    x∗(y∗z)=x+(y+z−2020)−2020=x+y+z−4040\displaystyle x*(y*z)=x+(y+z-2020)-2020=x+y+z-4040
  5. Cele două rezultate coincid pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}, deci legea de compoziție „∗\displaystyle *” este asociativă.
    x∗(y∗z)=x+y+z−4040=(x∗y)∗z, deci legea de \displaystyle x*(y*z)=x+y+z-4040=(x*y)*z\text{, deci legea de }compoziție „∗” este asociativa˘\displaystyle \text{compoziție „}*\text{” este asociativă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−2020\displaystyle x*y=x+y-2020.

Demonstrați că a∗(a+2020)=(a+1010)∗(a+1010)\displaystyle a*(a+2020)=(a+1010)*(a+1010), pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem definiția legii: pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, x∗y=x+y−2020\displaystyle x*y=x+y-2020. Vom calcula separat membrul stâng și membrul drept, apoi le comparăm.
    x∗y=x+y−2020\displaystyle x*y=x+y-2020
  2. Calculăm membrul stâng: în definiție înlocuim x\displaystyle x cu a\displaystyle a și y\displaystyle y cu a+2020\displaystyle a+2020.
    a∗(a+2020)=a+(a+2020)−2020\displaystyle a*(a+2020)=a+(a+2020)-2020
  3. Reducem termenii: +2020\displaystyle +2020 și −2020\displaystyle -2020 se anulează, iar a+a=2a\displaystyle a+a=2a.
    a∗(a+2020)=2a\displaystyle a*(a+2020)=2a
  4. Calculăm membrul drept: în definiție înlocuim atât x\displaystyle x, cât și y\displaystyle y cu a+1010\displaystyle a+1010.
    (a+1010)∗(a+1010)=(a+1010)+(a+1010)−2020\displaystyle (a+1010)*(a+1010)=(a+1010)+(a+1010)-2020
  5. Adunăm termenii: 1010+1010=2020\displaystyle 1010+1010=2020, iar acesta se reduce cu −2020\displaystyle -2020, deci rămâne 2a\displaystyle 2a.
    (a+1010)∗(a+1010)=2a+2020−2020=2a\displaystyle (a+1010)*(a+1010)=2a+2020-2020=2a
  6. Ambii membri sunt egali cu 2a\displaystyle 2a, deci egalitatea este adevărată pentru orice număr real a\displaystyle a.
    (a+1010)∗(a+1010)=2a=a∗(a+2020), pentru orice numa˘r real a\displaystyle (a+1010)*(a+1010)=2a=a*(a+2020)\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−2020\displaystyle x*y=x+y-2020.

Determinați numărul real x\displaystyle x, știind că 4x∗2x=−2014\displaystyle 4^{x}*2^{x}=-2014.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii: 4x∗2x=4x+2x−2020\displaystyle 4^{x}*2^{x}=4^{x}+2^{x}-2020. Ecuația devine 4x+2x−2020=−2014\displaystyle 4^{x}+2^{x}-2020=-2014.
    4x+2x−2020=−2014\displaystyle 4^{x}+2^{x}-2020=-2014
  2. Adunăm 2014\displaystyle 2014 în ambii membri: 4x+2x−2020+2014=0\displaystyle 4^{x}+2^{x}-2020+2014=0, deci obținem ecuația de mai jos.
    4x+2x−6=0\displaystyle 4^{x}+2^{x}-6=0
  3. Deoarece 4x=(2x)2\displaystyle 4^{x}=\left(2^{x}\right)^{2}, notăm t=2x\displaystyle t=2^{x}, cu t>0\displaystyle t>0. Ecuația devine t2+t−6=0\displaystyle t^{2}+t-6=0, iar rădăcinile sunt t=2\displaystyle t=2 și t=−3\displaystyle t=-3, deci t2+t−6=(t+3)(t−2)\displaystyle t^{2}+t-6=(t+3)(t-2).
    (2x+3)(2x−2)=0\displaystyle (2^{x}+3)(2^{x}-2)=0
  4. Cum 2x>0\displaystyle 2^{x}>0, avem 2x+3>0\displaystyle 2^{x}+3>0, deci acest factor nu se anulează. Rămâne 2x−2=0\displaystyle 2^{x}-2=0, adică 2x=2\displaystyle 2^{x}=2.
    2x=2\displaystyle 2^{x}=2
  5. Din 2x=21\displaystyle 2^{x}=2^{1} rezultă x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−2020\displaystyle x*y=x+y-2020.

Determinați cel mai mare număr natural n\displaystyle n pentru care n∗n≤n\displaystyle n*n\leq n.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în definiția legii x∗y=x+y−2020\displaystyle x*y=x+y-2020 pe x=n\displaystyle x=n și y=n\displaystyle y=n, deci n∗n=n+n−2020\displaystyle n*n=n+n-2020. Inegalitatea n∗n≤n\displaystyle n*n\leq n devine n+n−2020≤n\displaystyle n+n-2020\leq n.
    n+n−2020≤n\displaystyle n+n-2020\leq n
  2. În partea stângă avem n+n=2n\displaystyle n+n=2n, deci inegalitatea se scrie 2n−2020≤n\displaystyle 2n-2020\leq n.
    2n−2020≤n\displaystyle 2n-2020\leq n
  3. Scădem n\displaystyle n din ambii membri și adunăm 2020\displaystyle 2020 la ambii membri. Obținem 2n−n≤2020\displaystyle 2n-n\leq 2020, adică n≤2020\displaystyle n\leq 2020.
    n≤2020\displaystyle n\leq 2020
  4. Numerele naturale care îndeplinesc condiția n≤2020\displaystyle n\leq 2020 sunt 0,1,…,2020\displaystyle 0,1,\dots,2020. Cel mai mare este 2020\displaystyle 2020. Verificare: 2020∗2020=2020+2020−2020=2020≤2020\displaystyle 2020*2020=2020+2020-2020=2020\leq 2020.
    n=2020\displaystyle n=2020
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−2020\displaystyle x*y=x+y-2020.

Arătați că numărul 23−5∗23+5\displaystyle \frac{2}{3-\sqrt{5}}*\frac{2}{3+\sqrt{5}} este întreg.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=x+y−2020\displaystyle x*y=x+y-2020, cu x=23−5\displaystyle x=\dfrac{2}{3-\sqrt{5}} și y=23+5\displaystyle y=\dfrac{2}{3+\sqrt{5}}.
    23−5∗23+5=23−5+23+5−2020\displaystyle \frac{2}{3-\sqrt{5}}*\frac{2}{3+\sqrt{5}}=\frac{2}{3-\sqrt{5}}+\frac{2}{3+\sqrt{5}}-2020
  2. Numitorul comun este produsul numitorilor. Cu formula diferenței de pătrate: (3−5)(3+5)=32−(5)2=9−5=4\displaystyle (3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})=3^{2}-(\sqrt{5})^{2}=9-5=4.
    (3−5)(3+5)=9−5=4\displaystyle (3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})=9-5=4
  3. Amplificăm prima fracție cu 3+5\displaystyle 3+\sqrt{5} și a doua cu 3−5\displaystyle 3-\sqrt{5}, apoi adunăm fracțiile.
    23−5+23+5=2(3+5)+2(3−5)4\displaystyle \frac{2}{3-\sqrt{5}}+\frac{2}{3+\sqrt{5}}=\frac{2(3+\sqrt{5})+2(3-\sqrt{5})}{4}
  4. La numărător, termenii cu radical se reduc: 6+25+6−25=12\displaystyle 6+2\sqrt{5}+6-2\sqrt{5}=12, deci fracția este 124=3\displaystyle \dfrac{12}{4}=3. Apoi scădem 2020.
    2(3+5)+2(3−5)4−2020=3−2020=−2017, care este numa˘r ıˆntreg\displaystyle \frac{2(3+\sqrt{5})+2(3-\sqrt{5})}{4}-2020=3-2020=-2017\text{, care este număr întreg}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1333)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\3&3\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=−6\displaystyle \det A=-6.
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim formula determinantului de ordin 2: pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} avem det⁡=a⋅d−b⋅c\displaystyle \det=a\cdot d-b\cdot c.
    ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c
  2. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A și aplicăm formula, cu a=1\displaystyle a=1, b=3\displaystyle b=3, c=3\displaystyle c=3, d=3\displaystyle d=3.
    det⁡A=∣1333∣=1⋅3−3⋅3\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&3\\3&3\end{vmatrix}=1\cdot 3-3\cdot 3
  3. Efectuăm înmulțirile: 1⋅3=3\displaystyle 1\cdot 3=3, iar 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9. Apoi scădem și obținem 3−9=−6\displaystyle 3-9=-6, deci det⁡A=−6\displaystyle \det A=-6.
    3−9=−6\displaystyle 3-9=-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1333)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\3&3\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că A⋅B=I2\displaystyle A\cdot B=I_2, unde matricea B=(−121212−16)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{6}\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că A⋅B=I2\displaystyle A\cdot B=I_2, calculăm produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B. Elementul de pe linia i\displaystyle i, coloana j\displaystyle j se obține înmulțind linia i\displaystyle i din A\displaystyle A cu coloana j\displaystyle j din B\displaystyle B și adunând produsele.
    A⋅B=(1333)⋅(−121212−16)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}1&3\\3&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{6}\end{pmatrix}
  2. Scriem fiecare element al produsului ca sumă de două produse, după regula linie pe coloană.
    A⋅B=(1⋅(−12)+3⋅121⋅12+3⋅(−16)3⋅(−12)+3⋅123⋅12+3⋅(−16))\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}1\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+3\cdot\frac{1}{2}&1\cdot\frac{1}{2}+3\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)\\3\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+3\cdot\frac{1}{2}&3\cdot\frac{1}{2}+3\cdot\left(-\frac{1}{6}\right)\end{pmatrix}
  3. Calculăm produsele din fiecare sumă și simplificăm. Pe prima linie avem −12+32=1\displaystyle -\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=1, apoi 12−12=0\displaystyle \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0. Pe a doua linie avem −32+32=0\displaystyle -\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}=0, apoi 32−12=1\displaystyle \dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=1.
    A⋅B=(−12+3212−12−32+3232−12)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}&\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}&\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\end{pmatrix}
  4. Obținem matricea cu 1\displaystyle 1 pe diagonala principală și 0\displaystyle 0 în rest, adică matricea unitate de ordin 2\displaystyle 2. Deci A⋅B=I2\displaystyle A\cdot B=I_2.
    A⋅B=(1001)=I2\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1333)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\3&3\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că A⋅A−4A=6I2\displaystyle A\cdot A-4A=6I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind linie cu coloană. Elementul din poziția (1,1)\displaystyle (1,1) este 1⋅1+3⋅3=10\displaystyle 1\cdot 1+3\cdot 3=10.
    1⋅1+3⋅3=10\displaystyle 1\cdot 1+3\cdot 3=10
  2. Elementul din poziția (1,2)\displaystyle (1,2) este 1⋅3+3⋅3=12\displaystyle 1\cdot 3+3\cdot 3=12, la fel și cel din poziția (2,1)\displaystyle (2,1), 3⋅1+3⋅3=12\displaystyle 3\cdot 1+3\cdot 3=12, iar elementul din poziția (2,2)\displaystyle (2,2) este 3⋅3+3⋅3=18\displaystyle 3\cdot 3+3\cdot 3=18.
    A⋅A=(10121218)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}10&12\\12&18\end{pmatrix}
  3. Calculăm 4A\displaystyle 4A, înmulțind fiecare element al matricei A\displaystyle A cu 4\displaystyle 4.
    4A=(4121212)\displaystyle 4A=\begin{pmatrix}4&12\\12&12\end{pmatrix}
  4. Scădem cele două matrice element cu element: 10−4=6\displaystyle 10-4=6, 12−12=0\displaystyle 12-12=0, 12−12=0\displaystyle 12-12=0, 18−12=6\displaystyle 18-12=6.
    A⋅A−4A=(10121218)−(4121212)=(6006)\displaystyle A\cdot A-4A=\begin{pmatrix}10&12\\12&18\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}4&12\\12&12\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&0\\0&6\end{pmatrix}
  5. Matricea obținută are 6\displaystyle 6 pe diagonala principală și 0\displaystyle 0 în rest, deci este 6\displaystyle 6 înmulțit cu matricea unitate I2\displaystyle I_2. Egalitatea este demonstrată.
    (6006)=6I2, deci A⋅A−4A=6I2\displaystyle \begin{pmatrix}6&0\\0&6\end{pmatrix}=6I_2\text{, deci }A\cdot A-4A=6I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1333)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\3&3\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x, știind că det⁡(A−xI2)=−1\displaystyle \det(A-xI_2)=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Avem xI2=(x00x)\displaystyle xI_2=\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}. Scădem din A\displaystyle A element cu element.
    A−xI2=(1−x333−x)\displaystyle A-xI_2=\begin{pmatrix}1-x&3\\3&3-x\end{pmatrix}
  2. Determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A−xI2)=(1−x)(3−x)−3⋅3\displaystyle \det(A-xI_2)=(1-x)(3-x)-3\cdot 3.
    det⁡(A−xI2)=(1−x)(3−x)−9\displaystyle \det(A-xI_2)=(1-x)(3-x)-9
  3. Desfacem parantezele: (1−x)(3−x)=3−x−3x+x2=x2−4x+3\displaystyle (1-x)(3-x)=3-x-3x+x^{2}=x^{2}-4x+3. Apoi scădem 9 și reducem termenii asemenea, pentru orice x\displaystyle x real.
    det⁡(A−xI2)=x2−4x+3−9=x2−4x−6\displaystyle \det(A-xI_2)=x^{2}-4x+3-9=x^{2}-4x-6
  4. Din condiția det⁡(A−xI2)=−1\displaystyle \det(A-xI_2)=-1 obținem x2−4x−6=−1\displaystyle x^{2}-4x-6=-1. Adunăm 1 în ambii membri.
    x2−4x−6=−1⇔x2−4x−5=0\displaystyle x^{2}-4x-6=-1\Leftrightarrow x^{2}-4x-5=0
  5. Discriminantul este Δ=(−4)2−4⋅1⋅(−5)=16+20=36\displaystyle \Delta=(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot(-5)=16+20=36, deci x=4±62\displaystyle x=\dfrac{4\pm 6}{2}. Obținem x=4−62=−1\displaystyle x=\dfrac{4-6}{2}=-1 și x=4+62=5\displaystyle x=\dfrac{4+6}{2}=5.
    x=−1 sau x=5\displaystyle x=-1\text{ sau }x=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1333)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\3&3\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că A⋅A⋅A=aA+24I2\displaystyle A\cdot A\cdot A=aA+24I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind linie cu coloană: 1⋅1+3⋅3=10\displaystyle 1\cdot1+3\cdot3=10, 1⋅3+3⋅3=12\displaystyle 1\cdot3+3\cdot3=12, 3⋅3+3⋅3=18\displaystyle 3\cdot3+3\cdot3=18.
    A⋅A=(10121218)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}10&12\\12&18\end{pmatrix}
  2. Scriem A⋅A\displaystyle A\cdot A sub forma 4A+6I2\displaystyle 4A+6I_2: calculăm 4A+6I2=(4121212)+(6006)\displaystyle 4A+6I_2=\begin{pmatrix}4&12\\12&12\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}6&0\\0&6\end{pmatrix} și obținem aceeași matrice.
    A⋅A=4A+6I2=(10121218)\displaystyle A\cdot A=4A+6I_2=\begin{pmatrix}10&12\\12&18\end{pmatrix}
  3. Scriem A⋅A⋅A=(A⋅A)⋅A\displaystyle A\cdot A\cdot A=(A\cdot A)\cdot A, înlocuim A⋅A\displaystyle A\cdot A cu 4A+6I2\displaystyle 4A+6I_2 și folosim faptul că I2⋅A=A\displaystyle I_2\cdot A=A.
    (A⋅A)⋅A=(4A+6I2)⋅A=4A⋅A+6A\displaystyle (A\cdot A)\cdot A=(4A+6I_2)\cdot A=4A\cdot A+6A
  4. Înlocuim încă o dată A⋅A\displaystyle A\cdot A cu 4A+6I2\displaystyle 4A+6I_2, apoi desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: 16A+6A=22A\displaystyle 16A+6A=22A.
    4A⋅A+6A=4(4A+6I2)+6A=16A+24I2+6A=22A+24I2\displaystyle 4A\cdot A+6A=4(4A+6I_2)+6A=16A+24I_2+6A=22A+24I_2
  5. Egalăm cu aA+24I2\displaystyle aA+24I_2. Termenii cu I2\displaystyle I_2 coincid, deci coeficienții lui A\displaystyle A sunt egali, iar a=22\displaystyle a=22.
    22A+24I2=aA+24I2⇔a=22\displaystyle 22A+24I_2=aA+24I_2\Leftrightarrow a=22
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1333)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&3\\3&3\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b pentru care A⋅X=X⋅A\displaystyle A\cdot X=X\cdot A, unde X=(21ab)\displaystyle X=\begin{pmatrix}2&1\\a&b\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅X\displaystyle A\cdot X, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui X\displaystyle X: prima linie dă 1⋅2+3⋅a\displaystyle 1\cdot 2+3\cdot a și 1⋅1+3⋅b\displaystyle 1\cdot 1+3\cdot b, a doua linie dă 3⋅2+3⋅a\displaystyle 3\cdot 2+3\cdot a și 3⋅1+3⋅b\displaystyle 3\cdot 1+3\cdot b.
    A⋅X=(2+3a1+3b6+3a3+3b)\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}2+3a&1+3b\\6+3a&3+3b\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul X⋅A\displaystyle X\cdot A, înmulțind liniile lui X\displaystyle X cu coloanele lui A\displaystyle A: prima linie dă 2⋅1+1⋅3\displaystyle 2\cdot 1+1\cdot 3 și 2⋅3+1⋅3\displaystyle 2\cdot 3+1\cdot 3, a doua linie dă a⋅1+b⋅3\displaystyle a\cdot 1+b\cdot 3 și a⋅3+b⋅3\displaystyle a\cdot 3+b\cdot 3.
    A⋅X=(2+3a1+3b6+3a3+3b)\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}2+3a&1+3b\\6+3a&3+3b\end{pmatrix}, X⋅A=(59a+3b3a+3b)\displaystyle \ X\cdot A=\begin{pmatrix}5&9\\a+3b&3a+3b\end{pmatrix}
  3. Egalăm cele două matrice element cu element și obținem patru ecuații.
    {2+3a=51+3b=96+3a=a+3b3+3b=3a+3b\displaystyle \begin{cases}2+3a=5\\1+3b=9\\6+3a=a+3b\\3+3b=3a+3b\end{cases}
  4. Din prima ecuație, 3a=3\displaystyle 3a=3, deci a=1\displaystyle a=1. Din a doua ecuație, 3b=8\displaystyle 3b=8, deci b=83\displaystyle b=\dfrac{8}{3}.
    a=1\displaystyle a=1, b=83\displaystyle \ b=\frac{8}{3}
  5. Verificăm ultimele două ecuații. A treia: 6+3⋅1=9\displaystyle 6+3\cdot 1=9 și 1+3⋅83=9\displaystyle 1+3\cdot\dfrac{8}{3}=9. A patra: 3+8=11\displaystyle 3+8=11 și 3+8=11\displaystyle 3+8=11. Ambele sunt adevărate, deci valorile convin.
    a=1 și b=83, care convin\displaystyle a=1\text{ și }b=\frac{8}{3}\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.