Bac matematică M4 pedagogic 2023, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (25)−1+212=5\displaystyle \left(\dfrac{2}{5}\right)^{-1} + 2\dfrac{1}{2} = 5.
Vezi rezolvarea
  1. Se aplică regula puterii cu exponent negativ: pentru orice fracție nenulă, ridicarea la puterea −1\displaystyle -1 înseamnă inversarea fracției.
    (ab)−1=ba\displaystyle \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-1}=\dfrac{b}{a}
  2. Se aplică regula de mai sus pentru fracția 25\displaystyle \dfrac{2}{5}, inversând numărătorul cu numitorul.
    (25)−1=52\displaystyle \left(\dfrac{2}{5}\right)^{-1}=\dfrac{5}{2}
  3. Se transformă numărul mixt 2\displaystyle 2 întreg 12\displaystyle \dfrac{1}{2} în fracție ordinară: se înmulțește partea întreagă cu numitorul, se adună numărătorul, iar rezultatul se pune peste același numitor.
    212=2⋅2+12=52\displaystyle 2\dfrac{1}{2}=\dfrac{2\cdot 2+1}{2}=\dfrac{5}{2}
  4. Se centralizează rezultatele obținute pentru fiecare termen al sumei.
    (25)−1=52\displaystyle \left(\dfrac{2}{5}\right)^{-1}=\dfrac{5}{2}, 212=52\displaystyle \ 2\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}
  5. Se adună cele două fracții obținute, care au același numitor, adunând numărătorii.
    52+52=5+52=102\displaystyle \dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2}=\dfrac{5+5}{2}=\dfrac{10}{2}
  6. Se simplifică fracția obținută, ajungând astfel la rezultatul final cerut de enunț.
    (25)−1+212=52+52=5\displaystyle \left(\dfrac{2}{5}\right)^{-1}+2\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}+\dfrac{5}{2}=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+1\displaystyle f(x)=x+1. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)\displaystyle f(a) este media aritmetică a numerelor f(1)\displaystyle f(1) și f(5)\displaystyle f(5).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției f\displaystyle f aplicată în punctul a\displaystyle a, folosind formula f(x)=x+1\displaystyle f(x)=x+1.
    f(a)=a+1\displaystyle f(a)=a+1
  2. Se calculează f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x=1\displaystyle x=1 în formula funcției.
    f(1)=1+1=2\displaystyle f(1)=1+1=2
  3. Se calculează f(5)\displaystyle f(5) înlocuind x=5\displaystyle x=5 în formula funcției.
    f(5)=5+1=6\displaystyle f(5)=5+1=6
  4. Se scrie condiția din enunț: f(a)\displaystyle f(a) este media aritmetică a numerelor f(1)\displaystyle f(1) și f(5)\displaystyle f(5), adică f(a)=f(1)+f(5)2\displaystyle f(a) = \dfrac{f(1)+f(5)}{2}.
    f(a)=f(1)+f(5)2\displaystyle f(a)=\dfrac{f(1)+f(5)}{2}
  5. Se înlocuiesc valorile calculate anterior în ecuație și se rezolvă pentru a\displaystyle a.
    a+1=2+62, de unde obținem a=3\displaystyle a+1=\dfrac{2+6}{2}\text{, de unde obținem }a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x−1+3=5\displaystyle 2\sqrt{x-1}+3=5.
Vezi rezolvarea
  1. Se stabilește domeniul de definiție al ecuației: expresia de sub radical trebuie să fie nenegativă.
    x−1≥0⇒x≥1\displaystyle x-1\geq 0\Rightarrow x\geq 1
  2. Se izolează radicalul, trecând termenul liber în membrul drept, apoi se simplifică prin 2 pentru a obține ecuația fără radical (după ridicare la pătrat).
    2x−1=2, de unde obținem x−1=1\displaystyle 2\sqrt{x-1}=2\text{, de unde obținem }x-1=1
  3. Se rezolvă ecuația liniară obținută pentru a afla valoarea lui x\displaystyle x.
    x=1+1=2\displaystyle x=1+1=2
  4. Se verifică soluția în ecuația inițială: x=2\displaystyle x=2 respectă domeniul (x≥1\displaystyle x\geq 1) și înlocuind se obține 22−1+3=2⋅1+3=5\displaystyle 2\sqrt{2-1}+3=2\cdot1+3=5, adevărat, deci soluția convine.
    x=2, care convine\displaystyle x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea M={1,2,3,...,2022}\displaystyle M=\{1,2,3,...,2022\}, acesta să fie multiplu de 2\displaystyle 2.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică mulțimea din care se face alegerea și se determină numărul total de elemente (cazuri posibile).
    M={1,2,3,…,2022}\displaystyle M=\{1,2,3,\ldots,2022\}
  2. Se numără elementele mulțimii M\displaystyle M, adică numărul de cazuri posibile.
    2022 cazuri posibile\displaystyle 2022\text{ cazuri posibile}
  3. Se identifică elementele mulțimii M\displaystyle M care sunt multipli de 2, adică numerele pare din 1 până la 2022.
    2\displaystyle 2,4\displaystyle 4,6\displaystyle 6,…\displaystyle \ldots,2022\displaystyle 2022
  4. Se calculează numărul de termeni ai șirului numerelor pare de la 2 la 2022, folosind formula termenului general al unei progresii aritmetice cu rația 2.
    n=2022−22+1=1011\displaystyle n=\dfrac{2022-2}{2}+1=1011
  5. Se stabilește numărul de cazuri favorabile (multiplii de 2 din M\displaystyle M) și se calculează probabilitatea ca raport dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile.
    1011 cazuri favorabile, p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=12\displaystyle 1011\text{ cazuri favorabile, }p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,3)\displaystyle A(1,3), B(−2,−1)\displaystyle B(-2,-1) și C(1,−1)\displaystyle C(1,-1). Arătați că triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula distanței dintre două puncte, care va fi folosită pentru calculul lungimilor laturilor triunghiului.
    d(M,N)=(xN−xM)2+(yN−yM)2\displaystyle d(M,N)=\sqrt{(x_N-x_M)^2+(y_N-y_M)^2}
  2. Se calculează lungimea laturii AB\displaystyle AB folosind coordonatele punctelor A(1,3)\displaystyle A(1,3) și B(−2,−1)\displaystyle B(-2,-1).
    AB=(−2−1)2+(−1−3)2=9+16=25=5\displaystyle AB=\sqrt{(-2-1)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
  3. Se calculează lungimea laturii BC\displaystyle BC folosind coordonatele punctelor B(−2,−1)\displaystyle B(-2,-1) și C(1,−1)\displaystyle C(1,-1).
    BC=(1−(−2))2+(−1−(−1))2=9+0=9=3\displaystyle BC=\sqrt{(1-(-2))^2+(-1-(-1))^2}=\sqrt{9+0}=\sqrt{9}=3
  4. Se calculează lungimea laturii AC\displaystyle AC folosind coordonatele punctelor A(1,3)\displaystyle A(1,3) și C(1,−1)\displaystyle C(1,-1).
    AC=(1−1)2+(−1−3)2=0+16=16=4\displaystyle AC=\sqrt{(1-1)^2+(-1-3)^2}=\sqrt{0+16}=\sqrt{16}=4
  5. Se centralizează rezultatele obținute pentru lungimile celor trei laturi ale triunghiului.
    BC=3\displaystyle BC=3, AC=4\displaystyle \ AC=4, AB=5\displaystyle \ AB=5
  6. Se verifică reciproca teoremei lui Pitagora, comparând pătratul celei mai mari laturi (AB\displaystyle AB) cu suma pătratelor celorlalte două laturi (BC\displaystyle BC și AC\displaystyle AC).
    BC2+AC2=32+42=9+16=25=AB2\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=3^{2}+4^{2}=9+16=25=AB^{2}
  7. Deoarece relația lui Pitagora este verificată, se concluzionează că triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic, unghiul drept fiind format de laturile BC\displaystyle BC și AC\displaystyle AC, adică unghiul din vârful C\displaystyle C.
    BC2+AC2=AB2, deci triunghiul ABC este dreptunghic ıˆn C\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}\text{, deci triunghiul }ABC\text{ este dreptunghic în }C
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Lungimea razei cercului circumscris triunghiului ABC\displaystyle ABC este 5\displaystyle 5, iar BC=10\displaystyle BC=10. Calculați sin⁡A\displaystyle \sin A.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie teorema sinusurilor pentru triunghiul ABC\displaystyle ABC, care leagă latura BC\displaystyle BC de sinusul unghiului opus A\displaystyle A și de raza cercului circumscris R\displaystyle R.
    BCsin⁡A=2R\displaystyle \dfrac{BC}{\sin A}=2R
  2. Se înlocuiesc valorile date în enunț: BC=10\displaystyle BC=10 și R=5\displaystyle R=5.
    10sin⁡A=2⋅5\displaystyle \dfrac{10}{\sin A}=2\cdot 5
  3. Se calculează produsul din membrul drept al egalității.
    10sin⁡A=10\displaystyle \dfrac{10}{\sin A}=10
  4. Se izolează sin⁡A\displaystyle \sin A, împărțind ambii membri prin 10\displaystyle 10, obținând valoarea finală.
    sin⁡A=1\displaystyle \sin A=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy+8(x+y)+56\displaystyle x\circ y = xy + 8(x+y) + 56.

Arătați că (−5)∘(−6)=−2\displaystyle (-5)\circ(-6) = -2.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică valorile x=−5\displaystyle x=-5 și y=−6\displaystyle y=-6 care trebuie înlocuite în legea de compoziție dată.
    x=−5\displaystyle x=-5, y=−6\displaystyle \ y=-6
  2. Se scrie formula legii de compoziție și se înlocuiesc valorile lui x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    (−5)∘(−6)=(−5)⋅(−6)+8(−5−6)+56=\displaystyle (-5)\circ(-6)=(-5)\cdot(-6)+8(-5-6)+56=
  3. Se calculează produsul (−5)⋅(−6)\displaystyle (-5)\cdot(-6) și suma din paranteză (−5−6)\displaystyle (-5-6).
    (−5)⋅(−6)=30 și −5−6=−11\displaystyle (-5)\cdot(-6)=30\text{ și }-5-6=-11
  4. Se înmulțește 8\displaystyle 8 cu suma obținută la pasul anterior.
    8⋅(−11)=−88\displaystyle 8\cdot(-11)=-88
  5. Se înlocuiesc rezultatele parțiale în expresie și se efectuează adunările/scăderile finale.
    =30−88+56=−2\displaystyle =30-88+56=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy+8(x+y)+56\displaystyle x\circ y = xy + 8(x+y) + 56.

Demonstrați că x∘y=(x+8)(y+8)−8\displaystyle x\circ y = (x+8)(y+8) - 8, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la legea de compoziție dată în enunț.
    x∘y=xy+8(x+y)+56\displaystyle x\circ y=xy+8(x+y)+56
  2. Desfacem paranteza, distribuind pe 8 la x+y\displaystyle x+y.
    x∘y=xy+8x+8y+56\displaystyle x\circ y=xy+8x+8y+56
  3. Scriem 56 ca 64−8\displaystyle 64-8, pentru a putea forma ulterior produsul (x+8)(y+8)\displaystyle (x+8)(y+8).
    x∘y=xy+8x+8y+64−8\displaystyle x\circ y=xy+8x+8y+64-8
  4. Grupăm termenii xy+8x\displaystyle xy+8x și 8y+64\displaystyle 8y+64, scoțând factori comuni: x\displaystyle x din primii doi termeni și 8 din ultimii doi.
    x∘y=x(y+8)+8(y+8)−8\displaystyle x\circ y=x(y+8)+8(y+8)-8
  5. Observăm factorul comun (y+8)\displaystyle (y+8) și scriem expresia sub formă factorizată, obținând forma finală valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    =x(y+8)+8(y+8)−8=(x+8)(y+8)−8, pentru orice numere \displaystyle =x(y+8)+8(y+8)-8=(x+8)(y+8)-8\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy+8(x+y)+56\displaystyle x\circ y = xy + 8(x+y) + 56.

Arătați că e=−7\displaystyle e=-7 este elementul neutru al legii de compoziție ∘\displaystyle \circ.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată în enunț.
    x∘y=xy+8(x+y)+56\displaystyle x\circ y = xy + 8(x+y) + 56
  2. Se observă că expresia legii de compoziție poate fi scrisă sub formă factorizată, dezvoltând produsul (x+8)(y+8)\displaystyle (x+8)(y+8) și comparând cu forma dată.
    xy+8(x+y)+56=(x+8)(y+8)−8, deci x∘y=(x+8)(y+8)−8\displaystyle xy + 8(x+y) + 56 = (x+8)(y+8) - 8\text{, deci }x\circ y = (x+8)(y+8)-8
  3. Pentru a determina elementul neutru e\displaystyle e, se pune condiția x∘e=x\displaystyle x\circ e=x, valabilă pentru orice x\displaystyle x real, folosind forma factorizată a legii.
    (x+8)(e+8)−8=x, pentru orice x∈R\displaystyle (x+8)(e+8)-8=x\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
  4. Se aduce ecuația la forma (x+8)(e+8)=x+8\displaystyle (x+8)(e+8)=x+8 și, cum aceasta trebuie să fie adevărată pentru orice x real, rezultă că factorul (e+8)\displaystyle (e+8) trebuie să fie egal cu 1\displaystyle 1.
    (x+8)(e+8)=x+8⇒e+8=1⇒e=−7\displaystyle (x+8)(e+8)=x+8\Rightarrow e+8=1\Rightarrow e=-7
  5. Se verifică relația x∘e=x\displaystyle x\circ e=x pentru e=−7\displaystyle e=-7, folosind forma factorizată a legii de compoziție.
    x∘(−7)=(x+8)(−7+8)−8=x+8−8=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x\circ(-7)=(x+8)(-7+8)-8=x+8-8=x\text{, pentru orice număr real }x
  6. Se verifică și relația e∘x=x\displaystyle e\circ x=x pentru e=−7\displaystyle e=-7, folosind forma factorizată a legii de compoziție, confirmând astfel că e=−7\displaystyle e=-7 este elementul neutru al legii.
    (−7)∘x=(−7+8)(x+8)−8=x+8−8=x, pentru orice numa˘r real x, deci e=−7 este elementul neutru al \displaystyle (-7)\circ x=(-7+8)(x+8)-8=x+8-8=x\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }e=-7\text{ este elementul neutru al }legii de compoziție ∘\displaystyle \text{legii de compoziție }\circ
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy+8(x+y)+56\displaystyle x\circ y = xy + 8(x+y) + 56.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația x∘(x+2)≤−8\displaystyle x\circ(x+2)\le -8.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție în forma factorizată, observând că x∘y=xy+8(x+y)+56\displaystyle x\circ y = xy+8(x+y)+56 se poate scrie ca (x+8)(y+8)−8\displaystyle (x+8)(y+8)-8, deoarece (x+8)(y+8)=xy+8x+8y+64\displaystyle (x+8)(y+8) = xy+8x+8y+64.
    x∘y=(x+8)(y+8)−8\displaystyle x\circ y = (x+8)(y+8)-8
  2. Se aplică forma factorizată pentru x∘(x+2)\displaystyle x\circ(x+2), înlocuind y cu x+2\displaystyle x+2 și calculând y+8=x+10\displaystyle y+8=x+10.
    x∘(x+2)=(x+8)((x+2)+8)−8=(x+8)(x+10)−8\displaystyle x\circ(x+2)=(x+8)\big((x+2)+8\big)-8=(x+8)(x+10)-8
  3. Se scrie inecuația dată folosind expresia obținută la pasul anterior.
    (x+8)(x+10)−8≤−8\displaystyle (x+8)(x+10)-8\le -8
  4. Se adună 8\displaystyle 8 în ambii membri ai inecuației, obținând o inecuație de gradul al doilea sub formă de produs.
    (x+8)(x+10)≤0\displaystyle (x+8)(x+10)\le 0
  5. Se rezolvă inecuația folosind semnul produsului: rădăcinile factorilor sunt x=−8\displaystyle x=-8 și x=−10\displaystyle x=-10, iar produsul este negativ sau nul între rădăcini.
    x∈[−10,−8]\displaystyle x\in[-10,-8]
  6. Se scrie concluzia finală, echivalentă cu forma cerută de barem, evidențiind echivalențele succesive ale inecuației.
    (x+8)(x+10)−8≤−8⇔(x+8)(x+10)≤0, de unde obținem x∈[−10,−8]\displaystyle (x+8)(x+10)-8\le -8 \Leftrightarrow (x+8)(x+10)\le 0\text{, de unde obținem }x\in[-10,-8]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy+8(x+y)+56\displaystyle x\circ y = xy + 8(x+y) + 56.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x∘(−7)=16\displaystyle 2^{x}\circ(-7)=16.
Vezi rezolvarea
  1. Determinăm elementul neutru e al legii de compoziție, punând condiția ca x∘e=x\displaystyle x\circ e=x pentru orice x real.
    x∘e=x⇔xe+8(x+e)+56=x\displaystyle x\circ e=x\Leftrightarrow xe+8(x+e)+56=x
  2. Grupăm termenii după x, obținând o egalitate care trebuie să fie adevărată pentru orice x real, ceea ce impune anularea coeficientului lui x și a termenului liber.
    x(e+7)+8e+56=0\displaystyle x(e+7)+8e+56=0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  3. Din anularea coeficientului lui x rezultă valoarea elementului neutru; verificăm că aceeași valoare anulează și termenul liber.
    e+7=0⇒e=−7\displaystyle e+7=0\Rightarrow e=-7,8e+56=8(−7)+56=0\displaystyle \quad 8e+56=8(-7)+56=0
  4. Confirmăm prin calcul direct că −7\displaystyle -7 este elementul neutru al legii de compoziție, adică x∘(−7)=x\displaystyle x\circ(-7)=x pentru orice x real.
    x∘(−7)=x⋅(−7)+8(x−7)+56=−7x+8x−56+56=x\displaystyle x\circ(-7)=x\cdot(-7)+8(x-7)+56=-7x+8x-56+56=x
  5. Aplicăm proprietatea elementului neutru pentru x=2x\displaystyle x=2^{x} (2x\displaystyle 2^{x} este un real oarecare) în ecuația 2x∘(−7)=16\displaystyle 2^{x}\circ(-7)=16, folosind faptul că orice element compus cu −7\displaystyle -7 rămâne neschimbat.
    2x∘(−7)=2x\displaystyle 2^{x}\circ(-7)=2^{x}
  6. Cum membrul stâng al ecuației s-a redus la 2x\displaystyle 2^{x}, iar membrul drept este 16=24\displaystyle 16=2^{4}, obținem o ecuație exponențială simplă, cu soluție unică.
    2x=24, de unde obținem x=4\displaystyle 2^{x}=2^{4}\text{, de unde obținem }x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy+8(x+y)+56\displaystyle x\circ y = xy + 8(x+y) + 56.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care 2(a∘1)=a+(a∘2)\displaystyle 2(a\circ 1) = a + (a\circ 2).
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează a∘1\displaystyle a \circ 1 folosind definiția legii de compoziție: x∘y=xy+8(x+y)+56\displaystyle x \circ y = xy + 8(x+y) + 56, înlocuind x=a\displaystyle x=a, y=1\displaystyle y=1.
    a∘1=a⋅1+8(a+1)+56=a+8a+8+56=9a+64\displaystyle a\circ 1 = a\cdot 1 + 8(a+1) + 56 = a+8a+8+56 = 9a+64
  2. Se calculează a∘2\displaystyle a \circ 2 folosind aceeași definiție, înlocuind x=a\displaystyle x=a, y=2\displaystyle y=2.
    a∘2=a⋅2+8(a+2)+56=2a+8a+16+56=10a+72\displaystyle a\circ 2 = a\cdot 2 + 8(a+2) + 56 = 2a+8a+16+56 = 10a+72
  3. Se centralizează cele două rezultate obținute, care corespund pasului de control din barem.
    a∘1=9a+64\displaystyle a\circ 1=9a+64, a∘2=10a+72\displaystyle \ a\circ 2=10a+72
  4. Se scrie ecuația cerută în enunț, în care intervin a∘1\displaystyle a \circ 1 și a∘2\displaystyle a \circ 2, și se înlocuiesc expresiile calculate anterior.
    2(a∘1)=a∘2+a⇒2(9a+64)=(10a+72)+a\displaystyle 2(a\circ 1) = a\circ 2 + a \Rightarrow 2(9a+64) = (10a+72)+a
  5. Se efectuează calculele din ambii membri ai ecuației, obținându-se ecuația liniară din barem, apoi se rezolvă pentru a\displaystyle a.
    18a+128=11a+72, de unde obținem a=−8\displaystyle 18a+128=11a+72\text{, de unde obținem }a=-8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(0321)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&3\\2&1\end{pmatrix} și M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=−6\displaystyle \det A = -6.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică elementele matricei A pentru calculul determinantului: a=0\displaystyle a=0, b=3\displaystyle b=3, c=2\displaystyle c=2, d=1\displaystyle d=1.
    A=(0321)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&3\\2&1\end{pmatrix}
  2. Se scrie formula determinantului de ordinul doi și se aplică pentru matricea A.
    det⁡A=∣0321∣=0⋅1−2⋅3=\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}0&3\\2&1\end{vmatrix}=0\cdot 1-2\cdot 3=
  3. Se efectuează înmulțirile din formulă.
    0⋅1−2⋅3=0−6\displaystyle 0\cdot 1-2\cdot 3=0-6
  4. Se calculează valoarea finală a determinantului.
    =0−6=−6\displaystyle =0-6=-6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(0321)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&3\\2&1\end{pmatrix} și M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că M(x)=(13x2xx+1)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}1&3x\\2x&x+1\end{pmatrix}, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează matricea xA\displaystyle xA, înmulțind fiecare element al matricei A cu scalarul x\displaystyle x.
    xA=x(0321)=(03x2xx)\displaystyle xA=x\begin{pmatrix}0&3\\2&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&3x\\2x&x\end{pmatrix}
  2. Se scrie M(x)\displaystyle M(x) ca sumă a matricelor I2\displaystyle I_2 și xA\displaystyle xA, folosind rezultatul obținut anterior pentru xA\displaystyle xA.
    M(x)=(1001)+(03x2xx)=\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&3x\\2x&x\end{pmatrix}=
  3. Se adună elementele corespunzătoare ale celor două matrice pentru a obține forma finală a matricei M(x)\displaystyle M(x).
    =(1+00+3x0+2x1+x)\displaystyle =\begin{pmatrix}1+0&0+3x\\0+2x&1+x\end{pmatrix}
  4. Se simplifică rezultatul obținut, scriind forma finală a matricei M(x)\displaystyle M(x), valabilă pentru orice număr real x\displaystyle x.
    =(13x2xx+1), pentru orice numa˘r real x\displaystyle =\begin{pmatrix}1&3x\\2x&x+1\end{pmatrix}\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(0321)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&3\\2&1\end{pmatrix} și M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA, unde x\displaystyle x este număr real. Arătați că suma elementelor matricei B\displaystyle B este pătratul unui număr natural, unde B=(−1)⋅M(−1)⋅M(1)\displaystyle B = (-1)\cdot M(-1)\cdot M(1).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea M(−1)=I2−A\displaystyle M(-1)=I_2-A, scăzând A\displaystyle A din matricea unitate.
    M(−1)=(1−3−20)\displaystyle M(-1)=\begin{pmatrix}1&-3\\-2&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm matricea M(1)=I2+A\displaystyle M(1)=I_2+A, adunând A\displaystyle A la matricea unitate.
    M(1)=(1322)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}1&3\\2&2\end{pmatrix}
  3. Înmulțim M(−1)\displaystyle M(-1) cu M(1)\displaystyle M(1) după regula linie cu coloană: elementul din stânga sus este 1⋅1+(−3)⋅2=−5\displaystyle 1\cdot 1+(-3)\cdot 2=-5, iar cel din dreapta jos este (−2)⋅3+0⋅2=−6\displaystyle (-2)\cdot 3+0\cdot 2=-6.
    M(−1)⋅M(1)=(−5−3−2−6)\displaystyle M(-1)\cdot M(1)=\begin{pmatrix}-5&-3\\-2&-6\end{pmatrix}
  4. Înmulțim produsul cu −1\displaystyle -1, adică schimbăm semnul fiecărui element, și obținem matricea B\displaystyle B.
    B=(5326)\displaystyle B=\begin{pmatrix}5&3\\2&6\end{pmatrix}
  5. Adunăm elementele matricei B\displaystyle B și observăm că suma este 16\displaystyle 16, pătratul numărului natural 4\displaystyle 4.
    5+3+2+6=16=42, care este pa˘tratul \displaystyle 5+3+2+6=16=4^{2}\text{, care este pătratul }numa˘rului natural 4\displaystyle \text{numărului natural }4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(0321)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&3\\2&1\end{pmatrix} și M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(M(x))=0\displaystyle \det(M(x)) = 0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie explicit matricea M(x)=I2+xA\displaystyle M(x) = I_2 + xA, calculând xA\displaystyle xA și adunând element cu element cu I2\displaystyle I_2.
    M(x)=(1001)+(03x2xx)=(13x2x1+x)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&3x\\2x&x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3x\\2x&1+x\end{pmatrix}
  2. Se calculează determinantul matricei M(x)\displaystyle M(x) folosind formula determinantului de ordin 2\displaystyle 2: det⁡=a⋅d−b⋅c\displaystyle \det = a\cdot d - b\cdot c.
    det⁡(M(x))=1⋅(1+x)−3x⋅2x\displaystyle \det(M(x))=1\cdot(1+x)-3x\cdot 2x
  3. Se efectuează calculele și se aduce expresia determinantului la forma finală în funcție de x\displaystyle x.
    det⁡(M(x))=x+1−6x2\displaystyle \det(M(x))=x+1-6x^{2}
  4. Se pune condiția det⁡(M(x))=0\displaystyle \det(M(x)) = 0 și se rearanjează termenii pentru a obține o ecuație de gradul al doilea de forma standard.
    x+1−6x2=0⇔6x2−x−1=0\displaystyle x+1-6x^{2}=0\Leftrightarrow 6x^{2}-x-1=0
  5. Se calculează discriminantul ecuației de gradul al doilea 6x2−x−1=0\displaystyle 6x^2 - x - 1 = 0.
    Δ=(−1)2−4⋅6⋅(−1)=1+24=25\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 6\cdot(-1)=1+24=25
  6. Se calculează rădăcinile ecuației folosind formula x=−b±Δ2a\displaystyle x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} și se obțin cele două soluții.
    6x2−x−1=0, deci x=−13 sau x=12\displaystyle 6x^{2}-x-1=0\text{, deci }x=-\dfrac{1}{3}\text{ sau }x=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(0321)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&3\\2&1\end{pmatrix} și M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că matricea C\displaystyle C este inversabilă, unde C=M(1)−M(2)+M(3)−M(4)\displaystyle C = M(1) - M(2) + M(3) - M(4).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie forma generală a matricei M(x)\displaystyle M(x), folosind definiția M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_{2}+xA, înlocuind elementele matricei A\displaystyle A înmulțite cu x\displaystyle x și adunând I2\displaystyle I_{2}.
    M(x)=(13x2x1+x)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}1&3x\\2x&1+x\end{pmatrix}
  2. Se calculează M(1)\displaystyle M(1), înlocuind x=1\displaystyle x=1 în expresia generală a matricei M(x)\displaystyle M(x).
    M(1)=(1322)\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}1&3\\2&2\end{pmatrix}
  3. Se calculează M(−1)\displaystyle M(-1), înlocuind x=−1\displaystyle x=-1 în expresia generală a matricei M(x)\displaystyle M(x).
    M(−1)=(1−3−20)\displaystyle M(-1)=\begin{pmatrix}1&-3\\-2&0\end{pmatrix}
  4. Se calculează matricea C\displaystyle C ca diferența M(−1)−M(1)\displaystyle M(-1)-M(1), scăzând elementele corespunzătoare ale celor două matrice.
    C=M(−1)−M(1)=(1−1−3−3−2−20−2)=(0−6−4−2)\displaystyle C=M(-1)-M(1)=\begin{pmatrix}1-1&-3-3\\-2-2&0-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-6\\-4&-2\end{pmatrix}
  5. Se calculează determinantul matricei C, folosind formula determinantului pentru o matrice 2x2: det⁡C=c11⋅c22−c12⋅c21\displaystyle \det C = c_{11}\cdot c_{22} - c_{12}\cdot c_{21}.
    det⁡C=0⋅(−2)−(−6)⋅(−4)=0−24=−24\displaystyle \det C=0\cdot(-2)-(-6)\cdot(-4)=0-24=-24
  6. Se compară determinantul obținut cu 0\displaystyle 0 și se concluzionează asupra inversabilității matricei C\displaystyle C.
    det⁡C=−24≠0, deci matricea C este inversabila˘\displaystyle \det C=-24\neq 0\text{, deci matricea }C\text{ este inversabilă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(0321)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&3\\2&1\end{pmatrix} și M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați perechile (a,b)\displaystyle (a,b) de numere naturale pentru care aM(b)+bM(a)=I2\displaystyle aM(b) + bM(a) = I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie explicit matricea M(x)=I2+xA\displaystyle M(x) = I_2 + xA, calculând produsul xA\displaystyle xA și adunând cu I2\displaystyle I_2.
    M(x)=I2+xA=(1001)+(03x2xx)=(13x2x1+x)\displaystyle M(x)=I_2+xA=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&3x\\2x&x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&3x\\2x&1+x\end{pmatrix}
  2. Se particularizează x=a\displaystyle x=a și x=b\displaystyle x=b pentru a obține matricele M(a)\displaystyle M(a) și M(b)\displaystyle M(b).
    M(a)=(13a2a1+a), M(b)=(13b2b1+b)\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}1&3a\\2a&1+a\end{pmatrix}\text{, }M(b)=\begin{pmatrix}1&3b\\2b&1+b\end{pmatrix}
  3. Se calculează bM(a)\displaystyle bM(a), înmulțind fiecare element al matricei M(a)\displaystyle M(a) cu scalarul b\displaystyle b.
    bM(a)=(b3ab2abb+ab)\displaystyle bM(a)=\begin{pmatrix}b&3ab\\2ab&b+ab\end{pmatrix}
  4. Se calculează aM(b)\displaystyle aM(b), înmulțind fiecare element al matricei M(b)\displaystyle M(b) cu scalarul a\displaystyle a.
    aM(b)=(a3ab2aba+ab)\displaystyle aM(b)=\begin{pmatrix}a&3ab\\2ab&a+ab\end{pmatrix}
  5. Se adună cele două matrice obținute, element cu element, pentru a obține expresia lui aM(b)+bM(a)\displaystyle aM(b)+bM(a) în funcție de a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    aM(b)+bM(a)=(a+b6ab4ab2ab+a+b)\displaystyle aM(b)+bM(a)=\begin{pmatrix}a+b&6ab\\4ab&2ab+a+b\end{pmatrix}
  6. Se egalează matricea obținută cu matricea identică I2\displaystyle I_2, ceea ce conduce la un sistem de ecuații format din egalitatea elementelor corespunzătoare.
    (a+b6ab4ab2ab+a+b)=(1001)⇒{a+b=16ab=04ab=02ab+a+b=1\displaystyle \begin{pmatrix}a+b&6ab\\4ab&2ab+a+b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{cases}a+b=1\\6ab=0\\4ab=0\\2ab+a+b=1\end{cases}
  7. Din ecuațiile 6ab=0\displaystyle 6ab=0 și 4ab=0\displaystyle 4ab=0 rezultă ab=0\displaystyle ab=0, deci a=0\displaystyle a=0 sau b=0\displaystyle b=0. Combinând cu a+b=1\displaystyle a+b=1 (a doua și a patra ecuație fiind automat verificate în acest caz), se obțin soluțiile în numere naturale.
    ab=0 și a+b=1⇒(a,b)∈{(0,1),(1,0)}\displaystyle ab=0\text{ și }a+b=1\Rightarrow (a,b)\in\{(0,1),(1,0)\}
  8. Se verifică soluțiile obținute în sistemul inițial, confirmându-se că acestea sunt singurele perechi de numere naturale (a,b)\displaystyle (a,b) care satisfac egalitatea aM(b)+bM(a)=I2\displaystyle aM(b)+bM(a)=I_2.
    (a+b6ab4ab2ab+a+b)=(1001), de unde obținem \displaystyle \begin{pmatrix}a+b&6ab\\4ab&2ab+a+b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\text{, de unde obținem }perechile de numere \displaystyle \text{perechile de numere }naturale (0,1) și (1,0)\displaystyle \text{naturale }(0,1)\text{ și }(1,0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.