Bac matematică M4 pedagogic 2020, model, test de evaluare 3: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 53−32+18+2+4−75=2\displaystyle 5\sqrt{3}-\sqrt{32}+\sqrt{18}+\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{75}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Descompunem radicalii: 32=16⋅2\displaystyle \sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}, 18=9⋅2\displaystyle \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}, 75=25⋅3\displaystyle \sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}, 4=22\displaystyle \sqrt{4}=\sqrt{2^{2}}.
    32=16⋅2\displaystyle \sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}, 18=9⋅2\displaystyle \ \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}, 75=25⋅3\displaystyle \ \sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}, 4=22\displaystyle \ \sqrt{4}=\sqrt{2^{2}}
  2. Scoatem factorii de sub radical: 32=42\displaystyle \sqrt{32}=4\sqrt{2}, 18=32\displaystyle \sqrt{18}=3\sqrt{2}, 75=53\displaystyle \sqrt{75}=5\sqrt{3}, 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2.
    32=42\displaystyle \sqrt{32}=4\sqrt{2}, 18=32\displaystyle \ \sqrt{18}=3\sqrt{2}, 75=53\displaystyle \ \sqrt{75}=5\sqrt{3}, 4=2\displaystyle \ \sqrt{4}=2
  3. Înlocuim în expresia dată: 53−32+18+2+4−75\displaystyle 5\sqrt{3}-\sqrt{32}+\sqrt{18}+\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{75} devine o sumă cu termeni de același fel.
    53−42+32+2+2−53\displaystyle 5\sqrt{3}-4\sqrt{2}+3\sqrt{2}+\sqrt{2}+2-5\sqrt{3}
  4. Grupăm termenii asemenea: cei cu 3\displaystyle \sqrt{3}, cei cu 2\displaystyle \sqrt{2} și termenul liber.
    (53−53)+(−42+32+2)+2\displaystyle \left(5\sqrt{3}-5\sqrt{3}\right)+\left(-4\sqrt{2}+3\sqrt{2}+\sqrt{2}\right)+2
  5. Primul grup este 53−53=0\displaystyle 5\sqrt{3}-5\sqrt{3}=0, al doilea grup este (−4+3+1)2=0\displaystyle (-4+3+1)\sqrt{2}=0. Rămâne 2\displaystyle 2, deci egalitatea este demonstrată.
    (53−53)+(−42+32+2)+2=0+0+2=2\displaystyle \left(5\sqrt{3}-5\sqrt{3}\right)+\left(-4\sqrt{2}+3\sqrt{2}+\sqrt{2}\right)+2=0+0+2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+m\displaystyle f(x)=2x+m, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m, știind că punctul A(1,1)\displaystyle A(1,1) aparține graficului funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(1,1)\displaystyle A(1,1) aparține graficului funcției f\displaystyle f exact atunci când f(1)=1\displaystyle f(1)=1, adică atunci când coordonatele punctului verifică egalitatea y=f(x)\displaystyle y=f(x).
    f(1)=1\displaystyle f(1)=1
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în formula funcției: f(1)=2⋅1+m\displaystyle f(1)=2\cdot 1+m.
    f(1)=2+m\displaystyle f(1)=2+m
  3. Egalăm cu 1\displaystyle 1 expresia obținută pentru f(1)\displaystyle f(1) și rezolvăm ecuația în m\displaystyle m: 2+m=1\displaystyle 2+m=1, deci m=1−2=−1\displaystyle m=1-2=-1.
    2+m=1, deci m=−1\displaystyle 2+m=1\text{, deci }m=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2−9=4\displaystyle \sqrt{x^2-9}=4.
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condiția de existență a radicalului: expresia de sub radical trebuie să fie pozitivă sau nulă, adică x2−9≥0\displaystyle x^{2}-9\geq 0.
    x2−9≥0\displaystyle x^{2}-9\geq 0
  2. Ridicăm ecuația la pătrat: (x2−9)2=42\displaystyle \left(\sqrt{x^{2}-9}\right)^{2}=4^{2}, deci x2−9=16\displaystyle x^{2}-9=16. Mutăm 16 în stânga și obținem x2−25=0\displaystyle x^{2}-25=0.
    x2−9=16⇔x2−25=0\displaystyle x^{2}-9=16\Leftrightarrow x^{2}-25=0
  3. Rezolvăm ecuația x2−25=0\displaystyle x^{2}-25=0: x2=25\displaystyle x^{2}=25, deci x=−5\displaystyle x=-5 sau x=5\displaystyle x=5. Verificăm soluțiile: pentru x=±5\displaystyle x=\pm 5 avem x2−9=25−9=16≥0\displaystyle x^{2}-9=25-9=16\geq 0 și 16=4\displaystyle \sqrt{16}=4, deci ambele soluții convin.
    x=−5 sau x=5, care convin\displaystyle x=-5\text{ sau }x=5\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o scumpire cu 20%\displaystyle 20\%, urmată de o ieftinire cu 180\displaystyle 180 de lei, prețul unui obiect este 300\displaystyle 300 de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm prețul inițial al obiectului cu x\displaystyle x, în lei.
    x = prețul inițial\displaystyle x\text{ = prețul inițial}
  2. După scumpirea cu 20%\displaystyle 20\%, prețul devine x+20100⋅x\displaystyle x+\dfrac{20}{100}\cdot x. Apoi ieftinirea cu 180\displaystyle 180 de lei scade acest preț cu 180\displaystyle 180. Prețul final este 300\displaystyle 300 de lei, deci scriem ecuația.
    x+20100⋅x−180=300\displaystyle x+\frac{20}{100}\cdot x-180=300
  3. Reducem termenii cu x\displaystyle x: x+20100x=65x\displaystyle x+\dfrac{20}{100}x=\dfrac{6}{5}x. Adunăm 180\displaystyle 180 în ambii membri.
    65x=480\displaystyle \frac{6}{5}x=480
  4. Înmulțim ambii membri cu 56\displaystyle \dfrac{5}{6} și obținem prețul inițial: x=480⋅56=80⋅5\displaystyle x=480\cdot\dfrac{5}{6}=80\cdot 5.
    x=400 de lei\displaystyle x=400\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,0)\displaystyle A(3,0), B(0,4)\displaystyle B(0,4) și C(3,4)\displaystyle C(3,4). Determinați lungimea medianei din vârful C\displaystyle C al triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Mediana din vârful C\displaystyle C unește vârful C\displaystyle C cu mijlocul M\displaystyle M al laturii opuse AB\displaystyle AB. Calculăm coordonatele mijlocului: xM=3+02\displaystyle x_M=\dfrac{3+0}{2} și yM=0+42\displaystyle y_M=\dfrac{0+4}{2}.
    xM=32\displaystyle x_M=\frac{3}{2},yM=2\displaystyle \quad y_M=2
  2. Mijlocul laturii AB\displaystyle AB este punctul M\displaystyle M cu coordonatele calculate.
    M(32,2)\displaystyle M\left(\frac{3}{2},2\right)
  3. Scriem lungimea medianei CM\displaystyle CM cu formula distanței dintre două puncte, pentru C(3,4)\displaystyle C(3,4) și M(32,2)\displaystyle M\left(\dfrac{3}{2},2\right).
    CM=(3−32)2+(4−2)2\displaystyle CM=\sqrt{\left(3-\frac{3}{2}\right)^{2}+(4-2)^{2}}
  4. Calculăm diferențele: 3−32=32\displaystyle 3-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2} și 4−2=2\displaystyle 4-2=2, apoi ridicăm la pătrat și adunăm.
    CM=94+4=254\displaystyle CM=\sqrt{\frac{9}{4}+4}=\sqrt{\frac{25}{4}}
  5. Extragem rădăcina pătrată: lungimea medianei din C\displaystyle C este 254=52\displaystyle \sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac{5}{2}.
    CM=52\displaystyle CM=\frac{5}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 3⋅sin⁡60∘−cos⁡60∘=1\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sin 60^\circ-\cos 60^\circ=1.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valoarea cunoscută a sinusului pentru 60∘\displaystyle 60^\circ: sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  2. Reținem valoarea cosinusului pentru 60∘\displaystyle 60^\circ: cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}.
    cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}
  3. Înlocuim cele două valori în expresia dată: 3⋅sin⁡60∘−cos⁡60∘=3⋅32−12\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sin 60^\circ-\cos 60^\circ=\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}.
    3⋅32−12\displaystyle \sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}
  4. Calculăm produsul: 3⋅3=3\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3, deci primul termen este 32\displaystyle \dfrac{3}{2}. Apoi scădem fracțiile cu același numitor: 32−12=22=1\displaystyle \dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{2}=1. Deci egalitatea este adevărată.
    32−12=22=1\displaystyle \dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−2(x+y)\displaystyle x\circ y=2xy-2(x+y). Arătați că (−1)∘1=−2\displaystyle (-1)\circ 1=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție x∘y=2xy−2(x+y)\displaystyle x\circ y=2xy-2(x+y), apoi înlocuim x=−1\displaystyle x=-1 și y=1\displaystyle y=1.
    (−1)∘1=2⋅(−1)⋅1−2(−1+1)\displaystyle (-1)\circ 1=2\cdot(-1)\cdot 1-2(-1+1)
  2. Calculăm separat termenii: 2⋅(−1)⋅1=−2\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot 1=-2, iar −1+1=0\displaystyle -1+1=0.
    2⋅(−1)⋅1=−2 și −1+1=0\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot 1=-2\text{ și }-1+1=0
  3. Înlocuim valorile obținute: −2−2⋅0=−2−0\displaystyle -2-2\cdot 0=-2-0. Rămâne −2\displaystyle -2, deci egalitatea cerută este adevărată.
    (−1)∘1=−2−2⋅0=−2\displaystyle (-1)\circ 1=-2-2\cdot 0=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−2(x+y)\displaystyle x\circ y=2xy-2(x+y).

Arătați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este comutativă dacă x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}. Pornim de la definiție, cu x\displaystyle x și y\displaystyle y oarecare.
    x∘y=2xy−2(x+y)\displaystyle x\circ y=2xy-2(x+y)
  2. Folosim comutativitatea înmulțirii și a adunării în R\displaystyle \mathbb{R}: xy=yx\displaystyle xy=yx și x+y=y+x\displaystyle x+y=y+x. Înlocuim în expresie.
    x∘y=2xy−2(x+y)=2yx−2(y+x)\displaystyle x\circ y=2xy-2(x+y)=2yx-2(y+x)
  3. Expresia 2yx−2(y+x)\displaystyle 2yx-2(y+x) este exact definiția lui y∘x\displaystyle y\circ x, adică definiția legii în care x\displaystyle x și y\displaystyle y își schimbă locurile. Deci x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x pentru orice x,y\displaystyle x,y reali, adică legea este comutativă.
    x∘y=y∘x, pentru orice numere \displaystyle x\circ y=y\circ x\text{, pentru orice numere }reale x și y, deci legea de \displaystyle \text{reale }x\text{ și }y\text{, deci legea de }compoziție „∘” este comutativa˘\displaystyle \text{compoziție „}\circ\text{” este comutativă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−2(x+y)\displaystyle x\circ y=2xy-2(x+y).

Demonstrați că x∘y=2(x−1)(y−1)−2\displaystyle x\circ y=2(x-1)(y-1)-2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii: x∘y=2xy−2(x+y)\displaystyle x\circ y=2xy-2(x+y). Desfacem parantezele: 2(x+y)=2x+2y\displaystyle 2(x+y)=2x+2y.
    x∘y=2xy−2x−2y\displaystyle x\circ y=2xy-2x-2y
  2. Adunăm și scădem 2\displaystyle 2, ca să obținem un termen liber potrivit pentru grupare. Valoarea expresiei rămâne aceeași.
    x∘y=2xy−2x−2y+2−2\displaystyle x\circ y=2xy-2x-2y+2-2
  3. Grupăm 2xy−2x=2x(y−1)\displaystyle 2xy-2x=2x(y-1) și −2y+2=−2(y−1)\displaystyle -2y+2=-2(y-1). În ambele grupe apare factorul y−1\displaystyle y-1.
    x∘y=2x(y−1)−2(y−1)−2\displaystyle x\circ y=2x(y-1)-2(y-1)-2
  4. Dăm factor comun y−1\displaystyle y-1 între primii doi termeni și obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=2(x−1)(y−1)−2, pentru orice numere \displaystyle x\circ y=2(x-1)(y-1)-2\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−2(x+y)\displaystyle x\circ y=2xy-2(x+y).

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care 2∘2x=0\displaystyle 2\circ 2^x=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în forma factorizată: 2(x−1)(y−1)−2=2xy−2x−2y+2−2=2xy−2(x+y)\displaystyle 2(x-1)(y-1)-2=2xy-2x-2y+2-2=2xy-2(x+y). Deci x∘y=2(x−1)(y−1)−2\displaystyle x\circ y=2(x-1)(y-1)-2.
    x∘y=2(x−1)(y−1)−2\displaystyle x\circ y=2(x-1)(y-1)-2
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 și y\displaystyle y cu 2x\displaystyle 2^x și egalăm cu 0\displaystyle 0: 2(2−1)(2x−1)−2=0\displaystyle 2(2-1)\left(2^x-1\right)-2=0. Cum 2−1=1\displaystyle 2-1=1, ecuația devine 2(2x−1)−2=0\displaystyle 2\left(2^x-1\right)-2=0.
    2(2−1)(2x−1)−2=0\displaystyle 2(2-1)\left(2^x-1\right)-2=0
  3. Adunăm 2\displaystyle 2 în ambii membri: 2(2x−1)=2\displaystyle 2\left(2^x-1\right)=2. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem 2x−1=1\displaystyle 2^x-1=1.
    2x−1=1\displaystyle 2^x-1=1
  4. Din 2x−1=1\displaystyle 2^x-1=1 rezultă 2x=2=21\displaystyle 2^x=2=2^1. Funcția exponențială este injectivă, deci x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−2(x+y)\displaystyle x\circ y=2xy-2(x+y).

Arătați că (x+1)∘(2x−1)>−4\displaystyle (x+1)\circ(2x-1)>-4, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în definiția legii x∘y=2xy−2(x+y)\displaystyle x\circ y=2xy-2(x+y) pe x\displaystyle x cu x+1\displaystyle x+1 și pe y\displaystyle y cu 2x−1\displaystyle 2x-1: (x+1)∘(2x−1)=2(x+1)(2x−1)−2((x+1)+(2x−1))\displaystyle (x+1)\circ(2x-1)=2(x+1)(2x-1)-2\left((x+1)+(2x-1)\right).
    (x+1)∘(2x−1)=2(x+1)(2x−1)−2⋅3x\displaystyle (x+1)\circ(2x-1)=2(x+1)(2x-1)-2\cdot 3x
  2. Efectuăm calculele: (x+1)(2x−1)=2x2+x−1\displaystyle (x+1)(2x-1)=2x^{2}+x-1, iar (x+1)+(2x−1)=3x\displaystyle (x+1)+(2x-1)=3x. Obținem 2(2x2+x−1)−6x=4x2+2x−2−6x\displaystyle 2(2x^{2}+x-1)-6x=4x^{2}+2x-2-6x, adică 4x2−4x−2\displaystyle 4x^{2}-4x-2.
    (x+1)∘(2x−1)=4x2−4x−2\displaystyle (x+1)\circ(2x-1)=4x^{2}-4x-2
  3. Studiem semnul diferenței dintre expresie și −4\displaystyle -4: (x+1)∘(2x−1)−(−4)=4x2−4x−2+4=4x2−4x+2\displaystyle (x+1)\circ(2x-1)-(-4)=4x^{2}-4x-2+4=4x^{2}-4x+2. Scoatem factor comun pe 2\displaystyle 2.
    (x+1)∘(2x−1)−(−4)=2(2x2−2x+1), pentru orice numa˘r real x\displaystyle (x+1)\circ(2x-1)-(-4)=2\left(2x^{2}-2x+1\right)\text{, pentru orice număr real }x
  4. Calculăm discriminantul trinomului 2x2−2x+1\displaystyle 2x^{2}-2x+1, cu a=2\displaystyle a=2, b=−2\displaystyle b=-2, c=1\displaystyle c=1: Δ=(−2)2−4⋅2⋅1=4−8=−4\displaystyle \Delta=(-2)^{2}-4\cdot 2\cdot 1=4-8=-4, deci Δ<0\displaystyle \Delta<0.
    Δ=−4<0\displaystyle \Delta=-4<0
  5. Deoarece Δ<0\displaystyle \Delta<0 și a=2>0\displaystyle a=2>0, trinomul are semnul lui a\displaystyle a, deci 2x2−2x+1>0\displaystyle 2x^{2}-2x+1>0 pentru orice x\displaystyle x real. Atunci diferența 2(2x2−2x+1)>0\displaystyle 2\left(2x^{2}-2x+1\right)>0, adică (x+1)∘(2x−1)>−4\displaystyle (x+1)\circ(2x-1)>-4.
    2x2−2x+1>0, deci (x+1)∘(2x−1)>−4, pentru orice numa˘r real x\displaystyle 2x^{2}-2x+1>0\text{, deci }(x+1)\circ(2x-1)>-4\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=2xy−2(x+y)\displaystyle x\circ y=2xy-2(x+y).

Determinați perechile de numere naturale (m,n)\displaystyle (m,n), știind că m∘n=12\displaystyle m\circ n=12.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea sub formă factorizată. Din 2xy−2x−2y=2(xy−x−y+1)−2\displaystyle 2xy-2x-2y=2(xy-x-y+1)-2 obținem x∘y=2(x−1)(y−1)−2\displaystyle x\circ y=2(x-1)(y-1)-2.
    x∘y=2(x−1)(y−1)−2\displaystyle x\circ y=2(x-1)(y-1)-2
  2. Înlocuim în condiția m∘n=12\displaystyle m\circ n=12 și simplificăm: adunăm 2\displaystyle 2 în ambii membri, apoi împărțim la 2\displaystyle 2.
    2(m−1)(n−1)−2=12⇔2(m−1)(n−1)=14⇔(m−1)(n−1)=7\displaystyle 2(m-1)(n-1)-2=12\Leftrightarrow 2(m-1)(n-1)=14\Leftrightarrow (m-1)(n-1)=7
  3. Cum m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt numere naturale, m−1\displaystyle m-1 și n−1\displaystyle n-1 sunt numere întregi mai mari sau egale cu −1\displaystyle -1. Produsul lor este 7\displaystyle 7, deci ele sunt divizori întregi ai lui 7\displaystyle 7: ±1\displaystyle \pm 1 sau ±7\displaystyle \pm 7. Valoarea −7\displaystyle -7 este exclusă, fiindcă ar da un număr negativ, iar cazul −1\displaystyle -1 și −7\displaystyle -7 nu convine. Rămân doar divizorii naturali 1\displaystyle 1 și 7\displaystyle 7.
    {m−1, n−1}={1, 7}\displaystyle \{m-1,\,n-1\}=\{1,\,7\}
  4. Analizăm cele două cazuri. Dacă m−1=1\displaystyle m-1=1 și n−1=7\displaystyle n-1=7, atunci m=2\displaystyle m=2 și n=8\displaystyle n=8. Dacă m−1=7\displaystyle m-1=7 și n−1=1\displaystyle n-1=1, atunci m=8\displaystyle m=8 și n=2\displaystyle n=2. Ambele perechi sunt formate din numere naturale.
    (m,n)=(2,8) sau (m,n)=(8,2)\displaystyle (m,n)=(2,8)\text{ sau }(m,n)=(8,2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2−2−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-2\\-1&1\end{pmatrix}, B=(6−4−33)\displaystyle B=\begin{pmatrix}6&-4\\-3&3\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A: det⁡A=∣2−2−11∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&-2\\-1&1\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣2−2−11∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&-2\\-1&1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm regula pentru determinantul de ordin doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Pe diagonala principală sunt 2\displaystyle 2 și 1\displaystyle 1, iar pe cea secundară sunt −2\displaystyle -2 și −1\displaystyle -1.
    det⁡A=2⋅1−(−1)⋅(−2)\displaystyle \det A=2\cdot 1-(-1)\cdot(-2)
  3. Calculăm produsele: 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2, iar (−1)⋅(−2)=2\displaystyle (-1)\cdot(-2)=2. Astfel diferența devine 2−2\displaystyle 2-2, adică 0\displaystyle 0.
    det⁡A=2−2=0\displaystyle \det A=2-2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2−2−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-2\\-1&1\end{pmatrix}, B=(6−4−33)\displaystyle B=\begin{pmatrix}6&-4\\-3&3\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că A⋅A−B=(0−200)\displaystyle A\cdot A-B=\begin{pmatrix}0&-2\\0&0\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm elementul de pe linia 1, coloana 1 al produsului A⋅A\displaystyle A\cdot A: înmulțim linia 1 a primei matrice cu coloana 1 a celei de-a doua, adică 2⋅2+(−2)⋅(−1)\displaystyle 2\cdot 2+(-2)\cdot(-1).
    2⋅2+(−2)⋅(−1)=4+2=6\displaystyle 2\cdot 2+(-2)\cdot(-1)=4+2=6
  2. Calculăm elementul de pe linia 1, coloana 2: linia 1 cu coloana 2, adică 2⋅(−2)+(−2)⋅1\displaystyle 2\cdot(-2)+(-2)\cdot 1.
    2⋅(−2)+(−2)⋅1=−4−2=−6\displaystyle 2\cdot(-2)+(-2)\cdot 1=-4-2=-6
  3. Calculăm elementul de pe linia 2, coloana 1: (−1)⋅2+1⋅(−1)=−3\displaystyle (-1)\cdot 2+1\cdot(-1)=-3. Apoi elementul de pe linia 2, coloana 2: (−1)⋅(−2)+1⋅1=3\displaystyle (-1)\cdot(-2)+1\cdot 1=3. Obținem matricea A⋅A\displaystyle A\cdot A.
    A⋅A=(6−6−33)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}6&-6\\-3&3\end{pmatrix}
  4. Scădem matricea B\displaystyle B din A⋅A\displaystyle A\cdot A, element cu element: 6−6=0\displaystyle 6-6=0, −6−(−4)=−2\displaystyle -6-(-4)=-2, −3−(−3)=0\displaystyle -3-(-3)=0, 3−3=0\displaystyle 3-3=0. Obținem matricea cerută.
    A⋅A−B=(6−6−33)−(6−4−33)=(0−200)\displaystyle A\cdot A-B=\begin{pmatrix}6&-6\\-3&3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6&-4\\-3&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-2\\0&0\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2−2−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-2\\-1&1\end{pmatrix}, B=(6−4−33)\displaystyle B=\begin{pmatrix}6&-4\\-3&3\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Demonstrați că det⁡(A⋅B−I2)=det⁡(B⋅A−I2)\displaystyle \det(A\cdot B-I_2)=\det(B\cdot A-I_2).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui B\displaystyle B. Prima linie: 2⋅6+(−2)⋅(−3)=18\displaystyle 2\cdot 6+(-2)\cdot(-3)=18 și 2⋅(−4)+(−2)⋅3=−14\displaystyle 2\cdot(-4)+(-2)\cdot 3=-14. A doua linie: (−1)⋅6+1⋅(−3)=−9\displaystyle (-1)\cdot 6+1\cdot(-3)=-9 și (−1)⋅(−4)+1⋅3=7\displaystyle (-1)\cdot(-4)+1\cdot 3=7.
    A⋅B=(18−14−97)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}18&-14\\-9&7\end{pmatrix}
  2. Scădem matricea I2\displaystyle I_2, adică scădem 1\displaystyle 1 de pe diagonala principală, apoi calculăm determinantul: 17⋅6−(−14)⋅(−9)=102−126=−24\displaystyle 17\cdot 6-(-14)\cdot(-9)=102-126=-24.
    A⋅B−I2=(17−14−96)⇒det⁡(A⋅B−I2)=−24\displaystyle A\cdot B-I_2=\begin{pmatrix}17&-14\\-9&6\end{pmatrix}\Rightarrow \det(A\cdot B-I_2)=-24
  3. Calculăm produsul B⋅A\displaystyle B\cdot A, înmulțind liniile lui B\displaystyle B cu coloanele lui A\displaystyle A. Prima linie: 6⋅2+(−4)⋅(−1)=16\displaystyle 6\cdot 2+(-4)\cdot(-1)=16 și 6⋅(−2)+(−4)⋅1=−16\displaystyle 6\cdot(-2)+(-4)\cdot 1=-16. A doua linie: (−3)⋅2+3⋅(−1)=−9\displaystyle (-3)\cdot 2+3\cdot(-1)=-9 și (−3)⋅(−2)+3⋅1=9\displaystyle (-3)\cdot(-2)+3\cdot 1=9.
    B⋅A=(16−16−99)\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}16&-16\\-9&9\end{pmatrix}
  4. Scădem matricea I2\displaystyle I_2, adică scădem 1\displaystyle 1 de pe diagonala principală.
    B⋅A−I2=(15−16−98)\displaystyle B\cdot A-I_2=\begin{pmatrix}15&-16\\-9&8\end{pmatrix}
  5. Calculăm determinantul: 15⋅8−(−16)⋅(−9)=120−144=−24\displaystyle 15\cdot 8-(-16)\cdot(-9)=120-144=-24. Am obținut același rezultat ca la A⋅B−I2\displaystyle A\cdot B-I_2, deci cei doi determinanți sunt egali.
    det⁡(B⋅A−I2)=−24=det⁡(A⋅B−I2), deci det⁡(A⋅B−I2)=det⁡(B⋅A−I2)\displaystyle \det(B\cdot A-I_2)=-24=\det(A\cdot B-I_2)\text{, deci }\det(A\cdot B-I_2)=\det(B\cdot A-I_2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2−2−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-2\\-1&1\end{pmatrix}, B=(6−4−33)\displaystyle B=\begin{pmatrix}6&-4\\-3&3\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numărul real x\displaystyle x, știind că B−A+xI2=(2−2−20)\displaystyle B-A+xI_2=\begin{pmatrix}2&-2\\-2&0\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm diferența B−A\displaystyle B-A, scăzând element cu element matricele date: B−A=(6−2−4−(−2)−3−(−1)3−1)\displaystyle B-A=\begin{pmatrix}6-2&-4-(-2)\\-3-(-1)&3-1\end{pmatrix}.
    B−A=(4−2−22)\displaystyle B-A=\begin{pmatrix}4&-2\\-2&2\end{pmatrix}
  2. Scriem matricea xI2\displaystyle xI_2, înmulțind fiecare element al matricei I2\displaystyle I_2 cu x\displaystyle x.
    xI2=(x00x)\displaystyle xI_2=\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}
  3. Adunăm matricea B−A\displaystyle B-A cu xI2\displaystyle xI_2, element cu element. Obținem matricea cu 4+x\displaystyle 4+x și 2+x\displaystyle 2+x pe diagonala principală, pentru orice număr real x\displaystyle x.
    B−A+xI2=(4+x−2−22+x)\displaystyle B-A+xI_2=\begin{pmatrix}4+x&-2\\-2&2+x\end{pmatrix}
  4. Egalăm matricea obținută cu matricea din enunț. Două matrice sunt egale când elementele corespunzătoare sunt egale: pe prima poziție 4+x=2\displaystyle 4+x=2, iar pe ultima 2+x=0\displaystyle 2+x=0. Elementele −2\displaystyle -2 coincid deja.
    4+x=2 și 2+x=0\displaystyle 4+x=2\text{ și }2+x=0
  5. Rezolvăm ecuațiile: din 4+x=2\displaystyle 4+x=2 obținem x=−2\displaystyle x=-2, iar din 2+x=0\displaystyle 2+x=0 obținem tot x=−2\displaystyle x=-2. Valoarea este aceeași, deci x=−2\displaystyle x=-2 convine.
    x=−2\displaystyle x=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2−2−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-2\\-1&1\end{pmatrix}, B=(6−4−33)\displaystyle B=\begin{pmatrix}6&-4\\-3&3\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Demonstrați că det⁡(I2+aA)+det⁡(I2−aA)=2\displaystyle \det(I_2+aA)+\det(I_2-aA)=2, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea aA\displaystyle aA, înmulțind fiecare element al lui A\displaystyle A cu a\displaystyle a.
    aA=(2a−2a−aa)\displaystyle aA=\begin{pmatrix}2a&-2a\\-a&a\end{pmatrix}
  2. Adunăm I2\displaystyle I_2 și aA\displaystyle aA, element cu element.
    I2+aA=(1+2a−2a−a1+a)\displaystyle I_2+aA=\begin{pmatrix}1+2a&-2a\\-a&1+a\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: (1+2a)(1+a)−(−2a)(−a)=1+3a+2a2−2a2\displaystyle (1+2a)(1+a)-(-2a)(-a)=1+3a+2a^{2}-2a^{2}.
    det⁡(I2+aA)=3a+1, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \det(I_2+aA)=3a+1\text{, pentru orice număr real }a
  4. Formula obținută este valabilă pentru orice număr real a\displaystyle a, deci o putem folosi și pentru numărul −a\displaystyle -a. Înlocuim a\displaystyle a cu −a\displaystyle -a.
    det⁡(I2−aA)=3⋅(−a)+1=−3a+1\displaystyle \det(I_2-aA)=3\cdot(-a)+1=-3a+1
  5. Adunăm cele două determinante: termenii cu a\displaystyle a se reduc și rămâne 2\displaystyle 2, pentru orice număr real a\displaystyle a.
    det⁡(I2+aA)+det⁡(I2−aA)=3a+1+3⋅(−a)+1=2, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \det(I_2+aA)+\det(I_2-aA)=3a+1+3\cdot(-a)+1=2\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2−2−11)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-2\\-1&1\end{pmatrix}, B=(6−4−33)\displaystyle B=\begin{pmatrix}6&-4\\-3&3\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Rezolvați în M2(R)\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) ecuația (I2−A)⋅X=A\displaystyle (I_2-A)\cdot X=A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea I2−A\displaystyle I_2-A, scăzând element cu element: 1−2=−1\displaystyle 1-2=-1, 0−(−2)=2\displaystyle 0-(-2)=2, 0−(−1)=1\displaystyle 0-(-1)=1, 1−1=0\displaystyle 1-1=0.
    I2−A=(−1210)\displaystyle I_2-A=\begin{pmatrix}-1&2\\1&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul lui I2−A\displaystyle I_2-A: (−1)⋅0−2⋅1=−2\displaystyle (-1)\cdot 0-2\cdot 1=-2. Este nenul, deci matricea este inversabilă.
    det⁡(I2−A)=−2≠0\displaystyle \det(I_2-A)=-2\neq 0
  3. Determinăm inversa: împărțim la determinant matricea adjunctă, obținută schimbând între ele elementele de pe diagonala principală și schimbând semnul elementelor de pe diagonala secundară. Avem (I2−A)−1=1−2(0−2−1−1)\displaystyle (I_2-A)^{-1}=\dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix}0&-2\\-1&-1\end{pmatrix}.
    (I2−A)−1=(011212)\displaystyle (I_2-A)^{-1}=\begin{pmatrix}0&1\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}
  4. Înmulțim ecuația la stânga cu (I2−A)−1\displaystyle (I_2-A)^{-1}. Deoarece (I2−A)−1(I2−A)=I2\displaystyle (I_2-A)^{-1}(I_2-A)=I_2, rămâne X=(I2−A)−1⋅A\displaystyle X=(I_2-A)^{-1}\cdot A.
    X=(I2−A)−1⋅A=(011212)⋅(2−2−11)\displaystyle X=(I_2-A)^{-1}\cdot A=\begin{pmatrix}0&1\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2&-2\\-1&1\end{pmatrix}
  5. Efectuăm produsul, linie cu coloană. Prima linie: 0⋅2+1⋅(−1)=−1\displaystyle 0\cdot 2+1\cdot(-1)=-1 și 0⋅(−2)+1⋅1=1\displaystyle 0\cdot(-2)+1\cdot 1=1. A doua linie: 12⋅2+12⋅(−1)=12\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 2+\frac{1}{2}\cdot(-1)=\frac{1}{2} și 12⋅(−2)+12⋅1=−12\displaystyle \frac{1}{2}\cdot(-2)+\frac{1}{2}\cdot 1=-\frac{1}{2}.
    X=(−1112−12)\displaystyle X=\begin{pmatrix}-1&1\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.