Bac matematică M4 pedagogic 2021, model, test de evaluare 12: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 2(6+2)+2(1−3)=4\displaystyle \sqrt{2}\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)+2\left(1-\sqrt{3}\right)=4.
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem parantezele: înmulțim 2\displaystyle \sqrt{2} cu fiecare termen din prima paranteză și 2\displaystyle 2 cu fiecare termen din a doua paranteză.
    2⋅6+2⋅2+2⋅1−23\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{6}+\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}+2\cdot 1-2\sqrt{3}
  2. Folosim regula produsului de radicali, 2⋅6=12\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{6}=\sqrt{12}, și faptul că 2⋅2=2\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2.
    12+2+2−23\displaystyle \sqrt{12}+2+2-2\sqrt{3}
  3. Scoatem factorul de sub radical: 12=4⋅3\displaystyle 12=4\cdot 3, deci 12=23\displaystyle \sqrt{12}=2\sqrt{3}.
    23+2+2−23\displaystyle 2\sqrt{3}+2+2-2\sqrt{3}
  4. Reducem termenii asemenea: 23\displaystyle 2\sqrt{3} se reduce cu −23\displaystyle -2\sqrt{3}, iar 2+2=4\displaystyle 2+2=4. Egalitatea este demonstrată.
    4\displaystyle 4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x−1\displaystyle f(x)=4x-1. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)⋅f(0)+f(3)=0\displaystyle f(a)\cdot f(0)+f(3)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(0)\displaystyle f(0) înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 în formula funcției: f(0)=4⋅0−1\displaystyle f(0)=4\cdot 0-1.
    f(0)=−1\displaystyle f(0)=-1
  2. Calculăm f(3)=4⋅3−1\displaystyle f(3)=4\cdot 3-1 și scriem f(a)\displaystyle f(a) înlocuind x\displaystyle x cu a\displaystyle a.
    f(3)=11\displaystyle f(3)=11, f(a)=4a−1\displaystyle \ f(a)=4a-1
  3. Înlocuim valorile în egalitatea f(a)⋅f(0)+f(3)=0\displaystyle f(a)\cdot f(0)+f(3)=0.
    (4a−1)⋅(−1)+11=0\displaystyle (4a-1)\cdot(-1)+11=0
  4. Desfacem parantezele: −4a+1+11=0\displaystyle -4a+1+11=0, deci reducem termenii constanți.
    −4a+12=0\displaystyle -4a+12=0
  5. Rezolvăm ecuația de gradul I: 4a=12\displaystyle 4a=12, deci a=3\displaystyle a=3.
    a=3\displaystyle a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 16⋅22x=8x\displaystyle 16\cdot 2^{2x}=8^{x}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem toate puterile cu aceeași bază, 2\displaystyle 2. Avem 16=24\displaystyle 16=2^{4} și 8=23\displaystyle 8=2^{3}, deci 8x=(23)x=23x\displaystyle 8^{x}=\left(2^{3}\right)^{x}=2^{3x}.
    16=24 și 8x=23x\displaystyle 16=2^{4}\text{ și }8^{x}=2^{3x}
  2. Înlocuim în ecuație: 24⋅22x=23x\displaystyle 2^{4}\cdot 2^{2x}=2^{3x}. Prin înmulțirea puterilor cu aceeași bază se adună exponenții, deci 24+2x=23x\displaystyle 2^{4+2x}=2^{3x}.
    24⋅22x=23x⇔24+2x=23x\displaystyle 2^{4}\cdot 2^{2x}=2^{3x}\Leftrightarrow 2^{4+2x}=2^{3x}
  3. Funcția t↦2t\displaystyle t\mapsto 2^{t} este injectivă, deci egalăm exponenții: 4+2x=3x\displaystyle 4+2x=3x.
    4+2x=3x\displaystyle 4+2x=3x
  4. Din 4+2x=3x\displaystyle 4+2x=3x rezultă 4=3x−2x\displaystyle 4=3x-2x, adică x=4\displaystyle x=4. Soluția este un număr real, deci convine.
    x=4\displaystyle x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu cifre din mulțimea {6,7,8,9}\displaystyle \{6,7,8,9\}.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul are trei cifre distincte alese din mulțimea {6,7,8,9}\displaystyle \{6,7,8,9\}, iar ordinea cifrelor contează. Construim numărul alegând pe rând cifra sutelor, a zecilor și a unităților. Pentru cifra sutelor putem alege oricare dintre cele 4 cifre, deoarece nicio cifră din mulțime nu este 0\displaystyle 0.
    4 moduri\displaystyle 4\text{ moduri}
  2. După alegerea cifrei sutelor, pentru cifra zecilor rămân 3\displaystyle 3 cifre, deoarece cifrele trebuie să fie distincte. Deci avem 3\displaystyle 3 moduri.
    3 moduri\displaystyle 3\text{ moduri}
  3. După alegerea cifrelor sutelor și zecilor, pentru cifra unităților rămân 2\displaystyle 2 cifre. Deci avem 2\displaystyle 2 moduri.
    2 moduri\displaystyle 2\text{ moduri}
  4. Aplicăm regula produsului: înmulțim numerele de moduri de la fiecare alegere. Se pot forma 4⋅3⋅2=24\displaystyle 4\cdot 3\cdot 2=24 de numere.
    4⋅3⋅2=24 de numere\displaystyle 4\cdot 3\cdot 2=24\text{ de numere}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,4)\displaystyle A(3,4), B(−1,4)\displaystyle B(-1,4) și C(−1,−2)\displaystyle C(-1,-2). Determinați aria triunghiului ABD\displaystyle ABD, știind că punctul D\displaystyle D este mijlocul segmentului AC\displaystyle AC.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că BD\displaystyle BD este mediană în triunghiul ABC\displaystyle ABC, deoarece D\displaystyle D este mijlocul lui AC\displaystyle AC. O mediană împarte triunghiul în două triunghiuri cu arii egale, deci aria lui ABD\displaystyle ABD este jumătate din aria lui ABC\displaystyle ABC.
    AΔABD=12AΔABC\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABD}=\frac{1}{2}\mathcal{A}_{\Delta ABC}
  2. Calculăm lungimea laturii AB\displaystyle AB. Punctele A\displaystyle A și B\displaystyle B au aceeași ordonată 4\displaystyle 4, deci segmentul AB\displaystyle AB este orizontal și lungimea este diferența absciselor.
    AB=∣3−(−1)∣=4\displaystyle AB=|3-(-1)|=4
  3. Calculăm lungimea laturii BC\displaystyle BC. Punctele B\displaystyle B și C\displaystyle C au aceeași abscisă −1\displaystyle -1, deci segmentul BC\displaystyle BC este vertical și lungimea este diferența ordonatelor.
    BC=∣4−(−2)∣=6\displaystyle BC=|4-(-2)|=6
  4. Cum AB\displaystyle AB este orizontal și BC\displaystyle BC este vertical, ele sunt perpendiculare, deci triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în B\displaystyle B. Aria este semiprodusul catetelor.
    AΔABC=AB⋅BC2=4⋅62=12\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot BC}{2}=\frac{4\cdot 6}{2}=12
  5. Aria triunghiului ABD\displaystyle ABD este jumătate din aria triunghiului ABC\displaystyle ABC, adică 6\displaystyle 6.
    AΔABD=122=6\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABD}=\frac{12}{2}=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că (tg⁡30∘+tg⁡60∘)sin⁡60∘=2\displaystyle (\operatorname{tg}30^\circ+\operatorname{tg}60^\circ)\sin 60^\circ=2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem valorile cunoscute pentru unghiurile de 30∘\displaystyle 30^\circ și 60∘\displaystyle 60^\circ: sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, tg⁡30∘=13\displaystyle \operatorname{tg}30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{3}} și tg⁡60∘=3\displaystyle \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt{3}.
    sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, tg⁡30∘=13\displaystyle \ \operatorname{tg}30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}, tg⁡60∘=3\displaystyle \ \operatorname{tg}60^\circ=\sqrt{3}
  2. Raționalizăm fracția 13\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{3}}, amplificând cu 3\displaystyle \sqrt{3}: obținem 13=33\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
    tg⁡30∘=33\displaystyle \operatorname{tg}30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}
  3. Înlocuim valorile în expresia dată: (tg⁡30∘+tg⁡60∘)sin⁡60∘=(33+3)⋅32\displaystyle (\operatorname{tg}30^\circ+\operatorname{tg}60^\circ)\sin 60^\circ=\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}\right)\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    (33+3)⋅32\displaystyle \left(\frac{\sqrt{3}}{3}+\sqrt{3}\right)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}
  4. Distribuim înmulțirea cu 32\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2} în paranteză. Primul termen: 33⋅32=36=12\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}. Al doilea termen: 3⋅32=32\displaystyle \sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3}{2}.
    12+32\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{3}{2}
  5. Adunăm fracțiile: 12+32=42=2\displaystyle \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{4}{2}=2, deci egalitatea este demonstrată.
    12+32=2\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=9xy+x+y\displaystyle x*y=9xy+x+y.

Arătați că 1∗2=21\displaystyle 1*2=21.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: x∗y=9xy+x+y\displaystyle x*y=9xy+x+y. Pentru x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2 înlocuim în formulă.
    1∗2=9⋅1⋅2+1+2\displaystyle 1*2=9\cdot 1\cdot 2+1+2
  2. Calculăm produsul 9⋅1⋅2=18\displaystyle 9\cdot 1\cdot 2=18.
    1∗2=18+1+2\displaystyle 1*2=18+1+2
  3. Adunăm termenii: 18+1+2=21\displaystyle 18+1+2=21, deci 1∗2=21\displaystyle 1*2=21, ceea ce trebuia arătat.
    1∗2=21\displaystyle 1*2=21
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=9xy+x+y\displaystyle x*y=9xy+x+y.

Arătați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru comutativitate trebuie arătat că x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y. Pornim de la definiția legii: x∗y=9xy+x+y\displaystyle x*y=9xy+x+y.
    x∗y=9xy+x+y\displaystyle x*y=9xy+x+y
  2. Folosim comutativitatea înmulțirii și a adunării numerelor reale: xy=yx\displaystyle xy=yx și x+y=y+x\displaystyle x+y=y+x. Rescriem expresia cu termenii în ordine inversată.
    x∗y=9xy+x+y=9yx+y+x\displaystyle x*y=9xy+x+y=9yx+y+x
  3. Expresia 9yx+y+x\displaystyle 9yx+y+x este exact definiția lui y∗x\displaystyle y*x, adică aceeași formulă în care x\displaystyle x și y\displaystyle y își schimbă rolurile. Deci x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice x\displaystyle x și y\displaystyle y reale, adică legea este comutativă.
    9yx+y+x=y∗x, deci x∗y=y∗x, pentru orice numere \displaystyle 9yx+y+x=y*x\text{, deci }x*y=y*x\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=9xy+x+y\displaystyle x*y=9xy+x+y.

Arătați că e=0\displaystyle e=0 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Un element e\displaystyle e este neutru dacă x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Verificăm pentru e=0\displaystyle e=0, începând cu x∗0\displaystyle x*0.
    x∗0=9⋅x⋅0+x+0\displaystyle x*0=9\cdot x\cdot 0+x+0
  2. Primul termen este 0\displaystyle 0, deci rămâne doar x\displaystyle x. Obținem x∗0=x\displaystyle x*0=x.
    x∗0=9⋅x⋅0+x+0=x\displaystyle x*0=9\cdot x\cdot 0+x+0=x
  3. Calculăm acum 0∗x\displaystyle 0*x, înlocuind în definiția legii pe x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0 și pe y\displaystyle y cu x\displaystyle x.
    0∗x=9⋅0⋅x+0+x=x\displaystyle 0*x=9\cdot 0\cdot x+0+x=x
  4. Deoarece x∗0=0∗x=x\displaystyle x*0=0*x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, numărul 0\displaystyle 0 este element neutru al legii.
    x∗0=0∗x=x, deci e=0 este element neutru\displaystyle x*0=0*x=x\text{, deci }e=0\text{ este element neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=9xy+x+y\displaystyle x*y=9xy+x+y.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care (−1)∗x=15\displaystyle (-1)*x=15.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție pentru perechea (−1,x)\displaystyle (-1,x), adică înlocuim primul număr cu −1\displaystyle -1 și al doilea cu x\displaystyle x în formula x∗y=9xy+x+y\displaystyle x*y=9xy+x+y.
    (−1)∗x=9⋅(−1)⋅x+(−1)+x\displaystyle (-1)*x=9\cdot(-1)\cdot x+(-1)+x
  2. Calculăm produsul și reducem termenii asemenea: −9x+x=−8x\displaystyle -9x+x=-8x.
    (−1)∗x=−8x−1\displaystyle (-1)*x=-8x-1
  3. Egalăm expresia obținută cu 15\displaystyle 15, conform cerinței (−1)∗x=15\displaystyle (-1)*x=15.
    −8x−1=15\displaystyle -8x-1=15
  4. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri: −8x=16\displaystyle -8x=16. Apoi împărțim la −8\displaystyle -8 și obținem x=−2\displaystyle x=-2.
    x=−2\displaystyle x=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=9xy+x+y\displaystyle x*y=9xy+x+y.

Determinați simetricul elementului x=1\displaystyle x=1 în raport cu legea de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Aflăm elementul neutru al legii. Căutăm e\displaystyle e astfel încât x∗e=x\displaystyle x*e=x pentru orice x\displaystyle x real. Din 9xe+x+e=x\displaystyle 9xe+x+e=x rezultă e(9x+1)=0\displaystyle e(9x+1)=0 pentru orice x\displaystyle x, deci e=0\displaystyle e=0. Legea este comutativă, deci 0\displaystyle 0 este element neutru.
    e=0\displaystyle e=0
  2. Simetricul lui 1\displaystyle 1 este un număr x′\displaystyle x' pentru care 1∗x′=e=0\displaystyle 1*x'=e=0. Scriem această condiție folosind definiția legii: 9⋅1⋅x′+1+x′=0\displaystyle 9\cdot 1\cdot x'+1+x'=0, adică 9x′+1+x′=0\displaystyle 9x'+1+x'=0.
    1∗x′=0⇔9x′+1+x′=0\displaystyle 1*x'=0\Leftrightarrow 9x'+1+x'=0
  3. Reducem termenii asemenea: 10x′+1=0\displaystyle 10x'+1=0, deci 10x′=−1\displaystyle 10x'=-1.
    10x′=−1\displaystyle 10x'=-1
  4. Împărțim la 10\displaystyle 10 și obținem simetricul lui 1\displaystyle 1: x′=−110\displaystyle x'=-\dfrac{1}{10}. Legea este comutativă, deci este simetric și la stânga, și la dreapta.
    x′=−110\displaystyle x'=-\frac{1}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=9xy+x+y\displaystyle x*y=9xy+x+y.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care N=13∗n∗23\displaystyle N=\frac{1}{3}*n*\frac{2}{3} este număr natural de două cifre.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este comutativă, deoarece expresia 9xy+x+y\displaystyle 9xy+x+y nu se schimbă când inversăm x\displaystyle x cu y\displaystyle y. Ea este și asociativă, conform enunțului. Putem deci grupa termenii în ordinea convenabilă și scriem N\displaystyle N ca produsul celor două fracții, compus cu n\displaystyle n.
    N=13∗23∗n\displaystyle N=\frac{1}{3}*\frac{2}{3}*n
  2. Calculăm produsul celor două fracții prin lege: 13∗23=9⋅13⋅23+13+23=2+1\displaystyle \frac{1}{3}*\frac{2}{3}=9\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=2+1.
    13∗23=3\displaystyle \frac{1}{3}*\frac{2}{3}=3
  3. Înlocuim în N\displaystyle N și calculăm 3∗n\displaystyle 3*n cu definiția legii: N=3∗n=9⋅3⋅n+3+n=27n+3+n\displaystyle N=3*n=9\cdot 3\cdot n+3+n=27n+3+n.
    N=3∗n=28n+3\displaystyle N=3*n=28n+3
  4. Pentru n\displaystyle n număr natural, 28n+3\displaystyle 28n+3 este întotdeauna număr natural. Cerem ca N\displaystyle N să aibă două cifre, adică 10≤28n+3≤99\displaystyle 10\le 28n+3\le 99. Scădem 3 din fiecare membru: 7≤28n≤96\displaystyle 7\le 28n\le 96. Apoi împărțim la 28: 14≤n≤247\displaystyle \frac{1}{4}\le n\le \frac{24}{7}, adică n\displaystyle n este cuprins între 0,25\displaystyle 0{,}25 și aproximativ 3,43\displaystyle 3{,}43.
    14≤n≤247\displaystyle \frac{1}{4}\le n\le \frac{24}{7}
  5. Numerele naturale din acest interval sunt 1, 2 și 3. Verificare: pentru n=1\displaystyle n=1 obținem N=31\displaystyle N=31, pentru n=2\displaystyle n=2 obținem N=59\displaystyle N=59, pentru n=3\displaystyle n=3 obținem N=87\displaystyle N=87, toate de două cifre.
    n=1 sau n=2 sau n=3\displaystyle n=1\text{ sau }n=2\text{ sau }n=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(41−12)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&1\\-1&2\end{pmatrix} și X(a)=(2aa21)\displaystyle X(a)=\begin{pmatrix}2&a\\a^2&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡A=9\displaystyle \det A=9.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula determinantului de ordin 2: pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, determinantul este ad−bc\displaystyle ad-bc.
    ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc
  2. Aplicăm formula pentru matricea A\displaystyle A, cu a=4\displaystyle a=4, b=1\displaystyle b=1, c=−1\displaystyle c=-1, d=2\displaystyle d=2: produsul de pe diagonala principală este 4⋅2\displaystyle 4\cdot 2, iar produsul de pe diagonala secundară este 1⋅(−1)\displaystyle 1\cdot(-1).
    det⁡A=∣41−12∣=4⋅2−1⋅(−1)\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}4&1\\-1&2\end{vmatrix}=4\cdot 2-1\cdot(-1)
  3. Calculăm: 4⋅2=8\displaystyle 4\cdot 2=8, iar 1⋅(−1)=−1\displaystyle 1\cdot(-1)=-1; scăderea lui −1\displaystyle -1 înseamnă adunarea lui 1\displaystyle 1. Obținem 8+1=9\displaystyle 8+1=9, deci det⁡A=9\displaystyle \det A=9, ceea ce trebuia demonstrat.
    8+1=9\displaystyle 8+1=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(41−12)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&1\\-1&2\end{pmatrix} și X(a)=(2aa21)\displaystyle X(a)=\begin{pmatrix}2&a\\a^2&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A+X(2)=3X(1)\displaystyle A+X(2)=3X(1).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm X(2)\displaystyle X(2), înlocuind a=2\displaystyle a=2 în X(a)=(2aa21)\displaystyle X(a)=\begin{pmatrix}2&a\\a^2&1\end{pmatrix}. Cum a2=4\displaystyle a^2=4, obținem matricea de mai jos.
    X(2)=(2241)\displaystyle X(2)=\begin{pmatrix}2&2\\4&1\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele A\displaystyle A și X(2)\displaystyle X(2) element cu element: 4+2=6\displaystyle 4+2=6, 1+2=3\displaystyle 1+2=3, −1+4=3\displaystyle -1+4=3, 2+1=3\displaystyle 2+1=3.
    A+X(2)=(41−12)+(2241)=(6333)\displaystyle A+X(2)=\begin{pmatrix}4&1\\-1&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&2\\4&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6&3\\3&3\end{pmatrix}
  3. Calculăm X(1)\displaystyle X(1), înlocuind a=1\displaystyle a=1. Cum a2=1\displaystyle a^2=1, obținem matricea de mai jos.
    X(1)=(2111)\displaystyle X(1)=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}
  4. Scoatem factorul 3\displaystyle 3 din matricea obținută, deoarece toate elementele ei sunt multipli de 3\displaystyle 3. Rezultă că suma este egală cu 3X(1)\displaystyle 3X(1), deci egalitatea cerută este adevărată.
    A+X(2)=(6333)=3(2111)=3X(1)\displaystyle A+X(2)=\begin{pmatrix}6&3\\3&3\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}=3X(1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(41−12)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&1\\-1&2\end{pmatrix} și X(a)=(2aa21)\displaystyle X(a)=\begin{pmatrix}2&a\\a^2&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A⋅A=6A−9I2\displaystyle A\cdot A=6A-9I_2, unde I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A înmulțind linie cu coloană. Elementul din poziția (1,1)\displaystyle (1,1) este 4⋅4+1⋅(−1)=15\displaystyle 4\cdot 4+1\cdot(-1)=15.
    4⋅4+1⋅(−1)=15\displaystyle 4\cdot 4+1\cdot(-1)=15
  2. Elementul (1,2)\displaystyle (1,2) este 4⋅1+1⋅2=6\displaystyle 4\cdot 1+1\cdot 2=6. Elementul (2,1)\displaystyle (2,1) este (−1)⋅4+2⋅(−1)=−6\displaystyle (-1)\cdot 4+2\cdot(-1)=-6. Elementul (2,2)\displaystyle (2,2) este (−1)⋅1+2⋅2=3\displaystyle (-1)\cdot 1+2\cdot 2=3. Deci A⋅A\displaystyle A\cdot A are aceste elemente.
    A⋅A=(156−63)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}15&6\\-6&3\end{pmatrix}
  3. Calculăm 6A\displaystyle 6A înmulțind fiecare element al lui A\displaystyle A cu 6\displaystyle 6, apoi 9I2\displaystyle 9I_2 înmulțind fiecare element al lui I2\displaystyle I_2 cu 9\displaystyle 9.
    6A=(246−612), 9I2=(9009)\displaystyle 6A=\begin{pmatrix}24&6\\-6&12\end{pmatrix}\text{, }9I_2=\begin{pmatrix}9&0\\0&9\end{pmatrix}
  4. Scădem matricele element cu element: 24−9=15\displaystyle 24-9=15, 6−0=6\displaystyle 6-0=6, −6−0=−6\displaystyle -6-0=-6, 12−9=3\displaystyle 12-9=3. Se obține aceeași matrice ca la A⋅A\displaystyle A\cdot A, deci A⋅A=6A−9I2\displaystyle A\cdot A=6A-9I_2.
    6A−9I2=(246−612)−(9009)=(156−63)=A⋅A\displaystyle 6A-9I_2=\begin{pmatrix}24&6\\-6&12\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}9&0\\0&9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}15&6\\-6&3\end{pmatrix}=A\cdot A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(41−12)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&1\\-1&2\end{pmatrix} și X(a)=(2aa21)\displaystyle X(a)=\begin{pmatrix}2&a\\a^2&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că matricea M(a)=X(a)+X(−a)\displaystyle M(a)=X(a)+X(-a) este inversabilă, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea X(−a)\displaystyle X(-a), înlocuind pe a\displaystyle a cu −a\displaystyle -a în X(a)\displaystyle X(a). Observăm că (−a)2=a2\displaystyle (-a)^{2}=a^{2}.
    X(−a)=(2−aa21)\displaystyle X(-a)=\begin{pmatrix}2&-a\\a^{2}&1\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele X(a)\displaystyle X(a) și X(−a)\displaystyle X(-a), element cu element: termenii cu a\displaystyle a se reduc, iar ceilalți se dublează.
    M(a)=(2+2a−aa2+a21+1)=(402a22), pentru orice numa˘r real a\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}2+2&a-a\\a^{2}+a^{2}&1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\2a^{2}&2\end{pmatrix}\text{, pentru orice număr real }a
  3. Matricea este inversabilă dacă determinantul ei este nenul. Calculăm determinantul matricei M(a)\displaystyle M(a): produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe cealaltă diagonală.
    det⁡(M(a))=∣402a22∣=4⋅2−0⋅2a2=8\displaystyle \det(M(a))=\begin{vmatrix}4&0\\2a^{2}&2\end{vmatrix}=4\cdot 2-0\cdot 2a^{2}=8
  4. Determinantul este 8\displaystyle 8, constant și diferit de zero pentru orice număr real a\displaystyle a, deci matricea M(a)\displaystyle M(a) este inversabilă pentru orice a\displaystyle a real.
    det⁡(M(a))=8≠0, deci M(a) este inversabila˘\displaystyle \det(M(a))=8\neq 0\text{, deci }M(a)\text{ este inversabilă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(41−12)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&1\\-1&2\end{pmatrix} și X(a)=(2aa21)\displaystyle X(a)=\begin{pmatrix}2&a\\a^2&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care matricea B=X(−1)⋅X(n)\displaystyle B=X(-1)\cdot X(n) are toate elementele numere naturale.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=−1\displaystyle a=-1 în X(a)\displaystyle X(a). Cum (−1)2=1\displaystyle (-1)^2=1, obținem X(−1)=(2−111)\displaystyle X(-1)=\begin{pmatrix}2&-1\\1&1\end{pmatrix}.
    X(−1)=(2−111)\displaystyle X(-1)=\begin{pmatrix}2&-1\\1&1\end{pmatrix}
  2. Înlocuim a=n\displaystyle a=n în X(a)\displaystyle X(a) și obținem X(n)=(2nn21)\displaystyle X(n)=\begin{pmatrix}2&n\\n^2&1\end{pmatrix}.
    X(n)=(2nn21)\displaystyle X(n)=\begin{pmatrix}2&n\\n^{2}&1\end{pmatrix}
  3. Calculăm produsul linie pe coloană: 2⋅2+(−1)⋅n2=4−n2\displaystyle 2\cdot 2+(-1)\cdot n^2=4-n^2, 2⋅n+(−1)⋅1=2n−1\displaystyle 2\cdot n+(-1)\cdot 1=2n-1, 1⋅2+1⋅n2=2+n2\displaystyle 1\cdot 2+1\cdot n^2=2+n^2, 1⋅n+1⋅1=n+1\displaystyle 1\cdot n+1\cdot 1=n+1.
    B=(4−n22n−12+n2n+1)\displaystyle B=\begin{pmatrix}4-n^{2}&2n-1\\2+n^{2}&n+1\end{pmatrix}
  4. Elementele 2+n2\displaystyle 2+n^2 și n+1\displaystyle n+1 sunt naturale pentru orice n\displaystyle n natural. Elementul 2n−1\displaystyle 2n-1 este natural doar pentru n≥1\displaystyle n\geq 1, deoarece pentru n=0\displaystyle n=0 ar fi −1\displaystyle -1. Rămâne să impunem condiția ca 4−n2\displaystyle 4-n^2 să fie număr natural.
    n≥1 și 4−n2≥0\displaystyle n\geq 1\text{ și }4-n^{2}\geq 0
  5. Inegalitatea 4−n2≥0\displaystyle 4-n^2\geq 0 înseamnă n2≤4\displaystyle n^2\leq 4. Cum n\displaystyle n este natural, rezultă n≤2\displaystyle n\leq 2. Împreună cu n≥1\displaystyle n\geq 1 obținem n∈{1,2}\displaystyle n\in\{1,2\}.
    n∈{1,2}\displaystyle n\in\{1,2\}
  6. Verificăm: pentru n=1\displaystyle n=1, B=(3132)\displaystyle B=\begin{pmatrix}3&1\\3&2\end{pmatrix}; pentru n=2\displaystyle n=2, B=(0363)\displaystyle B=\begin{pmatrix}0&3\\6&3\end{pmatrix}. Toate elementele sunt numere naturale, deci ambele valori convin.
    n=1 sau n=2\displaystyle n=1\text{ sau }n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(41−12)\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&1\\-1&2\end{pmatrix} și X(a)=(2aa21)\displaystyle X(a)=\begin{pmatrix}2&a\\a^2&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care det⁡(X(2a)−X(a))=3\displaystyle \det(X(2a)-X(a))=3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea X(2a)\displaystyle X(2a), înlocuind a\displaystyle a cu 2a\displaystyle 2a în X(a)\displaystyle X(a): elementul a\displaystyle a devine 2a\displaystyle 2a, iar a2\displaystyle a^2 devine (2a)2=4a2\displaystyle (2a)^2=4a^2.
    X(2a)=(22a4a21)\displaystyle X(2a)=\begin{pmatrix}2&2a\\4a^2&1\end{pmatrix}
  2. Scădem matricele element cu element: X(2a)−X(a)\displaystyle X(2a)-X(a). Pe diagonală obținem 2−2=0\displaystyle 2-2=0 și 1−1=0\displaystyle 1-1=0, iar în afara diagonalei 2a−a=a\displaystyle 2a-a=a și 4a2−a2=3a2\displaystyle 4a^2-a^2=3a^2.
    X(2a)−X(a)=(0a3a20)\displaystyle X(2a)-X(a)=\begin{pmatrix}0&a\\3a^2&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe diagonala secundară, adică 0⋅0−a⋅3a2\displaystyle 0\cdot 0-a\cdot 3a^2.
    det⁡(X(2a)−X(a))=0⋅0−a⋅3a2=−3a3\displaystyle \det(X(2a)-X(a))=0\cdot 0-a\cdot 3a^2=-3a^3
  4. Punem condiția din enunț: −3a3=3\displaystyle -3a^3=3. Împărțind la −3\displaystyle -3 obținem a3=−1\displaystyle a^3=-1.
    −3a3=3⇔a3=−1\displaystyle -3a^3=3\Leftrightarrow a^3=-1
  5. Ecuația a3=−1\displaystyle a^3=-1 are în R\displaystyle \mathbb{R} o singură soluție, deoarece funcția a↦a3\displaystyle a\mapsto a^3 este strict crescătoare. Deci a=−1\displaystyle a=-1.
    a=−1\displaystyle a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.