Bac matematică M4 pedagogic 2020, model, test de evaluare 9: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 32−18−8+2=0\displaystyle \sqrt{32}-\sqrt{18}-\sqrt{8}+\sqrt{2}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem 32=16⋅2\displaystyle 32=16\cdot 2, deci 32=16⋅2=16⋅2\displaystyle \sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=\sqrt{16}\cdot\sqrt{2}, adică 32=42\displaystyle \sqrt{32}=4\sqrt{2}.
    32=42\displaystyle \sqrt{32}=4\sqrt{2}
  2. Scriem 18=9⋅2\displaystyle 18=9\cdot 2, deci 18=9⋅2\displaystyle \sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot\sqrt{2}, adică 18=32\displaystyle \sqrt{18}=3\sqrt{2}.
    18=32\displaystyle \sqrt{18}=3\sqrt{2}
  3. Scriem 8=4⋅2\displaystyle 8=4\cdot 2, deci 8=4⋅2\displaystyle \sqrt{8}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{2}, adică 8=22\displaystyle \sqrt{8}=2\sqrt{2}. Am obținut 32=42\displaystyle \sqrt{32}=4\sqrt{2}, 18=32\displaystyle \sqrt{18}=3\sqrt{2}, 8=22\displaystyle \sqrt{8}=2\sqrt{2}.
    32=42\displaystyle \sqrt{32}=4\sqrt{2}, 18=32\displaystyle \ \sqrt{18}=3\sqrt{2}, 8=22\displaystyle \ \sqrt{8}=2\sqrt{2}
  4. Înlocuim în expresie: 32−18−8+2=42−32−22+2\displaystyle \sqrt{32}-\sqrt{18}-\sqrt{8}+\sqrt{2}=4\sqrt{2}-3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{2}. Dăm factor comun 2\displaystyle \sqrt{2}: (4−3−2+1)2=0⋅2=0\displaystyle (4-3-2+1)\sqrt{2}=0\cdot\sqrt{2}=0. Deci egalitatea este demonstrată.
    42−32−22+2=(4−3−2+1)2=0\displaystyle 4\sqrt{2}-3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+\sqrt{2}=(4-3-2+1)\sqrt{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=5x+a\displaystyle f(x)=5x+a, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(2)=10\displaystyle f(2)=10.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în expresia funcției: f(2)=5⋅2+a\displaystyle f(2)=5\cdot 2+a.
    f(2)=5⋅2+a\displaystyle f(2)=5\cdot 2+a
  2. Calculăm produsul 5⋅2=10\displaystyle 5\cdot 2=10 și obținem f(2)=10+a\displaystyle f(2)=10+a.
    f(2)=10+a\displaystyle f(2)=10+a
  3. Folosim condiția din enunț, f(2)=10\displaystyle f(2)=10, și scriem ecuația 10+a=10\displaystyle 10+a=10.
    10+a=10\displaystyle 10+a=10
  4. Scădem 10\displaystyle 10 din ambii membri ai ecuației și obținem a=10−10=0\displaystyle a=10-10=0.
    a=0\displaystyle a=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 7x−12=x\displaystyle \sqrt{7x-12}=x.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația 7x−12=x\displaystyle \sqrt{7x-12}=x are sens dacă 7x−12≥0\displaystyle 7x-12\ge 0. Cum radicalul este mai mare sau egal cu zero, trebuie ca x≥0\displaystyle x\ge 0. Vom verifica aceste condiții la final.
    7x−12≥0\displaystyle 7x-12\ge 0, x≥0\displaystyle \ x\ge 0
  2. Ridicăm ecuația la pătrat și obținem 7x−12=x2\displaystyle 7x-12=x^{2}. Mutăm toți termenii în membrul drept: x2−7x+12=0\displaystyle x^{2}-7x+12=0.
    7x−12=x2⇒x2−7x+12=0\displaystyle 7x-12=x^{2}\Rightarrow x^{2}-7x+12=0
  3. Calculăm discriminantul: Δ=(−7)2−4⋅1⋅12=49−48=1\displaystyle \Delta=(-7)^{2}-4\cdot 1\cdot 12=49-48=1.
    Δ=1\displaystyle \Delta=1
  4. Rădăcinile sunt x=7±12\displaystyle x=\dfrac{7\pm 1}{2}, deci x=3\displaystyle x=3 sau x=4\displaystyle x=4.
    x=7±12⇒x=3 sau x=4\displaystyle x=\dfrac{7\pm 1}{2}\Rightarrow x=3\text{ sau }x=4
  5. Verificăm, deoarece ridicarea la pătrat poate introduce soluții false. Pentru x=3\displaystyle x=3: 7⋅3−12=9=3\displaystyle \sqrt{7\cdot 3-12}=\sqrt{9}=3. Pentru x=4\displaystyle x=4: 7⋅4−12=16=4\displaystyle \sqrt{7\cdot 4-12}=\sqrt{16}=4. Ambele verifică ecuația.
    x=3 sau x=4, care convin\displaystyle x=3\text{ sau }x=4\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu cifre nenule.
Vezi rezolvarea
  1. Cifrele nenule sunt 1,2,…,9\displaystyle 1,2,\ldots,9, deci avem 9\displaystyle 9 cifre disponibile. Numărul are trei cifre distincte, pe care le alegem pe rând: cifra sutelor, cifra zecilor, cifra unităților.
    {1,2,3,4,5,6,7,8,9}, adica˘ 9 cifre\displaystyle \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\text{, adică }9\text{ cifre}
  2. Cifra sutelor se poate alege în 9\displaystyle 9 moduri, din cele 9\displaystyle 9 cifre nenule. Cifra zecilor trebuie să fie diferită de cifra sutelor, deci se poate alege în 8\displaystyle 8 moduri.
    9 moduri, apoi 8 moduri\displaystyle 9\text{ moduri, apoi }8\text{ moduri}
  3. Cifra unităților trebuie să fie diferită de cele două cifre deja alese, deci se poate alege în 7\displaystyle 7 moduri. Aplicăm regula produsului: înmulțim numerele de moduri de alegere.
    9⋅8⋅7=504\displaystyle 9\cdot 8\cdot 7=504
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră dreapta d\displaystyle d de ecuație y=x−4\displaystyle y=x-4. Determinați distanța dintre punctele de intersecție a dreptei d\displaystyle d cu axele Ox\displaystyle Ox, respectiv Oy\displaystyle Oy.
Vezi rezolvarea
  1. Intersecția dreptei d\displaystyle d cu axa Ox\displaystyle Ox are ordonata 0\displaystyle 0. Înlocuim y=0\displaystyle y=0 în ecuația dreptei: 0=x−4\displaystyle 0=x-4, deci x=4\displaystyle x=4. Punctul este A(4,0)\displaystyle A(4,0).
    A(4,0)\displaystyle A(4,0)
  2. Intersecția dreptei d\displaystyle d cu axa Oy\displaystyle Oy are abscisa 0\displaystyle 0. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în ecuația dreptei: y=0−4=−4\displaystyle y=0-4=-4. Punctul este B(0,−4)\displaystyle B(0,-4).
    A(4,0)\displaystyle A(4,0), B(0,−4)\displaystyle \ B(0,-4)
  3. Aplicăm formula distanței dintre două puncte: AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^{2}+(y_B-y_A)^{2}}.
    AB=(0−4)2+(−4−0)2\displaystyle AB=\sqrt{(0-4)^{2}+(-4-0)^{2}}
  4. Calculăm: 16+16=32\displaystyle 16+16=32, iar 32=16⋅2=42\displaystyle \sqrt{32}=\sqrt{16\cdot 2}=4\sqrt{2}.
    AB=16+16=32=42\displaystyle AB=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC cu AB=5\displaystyle AB=5, AC=12\displaystyle AC=12 și BC=13\displaystyle BC=13. Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că lungimile laturilor sunt numere pitagorice și verificăm dacă se respectă reciproca teoremei lui Pitagora. Calculăm pătratele celor două laturi mai mici: AB2=52=25\displaystyle AB^{2}=5^{2}=25 și AC2=122=144\displaystyle AC^{2}=12^{2}=144.
    AB2=25\displaystyle AB^{2}=25,AC2=144\displaystyle \quad AC^{2}=144
  2. Adunăm pătratele celor două laturi mai mici și comparăm cu pătratul laturii celei mai mari: 52+122=25+144=169=132\displaystyle 5^{2}+12^{2}=25+144=169=13^{2}. Cum AB2+AC2=BC2\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}, triunghiul este dreptunghic, cu unghiul drept opus ipotenuzei BC\displaystyle BC, adică în A\displaystyle A.
    52+122=132⇒ΔABC este dreptunghic ıˆn A\displaystyle 5^{2}+12^{2}=13^{2}\Rightarrow \Delta ABC\text{ este dreptunghic în }A
  3. Într-un triunghi dreptunghic, aria este jumătate din produsul catetelor. Catetele sunt AB\displaystyle AB și AC\displaystyle AC, deci AΔABC=AB⋅AC2=5⋅122=602=30\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{5\cdot 12}{2}=\dfrac{60}{2}=30.
    AΔABC=5⋅122=30\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{5\cdot 12}{2}=30
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−(x+y)+2\displaystyle x*y=xy-(x+y)+2.

Arătați că 1∗(−1)=1\displaystyle 1*(-1)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∗y=xy−(x+y)+2\displaystyle x*y=xy-(x+y)+2. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=−1\displaystyle y=-1.
    1∗(−1)=1⋅(−1)−(1+(−1))+2\displaystyle 1*(-1)=1\cdot(-1)-(1+(-1))+2
  2. Calculăm produsul 1⋅(−1)=−1\displaystyle 1\cdot(-1)=-1 și suma 1+(−1)=0\displaystyle 1+(-1)=0.
    −1−0+2\displaystyle -1-0+2
  3. Efectuăm calculul: −1−0+2=1\displaystyle -1-0+2=1, deci 1∗(−1)=1\displaystyle 1*(-1)=1.
    1∗(−1)=1\displaystyle 1*(-1)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−(x+y)+2\displaystyle x*y=xy-(x+y)+2. Demonstrați că x∗y=(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=(x-1)(y-1)+1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii x∗y=xy−(x+y)+2\displaystyle x*y=xy-(x+y)+2. Desfacem parantezele și scriem 2\displaystyle 2 ca 1+1\displaystyle 1+1.
    x∗y=xy−x−y+1+1\displaystyle x*y=xy-x-y+1+1
  2. Grupăm primii patru termeni astfel: xy−x\displaystyle xy-x se scrie x(y−1)\displaystyle x(y-1), iar −y+1\displaystyle -y+1 se scrie −(y−1)\displaystyle -(y-1). Astfel xy−x−y+1=x(y−1)−(y−1)\displaystyle xy-x-y+1=x(y-1)-(y-1), iar al doilea +1\displaystyle +1 rămâne separat.
    x∗y=x(y−1)−(y−1)+1\displaystyle x*y=x(y-1)-(y-1)+1
  3. Dăm factor comun pe y−1\displaystyle y-1 în primii doi termeni: x(y−1)−(y−1)=(x−1)(y−1)\displaystyle x(y-1)-(y-1)=(x-1)(y-1). Obținem x∗y=(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=(x-1)(y-1)+1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=(x−1)(y−1)+1, pentru orice numere \displaystyle x*y=(x-1)(y-1)+1\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−(x+y)+2\displaystyle x*y=xy-(x+y)+2.

Verificați dacă e=2\displaystyle e=2 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul e=2\displaystyle e=2 este neutru dacă x∗2=2∗x=x\displaystyle x*2=2*x=x pentru orice x\displaystyle x real. Scriem legea sub formă factorizată: xy−x−y+2=xy−x−y+1+1=(x−1)(y−1)+1\displaystyle xy-x-y+2=xy-x-y+1+1=(x-1)(y-1)+1.
    x∗y=(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=(x-1)(y-1)+1
  2. Calculăm x∗2\displaystyle x*2 înlocuind y=2\displaystyle y=2: x∗2=(x−1)(2−1)+1=x−1+1\displaystyle x*2=(x-1)(2-1)+1=x-1+1. Obținem x\displaystyle x.
    x∗2=(x−1)(2−1)+1=x−1+1=x\displaystyle x*2=(x-1)(2-1)+1=x-1+1=x, pentru orice x∈R\displaystyle \text{ pentru orice }x\in\mathbb{R}
  3. Calculăm 2∗x=(2−1)(x−1)+1=x−1+1=x\displaystyle 2*x=(2-1)(x-1)+1=x-1+1=x. Deci 2∗x=x=x∗2\displaystyle 2*x=x=x*2 pentru orice x\displaystyle x real.
    2∗x=(2−1)(x−1)+1=x−1+1=x=x∗2\displaystyle 2*x=(2-1)(x-1)+1=x-1+1=x=x*2, pentru orice x∈R\displaystyle \text{ pentru orice }x\in\mathbb{R}
  4. Deoarece x∗2=2∗x=x\displaystyle x*2=2*x=x pentru orice x\displaystyle x real, concluzionăm că e=2\displaystyle e=2 este elementul neutru al legii „∗\displaystyle *”.
    x∗2=2∗x=x, deci e=2 este elementul neutru al \displaystyle x*2=2*x=x\text{, deci }e=2\text{ este elementul neutru al }legii de compoziție „∗”\displaystyle \text{legii de compoziție „}*\text{”}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−(x+y)+2\displaystyle x*y=xy-(x+y)+2.

Verificați dacă 43\displaystyle \frac{4}{3} este simetricul lui 4\displaystyle 4 în raport cu legea de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se poate scrie sub forma x∗y=(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=(x-1)(y-1)+1, deoarece desfăcând parantezele obținem xy−x−y+1+1=xy−(x+y)+2\displaystyle xy-x-y+1+1=xy-(x+y)+2.
    x∗y=(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=(x-1)(y-1)+1
  2. Determinăm elementul neutru e\displaystyle e. Din x∗e=x\displaystyle x*e=x rezultă (x−1)(e−1)+1=x\displaystyle (x-1)(e-1)+1=x, adică (x−1)(e−1)=x−1\displaystyle (x-1)(e-1)=x-1 pentru orice x\displaystyle x, deci e=2\displaystyle e=2. Legea fiind comutativă, e=2\displaystyle e=2 este neutru și la stânga. Acest element neutru este cel față de care verificăm simetricul.
    e=2\displaystyle e=2
  3. Calculăm 4∗43\displaystyle 4*\dfrac{4}{3} folosind forma (x−1)(y−1)+1\displaystyle (x-1)(y-1)+1: primul factor este 4−1=3\displaystyle 4-1=3, al doilea este 43−1=13\displaystyle \dfrac{4}{3}-1=\dfrac{1}{3}, produsul lor este 1\displaystyle 1, iar adunând 1\displaystyle 1 obținem 2\displaystyle 2.
    4∗43=(4−1)(43−1)+1=3⋅13+1=2\displaystyle 4*\frac{4}{3}=(4-1)\left(\frac{4}{3}-1\right)+1=3\cdot\frac{1}{3}+1=2
  4. Calculăm și 43∗4\displaystyle \dfrac{4}{3}*4, adică produsul în ordine inversă. Factorii sunt aceiași, deci rezultatul este tot 2\displaystyle 2. Ambele produse dau elementul neutru 2\displaystyle 2, deci 43\displaystyle \dfrac{4}{3} este simetricul lui 4\displaystyle 4 în raport cu legea „∗\displaystyle *”.
    43∗4=(43−1)(4−1)+1=13⋅3+1=2, deci 43 este simetricul lui 4 ıˆn raport cu legea de \displaystyle \frac{4}{3}*4=\left(\frac{4}{3}-1\right)(4-1)+1=\frac{1}{3}\cdot 3+1=2\text{, deci }\frac{4}{3}\text{ este simetricul lui }4\text{ în raport cu legea de }compoziție „∗”\displaystyle \text{compoziție „}*\text{”}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−(x+y)+2\displaystyle x*y=xy-(x+y)+2.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x\displaystyle x pentru care x∗x≤x\displaystyle x*x\le x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm x∗x\displaystyle x*x înlocuind y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția legii: x∗x=x⋅x−(x+x)+2\displaystyle x*x=x\cdot x-(x+x)+2.
    x∗x=x2−2x+2\displaystyle x*x=x^{2}-2x+2
  2. Scriem expresia ca pătrat perfect plus 1\displaystyle 1: x2−2x+2=(x−1)2+1\displaystyle x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1.
    x∗x=(x−1)2+1\displaystyle x*x=(x-1)^{2}+1, x∈R\displaystyle \ x\in\mathbb{R}
  3. Scriem inegalitatea cerută x∗x≤x\displaystyle x*x\le x folosind forma obținută: (x−1)2+1≤x\displaystyle (x-1)^{2}+1\le x.
    (x−1)2+1≤x\displaystyle (x-1)^{2}+1\le x
  4. Mutăm x\displaystyle x în stânga și dezvoltăm: x2−2x+2−x≤0\displaystyle x^{2}-2x+2-x\le 0, adică x2−3x+2≤0\displaystyle x^{2}-3x+2\le 0.
    x2−3x+2≤0\displaystyle x^{2}-3x+2\le 0
  5. Descompunem trinomul în factori: rădăcinile sunt 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2, deci x2−3x+2=(x−1)(x−2)\displaystyle x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
    (x−1)(x−2)≤0\displaystyle (x-1)(x-2)\le 0
  6. Parabola y=x2−3x+2\displaystyle y=x^{2}-3x+2 are ramurile în sus, deci valorile ei sunt mai mici sau egale cu 0\displaystyle 0 între rădăcini, inclusiv în rădăcini. Deci x∈[1,2]\displaystyle x\in[1,2].
    x∈[1,2]\displaystyle x\in[1,2]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−(x+y)+2\displaystyle x*y=xy-(x+y)+2.

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea numerelor naturale nenule mai mici decât 11\displaystyle 11, acesta să verifice egalitatea n∗n∗n=n\displaystyle n*n*n=n.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale nenule mai mici decât 11\displaystyle 11 sunt 1,2,…,10\displaystyle 1,2,\dots,10, deci avem 10\displaystyle 10 cazuri posibile.
    10 cazuri posibile\displaystyle 10\text{ cazuri posibile}
  2. Rescriem legea de compoziție prin factorizare: xy−x−y+2=(x−1)(y−1)+1\displaystyle xy-x-y+2=(x-1)(y-1)+1, deci x∗y=(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=(x-1)(y-1)+1.
    x∗y=(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=(x-1)(y-1)+1
  3. Calculăm n∗n=(n−1)2+1\displaystyle n*n=(n-1)^2+1. Apoi (n∗n)∗n=((n−1)2+1−1)(n−1)+1=(n−1)3+1\displaystyle (n*n)*n=\left((n-1)^2+1-1\right)(n-1)+1=(n-1)^3+1.
    n∗n∗n=(n−1)3+1\displaystyle n*n*n=(n-1)^3+1
  4. Impunem egalitatea (n−1)3+1=n\displaystyle (n-1)^3+1=n, adică (n−1)3=n−1\displaystyle (n-1)^3=n-1. Notăm t=n−1\displaystyle t=n-1 și obținem t3−t=0\displaystyle t^3-t=0, adică t(t−1)(t+1)=0\displaystyle t(t-1)(t+1)=0. Rezultă t∈{−1,0,1}\displaystyle t\in\{-1,0,1\}, deci n∈{0,1,2}\displaystyle n\in\{0,1,2\}. Cum n\displaystyle n este nenul, rămân n=1\displaystyle n=1 și n=2\displaystyle n=2, deci 2\displaystyle 2 cazuri favorabile.
    n=1 sau n=2, deci sunt 2 cazuri favorabile\displaystyle n=1\text{ sau }n=2\text{, deci sunt }2\text{ cazuri favorabile}
  5. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: p=210=15\displaystyle p=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5}.
    p=210=15\displaystyle p=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−22−33)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2 & 2\\ -3 & 3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(M(0))=1\displaystyle \det(M(0))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în definiția M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA și obținem M(0)=I2+0⋅A\displaystyle M(0)=I_2+0\cdot A.
    M(0)=I2+0⋅A\displaystyle M(0)=I_2+0\cdot A
  2. Produsul 0⋅A\displaystyle 0\cdot A este matricea nulă, iar adunarea ei nu schimbă I2\displaystyle I_2. Deci M(0)\displaystyle M(0) este matricea unitate.
    M(0)=(1001)\displaystyle M(0)=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}
  3. Calculăm det⁡(M(0))\displaystyle \det(M(0)) ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(M(0))=∣1001∣=1⋅1−0⋅0\displaystyle \det(M(0))=\begin{vmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{vmatrix}=1\cdot1-0\cdot0
  4. Efectuăm calculul: 1⋅1−0⋅0=1−0=1\displaystyle 1\cdot1-0\cdot0=1-0=1. Deci det⁡(M(0))=1\displaystyle \det(M(0))=1, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡(M(0))=1\displaystyle \det(M(0))=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−22−33)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2 & 2\\ -3 & 3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că M(1)−M(3)=M(3)−M(5)\displaystyle M(1)-M(3)=M(3)-M(5).
Vezi rezolvarea
  1. Din definiția M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA obținem M(1)=I2+A\displaystyle M(1)=I_2+A, M(3)=I2+3A\displaystyle M(3)=I_2+3A și M(5)=I2+5A\displaystyle M(5)=I_2+5A.
    M(1)=I2+A\displaystyle M(1)=I_2+A, M(3)=I2+3A\displaystyle \ M(3)=I_2+3A, M(5)=I2+5A\displaystyle \ M(5)=I_2+5A
  2. Calculăm M(1)−M(3)=I2+A−(I2+3A)\displaystyle M(1)-M(3)=I_2+A-(I_2+3A). Matricea I2\displaystyle I_2 se reduce, iar A−3A=−2A\displaystyle A-3A=-2A.
    M(1)−M(3)=I2+A−(I2+3A)=−2A\displaystyle M(1)-M(3)=I_2+A-(I_2+3A)=-2A
  3. Calculăm M(3)−M(5)=I2+3A−(I2+5A)\displaystyle M(3)-M(5)=I_2+3A-(I_2+5A). Matricea I2\displaystyle I_2 se reduce, iar 3A−5A=−2A\displaystyle 3A-5A=-2A.
    M(3)−M(5)=I2+3A−(I2+5A)=−2A\displaystyle M(3)-M(5)=I_2+3A-(I_2+5A)=-2A
  4. Ambele diferențe sunt egale cu −2A\displaystyle -2A, deci M(1)−M(3)=M(3)−M(5)\displaystyle M(1)-M(3)=M(3)-M(5), ceea ce trebuia arătat.
    M(3)−M(5)=−2A=M(1)−M(3)\displaystyle M(3)-M(5)=-2A=M(1)-M(3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−22−33)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2 & 2\\ -3 & 3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A⋅A=A\displaystyle A\cdot A=A.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A și amintim regula de înmulțire a matricelor: elementul de pe linia i\displaystyle i și coloana j\displaystyle j se obține înmulțind elementele liniei i\displaystyle i din prima matrice cu elementele coloanei j\displaystyle j din a doua matrice și adunând produsele.
    A⋅A=(−22−33)⋅(−22−33)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}-2 & 2\\ -3 & 3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-2 & 2\\ -3 & 3\end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element al produsului, înmulțind linia cu coloana corespunzătoare.
    A⋅A=((−2)⋅(−2)+2⋅(−3)(−2)⋅2+2⋅3(−3)⋅(−2)+3⋅(−3)(−3)⋅2+3⋅3)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}(-2)\cdot(-2)+2\cdot(-3) & (-2)\cdot2+2\cdot3\\ (-3)\cdot(-2)+3\cdot(-3) & (-3)\cdot2+3\cdot3\end{pmatrix}
  3. Efectuăm înmulțirile din fiecare element al matricei.
    A⋅A=(4−6−4+66−9−6+9)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}4-6 & -4+6\\ 6-9 & -6+9\end{pmatrix}
  4. Efectuăm adunările și scăderile și observăm că matricea obținută coincide cu A\displaystyle A, deci A⋅A=A\displaystyle A\cdot A=A.
    A⋅A=(−22−33)=A\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}-2 & 2\\ -3 & 3\end{pmatrix}=A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−22−33)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2 & 2\\ -3 & 3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x\displaystyle x pentru care det⁡(M(x2))<5\displaystyle \det\left(M\left(x^2\right)\right)<5.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu x2\displaystyle x^{2} în definiția M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA și obținem M(x2)=I2+x2A\displaystyle M\left(x^{2}\right)=I_2+x^{2}A.
    M(x2)=(1001)+x2(−22−33)\displaystyle M\left(x^{2}\right)=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}+x^{2}\begin{pmatrix}-2 & 2\\ -3 & 3\end{pmatrix}
  2. Înmulțim fiecare element al lui A\displaystyle A cu x2\displaystyle x^{2} și adunăm cu I2\displaystyle I_2: pe diagonală avem 1−2x2\displaystyle 1-2x^{2} și 1+3x2\displaystyle 1+3x^{2}, iar în afara diagonalei 2x2\displaystyle 2x^{2} și −3x2\displaystyle -3x^{2}.
    M(x2)=(1−2x22x2−3x21+3x2)\displaystyle M\left(x^{2}\right)=\begin{pmatrix}1-2x^{2} & 2x^{2}\\ -3x^{2} & 1+3x^{2}\end{pmatrix}
  3. Determinantul este (1−2x2)(1+3x2)−2x2⋅(−3x2)\displaystyle \left(1-2x^{2}\right)\left(1+3x^{2}\right)-2x^{2}\cdot\left(-3x^{2}\right).
    det⁡(M(x2))=(1−2x2)(1+3x2)+6x4\displaystyle \det\left(M\left(x^{2}\right)\right)=\left(1-2x^{2}\right)\left(1+3x^{2}\right)+6x^{4}
  4. Avem (1−2x2)(1+3x2)=1+3x2−2x2−6x4=1+x2−6x4\displaystyle \left(1-2x^{2}\right)\left(1+3x^{2}\right)=1+3x^{2}-2x^{2}-6x^{4}=1+x^{2}-6x^{4}, iar după adunarea cu 6x4\displaystyle 6x^{4} termenii în x4\displaystyle x^{4} se reduc.
    det⁡(M(x2))=1+x2, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \det\left(M\left(x^{2}\right)\right)=1+x^{2}\text{, pentru orice număr real }x
  5. Inegalitatea det⁡(M(x2))<5\displaystyle \det\left(M\left(x^{2}\right)\right)<5 devine 1+x2<5\displaystyle 1+x^{2}<5, adică x2−4<0\displaystyle x^{2}-4<0.
    x2−4<0\displaystyle x^{2}-4<0
  6. Descompunem x2−4=(x−2)(x+2)\displaystyle x^{2}-4=(x-2)(x+2). Produsul este negativ doar între rădăcinile −2\displaystyle -2 și 2\displaystyle 2, deci mulțimea cerută este un interval.
    (x−2)(x+2)<0⇔x∈(−2,2)\displaystyle (x-2)(x+2)<0\Leftrightarrow x\in(-2,2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−22−33)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2 & 2\\ -3 & 3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că M(x)⋅M(y)=M(x+y+xy)\displaystyle M(x)\cdot M(y)=M(x+y+xy), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul folosind definiția: M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA și M(y)=I2+yA\displaystyle M(y)=I_2+yA.
    M(x)⋅M(y)=(I2+xA)(I2+yA)\displaystyle M(x)\cdot M(y)=(I_2+xA)(I_2+yA)
  2. Dezvoltăm produsul prin distributivitate. Matricea I2\displaystyle I_2 este element neutru la înmulțire, deci I2⋅I2=I2\displaystyle I_2\cdot I_2=I_2, I2⋅yA=yA\displaystyle I_2\cdot yA=yA, xA⋅I2=xA\displaystyle xA\cdot I_2=xA, iar scalarii x\displaystyle x și y\displaystyle y se scot în fața produsului A⋅A\displaystyle A\cdot A.
    (I2+xA)(I2+yA)=I2+xA+yA+xyA⋅A\displaystyle (I_2+xA)(I_2+yA)=I_2+xA+yA+xyA\cdot A
  3. Calculăm A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind linie cu coloană: elementul de pe linia 1, coloana 1 este (−2)(−2)+2⋅(−3)=4−6=−2\displaystyle (-2)(-2)+2\cdot(-3)=4-6=-2, cel de pe linia 1, coloana 2 este (−2)⋅2+2⋅3=2\displaystyle (-2)\cdot 2+2\cdot 3=2, cel de pe linia 2, coloana 1 este (−3)(−2)+3⋅(−3)=−3\displaystyle (-3)(-2)+3\cdot(-3)=-3, iar cel de pe linia 2, coloana 2 este (−3)⋅2+3⋅3=3\displaystyle (-3)\cdot 2+3\cdot 3=3.
    A⋅A=(−22−33)=A\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}-2 & 2\\ -3 & 3\end{pmatrix}=A
  4. Înlocuim A⋅A=A\displaystyle A\cdot A=A în expresia obținută la dezvoltare.
    I2+xA+yA+xyA⋅A=I2+xA+yA+xyA\displaystyle I_2+xA+yA+xyA\cdot A=I_2+xA+yA+xyA
  5. Dăm factor comun matricea A\displaystyle A și recunoaștem definiția lui M\displaystyle M în punctul x+y+xy\displaystyle x+y+xy. Egalitatea este adevărată pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    I2+xA+yA+xyA=I2+(x+y+xy)A=M(x+y+xy), pentru orice numere \displaystyle I_2+xA+yA+xyA=I_2+(x+y+xy)A=M(x+y+xy)\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−22−33)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2 & 2\\ -3 & 3\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} și M(x)=I2+xA\displaystyle M(x)=I_2+xA, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele întregi m\displaystyle m și n\displaystyle n, m<n\displaystyle m<n, pentru care M(m)⋅M(n)=M(2)\displaystyle M(m)\cdot M(n)=M(2).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A2\displaystyle A^{2}, înmulțind matricea A\displaystyle A cu ea însăși: A2=(−22−33)(−22−33)=(4−6−4+66−9−6+9)\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}-2 & 2\\ -3 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2 & 2\\ -3 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4-6 & -4+6\\ 6-9 & -6+9\end{pmatrix}. Obținem chiar A\displaystyle A.
    A2=(−22−33)=A\displaystyle A^{2}=\begin{pmatrix}-2 & 2\\ -3 & 3\end{pmatrix}=A
  2. Calculăm M(m)⋅M(n)=(I2+mA)(I2+nA)=I2+(m+n)A+mnA2\displaystyle M(m)\cdot M(n)=(I_2+mA)(I_2+nA)=I_2+(m+n)A+mnA^{2}. Cum A2=A\displaystyle A^{2}=A, rezultă I2+(m+n+mn)A\displaystyle I_2+(m+n+mn)A.
    M(m)⋅M(n)=I2+(m+n+mn)A=M(m+n+mn)\displaystyle M(m)\cdot M(n)=I_2+(m+n+mn)A=M(m+n+mn)
  3. Egalitatea M(m+n+mn)=M(2)\displaystyle M(m+n+mn)=M(2) înseamnă (m+n+mn)A=2A\displaystyle (m+n+mn)A=2A. Deoarece A≠O2\displaystyle A\neq O_2, coeficienții trebuie să fie egali, deci m+n+mn=2\displaystyle m+n+mn=2.
    M(m+n+mn)=M(2)⇔m+n+mn=2\displaystyle M(m+n+mn)=M(2)\Leftrightarrow m+n+mn=2
  4. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri: mn+m+n+1=3\displaystyle mn+m+n+1=3. Factorizăm membrul stâng: m(n+1)+(n+1)=(m+1)(n+1)\displaystyle m(n+1)+(n+1)=(m+1)(n+1).
    (m+1)(n+1)=3\displaystyle (m+1)(n+1)=3
  5. Cum m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt întregi, m+1\displaystyle m+1 și n+1\displaystyle n+1 sunt divizori întregi ai lui 3\displaystyle 3, cu produsul 3\displaystyle 3. Din m<n\displaystyle m<n rezultă m+1<n+1\displaystyle m+1<n+1, deci perechile (m+1,n+1)\displaystyle (m+1,n+1) sunt (−3,−1)\displaystyle (-3,-1) și (1,3)\displaystyle (1,3).
    (m+1,n+1)∈{(−3,−1),(1,3)}\displaystyle (m+1,n+1)\in\{(-3,-1),(1,3)\}
  6. Pentru (−3,−1)\displaystyle (-3,-1) obținem m=−4\displaystyle m=-4 și n=−2\displaystyle n=-2. Pentru (1,3)\displaystyle (1,3) obținem m=0\displaystyle m=0 și n=2\displaystyle n=2.
    m=−4\displaystyle m=-4, n=−2 sau m=0\displaystyle \ n=-2\text{ sau }m=0, n=2\displaystyle \ n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.