Bac matematică M4 pedagogic 2021, model, test de evaluare 3: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (202+2⋅20⋅21+212):(20+12)=82\displaystyle \left(20^2+2\cdot 20\cdot 21+21^2\right):\left(20+\frac{1}{2}\right)=82.
Vezi rezolvarea
  1. Recunoaștem în prima paranteză formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 pentru a=20\displaystyle a=20 și b=21\displaystyle b=21.
    202+2⋅20⋅21+212=(20+21)2\displaystyle 20^2+2\cdot 20\cdot 21+21^2=(20+21)^2
  2. Calculăm 20+21=41\displaystyle 20+21=41, deci prima paranteză este egală cu 412\displaystyle 41^2.
    (20+21)2=412\displaystyle (20+21)^2=41^2
  3. Scriem 20+12=402+12=412\displaystyle 20+\dfrac{1}{2}=\dfrac{40}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{41}{2}.
    20+12=412\displaystyle 20+\frac{1}{2}=\frac{41}{2}
  4. Expresia devine 412:412\displaystyle 41^2:\dfrac{41}{2}. Împărțirea la o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei, deci obținem 412⋅241\displaystyle 41^2\cdot\dfrac{2}{41}.
    412:412=412⋅241\displaystyle 41^2:\frac{41}{2}=41^2\cdot\frac{2}{41}
  5. Simplificăm prin 41\displaystyle 41: 412⋅241=41⋅2=82\displaystyle 41^2\cdot\dfrac{2}{41}=41\cdot 2=82, ceea ce trebuia arătat.
    41⋅2=82\displaystyle 41\cdot 2=82
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x−1\displaystyle f(x)=3x-1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x+5\displaystyle g(x)=x+5.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție are aceeași abscisă și aceeași ordonată pe ambele grafice, deci egalăm expresiile celor două funcții: f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x).
    3x−1=x+5\displaystyle 3x-1=x+5
  2. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: 3x−x=5+1\displaystyle 3x-x=5+1, deci 2x=6\displaystyle 2x=6.
    2x=6\displaystyle 2x=6
  3. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem abscisa punctului de intersecție.
    x=3\displaystyle x=3
  4. Aflăm ordonata înlocuind x=3\displaystyle x=3 în expresia lui g\displaystyle g (sau a lui f\displaystyle f): g(3)=3+5=8\displaystyle g(3)=3+5=8. Verificare: f(3)=3⋅3−1=8\displaystyle f(3)=3\cdot 3-1=8. Punctul de intersecție are coordonatele (3,8)\displaystyle (3,8).
    x=3\displaystyle x=3, y=8\displaystyle \ y=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația lg⁡(1−9x)=2\displaystyle \lg(1-9x)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci 1−9x>0\displaystyle 1-9x>0, adică x<19\displaystyle x<\dfrac{1}{9}.
    x<19\displaystyle x<\dfrac{1}{9}
  2. Aplicăm definiția logaritmului zecimal: lg⁡a=2\displaystyle \lg a=2 înseamnă a=102\displaystyle a=10^{2}, deci 1−9x=102=100\displaystyle 1-9x=10^{2}=100.
    1−9x=100\displaystyle 1-9x=100
  3. Rezolvăm ecuația de gradul întâi: scădem 1 din ambii membri și obținem −9x=99\displaystyle -9x=99, apoi împărțim la −9\displaystyle -9.
    x=99−9=−11\displaystyle x=\dfrac{99}{-9}=-11
  4. Verificăm condiția de existență: pentru x=−11\displaystyle x=-11 avem 1−9⋅(−11)=1+99=100>0\displaystyle 1-9\cdot(-11)=1+99=100>0, deci soluția convine.
    x=−11, care convine\displaystyle x=-11\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale impare de două cifre au produsul cifrelor număr par.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul are forma ab‾\displaystyle \overline{ab}, cu a\displaystyle a cifra zecilor și b\displaystyle b cifra unităților. Numărul este impar, deci cifra unităților este impară: b∈{1,3,5,7,9}\displaystyle b\in\{1,3,5,7,9\}. Avem 5 posibilități pentru cifra unităților.
    b∈{1,3,5,7,9}, adica˘ 5 posibilita˘ți\displaystyle b\in\{1,3,5,7,9\}\text{, adică }5\text{ posibilități}
  2. Cifra unităților b\displaystyle b este impară, deci produsul a⋅b\displaystyle a\cdot b este par doar dacă cifra zecilor a\displaystyle a este pară. Un produs de două numere este par dacă măcar un factor este par, iar b\displaystyle b este impar.
    a⋅b par  ⟺  a par\displaystyle a\cdot b\text{ par}\iff a\text{ par}
  3. Cifra zecilor a\displaystyle a este pară și nenulă, pentru că numărul are două cifre, deci a∈{2,4,6,8}\displaystyle a\in\{2,4,6,8\}. Avem 4 posibilități pentru cifra zecilor.
    a∈{2,4,6,8}, adica˘ 4 posibilita˘ți\displaystyle a\in\{2,4,6,8\}\text{, adică }4\text{ posibilități}
  4. Alegerile pentru cifra zecilor și pentru cifra unităților sunt independente, deci înmulțim numărul de posibilități: 4⋅5=20\displaystyle 4\cdot 5=20. Sunt 20 de numere.
    4⋅5=20\displaystyle 4\cdot 5=20
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−2,1)\displaystyle A(-2,1), B(3,1)\displaystyle B(3,1) și C(3,−3)\displaystyle C(3,-3). Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că punctele A\displaystyle A și B\displaystyle B au aceeași ordonată (egală cu 1\displaystyle 1), deci segmentul AB\displaystyle AB este orizontal. Punctele B\displaystyle B și C\displaystyle C au aceeași abscisă (egală cu 3\displaystyle 3), deci segmentul BC\displaystyle BC este vertical. Rezultă că dreptele AB\displaystyle AB și BC\displaystyle BC sunt perpendiculare, adică triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în B\displaystyle B.
    AB⊥BC\displaystyle AB\perp BC, ∠B=90∘\displaystyle \ \angle B=90^\circ
  2. Calculăm lungimea catetei AB\displaystyle AB. Cum punctele au aceeași ordonată, lungimea este diferența absolută a absciselor: ∣3−(−2)∣=5\displaystyle |3-(-2)|=5.
    AB=∣3−(−2)∣=5\displaystyle AB=|3-(-2)|=5
  3. Calculăm lungimea catetei BC\displaystyle BC. Cum punctele au aceeași abscisă, lungimea este diferența absolută a ordonatelor: ∣−3−1∣=4\displaystyle |-3-1|=4.
    AB=5\displaystyle AB=5, BC=∣−3−1∣=4\displaystyle \ BC=|-3-1|=4
  4. Aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor. Înlocuim AB=5\displaystyle AB=5 și BC=4\displaystyle BC=4 și obținem aria 10\displaystyle 10.
    AΔABC=AB⋅BC2=5⋅42=10\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot BC}{2}=\frac{5\cdot 4}{2}=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că cos⁡60∘⋅(5sin⁡30∘−sin⁡150∘)=1\displaystyle \cos 60^\circ\cdot\left(5\sin 30^\circ-\sin 150^\circ\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valorile cunoscute: cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2} și sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}.
    cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}, sin⁡30∘=12\displaystyle \ \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}
  2. Pentru sin⁡150∘\displaystyle \sin 150^\circ folosim formula sin⁡(180∘−x)=sin⁡x\displaystyle \sin(180^\circ-x)=\sin x. Rezultă sin⁡150∘=sin⁡(180∘−30∘)=sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}.
    cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}, sin⁡30∘=12\displaystyle \ \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, sin⁡150∘=12\displaystyle \ \sin 150^\circ=\dfrac{1}{2}
  3. Înlocuim valorile în expresie: cos⁡60∘⋅(5sin⁡30∘−sin⁡150∘)=12⋅(5⋅12−12)\displaystyle \cos 60^\circ\cdot\left(5\sin 30^\circ-\sin 150^\circ\right)=\dfrac{1}{2}\cdot\left(5\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\right).
    12⋅(5⋅12−12)\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\left(5\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\right)
  4. Calculăm paranteza: 52−12=42=2\displaystyle \dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{2}=2.
    52−12=2\displaystyle \dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{2}=2
  5. Înmulțim: 12⋅2=1\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot 2=1, deci egalitatea cerută este adevărată.
    12⋅(5⋅12−12)=12⋅2=1\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\left(5\cdot\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot 2=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+2xy−1\displaystyle x*y=x+y+2^{xy}-1.

Arătați că 1∗3=11\displaystyle 1*3=11.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∗y=x+y+2xy−1\displaystyle x*y=x+y+2^{xy}-1 pentru x=1\displaystyle x=1 și y=3\displaystyle y=3.
    1∗3=1+3+21⋅3−1\displaystyle 1*3=1+3+2^{1\cdot 3}-1
  2. Produsul din exponent este 1⋅3=3\displaystyle 1\cdot 3=3, deci puterea este 23\displaystyle 2^{3}.
    21⋅3=23=8\displaystyle 2^{1\cdot 3}=2^{3}=8
  3. Înlocuim 23=8\displaystyle 2^{3}=8 în expresie: 1+3=4\displaystyle 1+3=4, apoi 4+8−1=11\displaystyle 4+8-1=11. Deci egalitatea cerută este adevărată.
    1∗3=4+8−1=11\displaystyle 1*3=4+8-1=11
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+2xy−1\displaystyle x*y=x+y+2^{xy}-1.

Demonstrați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea „∗\displaystyle *” este comutativă dacă x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}. Fixăm x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R} oarecare și scriem definiția: x∗y=x+y+2xy−1\displaystyle x*y=x+y+2^{xy}-1.
    x∗y=x+y+2xy−1\displaystyle x*y=x+y+2^{xy}-1
  2. Adunarea și înmulțirea numerelor reale sunt comutative: x+y=y+x\displaystyle x+y=y+x și xy=yx\displaystyle xy=yx. Prin urmare exponentul xy\displaystyle xy se poate scrie yx\displaystyle yx și obținem x∗y=y+x+2yx−1\displaystyle x*y=y+x+2^{yx}-1.
    x∗y=x+y+2xy−1=y+x+2yx−1\displaystyle x*y=x+y+2^{xy}-1=y+x+2^{yx}-1
  3. Expresia y+x+2yx−1\displaystyle y+x+2^{yx}-1 este exact definiția lui y∗x\displaystyle y*x (în definiție înlocuim x\displaystyle x cu y\displaystyle y și y\displaystyle y cu x\displaystyle x). Deci x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}, adică legea „∗\displaystyle *” este comutativă.
    x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x, ∀x\displaystyle \ \forall x,y∈R\displaystyle y\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+2xy−1\displaystyle x*y=x+y+2^{xy}-1. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care a∗1=(−1)∗(−a)\displaystyle a*1=(-1)*(-a).
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=x+y+2xy−1\displaystyle x*y=x+y+2^{xy}-1 în membrul stâng, cu x=a\displaystyle x=a și y=1\displaystyle y=1: a∗1=a+1+2a⋅1−1\displaystyle a*1=a+1+2^{a\cdot 1}-1.
    a∗1=a+1+2a−1\displaystyle a*1=a+1+2^{a}-1
  2. Aplicăm definiția în membrul drept, cu x=−1\displaystyle x=-1 și y=−a\displaystyle y=-a. Produsul este xy=(−1)⋅(−a)=a\displaystyle xy=(-1)\cdot(-a)=a, deci (−1)∗(−a)=−1−a+2a−1\displaystyle (-1)*(-a)=-1-a+2^{a}-1.
    (−1)∗(−a)=−1−a+2a−1\displaystyle (-1)*(-a)=-1-a+2^{a}-1
  3. Egalăm cele două expresii: a∗1=(−1)∗(−a)\displaystyle a*1=(-1)*(-a) devine o ecuație în a\displaystyle a.
    a+1+2a−1=−1−a+2a−1\displaystyle a+1+2^{a}-1=-1-a+2^{a}-1
  4. Termenul 2a\displaystyle 2^{a} apare în ambii membri și se reduce. În membrul stâng +1−1\displaystyle +1-1 se anulează, deci rămâne a\displaystyle a. În membrul drept rămân −1−a−1\displaystyle -1-a-1, adică −a−2\displaystyle -a-2. Obținem a=−a−2\displaystyle a=-a-2.
    a=−a−2\displaystyle a=-a-2
  5. Mutăm −a\displaystyle -a în membrul stâng: 2a=−2\displaystyle 2a=-2. Împărțind la 2\displaystyle 2 obținem a=−1\displaystyle a=-1.
    2a=−2⇔a=−1\displaystyle 2a=-2\Leftrightarrow a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+2xy−1\displaystyle x*y=x+y+2^{xy}-1.

Arătați că x∗1x≥3\displaystyle x*\frac{1}{x}\ge 3, pentru orice număr real x\displaystyle x, x>0\displaystyle x>0.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm legea x∗y=x+y+2xy−1\displaystyle x*y=x+y+2^{xy}-1 pentru y=1x\displaystyle y=\dfrac{1}{x}. Produsul x⋅1x\displaystyle x\cdot\dfrac{1}{x} este 1\displaystyle 1, deci 21=2\displaystyle 2^{1}=2.
    x∗1x=x+1x+21−1\displaystyle x*\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}+2^{1}-1
  2. Calculăm 2−1=1\displaystyle 2-1=1, deci expresia devine una mai simplă.
    x∗1x=x+1x+1\displaystyle x*\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}+1
  3. Scriem 1=−2+3\displaystyle 1=-2+3, ca să apară expresia x+1x−2\displaystyle x+\dfrac{1}{x}-2, care duce la un pătrat perfect.
    x∗1x=(x+1x−2)+3\displaystyle x*\frac{1}{x}=\left(x+\frac{1}{x}-2\right)+3
  4. Aducem la numitor comun, cu x>0\displaystyle x>0: x+1x−2=x2−2x+1x\displaystyle x+\dfrac{1}{x}-2=\dfrac{x^{2}-2x+1}{x}, iar numărătorul este pătratul perfect (x−1)2\displaystyle (x-1)^{2}.
    x+1x−2=(x−1)2x\displaystyle x+\frac{1}{x}-2=\frac{(x-1)^{2}}{x}
  5. Deoarece (x−1)2≥0\displaystyle (x-1)^{2}\ge 0 și x>0\displaystyle x>0, fracția este mai mare sau egală cu 0\displaystyle 0. Adunând 3\displaystyle 3, obținem inegalitatea cerută, pentru orice x>0\displaystyle x>0.
    x∗1x=(x−1)2x+3≥3, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*\frac{1}{x}=\frac{(x-1)^2}{x}+3\ge 3\text{, pentru orice număr real }x, x>0\displaystyle \ x>0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+2xy−1\displaystyle x*y=x+y+2^{xy}-1.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗(3x)=(4x−1)∗1\displaystyle x*(3x)=(4x-1)*1.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm legea pentru membrul stâng: x∗(3x)=x+3x+2x⋅3x−1\displaystyle x*(3x)=x+3x+2^{x\cdot 3x}-1, adică 4x+23x2−1\displaystyle 4x+2^{3x^{2}}-1.
    x∗(3x)=4x+23x2−1\displaystyle x*(3x)=4x+2^{3x^{2}}-1
  2. Aplicăm legea pentru membrul drept: (4x−1)∗1=(4x−1)+1+2(4x−1)⋅1−1\displaystyle (4x-1)*1=(4x-1)+1+2^{(4x-1)\cdot 1}-1. Reducem termenii: −1\displaystyle -1 și +1\displaystyle +1 se anulează, rămâne 4x−1+24x−1\displaystyle 4x-1+2^{4x-1}.
    (4x−1)∗1=4x−1+24x−1\displaystyle (4x-1)*1=4x-1+2^{4x-1}
  3. Egalăm cele două expresii: 4x+23x2−1=4x−1+24x−1\displaystyle 4x+2^{3x^{2}}-1=4x-1+2^{4x-1}. Termenul 4x\displaystyle 4x și termenul −1\displaystyle -1 apar în ambii membri și se reduc, deci 23x2=24x−1\displaystyle 2^{3x^{2}}=2^{4x-1}. Funcția exponențială cu baza 2 este injectivă, deci egalăm exponenții: 3x2=4x−1\displaystyle 3x^{2}=4x-1, adică 3x2−4x+1=0\displaystyle 3x^{2}-4x+1=0.
    23x2=24x−1⇔3x2−4x+1=0\displaystyle 2^{3x^{2}}=2^{4x-1}\Leftrightarrow 3x^{2}-4x+1=0
  4. Calculăm discriminantul ecuației 3x2−4x+1=0\displaystyle 3x^{2}-4x+1=0: Δ=(−4)2−4⋅3⋅1=16−12=4\displaystyle \Delta=(-4)^{2}-4\cdot 3\cdot 1=16-12=4, deci Δ=2\displaystyle \sqrt{\Delta}=2.
    Δ=4\displaystyle \Delta=4
  5. Calculăm rădăcinile: x=4±26\displaystyle x=\dfrac{4\pm 2}{6}, adică x=66=1\displaystyle x=\dfrac{6}{6}=1 sau x=26=13\displaystyle x=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}. Ambele sunt numere reale, deci convin.
    x=13 sau x=1\displaystyle x=\frac{1}{3}\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y+2xy−1\displaystyle x*y=x+y+2^{xy}-1.

Arătați că, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n, numărul N=n∗(n+1)\displaystyle N=n*(n+1) este natural par.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția x∗y=x+y+2xy−1\displaystyle x*y=x+y+2^{xy}-1 pentru x=n\displaystyle x=n și y=n+1\displaystyle y=n+1.
    N=n+(n+1)+2n(n+1)−1\displaystyle N=n+(n+1)+2^{n(n+1)}-1
  2. Reducem termenii: n+(n+1)−1=2n\displaystyle n+(n+1)-1=2n, deci rămâne 2n\displaystyle 2n plus puterea lui 2.
    N=2n+1+2n(n+1)−1=2n+2n(n+1)\displaystyle N=2n+1+2^{n(n+1)}-1=2n+2^{n(n+1)}
  3. Numărul 2n\displaystyle 2n este par, fiind multiplu de 2\displaystyle 2, cu n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^*.
    2n∈2N\displaystyle 2n\in 2\mathbb{N}
  4. Exponentul n(n+1)\displaystyle n(n+1) este număr natural, cel puțin 2\displaystyle 2, deci 2n(n+1)=2⋅2n(n+1)−1\displaystyle 2^{n(n+1)}=2\cdot 2^{n(n+1)-1} este multiplu de 2\displaystyle 2, adică par.
    2n(n+1)=2⋅2n(n+1)−1∈2N\displaystyle 2^{n(n+1)}=2\cdot 2^{n(n+1)-1}\in 2\mathbb{N}
  5. Suma a două numere naturale pare este număr natural par, deci N=2n+2n(n+1)\displaystyle N=2n+2^{n(n+1)} este natural par.
    2n și 2n(n+1) sunt pare, deci N este natural par\displaystyle 2n\text{ și }2^{n(n+1)}\text{ sunt pare, deci }N\text{ este natural par}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(12a3a2)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&2a\\3a&2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(2))=−22\displaystyle \det(A(2))=-22.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=2\displaystyle a=2 în matricea A(a)\displaystyle A(a): elementul 2a\displaystyle 2a devine 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4, iar 3a\displaystyle 3a devine 3⋅2=6\displaystyle 3\cdot 2=6.
    A(2)=(1462)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1&4\\6&2\end{pmatrix}
  2. Folosim formula determinantului de ordinul doi: ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c. Pentru A(2)\displaystyle A(2) obținem produsul 1⋅2\displaystyle 1\cdot 2 minus produsul 4⋅6\displaystyle 4\cdot 6.
    det⁡(A(2))=∣1462∣=1⋅2−4⋅6\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix}1&4\\6&2\end{vmatrix}=1\cdot 2-4\cdot 6
  3. Calculăm produsele: 1⋅2=2\displaystyle 1\cdot 2=2 și 4⋅6=24\displaystyle 4\cdot 6=24. Scăderea dă 2−24=−22\displaystyle 2-24=-22, deci det⁡(A(2))=−22\displaystyle \det(A(2))=-22, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡(A(2))=2−24=−22\displaystyle \det(A(2))=2-24=-22
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(12a3a2)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&2a\\3a&2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(1)⋅A(1)−3A(1)=4I2\displaystyle A(1)\cdot A(1)-3A(1)=4I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(1232)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(1)⋅A(1)\displaystyle A(1)\cdot A(1), linie cu coloană: primul element este 1⋅1+2⋅3=7\displaystyle 1\cdot1+2\cdot3=7, al doilea 1⋅2+2⋅2=6\displaystyle 1\cdot2+2\cdot2=6, al treilea 3⋅1+2⋅3=9\displaystyle 3\cdot1+2\cdot3=9, al patrulea 3⋅2+2⋅2=10\displaystyle 3\cdot2+2\cdot2=10.
    A(1)⋅A(1)=(76910)\displaystyle A(1)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}7&6\\9&10\end{pmatrix}
  3. Înmulțim fiecare element al matricei A(1)\displaystyle A(1) cu 3\displaystyle 3.
    3A(1)=(3696)\displaystyle 3A(1)=\begin{pmatrix}3&6\\9&6\end{pmatrix}
  4. Scădem element cu element: 7−3=4\displaystyle 7-3=4, 6−6=0\displaystyle 6-6=0, 9−9=0\displaystyle 9-9=0, 10−6=4\displaystyle 10-6=4.
    A(1)⋅A(1)−3A(1)=(7−36−69−910−6)=(4004)\displaystyle A(1)\cdot A(1)-3A(1)=\begin{pmatrix}7-3&6-6\\9-9&10-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}
  5. Matricea obținută are 4\displaystyle 4 pe diagonala principală și 0\displaystyle 0 în rest, deci este 4\displaystyle 4 ori matricea unitate I2\displaystyle I_2. Egalitatea este demonstrată.
    A(1)⋅A(1)−3A(1)=(4004)=4I2\displaystyle A(1)\cdot A(1)-3A(1)=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}=4I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(12a3a2)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&2a\\3a&2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(A(x))=−52\displaystyle \det(A(x))=-52.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu x\displaystyle x în matrice: A(x)=(12x3x2)\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1&2x\\3x&2\end{pmatrix}. Determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(x))=1⋅2−2x⋅3x\displaystyle \det(A(x))=1\cdot 2-2x\cdot 3x.
    det⁡(A(x))=1⋅2−2x⋅3x\displaystyle \det(A(x))=1\cdot 2-2x\cdot 3x
  2. Efectuăm calculele: 2x⋅3x=6x2\displaystyle 2x\cdot 3x=6x^{2}, deci determinantul este 2−6x2\displaystyle 2-6x^{2}, pentru orice număr real x\displaystyle x.
    det⁡(A(x))=∣12x3x2∣=2−6x2\displaystyle \det(A(x))=\begin{vmatrix}1&2x\\3x&2\end{vmatrix}=2-6x^{2}
  3. Impunem condiția det⁡(A(x))=−52\displaystyle \det(A(x))=-52, adică 2−6x2=−52\displaystyle 2-6x^{2}=-52. Mutăm termenul −52\displaystyle -52 în stânga: 2−6x2+52=0\displaystyle 2-6x^{2}+52=0, deci −6x2+54=0\displaystyle -6x^{2}+54=0.
    −6x2+54=0\displaystyle -6x^{2}+54=0
  4. Din −6x2+54=0\displaystyle -6x^{2}+54=0 obținem 6x2=54\displaystyle 6x^{2}=54, deci x2=9\displaystyle x^{2}=9. Atunci x=−3\displaystyle x=-3 sau x=3\displaystyle x=3. Ambele valori sunt numere reale, deci convin.
    x=−3 sau x=3\displaystyle x=-3\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(12a3a2)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&2a\\3a&2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că aA(1)−A(a)=(a−1)A(0)\displaystyle aA(1)-A(a)=(a-1)A(0), pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 și a=0\displaystyle a=0 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem A(1)\displaystyle A(1) și A(0)\displaystyle A(0).
    A(1)=(1232)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix},A(0)=(1002)\displaystyle \quad A(0)=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}
  2. Înmulțim fiecare element al matricei A(1)\displaystyle A(1) cu a\displaystyle a.
    aA(1)=(a2a3a2a)\displaystyle aA(1)=\begin{pmatrix}a&2a\\3a&2a\end{pmatrix}
  3. Scădem A(a)\displaystyle A(a) din aA(1)\displaystyle aA(1), element cu element. Elementele 2a\displaystyle 2a și 3a\displaystyle 3a se reduc, iar pe diagonală rămân a−1\displaystyle a-1 și 2a−2\displaystyle 2a-2.
    aA(1)−A(a)=(a2a3a2a)−(12a3a2)=(a−1002a−2)\displaystyle aA(1)-A(a)=\begin{pmatrix}a&2a\\3a&2a\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&2a\\3a&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a-1&0\\0&2a-2\end{pmatrix}
  4. Scoatem factor comun a−1\displaystyle a-1, deoarece 2a−2=2(a−1)\displaystyle 2a-2=2(a-1). Matricea rămasă este chiar A(0)\displaystyle A(0), deci egalitatea este adevărată pentru orice număr real a\displaystyle a.
    (a−1002(a−1))=(a−1)(1002)=(a−1)A(0), pentru orice numa˘r real a\displaystyle \begin{pmatrix}a-1&0\\0&2(a-1)\end{pmatrix}=(a-1)\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}=(a-1)A(0)\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(12a3a2)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&2a\\3a&2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale m\displaystyle m pentru care det⁡(A(m)+A(1))=2\displaystyle \det(A(m)+A(1))=2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(1232)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&2\\3&2\end{pmatrix}
  2. Adunăm element cu element matricele A(m)=(12m3m2)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}1&2m\\3m&2\end{pmatrix} și A(1)\displaystyle A(1).
    A(m)+A(1)=(22m+23m+34)\displaystyle A(m)+A(1)=\begin{pmatrix}2&2m+2\\3m+3&4\end{pmatrix}
  3. Determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe cealaltă diagonală: det⁡(A(m)+A(1))=2⋅4−(2m+2)(3m+3)\displaystyle \det(A(m)+A(1))=2\cdot 4-(2m+2)(3m+3). Dezvoltăm produsul: (2m+2)(3m+3)=6m2+12m+6\displaystyle (2m+2)(3m+3)=6m^{2}+12m+6.
    det⁡(A(m)+A(1))=8−(6m2+12m+6)=−6m2−12m+2\displaystyle \det(A(m)+A(1))=8-(6m^2+12m+6)=-6m^2-12m+2
  4. Punem condiția det⁡(A(m)+A(1))=2\displaystyle \det(A(m)+A(1))=2, adică −6m2−12m+2=2\displaystyle -6m^{2}-12m+2=2. Scădem 2 din ambii membri.
    −6m2−12m=0\displaystyle -6m^2-12m=0
  5. Dăm factor comun: −6m(m+2)=0\displaystyle -6m(m+2)=0. Un produs este nul când un factor este nul, deci m=0\displaystyle m=0 sau m+2=0\displaystyle m+2=0.
    m=−2 sau m=0\displaystyle m=-2\text{ sau }m=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(12a3a2)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&2a\\3a&2\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul natural nenul n\displaystyle n pentru care A(n)⋅A(1n)=A(1n)⋅A(n)\displaystyle A(n)\cdot A\left(\frac{1}{n}\right)=A\left(\frac{1}{n}\right)\cdot A(n).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricele A(n)\displaystyle A(n) și A(1n)\displaystyle A\left(\dfrac{1}{n}\right), înlocuind pe a\displaystyle a cu n\displaystyle n, respectiv cu 1n\displaystyle \dfrac{1}{n}, în matricea A(a)\displaystyle A(a).
    A(n)=(12n3n2)\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}1&2n\\3n&2\end{pmatrix}, A(1n)=(12n3n2)\displaystyle \ A\left(\frac{1}{n}\right)=\begin{pmatrix}1&\frac{2}{n}\\\frac{3}{n}&2\end{pmatrix}
  2. Calculăm primul produs, linie cu coloană. Pe diagonală obținem 1+2n⋅3n=7\displaystyle 1+2n\cdot\dfrac{3}{n}=7 și 3n⋅2n+4=10\displaystyle 3n\cdot\dfrac{2}{n}+4=10, deoarece n\displaystyle n se simplifică. Pe celelalte poziții obținem 2n+4n\displaystyle \dfrac{2}{n}+4n și 3n+6n\displaystyle 3n+\dfrac{6}{n}.
    A(n)⋅A(1n)=(72n+4n3n+6n10)\displaystyle A(n)\cdot A\left(\frac{1}{n}\right)=\begin{pmatrix}7&\frac{2}{n}+4n\\3n+\frac{6}{n}&10\end{pmatrix}
  3. Calculăm al doilea produs, în ordine inversă. Pe diagonală obținem 1+2n⋅3n=7\displaystyle 1+\dfrac{2}{n}\cdot 3n=7 și 3n⋅2n+4=10\displaystyle \dfrac{3}{n}\cdot 2n+4=10. Pe celelalte poziții obținem 2n+4n\displaystyle 2n+\dfrac{4}{n} și 3n+6n\displaystyle \dfrac{3}{n}+6n.
    A(1n)⋅A(n)=(74n+2n3n+6n10)\displaystyle A\left(\frac{1}{n}\right)\cdot A(n)=\begin{pmatrix}7&\frac{4}{n}+2n\\\frac{3}{n}+6n&10\end{pmatrix}
  4. Egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice. Elementele de pe diagonală coincid, deci rămâne egalitatea elementelor din dreapta sus: 2n+4n=4n+2n\displaystyle \dfrac{2}{n}+4n=\dfrac{4}{n}+2n.
    2n+4n=4n+2n\displaystyle \frac{2}{n}+4n=\frac{4}{n}+2n
  5. Grupăm termenii cu n\displaystyle n într-o parte și termenii cu 1n\displaystyle \dfrac{1}{n} în cealaltă: 4n−2n=4n−2n\displaystyle 4n-2n=\dfrac{4}{n}-\dfrac{2}{n}, deci 2n=2n\displaystyle 2n=\dfrac{2}{n}. Simplificăm cu 2. Egalitatea din stânga jos conduce la aceeași condiție.
    1n=n\displaystyle \frac{1}{n}=n
  6. Din 1n=n\displaystyle \dfrac{1}{n}=n rezultă n2=1\displaystyle n^{2}=1, deci n=1\displaystyle n=1 sau n=−1\displaystyle n=-1. Cum n\displaystyle n este număr natural nenul, convine doar n=1\displaystyle n=1.
    1n=n, de unde n=1\displaystyle \frac{1}{n}=n\text{, de unde }n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.