Bac matematică M4 pedagogic 2020, model, test de evaluare 16: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că ((12)0+(12)1+(12)2+(12)3+(12)4):3116=1\displaystyle \left(\left(\frac{1}{2}\right)^0+\left(\frac{1}{2}\right)^1+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^3+\left(\frac{1}{2}\right)^4\right):\frac{31}{16}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm fiecare putere: (12)0=1\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^0=1, (12)1=12\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^1=\dfrac{1}{2}, (12)2=14\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}, (12)3=18\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{1}{8}, (12)4=116\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^4=\dfrac{1}{16}.
    1+12+14+18+116\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}
  2. Aducem termenii la numitorul comun 16\displaystyle 16: 1=1616\displaystyle 1=\dfrac{16}{16}, 12=816\displaystyle \dfrac{1}{2}=\dfrac{8}{16}, 14=416\displaystyle \dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{16}, 18=216\displaystyle \dfrac{1}{8}=\dfrac{2}{16}. Astfel expresia devine suma fracțiilor, împărțită la 3116\displaystyle \dfrac{31}{16}.
    (1+12+14+18+116):3116=16+8+4+2+116:3116\displaystyle \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}\right):\frac{31}{16}=\frac{16+8+4+2+1}{16}:\frac{31}{16}
  3. Adunăm numărătorii: 16+8+4+2+1=31\displaystyle 16+8+4+2+1=31, deci suma este 3116\displaystyle \dfrac{31}{16}.
    3116:3116\displaystyle \frac{31}{16}:\frac{31}{16}
  4. Un număr nenul împărțit la el însuși este 1\displaystyle 1, deci 3116:3116=1\displaystyle \dfrac{31}{16}:\dfrac{31}{16}=1, ceea ce trebuia arătat.
    3116:3116=1\displaystyle \frac{31}{16}:\frac{31}{16}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=mx+1\displaystyle f(x)=mx+1, unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care f(2)+f(1)=−1\displaystyle f(2)+f(1)=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în f(x)=mx+1\displaystyle f(x)=mx+1 și obținem f(2)=m⋅2+1\displaystyle f(2)=m\cdot 2+1.
    f(2)=2m+1\displaystyle f(2)=2m+1
  2. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în f(x)=mx+1\displaystyle f(x)=mx+1 și obținem f(1)=m⋅1+1\displaystyle f(1)=m\cdot 1+1.
    f(1)=m+1\displaystyle f(1)=m+1
  3. Adunăm: f(2)+f(1)=(2m+1)+(m+1)\displaystyle f(2)+f(1)=(2m+1)+(m+1). Termenii cu m\displaystyle m dau 3m\displaystyle 3m, iar numerele dau 2\displaystyle 2.
    f(2)+f(1)=2m+1+m+1=3m+2\displaystyle f(2)+f(1)=2m+1+m+1=3m+2
  4. Din condiția f(2)+f(1)=−1\displaystyle f(2)+f(1)=-1 obținem ecuația 3m+2=−1\displaystyle 3m+2=-1.
    3m+2=−1\displaystyle 3m+2=-1
  5. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri: 3m=−1−2=−3\displaystyle 3m=-1-2=-3. Împărțim la 3\displaystyle 3: m=−33\displaystyle m=\dfrac{-3}{3}.
    3m+2=−1, deci m=−1\displaystyle 3m+2=-1\text{, deci }m=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 7x2+1=74x−2\displaystyle 7^{x^2+1}=7^{4x-2}.
Vezi rezolvarea
  1. Baza 7\displaystyle 7 este aceeași în ambii membri și este pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1, deci funcția exponențială este injectivă. Egalăm exponenții: x2+1=4x−2\displaystyle x^{2}+1=4x-2.
    x2+1=4x−2\displaystyle x^{2}+1=4x-2
  2. Mutăm toți termenii în membrul stâng: x2−4x+1+2=0\displaystyle x^{2}-4x+1+2=0, adică x2−4x+3=0\displaystyle x^{2}-4x+3=0.
    x2+1=4x−2⇔x2−4x+3=0\displaystyle x^{2}+1=4x-2\Leftrightarrow x^{2}-4x+3=0
  3. Calculăm discriminantul, cu a=1\displaystyle a=1, b=−4\displaystyle b=-4, c=3\displaystyle c=3: Δ=b2−4ac=16−12=4\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=16-12=4.
    Δ=(−4)2−4⋅1⋅3=4\displaystyle \Delta=(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=4
  4. Aplicăm formula x=−b±Δ2a=4±22\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4\pm 2}{2}, de unde x1=4−22=1\displaystyle x_{1}=\dfrac{4-2}{2}=1 și x2=4+22=3\displaystyle x_{2}=\dfrac{4+2}{2}=3. Ambele sunt numere reale, deci sunt soluții ale ecuației inițiale.
    x=1 sau x=3\displaystyle x=1\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Prețul unui obiect este 80\displaystyle 80 de lei. Determinați prețul obiectului după ce se scumpește de două ori, succesiv, cu câte 10%\displaystyle 10\%.
Vezi rezolvarea
  1. La prima scumpire, prețul crește cu 10%\displaystyle 10\% din 80\displaystyle 80 de lei. Calculăm mai întâi 10%\displaystyle 10\% din 80\displaystyle 80, adică 10100⋅80\displaystyle \dfrac{10}{100}\cdot 80.
    10100⋅80=8\displaystyle \dfrac{10}{100}\cdot 80=8
  2. Adunăm creșterea la prețul inițial: 80+10100⋅80=80+8\displaystyle 80+\dfrac{10}{100}\cdot 80=80+8. Obținem prețul după prima scumpire.
    80+10100⋅80=88 de lei\displaystyle 80+\dfrac{10}{100}\cdot 80=88\text{ de lei}
  3. A doua scumpire se aplică prețului curent, de 88\displaystyle 88 de lei, nu celui inițial. Calculăm 10%\displaystyle 10\% din 88\displaystyle 88.
    10100⋅88=8,8\displaystyle \dfrac{10}{100}\cdot 88=8{,}8
  4. Adunăm această creștere la 88\displaystyle 88 de lei: 88+8,8\displaystyle 88+8{,}8. Prețul final al obiectului este:
    88+10100⋅88=96,8 de lei\displaystyle 88+\dfrac{10}{100}\cdot 88=96{,}8\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(5,4)\displaystyle A(5,4) și B(5,−4)\displaystyle B(5,-4). Determinați aria triunghiului AOB\displaystyle AOB.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că punctele A\displaystyle A și B\displaystyle B au aceeași abscisă, 5\displaystyle 5, deci dreapta AB\displaystyle AB este verticală, de ecuație x=5\displaystyle x=5.
    AB: x=5\displaystyle AB:\ x=5
  2. Calculăm lungimea segmentului AB\displaystyle AB ca diferență a ordonatelor, în valoare absolută: AB=∣4−(−4)∣\displaystyle AB=|4-(-4)|.
    AB=∣4−(−4)∣=8\displaystyle AB=|4-(-4)|=8
  3. Distanța de la originea O(0,0)\displaystyle O(0,0) la dreapta verticală x=5\displaystyle x=5 este egală cu ∣5−0∣=5\displaystyle |5-0|=5. Astfel avem lungimea bazei și înălțimea.
    AB=8, d(O,AB)=5\displaystyle AB=8\text{, }d(O,AB)=5
  4. Aplicăm formula ariei: AΔAOB=AB⋅d(O,AB)2=8⋅52\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta AOB}=\dfrac{AB\cdot d(O,AB)}{2}=\dfrac{8\cdot 5}{2}, de unde aria triunghiului AOB\displaystyle AOB este 20\displaystyle 20.
    AΔAOB=8⋅52=20\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta AOB}=\frac{8\cdot 5}{2}=20
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați perimetrul triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că m(∢A)=60∘\displaystyle m(\sphericalangle A)=60^\circ, m(∢B)=60∘\displaystyle m(\sphericalangle B)=60^\circ și BC=10\displaystyle BC=10.
Vezi rezolvarea
  1. Aflăm măsura unghiului C\displaystyle C folosind faptul că suma unghiurilor unui triunghi este 180∘\displaystyle 180^\circ: m(∢C)=180∘−60∘−60∘=60∘\displaystyle m(\sphericalangle C)=180^\circ-60^\circ-60^\circ=60^\circ.
    m(∢C)=180∘−60∘−60∘=60∘\displaystyle m(\sphericalangle C)=180^\circ-60^\circ-60^\circ=60^\circ
  2. Toate cele trei unghiuri ale triunghiului au 60∘\displaystyle 60^\circ, deci unghiurile sunt congruente și triunghiul ABC\displaystyle ABC este echilateral, adică AB=BC=CA\displaystyle AB=BC=CA.
    ΔABC este echilateral\displaystyle \Delta ABC\text{ este echilateral}
  3. Perimetrul unui triunghi echilateral este de trei ori latura. Cum BC=10\displaystyle BC=10, obținem PΔABC=3⋅BC=3⋅10=30\displaystyle P_{\Delta ABC}=3\cdot BC=3\cdot 10=30.
    PΔABC=3⋅BC=3⋅10=30\displaystyle P_{\Delta ABC}=3\cdot BC=3\cdot 10=30
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−9\displaystyle x*y=x+y-9.

Arătați că 2∗7=0\displaystyle 2*7=0.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii de compoziție, x∗y=x+y−9\displaystyle x*y=x+y-9, și înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 și y\displaystyle y cu 7\displaystyle 7.
    2∗7=2+7−9\displaystyle 2*7=2+7-9
  2. Adunăm 2\displaystyle 2 și 7\displaystyle 7, obținând 9\displaystyle 9.
    2+7−9=9−9\displaystyle 2+7-9=9-9
  3. Scădem 9\displaystyle 9 din 9\displaystyle 9 și obținem 0\displaystyle 0, deci egalitatea cerută este adevărată.
    9−9=0, deci 2∗7=0\displaystyle 9-9=0\text{, deci }2*7=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−9\displaystyle x*y=x+y-9.

Arătați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este asociativă dacă pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R} avem (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z). Calculăm mai întâi prima grupare, înlocuind x∗y=x+y−9\displaystyle x*y=x+y-9.
    (x∗y)∗z=(x+y−9)∗z\displaystyle (x*y)*z=(x+y-9)*z
  2. Aplicăm legea pentru numerele x+y−9\displaystyle x+y-9 și z\displaystyle z: suma lor minus 9\displaystyle 9. Reducem termenii asemenea.
    (x+y−9)∗z=(x+y−9)+z−9=x+y+z−18\displaystyle (x+y-9)*z=(x+y-9)+z-9=x+y+z-18
  3. Calculăm acum a doua grupare, înlocuind y∗z=y+z−9\displaystyle y*z=y+z-9.
    x∗(y∗z)=x∗(y+z−9)\displaystyle x*(y*z)=x*(y+z-9)
  4. Aplicăm legea pentru numerele x\displaystyle x și y+z−9\displaystyle y+z-9, apoi reducem termenii asemenea. Obținem aceeași expresie ca la prima grupare, deci legea „∗\displaystyle *” este asociativă.
    x∗(y+z−9)=x+(y+z−9)−9=x+y+z−18=(x∗y)∗z\displaystyle x*(y+z-9)=x+(y+z-9)-9=x+y+z-18=(x*y)*z
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−9\displaystyle x*y=x+y-9.

Demonstrați că x∗(x+9)=(x+5)∗(x+4)\displaystyle x*(x+9)=(x+5)*(x+4), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este a∗b=a+b−9\displaystyle a*b=a+b-9 pentru orice a,b∈R\displaystyle a,b\in\mathbb{R}. O aplicăm separat pentru fiecare membru al egalității de demonstrat.
    a∗b=a+b−9\displaystyle a*b=a+b-9
  2. Calculăm membrul stâng: înlocuim a=x\displaystyle a=x și b=x+9\displaystyle b=x+9 în definiția legii.
    x∗(x+9)=x+(x+9)−9\displaystyle x*(x+9)=x+(x+9)-9
  3. Reducem termenii: +9\displaystyle +9 și −9\displaystyle -9 se anulează, iar x+x=2x\displaystyle x+x=2x. Membrul stâng este 2x\displaystyle 2x.
    x∗(x+9)=2x\displaystyle x*(x+9)=2x
  4. Calculăm membrul drept: înlocuim a=x+5\displaystyle a=x+5 și b=x+4\displaystyle b=x+4 în definiția legii.
    (x+5)∗(x+4)=(x+5)+(x+4)−9\displaystyle (x+5)*(x+4)=(x+5)+(x+4)-9
  5. Reducem termenii: x+x=2x\displaystyle x+x=2x, iar 5+4−9=0\displaystyle 5+4-9=0. Membrul drept este 2x\displaystyle 2x, adică egal cu membrul stâng, pentru orice x\displaystyle x real.
    (x+5)∗(x+4)=2x=x∗(x+9)\displaystyle (x+5)*(x+4)=2x=x*(x+9)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−9\displaystyle x*y=x+y-9.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care 5x∗25x=21\displaystyle 5^x*25^x=21.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii: a∗b=a+b−9\displaystyle a*b=a+b-9, cu a=5x\displaystyle a=5^x și b=25x\displaystyle b=25^x. Ecuația devine 5x+25x−9=21\displaystyle 5^x+25^x-9=21.
    5x+25x−9=21\displaystyle 5^x+25^x-9=21
  2. Trecem totul într-o parte: 5x+25x−30=0\displaystyle 5^x+25^x-30=0. Deoarece 25=52\displaystyle 25=5^2, avem 25x=52x=(5x)2\displaystyle 25^x=5^{2x}=\left(5^x\right)^2.
    52x+5x−30=0\displaystyle 5^{2x}+5^x-30=0
  3. Notăm t=5x\displaystyle t=5^x. Ecuația devine t2+t−30=0\displaystyle t^2+t-30=0. Căutăm două numere cu suma 1\displaystyle 1 și produsul −30\displaystyle -30: sunt 6\displaystyle 6 și −5\displaystyle -5, deci t2+t−30=(t+6)(t−5)\displaystyle t^2+t-30=(t+6)(t-5).
    (5x+6)(5x−5)=0\displaystyle \left(5^x+6\right)\left(5^x-5\right)=0
  4. Din produsul nul obținem 5x=−6\displaystyle 5^x=-6 sau 5x=5\displaystyle 5^x=5. Cum 5x>0\displaystyle 5^x>0 pentru orice x\displaystyle x real, prima variantă nu convine. Rămâne 5x=5\displaystyle 5^x=5, deci x=1\displaystyle x=1.
    5x>0, obținem x=1\displaystyle 5^x>0\text{, obținem }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−9\displaystyle x*y=x+y-9.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care (n∗n)∗n<−12\displaystyle (n*n)*n<-12.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm n∗n\displaystyle n*n folosind definiția legii x∗y=x+y−9\displaystyle x*y=x+y-9, cu x=y=n\displaystyle x=y=n.
    n∗n=n+n−9=2n−9\displaystyle n*n=n+n-9=2n-9
  2. Calculăm (n∗n)∗n\displaystyle (n*n)*n, aplicând din nou definiția legii, cu x=2n−9\displaystyle x=2n-9 și y=n\displaystyle y=n.
    (n∗n)∗n=(2n−9)+n−9=3n−18\displaystyle (n*n)*n=(2n-9)+n-9=3n-18
  3. Scriem inegalitatea cerută, înlocuind expresia obținută.
    3n−18<−12\displaystyle 3n-18<-12
  4. Adunăm 18\displaystyle 18 în ambii membri, apoi împărțim la 3\displaystyle 3 (număr pozitiv, deci sensul inegalității se păstrează).
    3n<6⇔n<2\displaystyle 3n<6\Leftrightarrow n<2
  5. Cum n\displaystyle n este număr natural și n<2\displaystyle n<2, singurele valori posibile sunt 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    3n−18<−12⇔n<2, deci n=0 sau n=1\displaystyle 3n-18<-12\Leftrightarrow n<2\text{, deci }n=0\text{ sau }n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−9\displaystyle x*y=x+y-9.

Arătați că numărul 32−3∗32+3\displaystyle \frac{3}{2-\sqrt{3}}*\frac{3}{2+\sqrt{3}} este natural.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=x+y−9\displaystyle x*y=x+y-9, cu x=32−3\displaystyle x=\dfrac{3}{2-\sqrt{3}} și y=32+3\displaystyle y=\dfrac{3}{2+\sqrt{3}}.
    32−3+32+3−9\displaystyle \frac{3}{2-\sqrt{3}}+\frac{3}{2+\sqrt{3}}-9
  2. Aducem cele două fracții la același numitor. Numitorul comun este (2−3)(2+3)\displaystyle \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right), iar prima fracție se amplifică cu 2+3\displaystyle 2+\sqrt{3}, a doua cu 2−3\displaystyle 2-\sqrt{3}.
    3(2+3)+3(2−3)(2−3)(2+3)−9\displaystyle \frac{3\left(2+\sqrt{3}\right)+3\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-9
  3. Calculăm numitorul cu formula (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}: 22−(3)2=4−3=1\displaystyle 2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}=4-3=1.
    (2−3)(2+3)=4−3=1\displaystyle \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=4-3=1
  4. Calculăm numărătorul: 6+33+6−33=12\displaystyle 6+3\sqrt{3}+6-3\sqrt{3}=12, deoarece termenii cu 3\displaystyle \sqrt{3} se reduc. Apoi scădem 9 și obținem 3\displaystyle 3, care este număr natural.
    3(2+3)+3(2−3)4−3−9=12−9=3, care este numa˘r natural\displaystyle \frac{3\left(2+\sqrt{3}\right)+3\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}-9=12-9=3\text{, care este număr natural}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−130)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\3&0\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x,y)=(xy34)\displaystyle M(x,y)=\begin{pmatrix}x&y\\3&4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Arătați că det⁡A=3\displaystyle \det A=3.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea este A=(1−130)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\3&0\end{pmatrix}. Pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} avem det⁡=a⋅d−b⋅c\displaystyle \det=a\cdot d-b\cdot c.
    det⁡(abcd)=ad−bc\displaystyle \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc
  2. Avem a=1\displaystyle a=1, b=−1\displaystyle b=-1, c=3\displaystyle c=3, d=0\displaystyle d=0, deci înlocuim în formulă.
    det⁡A=∣1−130∣=1⋅0−(−1)⋅3\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&-1\\3&0\end{vmatrix}=1\cdot 0-(-1)\cdot 3
  3. Calculăm: 1⋅0=0\displaystyle 1\cdot 0=0, iar −(−1)⋅3=3\displaystyle -(-1)\cdot 3=3. Deci det⁡A=0+3\displaystyle \det A=0+3.
    det⁡A=0+3=3\displaystyle \det A=0+3=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−130)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\3&0\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x,y)=(xy34)\displaystyle M(x,y)=\begin{pmatrix}x&y\\3&4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y astfel încât M(x,y)=A+4I2\displaystyle M(x,y)=A+4I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem egalitatea cerută M(x,y)=A+4I2\displaystyle M(x,y)=A+4I_2, înlocuind matricele date.
    (xy34)=(1−130)+4(1001)\displaystyle \begin{pmatrix}x&y\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1\\3&0\end{pmatrix}+4\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  2. Înmulțim matricea I2\displaystyle I_2 cu 4\displaystyle 4: fiecare element se înmulțește cu 4\displaystyle 4.
    4I2=(4004)\displaystyle 4I_2=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}
  3. Adunăm matricele element cu element: 1+4=5\displaystyle 1+4=5, −1+0=−1\displaystyle -1+0=-1, 3+0=3\displaystyle 3+0=3, 0+4=4\displaystyle 0+4=4.
    (xy34)=(5−134)\displaystyle \begin{pmatrix}x&y\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&-1\\3&4\end{pmatrix}
  4. Două matrice sunt egale când elementele de pe aceleași poziții sunt egale. Din primul rând rezultă x=5\displaystyle x=5 și y=−1\displaystyle y=-1; al doilea rând coincide deja: 3=3\displaystyle 3=3 și 4=4\displaystyle 4=4.
    x=5 și y=−1\displaystyle x=5\text{ și }y=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−130)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\3&0\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x,y)=(xy34)\displaystyle M(x,y)=\begin{pmatrix}x&y\\3&4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Determinați numărul real y\displaystyle y pentru care det⁡(M(0,y))=9\displaystyle \det(M(0,y))=9.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 în matricea M(x,y)\displaystyle M(x,y) și obținem M(0,y)=(0y34)\displaystyle M(0,y)=\begin{pmatrix}0&y\\3&4\end{pmatrix}.
    M(0,y)=(0y34)\displaystyle M(0,y)=\begin{pmatrix}0&y\\3&4\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, deci det⁡(M(0,y))=0⋅4−y⋅3\displaystyle \det(M(0,y))=0\cdot 4-y\cdot 3.
    det⁡(M(0,y))=∣0y34∣=0⋅4−y⋅3=−3y\displaystyle \det(M(0,y))=\begin{vmatrix}0&y\\3&4\end{vmatrix}=0\cdot 4-y\cdot 3=-3y
  3. Punem condiția din enunț det⁡(M(0,y))=9\displaystyle \det(M(0,y))=9 și obținem ecuația −3y=9\displaystyle -3y=9.
    −3y=9\displaystyle -3y=9
  4. Împărțim ambii membri ai ecuației la −3\displaystyle -3 și obținem y=9−3\displaystyle y=\dfrac{9}{-3}, adică y=−3\displaystyle y=-3.
    y=−3\displaystyle y=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−130)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\3&0\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x,y)=(xy34)\displaystyle M(x,y)=\begin{pmatrix}x&y\\3&4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Arătați că A⋅A⋅A−A⋅A=−3A\displaystyle A\cdot A\cdot A-A\cdot A=-3A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A⋅A\displaystyle A\cdot A prin înmulțirea liniilor primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Prima linie: 1⋅1+(−1)⋅3=−2\displaystyle 1\cdot 1+(-1)\cdot 3=-2 și 1⋅(−1)+(−1)⋅0=−1\displaystyle 1\cdot(-1)+(-1)\cdot 0=-1. A doua linie: 3⋅1+0⋅3=3\displaystyle 3\cdot 1+0\cdot 3=3 și 3⋅(−1)+0⋅0=−3\displaystyle 3\cdot(-1)+0\cdot 0=-3.
    A⋅A=(−2−13−3)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}-2&-1\\3&-3\end{pmatrix}
  2. Calculăm A⋅A⋅A\displaystyle A\cdot A\cdot A ca (A⋅A)⋅A\displaystyle (A\cdot A)\cdot A. Prima linie: (−2)⋅1+(−1)⋅3=−5\displaystyle (-2)\cdot 1+(-1)\cdot 3=-5 și (−2)⋅(−1)+(−1)⋅0=2\displaystyle (-2)\cdot(-1)+(-1)\cdot 0=2. A doua linie: 3⋅1+(−3)⋅3=−6\displaystyle 3\cdot 1+(-3)\cdot 3=-6 și 3⋅(−1)+(−3)⋅0=−3\displaystyle 3\cdot(-1)+(-3)\cdot 0=-3.
    A⋅A⋅A=(−52−6−3)\displaystyle A\cdot A\cdot A=\begin{pmatrix}-5&2\\-6&-3\end{pmatrix}
  3. Scădem cele două matrice element cu element: −5−(−2)=−3\displaystyle -5-(-2)=-3, 2−(−1)=3\displaystyle 2-(-1)=3, −6−3=−9\displaystyle -6-3=-9, −3−(−3)=0\displaystyle -3-(-3)=0.
    A⋅A⋅A−A⋅A=(−33−90)\displaystyle A\cdot A\cdot A-A\cdot A=\begin{pmatrix}-3&3\\-9&0\end{pmatrix}
  4. Dăm factor comun −3\displaystyle -3 și observăm că matricea rămasă este chiar A\displaystyle A, deci egalitatea este demonstrată.
    (−33−90)=−3(1−130)=−3A\displaystyle \begin{pmatrix}-3&3\\-9&0\end{pmatrix}=-3\begin{pmatrix}1&-1\\3&0\end{pmatrix}=-3A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−130)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\3&0\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x,y)=(xy34)\displaystyle M(x,y)=\begin{pmatrix}x&y\\3&4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, știind că A⋅M(x,y)=M(x,y)⋅A\displaystyle A\cdot M(x,y)=M(x,y)\cdot A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅M(x,y)\displaystyle A\cdot M(x,y), înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui M(x,y)\displaystyle M(x,y): (1−130)(xy34)\displaystyle \begin{pmatrix}1&-1\\3&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x&y\\3&4\end{pmatrix}, cu elementele 1⋅x+(−1)⋅3\displaystyle 1\cdot x+(-1)\cdot 3, 1⋅y+(−1)⋅4\displaystyle 1\cdot y+(-1)\cdot 4, 3x+0⋅3\displaystyle 3x+0\cdot 3, 3y+0⋅4\displaystyle 3y+0\cdot 4.
    A⋅M(x,y)=(x−3y−43x3y)\displaystyle A\cdot M(x,y)=\begin{pmatrix}x-3&y-4\\3x&3y\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul M(x,y)⋅A\displaystyle M(x,y)\cdot A în același mod: elementele sunt x⋅1+y⋅3\displaystyle x\cdot 1+y\cdot 3, x⋅(−1)+y⋅0\displaystyle x\cdot(-1)+y\cdot 0, 3⋅1+4⋅3\displaystyle 3\cdot 1+4\cdot 3, 3⋅(−1)+4⋅0\displaystyle 3\cdot(-1)+4\cdot 0.
    A⋅M(x,y)=(x−3y−43x3y), M(x,y)⋅A=(x+3y−x15−3)\displaystyle A\cdot M(x,y)=\begin{pmatrix}x-3&y-4\\3x&3y\end{pmatrix}\text{, }M(x,y)\cdot A=\begin{pmatrix}x+3y&-x\\15&-3\end{pmatrix}
  3. Din A⋅M(x,y)=M(x,y)⋅A\displaystyle A\cdot M(x,y)=M(x,y)\cdot A egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice și obținem patru ecuații.
    {x−3=x+3yy−4=−x3x=153y=−3\displaystyle \begin{cases}x-3=x+3y\\y-4=-x\\3x=15\\3y=-3\end{cases}
  4. Din prima ecuație, x−3=x+3y\displaystyle x-3=x+3y, rămâne −3=3y\displaystyle -3=3y, deci y=−1\displaystyle y=-1. Din a treia ecuație, 3x=15\displaystyle 3x=15, deci x=5\displaystyle x=5. Verificăm: y−4=−1−4=−5=−x\displaystyle y-4=-1-4=-5=-x și 3y=−3\displaystyle 3y=-3, deci ecuațiile a doua și a patra sunt satisfăcute.
    x=5, y=−1\displaystyle x=5\text{, }y=-1
  5. Concluzie: egalitatea celor două matrice este echivalentă cu x=5\displaystyle x=5 și y=−1\displaystyle y=-1.
    (x−3y−43x3y)=(x+3y−x15−3)⇔x=5 și y=−1\displaystyle \begin{pmatrix}x-3&y-4\\3x&3y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+3y&-x\\15&-3\end{pmatrix}\Leftrightarrow x=5\text{ și }y=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1−130)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-1\\3&0\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x,y)=(xy34)\displaystyle M(x,y)=\begin{pmatrix}x&y\\3&4\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Demonstrați că, dacă m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt numere întregi pentru care M(m,−n)⋅M(−m,n)=(−1001)\displaystyle M(m,-n)\cdot M(-m,n)=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}, atunci numărul N=m−n\displaystyle N=m-n este pătratul unui număr natural.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricele M(m,−n)\displaystyle M(m,-n) și M(−m,n)\displaystyle M(-m,n), înlocuind în M(x,y)\displaystyle M(x,y) pe rând x=m, y=−n\displaystyle x=m,\ y=-n, apoi x=−m, y=n\displaystyle x=-m,\ y=n.
    M(m,−n)=(m−n34)\displaystyle M(m,-n)=\begin{pmatrix}m&-n\\3&4\end{pmatrix},M(−m,n)=(−mn34)\displaystyle \quad M(-m,n)=\begin{pmatrix}-m&n\\3&4\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul, linie cu coloană: elementul de pe linia 1, coloana 1 este m⋅(−m)+(−n)⋅3\displaystyle m\cdot(-m)+(-n)\cdot 3; linia 1, coloana 2 este m⋅n+(−n)⋅4\displaystyle m\cdot n+(-n)\cdot 4; linia 2, coloana 1 este 3⋅(−m)+4⋅3\displaystyle 3\cdot(-m)+4\cdot 3; linia 2, coloana 2 este 3⋅n+4⋅4\displaystyle 3\cdot n+4\cdot 4.
    M(m,−n)⋅M(−m,n)=(−m2−3nmn−4n−3m+123n+16)\displaystyle M(m,-n)\cdot M(-m,n)=\begin{pmatrix}-m^2-3n&mn-4n\\-3m+12&3n+16\end{pmatrix}
  3. Egalăm produsul cu matricea dată; două matrice sunt egale când elementele de pe aceleași poziții sunt egale. Obținem un sistem de patru ecuații.
    {−m2−3n=−1mn−4n=0−3m+12=03n+16=1\displaystyle \begin{cases}-m^2-3n=-1\\mn-4n=0\\-3m+12=0\\3n+16=1\end{cases}
  4. Din ecuația a treia, −3m+12=0\displaystyle -3m+12=0, aflăm m\displaystyle m.
    −3m=−12⇒m=4\displaystyle -3m=-12\Rightarrow m=4
  5. Din ecuația a patra, 3n+16=1\displaystyle 3n+16=1, aflăm n\displaystyle n.
    3n=−15⇒n=−5\displaystyle 3n=-15\Rightarrow n=-5
  6. Verificăm că valorile găsite satisfac și celelalte două ecuații: în prima, −42−3⋅(−5)=−16+15=−1\displaystyle -4^2-3\cdot(-5)=-16+15=-1, iar în a doua, n(m−4)=−5⋅0=0\displaystyle n(m-4)=-5\cdot 0=0. Deci m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt numere întregi care convin.
    −16+15=−1 și −5⋅0=0\displaystyle -16+15=-1\text{ și }-5\cdot 0=0
  7. Calculăm N=m−n\displaystyle N=m-n și observăm că este pătratul lui 3\displaystyle 3, adică al unui număr natural.
    m=4 și n=−5, deci N=4−(−5)=9=32\displaystyle m=4\text{ și }n=-5\text{, deci }N=4-(-5)=9=3^2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.