Bac matematică M4 pedagogic 2024, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 0,25:0,5+12=1.0{,}25:0{,}5+\frac{1}{2}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se transformă numerele zecimale în fracții ordinare: 0,25=14\displaystyle 0,25 = \dfrac{1}{4} și 0,5=12\displaystyle 0,5 = \dfrac{1}{2}.
    0,25=14, 0,5=12\displaystyle 0{,}25=\frac{1}{4}\text{, }0{,}5=\frac{1}{2}
  2. Se efectuează împărțirea a două fracții, transformând-o în înmulțire cu inversa celei de-a doua fracții.
    14:12=14⋅21=24=12\displaystyle \frac{1}{4}:\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{1}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
  3. Se înlocuiește rezultatul împărțirii în expresia inițială, obținând suma a două fracții egale.
    0,25:0,5+12=0,5+12=\displaystyle 0{,}25:0{,}5+\frac{1}{2}=0{,}5+\frac{1}{2}=
  4. Se efectuează adunarea celor două fracții egale, obținând rezultatul final egal cu 1\displaystyle 1.
    12+12=1\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−4x\displaystyle f(x)=x^{2}-4x. Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care f(n)≥n2−8.f(n)\geq n^{2}-8.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției f aplicată în n, folosind definiția f(x)=x2−4x\displaystyle f(x)=x^{2}-4x.
    f(n)=n2−4n\displaystyle f(n)=n^{2}-4n
  2. Se scrie inegalitatea din enunț, înlocuind f(n)\displaystyle f(n) cu expresia obținută.
    n2−4n≥n2−8\displaystyle n^{2}-4n\geq n^{2}-8
  3. Se elimină termenul n2\displaystyle n^{2} din ambii membri (se scade n2\displaystyle n^{2} din ambele părți), obținând o inegalitate liniară.
    −4n≥−8\displaystyle -4n\geq -8
  4. Se împarte inegalitatea prin −4\displaystyle -4, schimbând sensul inegalității, și se obține forma finală a soluției inegalității.
    n2−4n≥n2−8⇔n≤2\displaystyle n^{2}-4n\geq n^{2}-8 \Leftrightarrow n\leq 2
  5. Se determină numerele naturale n care satisfac condiția n≤2\displaystyle n\leq 2, ținând cont că n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N}.
    n∈{0,1,2}\displaystyle n\in\{0,1,2\}
  6. Se scriu explicit valorile naturale găsite, ca soluție finală a problemei.
    n=0\displaystyle n=0, n=1 sau n=2\displaystyle \ n=1\text{ sau }n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2log⁡2(3x−1)=36.2\log_{2}(3x-1)=\sqrt{36}.
Vezi rezolvarea
  1. Se pune condiția de existență a logaritmului: expresia de sub logaritm trebuie să fie strict pozitivă.
    3x−1>0⇒x>13\displaystyle 3x-1>0 \Rightarrow x>\dfrac{1}{3}
  2. Se simplifică radicalul din membrul drept al ecuației.
    36=6\displaystyle \sqrt{36}=6
  3. Se rescrie ecuația inițială folosind valoarea radicalului.
    2log⁡2(3x−1)=6\displaystyle 2\log_{2}(3x-1)=6
  4. Se împarte ecuația prin 2\displaystyle 2 și se aplică definiția logaritmului pentru a obține o ecuație liniară.
    log⁡2(3x−1)=3⇒3x−1=23\displaystyle \log_{2}(3x-1)=3 \Rightarrow 3x-1=2^{3}
  5. Se calculează puterea și se rezolvă ecuația liniară obținută.
    3x−1=8⇒3x=9\displaystyle 3x-1=8 \Rightarrow 3x=9
  6. Se determină soluția ecuației liniare și se verifică dacă respectă condiția de existență impusă la început.
    x=3\displaystyle x=3, care convine\displaystyle \text{ care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o scumpire cu 20%\displaystyle 20\%, prețul unui produs crește cu 80\displaystyle 80 de lei. Calculați prețul final al produsului.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm prețul inițial al produsului cu x\displaystyle x, exprimat în lei.
    x=prețul inițial al \displaystyle x=\text{prețul inițial al }produsului, ıˆn lei\displaystyle \text{produsului, în lei}
  2. Scumpirea cu 20%\displaystyle 20\% înseamnă că prețul crește cu 20%\displaystyle 20\% din prețul inițial x\displaystyle x, iar această creștere este egală cu 80\displaystyle 80 de lei. Scriem ecuația corespunzătoare.
    20100⋅x=80 de lei, unde x este prețul inițial al \displaystyle \frac{20}{100}\cdot x=80\text{ de lei, unde }x\text{ este prețul inițial al }produsului\displaystyle \text{produsului}
  3. Rezolvăm ecuația pentru a afla prețul inițial: împărțim ambele părți la 20100\displaystyle \dfrac{20}{100}, adică înmulțim cu 10020=5\displaystyle \dfrac{100}{20} = 5.
    x=80:20100=80⋅10020=80⋅5\displaystyle x=80:\frac{20}{100}=80\cdot\frac{100}{20}=80\cdot 5
  4. Calculăm valoarea lui x\displaystyle x, adică prețul inițial, apoi adăugăm creșterea de 80\displaystyle 80 de lei pentru a obține prețul final al produsului.
    x=80⋅5=400 de lei, deci prețul final \displaystyle x=80\cdot 5=400\text{ de lei, deci prețul final }al produsului este 480 de lei\displaystyle \text{al produsului este }480\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−1,2)\displaystyle A(-1,2), B(1,m)\displaystyle B(1,m) și C(3,6)\displaystyle C(3,6), unde m\displaystyle m este număr real. Determinați numărul real m\displaystyle m, astfel încât punctul C\displaystyle C să fie simetricul punctului A\displaystyle A față de punctul B\displaystyle B.
Vezi rezolvarea
  1. Se interpretează condiția din enunț: C este simetricul lui A față de B înseamnă că B este mijlocul segmentului AC.
    B este mijlocul segmentului AC\displaystyle B\text{ este mijlocul segmentului }AC
  2. Se scriu formulele generale ale coordonatelor mijlocului unui segment, pentru capetele A și C.
    xB=xA+xC2\displaystyle x_B=\frac{x_A+x_C}{2}, yB=yA+yC2\displaystyle \ y_B=\frac{y_A+y_C}{2}
  3. Se verifică relația pentru coordonatele x\displaystyle x, folosind datele A(−1,2)\displaystyle A(-1,2), B(1,m)\displaystyle B(1,m), C(3,6)\displaystyle C(3,6).
    1=−1+32⇒1=1, adeva˘rat\displaystyle 1=\frac{-1+3}{2}\Rightarrow 1=1\text{, adevărat}
  4. Se aplică formula mijlocului pentru coordonatele y\displaystyle y, înlocuind yA=2\displaystyle y_{A}=2, yC=6\displaystyle y_{C}=6 și yB=m\displaystyle y_{B}=m.
    m=2+62⇒m=4\displaystyle m=\frac{2+6}{2}\Rightarrow m=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡30∘⋅cos⁡45∘−12⋅sin⁡45∘=0.\sin 30^{\circ}\cdot\cos 45^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot\sin 45^{\circ}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia dată în enunț, care trebuie demonstrată că este egală cu zero.
    sin⁡30∘⋅cos⁡45∘−12⋅sin⁡45∘\displaystyle \sin 30^{\circ}\cdot\cos 45^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot\sin 45^{\circ}
  2. Se identifică valorile exacte ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de 30°\displaystyle 30° și 45°\displaystyle 45°, folosind valorile cunoscute din tabelul de valori remarcabile.
    sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}, sin⁡45∘=22\displaystyle \ \sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡45∘=22\displaystyle \ \cos 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}
  3. Se înlocuiesc aceste valori exacte în expresia dată, obținându-se o expresie numerică.
    sin⁡30∘⋅cos⁡45∘−12⋅sin⁡45∘=12⋅22−12⋅22\displaystyle \sin 30^{\circ}\cdot\cos 45^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot\sin 45^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}
  4. Se observă că cei doi termeni obținuți sunt identici, deci diferența lor este egală cu zero, ceea ce trebuia demonstrat.
    sin⁡30∘⋅cos⁡45∘−12⋅sin⁡45∘=12⋅22−12⋅22=0\displaystyle \sin 30^{\circ}\cdot\cos 45^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot\sin 45^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=12xy−x−y+4.x\circ y=\frac{1}{2}xy-x-y+4.

Arătați că 2∘1=2\displaystyle 2\circ 1=2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția legii de compoziție pentru valorile x=2\displaystyle x=2 și y=1\displaystyle y=1, înlocuind direct în formula dată.
    2∘1=12⋅2⋅1−2−1+4=\displaystyle 2\circ 1=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1-2-1+4=
  2. Se calculează produsul din primul termen: jumătate din produsul 2\displaystyle 2 cu 1\displaystyle 1.
    12⋅2⋅1=1\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1=1
  3. Se înlocuiește rezultatul produsului în expresie și se efectuează adunările și scăderile rămase pentru a obține rezultatul final.
    =1−2−1+4=2\displaystyle =1-2-1+4=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=12xy−x−y+4.x\circ y=\frac{1}{2}xy-x-y+4.

Demonstrați că x∘y=12(x−2)(y−2)+2,x\circ y=\frac{1}{2}(x-2)(y-2)+2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată în enunț, ca punct de plecare al calculului.
    x∘y=12xy−x−y+4\displaystyle x\circ y=\frac{1}{2}xy-x-y+4
  2. Se rescrie constanta 4\displaystyle 4 ca 2+2\displaystyle 2+2, apoi se grupează termenii care conțin pe x\displaystyle x pentru a scoate factor comun (y−2)\displaystyle (y-2), lăsând deoparte un rest de +2\displaystyle +2.
    x∘y=12xy−x−y+2+2=12x(y−2)−(y−2)+2=(y−2)(12x−1)+2=\displaystyle x\circ y=\frac{1}{2}xy-x-y+2+2=\frac{1}{2}x(y-2)-(y-2)+2=(y-2)\left(\frac{1}{2}x-1\right)+2=
  3. Se observă că paranteza (12x−1)\displaystyle \left(\dfrac{1}{2} x - 1\right) se poate scrie tot ca factor comun 12\displaystyle \dfrac{1}{2}, obținând 12(x−2)\displaystyle \dfrac{1}{2}(x-2), pentru a aduce expresia la o formă simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    12x−1=12(x−2)\displaystyle \frac{1}{2}x-1=\frac{1}{2}(x-2)
  4. Se înlocuiește expresia obținută în pasul anterior, rezultând forma finală factorizată a legii de compoziție, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    12(x−2)(y−2)+2\displaystyle \frac{1}{2}(x-2)(y-2)+2, pentru orice numere reale x și y\displaystyle \text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=12xy−x−y+4.x\circ y=\frac{1}{2}xy-x-y+4.

Arătați că e=4\displaystyle e=4 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Se reamintește definiția elementului neutru: un număr real e\displaystyle e este element neutru pentru legea "∘\displaystyle \circ" dacă x∘e=e∘x=x\displaystyle x\circ e=e\circ x=x, pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x∘e=e∘x=x\displaystyle x\circ e=e\circ x=x, pentru orice x∈R\displaystyle \text{ pentru orice }x\in\mathbb{R}
  2. Se verifică dacă e=4\displaystyle e=4 este candidat pentru elementul neutru, calculând x∘4\displaystyle x\circ 4 folosind definiția legii de compoziție date.
    x∘4=12⋅x⋅4−x−4+4\displaystyle x\circ 4=\frac{1}{2}\cdot x\cdot 4-x-4+4
  3. Se efectuează calculele: se simplifică termenul 12⋅x⋅4\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot x\cdot 4 la 2x\displaystyle 2x, iar apoi se reduc termenii asemenea.
    x∘4=2x−x−4+4=x\displaystyle x\circ 4=2x-x-4+4=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x
  4. Se calculează și 4∘x\displaystyle 4\circ x, folosind aceeași definiție a legii de compoziție, pentru a verifica și cealaltă condiție din definiția elementului neutru.
    4∘x=12⋅4⋅x−4−x+4\displaystyle 4\circ x=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot x-4-x+4
  5. Se simplifică expresia obținută: 12⋅4⋅x\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot x devine 2x\displaystyle 2x, iar apoi se reduc termenii asemenea, obținându-se din nou x\displaystyle x.
    4∘x=2x−4−x+4=x\displaystyle 4\circ x=2x-4-x+4=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x, deci e=4 este elementul neutru al \displaystyle \text{ deci }e=4\text{ este elementul neutru al }legii de compoziție „∘”\displaystyle \text{legii de compoziție „}\circ\text{”}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=12xy−x−y+4.x\circ y=\frac{1}{2}xy-x-y+4.

Arătați că numărul N=m∘n\displaystyle N=m\circ n este natural par, pentru orice numere naturale nenule pare m\displaystyle m și n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu m\displaystyle m și n\displaystyle n ca numere naturale pare nenule, folosind parametri naturali k\displaystyle k și p\displaystyle p.
    m=2k și n=2p\displaystyle m=2k\text{ și }n=2p, unde k și p sunt numere naturale \displaystyle \text{ unde }k\text{ și }p\text{ sunt numere naturale }nenule\displaystyle \text{nenule}
  2. Se calculează N=m∘n\displaystyle N = m\circ n folosind legea de compoziție dată, înlocuind m\displaystyle m și n\displaystyle n cu expresiile lor.
    N=m∘n=12(2k)(2p)−2k−2p+4\displaystyle N=m\circ n=\frac{1}{2}(2k)(2p)-2k-2p+4
  3. Se efectuează înmulțirea și se simplifică expresia obținută.
    N=2kp−2k−2p+4\displaystyle N=2kp-2k-2p+4
  4. Se dă factor comun 2\displaystyle 2 și se rescrie paranteza rămasă.
    N=2(kp−k−p+2)\displaystyle N=2(kp-k-p+2)
  5. Se observă că (k−1)(p−1)=kp−k−p+1\displaystyle (k-1)(p-1)=kp-k-p+1, deci kp−k−p+2=(k−1)(p−1)+1\displaystyle kp-k-p+2=(k-1)(p-1)+1, ceea ce permite scrierea formei factorizate a lui N\displaystyle N.
    N=2[(k−1)(p−1)+1]=2(k−1)(p−1)+2\displaystyle N=2\left[(k-1)(p-1)+1\right]=2(k-1)(p-1)+2
  6. Deoarece k\displaystyle k și p\displaystyle p sunt numere naturale, (k−1)(p−1)\displaystyle (k-1)(p-1) este un număr întreg, deci 2(k−1)(p−1)\displaystyle 2(k-1)(p-1) este par, iar adăugând 2\displaystyle 2 rezultatul rămâne un număr natural par.
    N=2(k−1)(p−1)+2\displaystyle N=2(k-1)(p-1)+2, deci N este numa˘r natural par\displaystyle \text{ deci }N\text{ este număr natural par}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=12xy−x−y+4.x\circ y=\frac{1}{2}xy-x-y+4.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∘x=4\displaystyle x\circ x=4.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică ecuația de rezolvat, folosind legea de compoziție dată: se cere să se rezolve ecuația x∘x=4\displaystyle x\circ x=4, deci se calculează întâi expresia x∘x\displaystyle x\circ x conform definiției legii.
    x∘x=12x⋅x−x−x+4\displaystyle x\circ x=\frac{1}{2}x\cdot x-x-x+4
  2. Se efectuează calculele: se reduce termenii asemenea pentru a obține forma simplificată a expresiei x∘x\displaystyle x\circ x.
    x∘x=12x2−2x+4\displaystyle x\circ x=\frac{1}{2}x^{2}-2x+4
  3. Se aduce expresia obținută la o formă factorizată (formă canonică de trinom de gradul al doilea), scriind-o ca pătrat perfect plus o constantă, iar apoi se scrie ecuația x∘x=4\displaystyle x\circ x=4 folosind această formă.
    12(x−2)2+2\displaystyle \frac{1}{2}(x-2)^{2}+2, deci 12(x−2)2+2=4\displaystyle \text{ deci }\frac{1}{2}(x-2)^{2}+2=4
  4. Se scade 2\displaystyle 2 din ambii membri ai ecuației, apoi se înmulțește egalitatea obținută cu 2\displaystyle 2, pentru a izola pătratul.
    12(x−2)2=2⇒(x−2)2=4\displaystyle \frac{1}{2}(x-2)^{2}=2\Rightarrow(x-2)^{2}=4
  5. Se extrage radical din ambii membri ai ecuației, obținându-se două soluții posibile, care se rezolvă separat pentru a determina valorile lui x\displaystyle x.
    (x−2)2=4\displaystyle (x-2)^{2}=4, de unde obținem x=0 sau x=4\displaystyle \text{ de unde obținem }x=0\text{ sau }x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=12xy−x−y+4.x\circ y=\frac{1}{2}xy-x-y+4.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care 4x∘8x=2.4^{x}\circ 8^{x}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se pune în evidență forma ei factorizată, grupând termenii pentru a obține un produs de tip (x−2)(y−2)\displaystyle (x-2)(y-2).
    x∘y=12xy−x−y+4=12(xy−2x−2y+8)=12[(x−2)(y−2)+4]\displaystyle x\circ y=\frac{1}{2}xy-x-y+4=\frac{1}{2}\left(xy-2x-2y+8\right)=\frac{1}{2}\left[(x-2)(y-2)+4\right]
  2. Se obține forma finală factorizată a legii de compoziție, utilă pentru calculul cerut.
    x∘y=12(x−2)(y−2)+2\displaystyle x\circ y=\frac{1}{2}(x-2)(y-2)+2
  3. Se aplică legea de compoziție pentru x=4x\displaystyle x=4^{x} și y=8x\displaystyle y=8^{x} în ecuația 4x∘8x=2\displaystyle 4^{x}\circ 8^{x}=2, folosind forma factorizată obținută anterior.
    4x∘8x=12(4x−2)(8x−2)+2=2\displaystyle 4^{x}\circ 8^{x}=\frac{1}{2}\left(4^{x}-2\right)\left(8^{x}-2\right)+2=2
  4. Se elimină termenul constant 2\displaystyle 2 din ambii membri, se înmulțește egalitatea cu 2\displaystyle 2 și se scriu bazele 4\displaystyle 4 și 8\displaystyle 8 ca puteri ale lui 2\displaystyle 2, obținând ecuația echivalentă cerută de barem.
    12(4x−2)(8x−2)+2=2⇔(22x−2)(23x−2)=0\displaystyle \frac{1}{2}(4^{x}-2)(8^{x}-2)+2=2 \Leftrightarrow (2^{2x}-2)(2^{3x}-2)=0
  5. Un produs este nul dacă cel puțin unul dintre factori este nul, deci se separă ecuația în două ecuații exponențiale simple.
    22x−2=0 sau 23x−2=0\displaystyle 2^{2x}-2=0\text{ sau }2^{3x}-2=0
  6. Se rezolvă prima ecuație: se scrie 2\displaystyle 2 ca 21\displaystyle 2^{1} și, cum funcția exponențială este injectivă, se identifică exponenții.
    22x=21⇔2x=1⇔x=12\displaystyle 2^{2x}=2^{1}\Leftrightarrow 2x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{2}
  7. Se rezolvă a doua ecuație în mod analog, scriind 2\displaystyle 2 ca 21\displaystyle 2^{1} și identificând exponenții.
    23x=21⇔3x=1⇔x=13\displaystyle 2^{3x}=2^{1}\Leftrightarrow 3x=1\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}
  8. Se scriu soluțiile finale ale ecuației, reunind rezultatele celor două cazuri.
    x=12 sau x=13\displaystyle x=\frac{1}{2}\text{ sau }x=\frac{1}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−1332), I2=(1001), O2=(0000)A=\begin{pmatrix}-1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix},\ I_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix},\ O_{2}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} și B(a)=(a+133a+4),B(a)=\begin{pmatrix}a+1 & 3\\ 3 & a+4\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că B(1)−B(0)=I2\displaystyle B(1)-B(0)=I_{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie forma generală a matricei B(a)\displaystyle B(a) și se înlocuiește a=1\displaystyle a=1 pentru a obține B(1)\displaystyle B(1).
    B(1)=(1+1331+4)=(2335)\displaystyle B(1)=\begin{pmatrix}1+1 & 3\\ 3 & 1+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2 & 3\\ 3 & 5\end{pmatrix}
  2. Se înlocuiește a=0\displaystyle a=0 în B(a)\displaystyle B(a) pentru a obține B(0)\displaystyle B(0).
    B(0)=(0+1330+4)=(1334)\displaystyle B(0)=\begin{pmatrix}0+1 & 3\\ 3 & 0+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 3\\ 3 & 4\end{pmatrix}
  3. Se scrie diferența B(1)−B(0)\displaystyle B(1)-B(0) folosind matricele calculate anterior.
    B(1)−B(0)=(2335)−(1334)=\displaystyle B(1)-B(0)=\begin{pmatrix}2 & 3\\ 3 & 5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 3\\ 3 & 4\end{pmatrix}=
  4. Se efectuează scăderea element cu element: se scad elementele corespunzătoare de pe fiecare poziție din cele două matrice.
    (2−13−33−35−4)\displaystyle \begin{pmatrix}2-1 & 3-3\\ 3-3 & 5-4\end{pmatrix}
  5. Se simplifică fiecare element, obținându-se matricea rezultat, care se recunoaște a fi matricea unitate I2\displaystyle I_2.
    (1001)=I2\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=I_{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−1332), I2=(1001), O2=(0000)A=\begin{pmatrix}-1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix},\ I_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix},\ O_{2}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} și B(a)=(a+133a+4),B(a)=\begin{pmatrix}a+1 & 3\\ 3 & a+4\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că B(−1)⋅B(−4)=9I2\displaystyle B(-1)\cdot B(-4)=9I_{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește a=−1\displaystyle a = -1 în expresia matricei B(a)\displaystyle B(a) pentru a obține B(−1)\displaystyle B(-1).
    B(−1)=(−1+133−1+4)=(0333)\displaystyle B(-1)=\begin{pmatrix}-1+1 & 3\\ 3 & -1+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 3\\ 3 & 3\end{pmatrix}
  2. Se înlocuiește a=−4\displaystyle a = -4 în expresia matricei B(a)\displaystyle B(a) pentru a obține B(−4)\displaystyle B(-4).
    B(−4)=(−4+133−4+4)=(−3330)\displaystyle B(-4)=\begin{pmatrix}-4+1 & 3\\ 3 & -4+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & 3\\ 3 & 0\end{pmatrix}
  3. Se scrie produsul celor două matrice obținute, B(−1)⋅B(−4)\displaystyle B(-1)\cdot B(-4), pregătind înmulțirea lor.
    B(−1)⋅B(−4)=(0333)(−3330)=\displaystyle B(-1)\cdot B(-4)=\begin{pmatrix}0 & 3\\ 3 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-3 & 3\\ 3 & 0\end{pmatrix}=
  4. Se efectuează înmulțirea matricelor element cu element: se calculează fiecare element al matricei produs folosind regula de înmulțire a matricelor (linie ori coloană), iar rezultatul se simplifică, observând că matricea obținută este 9⋅I2\displaystyle 9\cdot I_2.
    (0⋅(−3)+3⋅30⋅3+3⋅03⋅(−3)+3⋅33⋅3+3⋅0)=(9009)=9I2\displaystyle \begin{pmatrix}0\cdot(-3)+3\cdot 3 & 0\cdot 3+3\cdot 0\\ 3\cdot(-3)+3\cdot 3 & 3\cdot 3+3\cdot 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}9 & 0\\ 0 & 9\end{pmatrix}=9I_{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−1332), I2=(1001), O2=(0000)A=\begin{pmatrix}-1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix},\ I_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix},\ O_{2}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} și B(a)=(a+133a+4),B(a)=\begin{pmatrix}a+1 & 3\\ 3 & a+4\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care det⁡(B(a))=a\displaystyle \det(B(a))=a.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie formula determinantului pentru o matrice 2×2\displaystyle 2\times 2 aplicată matricei B(a)\displaystyle B(a).
    det⁡(B(a))=(a+1)(a+4)−3⋅3\displaystyle \det(B(a))=(a+1)(a+4)-3\cdot 3
  2. Se dezvoltă produsul (a+1)(a+4)\displaystyle (a+1)(a+4) și se efectuează calculele.
    det⁡(B(a))=a2+5a+4−9\displaystyle \det(B(a))=a^{2}+5a+4-9
  3. Se reduc termenii asemenea și se obține expresia finală a determinantului în funcție de a\displaystyle a.
    det⁡(B(a))=a2+5a−5\displaystyle \det(B(a))=a^{2}+5a-5, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \text{ pentru orice număr real }a
  4. Se pune condiția din enunț, egalând determinantul cu a\displaystyle a, și se trece totul într-o singură parte a ecuației.
    a2+5a−5=a⟺a2+4a−5=0\displaystyle a^{2}+5a-5=a\Longleftrightarrow a^{2}+4a-5=0
  5. Se calculează discriminantul ecuației de gradul al doilea obținute.
    Δ=42−4⋅1⋅(−5)=16+20=36\displaystyle \Delta=4^{2}-4\cdot 1\cdot(-5)=16+20=36
  6. Se aplică formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea, folosind Δ=6\displaystyle \sqrt{\Delta}=6.
    a1,2=−4±62\displaystyle a_{1,2}=\dfrac{-4\pm 6}{2}
  7. Se calculează cele două valori ale lui a\displaystyle a, obținându-se soluțiile ecuației.
    a1=−4+62=1\displaystyle a_{1}=\dfrac{-4+6}{2}=1, și a2=−4−62=−5\displaystyle \text{ și } a_{2}=\dfrac{-4-6}{2}=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−1332), I2=(1001), O2=(0000)A=\begin{pmatrix}-1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix},\ I_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix},\ O_{2}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} și B(a)=(a+133a+4),B(a)=\begin{pmatrix}a+1 & 3\\ 3 & a+4\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că matricea C(n)=B(n)−A\displaystyle C(n)=B(n)-A este inversabilă, pentru orice număr natural n\displaystyle n.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția matricei C(n)\displaystyle C(n), pornind de la B(a)\displaystyle B(a) pentru a=n\displaystyle a=n, ca fiind C(n)=B(n)−A\displaystyle C(n)=B(n)-A (conform enunțului complet al problemei).
    C(n)=B(n)−A=(n+133n+4)−(−1332)\displaystyle C(n)=B(n)-A=\begin{pmatrix}n+1 & 3\\ 3 & n+4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}
  2. Se efectuează scăderea celor două matrice, element cu element.
    C(n)=(n+1−(−1)3−33−3n+4−2)\displaystyle C(n)=\begin{pmatrix}n+1-(-1) & 3-3\\ 3-3 & n+4-2\end{pmatrix}
  3. Se simplifică fiecare element obținut, ajungând la forma finală a matricei C(n)\displaystyle C(n), și se calculează determinantul acesteia folosind formula pentru matrice de ordinul 2\displaystyle 2.
    C(n)=(n+200n+2)\displaystyle C(n)=\begin{pmatrix}n+2 & 0\\ 0 & n+2\end{pmatrix}, deci det⁡(C(n))=(n+2)(n+2)−0⋅0=(n+2)2\displaystyle \text{ deci }\det(C(n))=(n+2)(n+2)-0\cdot 0=(n+2)^{2}, pentru orice numa˘r \displaystyle \text{ pentru orice număr }natural n\displaystyle \text{natural }n
  4. Se analizează semnul expresiei (n+2)2\displaystyle (n+2)^2 pentru n\displaystyle n număr natural, observând că n+2\displaystyle n+2 este strict pozitiv.
    n∈N⇒n≥0⇒n+2≥2>0⇒(n+2)2>0\displaystyle n\in\mathbb{N}\Rightarrow n\geq 0\Rightarrow n+2\geq 2>0\Rightarrow (n+2)^{2}>0
  5. Se concluzionează că determinantul lui C(n)\displaystyle C(n) nu se anulează pentru niciun n\displaystyle n natural, deci matricea C(n)\displaystyle C(n) este inversabilă pentru orice n\displaystyle n natural.
    Cum n este numa˘r natural, det⁡(C(n))≠0\displaystyle \text{Cum }n\text{ este număr natural, }\det(C(n))\neq 0, deci matricea C(n) este inversabila˘ pentru \displaystyle \text{ deci matricea }C(n)\text{ este inversabilă pentru }orice numa˘r natural n\displaystyle \text{orice număr natural }n
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−1332), I2=(1001), O2=(0000)A=\begin{pmatrix}-1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix},\ I_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix},\ O_{2}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} și B(a)=(a+133a+4),B(a)=\begin{pmatrix}a+1 & 3\\ 3 & a+4\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că A⋅A=B(a)\displaystyle A\cdot A=B(a).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea A\displaystyle A și se pregătește calculul produsului A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind matricea cu ea însăși folosind regula de înmulțire a matricelor (linie cu coloană).
    A⋅A=(−1332)⋅(−1332)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}-1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix}
  2. Se calculează elementul de pe linia 1\displaystyle 1, coloana 1\displaystyle 1: produsul dintre prima linie a lui A\displaystyle A și prima coloană a lui A\displaystyle A.
    (−1)⋅(−1)+3⋅3=1+9=10\displaystyle (-1)\cdot(-1)+3\cdot 3=1+9=10
  3. Se calculează elementul de pe linia 1\displaystyle 1, coloana 2\displaystyle 2: produsul dintre prima linie a lui A\displaystyle A și a doua coloană a lui A\displaystyle A.
    (−1)⋅3+3⋅2=−3+6=3\displaystyle (-1)\cdot 3+3\cdot 2=-3+6=3
  4. Se calculează elementul de pe linia 2\displaystyle 2, coloana 1\displaystyle 1: produsul dintre a doua linie a lui A\displaystyle A și prima coloană a lui A\displaystyle A.
    3⋅(−1)+2⋅3=−3+6=3\displaystyle 3\cdot(-1)+2\cdot 3=-3+6=3
  5. Se calculează elementul de pe linia 2\displaystyle 2, coloana 2\displaystyle 2: produsul dintre a doua linie a lui A\displaystyle A și a doua coloană a lui A\displaystyle A.
    3⋅3+2⋅2=9+4=13\displaystyle 3\cdot 3+2\cdot 2=9+4=13
  6. Se adună toate elementele calculate pentru a obține matricea produs A⋅A\displaystyle A\cdot A.
    A⋅A=(103313)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}10 & 3\\ 3 & 13\end{pmatrix}
  7. Se egalează matricea A⋅A\displaystyle A\cdot A obținută cu matricea B(a)\displaystyle B(a), deoarece se cere ca acestea să fie egale, ceea ce înseamnă că toate elementele corespunzătoare trebuie să fie egale.
    (103313)=(a+133a+4)\displaystyle \begin{pmatrix}10 & 3\\ 3 & 13\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+1 & 3\\ 3 & a+4\end{pmatrix}
  8. Se compară elementele de pe diagonala principală: din prima egalitate a+1=10\displaystyle a+1=10 rezultă a=9\displaystyle a=9, iar din a doua egalitate a+4=13\displaystyle a+4=13 rezultă tot a=9\displaystyle a=9, deci valoarea lui a\displaystyle a este confirmată de ambele ecuații.
    a+1=10 și a+4=13⇒a=9\displaystyle a+1=10\text{ și }a+4=13\Rightarrow a=9
  9. Se conclude valoarea lui a\displaystyle a care satisface egalitatea celor două matrice.
    (103313)=(a+133a+4)\displaystyle \begin{pmatrix}10 & 3\\ 3 & 13\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+1 & 3\\ 3 & a+4\end{pmatrix}, de unde obținem a=9\displaystyle \text{ de unde obținem }a=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−1332), I2=(1001), O2=(0000)A=\begin{pmatrix}-1 & 3\\ 3 & 2\end{pmatrix},\ I_{2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix},\ O_{2}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix} și B(a)=(a+133a+4),B(a)=\begin{pmatrix}a+1 & 3\\ 3 & a+4\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a, a≥0\displaystyle a\geq 0, pentru care B(a)−B(a)=O2.B(a)-B(\sqrt{a})=O_{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie condiția inițială a problemei: B(a)−B(a)=O2\displaystyle B(a) - B(\sqrt{a}) = O_{2}, unde a\displaystyle a este număr real. Pentru ca a\displaystyle \sqrt{a} să aibă sens (să fie număr real), este necesar ca a≥0\displaystyle a \geq 0.
    B(a)−B(a)=O2\displaystyle B(a)-B(\sqrt{a})=O_{2}, unde a∈R\displaystyle \text{ unde }a\in\mathbb{R}, a≥0\displaystyle \ a\geq 0
  2. Se scriu explicit matricele B(a)\displaystyle B(a) și B(a)\displaystyle B(\sqrt{a}), calculând diferența lor element cu element, pentru a observa structura ecuației matriceale.
    B(a)−B(a)=((a+1)−(a+1)3−33−3(a+4)−(a+4))=(a−a00a−a)\displaystyle B(a)-B(\sqrt{a})=\begin{pmatrix}(a+1)-(\sqrt{a}+1) & 3-3\\ 3-3 & (a+4)-(\sqrt{a}+4)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a-\sqrt{a} & 0\\ 0 & a-\sqrt{a}\end{pmatrix}
  3. Se observă că egalitatea cu matricea nulă O2\displaystyle O_{2} este echivalentă cu egalitatea celor două matrice B(a)=B(a)\displaystyle B(a)=B(\sqrt{a}), condiție valabilă pentru a\displaystyle a real, a≥0\displaystyle a \geq 0.
    B(a)=B(a)\displaystyle B(a)=B(\sqrt{a}), unde a este numa˘r real, a≥0\displaystyle \text{ unde }a\text{ este număr real, }a\geq 0
  4. Din egalitatea matricelor B(a)=B(a)\displaystyle B(a)=B(\sqrt{a}), se identifică elementele de pe diagonala principală (elementele nediagonale, egale cu 3\displaystyle 3, coincid automat), obținându-se ecuația scalară echivalentă.
    a+1=a+1 ⇒ a=a\displaystyle a+1=\sqrt{a}+1\ \Rightarrow\ a=\sqrt{a}
  5. Se rezolvă ecuația a=a\displaystyle a=\sqrt{a}, ridicând la pătrat (ținând cont că a≥0\displaystyle a\geq0), și se obține o ecuație de gradul al doilea care se rezolvă prin factorizare.
    a2=a ⇒ a(a−1)=0 ⇒ a=0 sau a=1\displaystyle a^{2}=a\ \Rightarrow\ a(a-1)=0\ \Rightarrow\ a=0\text{ sau }a=1
  6. Se verifică cele două soluții obținute în ecuația inițială a=a\displaystyle a=\sqrt{a} (și în condiția a≥0\displaystyle a\geq0): pentru a=0\displaystyle a=0, 0=0=0\displaystyle 0=\sqrt{0}=0 adevărat; pentru a=1\displaystyle a=1, 1=1=1\displaystyle 1=\sqrt{1}=1 adevărat. Ambele soluții convin.
    a=a\displaystyle a=\sqrt{a}, de unde obținem a=0 sau a=1\displaystyle \text{ de unde obținem }a=0\text{ sau }a=1, care convin\displaystyle \text{ care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.