Bac matematică M4 pedagogic 2021, model, test de evaluare 11: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră progresia aritmetică (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1} cu a1=−2\displaystyle a_1=-2 și a3=4\displaystyle a_3=4. Calculați termenul a4\displaystyle a_4.
Vezi rezolvarea
  1. Într-o progresie aritmetică, termenul al treilea se scrie cu ajutorul primului termen și al rației: a3=a1+2r\displaystyle a_3=a_1+2r.
    a3=a1+2r\displaystyle a_3=a_1+2r
  2. Înlocuim a1=−2\displaystyle a_1=-2 și a3=4\displaystyle a_3=4 și obținem ecuația 4=−2+2r\displaystyle 4=-2+2r.
    4=−2+2r\displaystyle 4=-2+2r
  3. Izolăm 2r\displaystyle 2r: 2r=a3−a1=4−(−2)=6\displaystyle 2r=a_3-a_1=4-(-2)=6, deci r=3\displaystyle r=3.
    2r=6, de unde r=3\displaystyle 2r=6\text{, de unde }r=3
  4. Termenul a4\displaystyle a_4 se obține adunând rația la a3\displaystyle a_3: a4=a3+r=4+3=7\displaystyle a_4=a_3+r=4+3=7.
    a4=4+3=7\displaystyle a_4=4+3=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ax+2\displaystyle f(x)=ax+2, unde a\displaystyle a este număr real nenul. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care graficul funcției f\displaystyle f intersectează axa Ox\displaystyle Ox în punctul A(2,0)\displaystyle A(2,0).
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(2,0)\displaystyle A(2,0) se află pe graficul funcției f\displaystyle f dacă și numai dacă f(2)=0\displaystyle f(2)=0, adică imaginea lui 2\displaystyle 2 prin f\displaystyle f este 0\displaystyle 0.
    f(2)=0\displaystyle f(2)=0
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în expresia f(x)=ax+2\displaystyle f(x)=ax+2 și obținem f(2)=2a+2\displaystyle f(2)=2a+2.
    f(2)=2a+2\displaystyle f(2)=2a+2
  3. Egalăm cu 0\displaystyle 0 și obținem ecuația 2a+2=0\displaystyle 2a+2=0. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri, apoi împărțim la 2\displaystyle 2. Rezultă a=−1\displaystyle a=-1, valoare nenulă, deci convine.
    2a+2=0, de unde obținem a=−1\displaystyle 2a+2=0\text{, de unde obținem }a=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡8(7x+8)=2\displaystyle \log_8(7x+8)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Logaritmul există dacă argumentul este strict pozitiv: 7x+8>0\displaystyle 7x+8>0, deci x>−87\displaystyle x>-\dfrac{8}{7}.
    x>−87\displaystyle x>-\dfrac{8}{7}
  2. Aplicăm definiția logaritmului: log⁡8a=2⇔a=82\displaystyle \log_8 a=2\Leftrightarrow a=8^2. Obținem 7x+8=82\displaystyle 7x+8=8^2, adică 7x+8=64\displaystyle 7x+8=64.
    log⁡8(7x+8)=2⇒7x+8=82⇒7x+8=64\displaystyle \log_8(7x+8)=2\Rightarrow 7x+8=8^2\Rightarrow 7x+8=64
  3. Rezolvăm ecuația de gradul I: scădem 8 din ambii membri și obținem 7x=56\displaystyle 7x=56, apoi împărțim la 7.
    7x=56⇒x=8\displaystyle 7x=56\Rightarrow x=8
  4. Verificăm condiția de existență: 8>−87\displaystyle 8>-\dfrac{8}{7}, deci soluția convine. Verificare: log⁡8(7⋅8+8)=log⁡864=2\displaystyle \log_8(7\cdot 8+8)=\log_8 64=2.
    x=8, care convine\displaystyle x=8\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea numerelor naturale nenule de o cifră, numărul 2n\displaystyle 2n să fie număr natural de două cifre.
Vezi rezolvarea
  1. Mulțimea numerelor naturale nenule de o cifră este {1,2,3,4,5,6,7,8,9}\displaystyle \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}. Are 9 elemente, deci avem 9\displaystyle 9 cazuri posibile.
    9 cazuri posibile\displaystyle 9\text{ cazuri posibile}
  2. Numărul 2n\displaystyle 2n trebuie să aibă două cifre, adică 2n≥10\displaystyle 2n\geq 10. Rezultă n≥5\displaystyle n\geq 5, iar n≤9\displaystyle n\leq 9 fiind număr de o cifră.
    5≤n≤9\displaystyle 5\leq n\leq 9
  3. Valorile favorabile sunt 5,6,7,8\displaystyle 5,6,7,8 și 9\displaystyle 9. Verificare: 2⋅9=18\displaystyle 2\cdot 9=18 are două cifre, iar 2⋅4=8\displaystyle 2\cdot 4=8 nu are. Sunt 5\displaystyle 5 cazuri favorabile.
    5\displaystyle 5,6\displaystyle 6,7\displaystyle 7,8 și 9, deci sunt 5 cazuri favorabile\displaystyle 8\text{ și }9\text{, deci sunt }5\text{ cazuri favorabile}
  4. Aplicăm formula probabilității clasice: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=59\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{5}{9}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=59\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{5}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−2,2)\displaystyle A(-2,2), B(2,5)\displaystyle B(2,5) și C(5,1)\displaystyle C(5,1). Arătați că triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic isoscel.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula distanței dintre punctele M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2): MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
    MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
  2. Pentru A(−2,2)\displaystyle A(-2,2) și B(2,5)\displaystyle B(2,5) avem AB=(2+2)2+(5−2)2=16+9=25\displaystyle AB=\sqrt{(2+2)^2+(5-2)^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}, deci AB=5\displaystyle AB=5.
    AB=42+32=25=5\displaystyle AB=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5
  3. Pentru B(2,5)\displaystyle B(2,5) și C(5,1)\displaystyle C(5,1) avem BC=(5−2)2+(1−5)2=9+16=25\displaystyle BC=\sqrt{(5-2)^2+(1-5)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}, deci BC=5\displaystyle BC=5. Cum AB=BC=5\displaystyle AB=BC=5, triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel.
    AB=BC=5, deci triunghiul ABC este isoscel\displaystyle AB=BC=5\text{, deci triunghiul }ABC\text{ este isoscel}
  4. Pentru A(−2,2)\displaystyle A(-2,2) și C(5,1)\displaystyle C(5,1) avem AC=(5+2)2+(1−2)2=49+1\displaystyle AC=\sqrt{(5+2)^2+(1-2)^2}=\sqrt{49+1}, deci AC=50\displaystyle AC=\sqrt{50}.
    AC=49+1=50\displaystyle AC=\sqrt{49+1}=\sqrt{50}
  5. Avem AB2+BC2=25+25=50\displaystyle AB^2+BC^2=25+25=50 și AC2=50\displaystyle AC^2=50, deci AC2=AB2+BC2\displaystyle AC^2=AB^2+BC^2. Din reciproca teoremei lui Pitagora, triunghiul are unghiul drept în B\displaystyle B. Cum este și isoscel, triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic isoscel.
    AC2=AB2+BC2, deci triunghiul ABC este dreptunghic isoscel\displaystyle AC^2=AB^2+BC^2\text{, deci triunghiul }ABC\text{ este dreptunghic isoscel}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, cu AB=17\displaystyle AB=17, AC=10\displaystyle AC=10 și înălțimea AD=8\displaystyle AD=8, unde punctul D\displaystyle D aparține laturii BC\displaystyle BC. Determinați lungimea laturii BC\displaystyle BC a triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Deoarece AD\displaystyle AD este înălțime, triunghiurile ABD\displaystyle ABD și ADC\displaystyle ADC sunt dreptunghice în D\displaystyle D. Punctul D\displaystyle D aparține laturii BC\displaystyle BC, deci BC=BD+DC\displaystyle BC=BD+DC.
    BC=BD+DC\displaystyle BC=BD+DC
  2. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABD\displaystyle ABD, cu ipotenuza AB=17\displaystyle AB=17 și cateta AD=8\displaystyle AD=8: BD2=AB2−AD2=172−82=289−64=225\displaystyle BD^{2}=AB^{2}-AD^{2}=17^{2}-8^{2}=289-64=225.
    BD=289−64=225=15\displaystyle BD=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15
  3. Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ADC\displaystyle ADC, cu ipotenuza AC=10\displaystyle AC=10 și cateta AD=8\displaystyle AD=8: DC2=AC2−AD2=102−82=100−64=36\displaystyle DC^{2}=AC^{2}-AD^{2}=10^{2}-8^{2}=100-64=36.
    DC=100−64=36=6\displaystyle DC=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6
  4. Adunăm cele două segmente: BC=BD+DC=15+6\displaystyle BC=BD+DC=15+6.
    BC=15+6=21\displaystyle BC=15+6=21
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea M=[0,+∞)\displaystyle M=[0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=x+y+6xy+1\displaystyle x*y=\frac{x+y+6}{xy+1}.

Arătați că 1∗2=3\displaystyle 1*2=3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție x∗y=x+y+6xy+1\displaystyle x*y=\dfrac{x+y+6}{xy+1} pentru x=1\displaystyle x=1 și y=2\displaystyle y=2, adică înlocuim în formulă.
    1∗2=1+2+61⋅2+1\displaystyle 1*2=\frac{1+2+6}{1\cdot 2+1}
  2. Calculăm numărătorul 1+2+6=9\displaystyle 1+2+6=9 și numitorul 1⋅2+1=3\displaystyle 1\cdot 2+1=3.
    93\displaystyle \frac{9}{3}
  3. Simplificăm fracția: 93=3\displaystyle \dfrac{9}{3}=3, deci 1∗2=3\displaystyle 1*2=3, ceea ce trebuia demonstrat.
    1∗2=93=3\displaystyle 1*2=\frac{9}{3}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea M=[0,+∞)\displaystyle M=[0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=x+y+6xy+1\displaystyle x*y=\frac{x+y+6}{xy+1}.

Arătați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este comutativă dacă x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice x,y∈M\displaystyle x,y\in M. Pornim de la definiția legii, pentru x,y∈M\displaystyle x,y\in M oarecare: x∗y=x+y+6xy+1\displaystyle x*y=\dfrac{x+y+6}{xy+1}.
    x∗y=x+y+6xy+1\displaystyle x*y=\frac{x+y+6}{xy+1}
  2. Adunarea și înmulțirea numerelor reale sunt comutative, deci x+y=y+x\displaystyle x+y=y+x și xy=yx\displaystyle xy=yx. Înlocuim în numărător și în numitor: x+y+6xy+1=y+x+6yx+1\displaystyle \dfrac{x+y+6}{xy+1}=\dfrac{y+x+6}{yx+1}.
    x∗y=x+y+6xy+1=y+x+6yx+1\displaystyle x*y=\frac{x+y+6}{xy+1}=\frac{y+x+6}{yx+1}
  3. Fracția obținută, y+x+6yx+1\displaystyle \dfrac{y+x+6}{yx+1}, este chiar definiția lui y∗x\displaystyle y*x. Deci x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice x,y∈M\displaystyle x,y\in M, iar legea „∗\displaystyle *” este comutativă.
    x∗y=y∗x, pentru orice x și y din M, deci legea „∗” este comutativa˘\displaystyle x*y=y*x\text{, pentru orice }x\text{ și }y\text{ din }M\text{, deci legea „}*\text{” este comutativă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea M=[0,+∞)\displaystyle M=[0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=x+y+6xy+1\displaystyle x*y=\frac{x+y+6}{xy+1}.

Arătați că x∗1>1\displaystyle x*1>1, pentru orice x∈M\displaystyle x\in M.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y=1\displaystyle y=1 în definiția legii: x∗1=x+1+6x⋅1+1\displaystyle x*1=\dfrac{x+1+6}{x\cdot 1+1}.
    x∗1=x+1+6x⋅1+1\displaystyle x*1=\dfrac{x+1+6}{x\cdot 1+1}
  2. Reducem termenii: numărătorul este x+7\displaystyle x+7, iar numitorul este x+1\displaystyle x+1.
    x∗1=x+7x+1\displaystyle x*1=\dfrac{x+7}{x+1}
  3. Scriem numărătorul ca x+7=(x+1)+6\displaystyle x+7=(x+1)+6 și separăm fracția: x+7x+1=x+1x+1+6x+1\displaystyle \dfrac{x+7}{x+1}=\dfrac{x+1}{x+1}+\dfrac{6}{x+1}.
    x+7x+1=1+6x+1\displaystyle \dfrac{x+7}{x+1}=1+\dfrac{6}{x+1}
  4. Pentru orice x∈M\displaystyle x\in M avem x≥0\displaystyle x\ge 0, deci x+1≥1>0\displaystyle x+1\ge 1>0, iar 6x+1>0\displaystyle \dfrac{6}{x+1}>0. Prin urmare x∗1=1+6x+1>1\displaystyle x*1=1+\dfrac{6}{x+1}>1.
    x∗1=1+6x+1>1, pentru orice x∈M\displaystyle x*1=1+\dfrac{6}{x+1}>1\text{, pentru orice }x\in M
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea M=[0,+∞)\displaystyle M=[0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=x+y+6xy+1\displaystyle x*y=\frac{x+y+6}{xy+1}.

Determinați numărul x∈M\displaystyle x\in M pentru care 3∗x=12\displaystyle 3*x=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în legea x∗y=x+y+6xy+1\displaystyle x*y=\dfrac{x+y+6}{xy+1} pe x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 și pe y\displaystyle y cu x\displaystyle x. La numărător obținem 3+x+6=x+9\displaystyle 3+x+6=x+9, iar la numitor 3x+1\displaystyle 3x+1.
    3∗x=x+93x+1\displaystyle 3*x=\dfrac{x+9}{3x+1}
  2. Scriem ecuația din enunț: 3∗x=12\displaystyle 3*x=\dfrac{1}{2}. Pentru x∈M\displaystyle x\in M, numitorul 3x+1≥1\displaystyle 3x+1\geq 1 este pozitiv, deci fracția este bine definită.
    x+93x+1=12\displaystyle \dfrac{x+9}{3x+1}=\dfrac{1}{2}
  3. Aplicăm produsul mezilor cu produsul extremilor: 2(x+9)=3x+1\displaystyle 2(x+9)=3x+1, adică 2x+18=3x+1\displaystyle 2x+18=3x+1.
    2x+18=3x+1\displaystyle 2x+18=3x+1
  4. Trecem termenii cu x\displaystyle x într-o parte și numerele în cealaltă: 18−1=3x−2x\displaystyle 18-1=3x-2x, deci x=17\displaystyle x=17. Cum 17≥0\displaystyle 17\geq 0, avem 17∈M\displaystyle 17\in M, deci soluția convine.
    x=17, care convine\displaystyle x=17\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea M=[0,+∞)\displaystyle M=[0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=x+y+6xy+1\displaystyle x*y=\frac{x+y+6}{xy+1}.

Determinați x∈M\displaystyle x\in M pentru care x∗x≥2\displaystyle x*x\geq 2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția x∗y=x+y+6xy+1\displaystyle x*y=\dfrac{x+y+6}{xy+1} și obținem x∗x=x+x+6x⋅x+1\displaystyle x*x=\dfrac{x+x+6}{x\cdot x+1}.
    x∗x=2x+6x2+1\displaystyle x*x=\frac{2x+6}{x^{2}+1}, ∀x∈M\displaystyle \ \forall x\in M
  2. Inegalitatea x∗x≥2\displaystyle x*x\geq 2 devine 2x+6x2+1≥2\displaystyle \dfrac{2x+6}{x^{2}+1}\geq 2.
    2x+6x2+1≥2\displaystyle \frac{2x+6}{x^{2}+1}\geq 2
  3. Deoarece x2+1>0\displaystyle x^{2}+1>0, înmulțim inegalitatea cu x2+1\displaystyle x^{2}+1 și sensul ei rămâne același: 2x+6≥2(x2+1)\displaystyle 2x+6\geq 2\left(x^{2}+1\right).
    2x+6≥2x2+2\displaystyle 2x+6\geq 2x^{2}+2
  4. Trecem totul în dreapta: 0≥2x2−2x−4\displaystyle 0\geq 2x^{2}-2x-4. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem x2−x−2≤0\displaystyle x^{2}-x-2\leq 0.
    x2−x−2≤0\displaystyle x^{2}-x-2\leq 0
  5. Rădăcinile ecuației x2−x−2=0\displaystyle x^{2}-x-2=0 sunt x1=−1\displaystyle x_1=-1 și x2=2\displaystyle x_2=2, deci x2−x−2=(x+1)(x−2)\displaystyle x^{2}-x-2=(x+1)(x-2). Inecuația (x+1)(x−2)≤0\displaystyle (x+1)(x-2)\leq 0 are soluția x∈[−1,2]\displaystyle x\in[-1,2].
    x∈[−1,2]\displaystyle x\in[-1,2]
  6. Cum x∈M=[0,+∞)\displaystyle x\in M=[0,+\infty), intersectăm: [−1,2]∩[0,+∞)=[0,2]\displaystyle [-1,2]\cap[0,+\infty)=[0,2].
    x∈[0,2]\displaystyle x\in[0,2]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea M=[0,+∞)\displaystyle M=[0,+\infty) se definește legea de compoziție x∗y=x+y+6xy+1\displaystyle x*y=\frac{x+y+6}{xy+1}.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere naturale, cu m<n\displaystyle m<n, pentru care m∗n=1\displaystyle m*n=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem condiția m∗n=1\displaystyle m*n=1 folosind definiția legii: m+n+6mn+1=1\displaystyle \dfrac{m+n+6}{mn+1}=1. Numitorul mn+1\displaystyle mn+1 este pozitiv, deci putem elimina numitorul și obținem m+n+6=mn+1\displaystyle m+n+6=mn+1. Mutăm termenii și ajungem la mn−m−n+1=6\displaystyle mn-m-n+1=6.
    m+n+6mn+1=1⇔mn−m−n+1=6\displaystyle \frac{m+n+6}{mn+1}=1\Leftrightarrow mn-m-n+1=6
  2. Descompunem membrul stâng în factori: mn−m−n+1=m(n−1)−(n−1)=(m−1)(n−1)\displaystyle mn-m-n+1=m(n-1)-(n-1)=(m-1)(n-1). Ecuația devine (m−1)(n−1)=6\displaystyle (m-1)(n-1)=6.
    (m−1)(n−1)=6\displaystyle (m-1)(n-1)=6
  3. Eliminăm cazurile m=0\displaystyle m=0 și m=1\displaystyle m=1. Dacă m=1\displaystyle m=1, produsul este 0\displaystyle 0, nu 6\displaystyle 6. Dacă m=0\displaystyle m=0, ecuația devine −(n−1)=6\displaystyle -(n-1)=6, deci n=−5\displaystyle n=-5, care nu este număr natural. Rămâne m≥2\displaystyle m\geq 2, deci m−1\displaystyle m-1 este pozitiv. Cum produsul este pozitiv, și n−1\displaystyle n-1 este pozitiv. Din m<n\displaystyle m<n rezultă m−1<n−1\displaystyle m-1<n-1.
    m≥2\displaystyle m\geq 2,1≤m−1<n−1\displaystyle \quad 1\leq m-1<n-1
  4. Descompunem pe 6\displaystyle 6 ca produs de două numere naturale nenule, primul mai mic decât al doilea: 6=1⋅6\displaystyle 6=1\cdot 6 sau 6=2⋅3\displaystyle 6=2\cdot 3. Obținem m−1=1\displaystyle m-1=1 și n−1=6\displaystyle n-1=6, sau m−1=2\displaystyle m-1=2 și n−1=3\displaystyle n-1=3.
    (m−1,n−1)∈{(1,6),(2,3)}\displaystyle (m-1,n-1)\in\{(1,6),(2,3)\}
  5. Revenim la m\displaystyle m și n\displaystyle n: din primul caz m=2\displaystyle m=2 și n=7\displaystyle n=7, din al doilea caz m=3\displaystyle m=3 și n=4\displaystyle n=4. Ambele perechi au numere naturale și m<n\displaystyle m<n. Perechile căutate sunt (2,7)\displaystyle (2,7) și (3,4)\displaystyle (3,4).
    (m,n)∈{(2,7),(3,4)}\displaystyle (m,n)\in\{(2,7),(3,4)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(1−2−20)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-2\\-2&0\end{pmatrix} și B(x)=(1x−x0)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&x\\-x&0\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=−4\displaystyle \det A=-4.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A=(1−2−20)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-2\\-2&0\end{pmatrix} și formula determinantului de ordin 2: ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c.
    det⁡A=∣1−2−20∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&-2\\-2&0\end{vmatrix}
  2. Înlocuim elementele matricei A\displaystyle A în formulă: a=1\displaystyle a=1, b=−2\displaystyle b=-2, c=−2\displaystyle c=-2, d=0\displaystyle d=0.
    det⁡A=1⋅0−(−2)⋅(−2)\displaystyle \det A=1\cdot 0-(-2)\cdot(-2)
  3. Calculăm produsele: 1⋅0=0\displaystyle 1\cdot 0=0, iar (−2)⋅(−2)=4\displaystyle (-2)\cdot(-2)=4. Scădem și obținem −4\displaystyle -4, deci determinantul este egal cu −4\displaystyle -4, așa cum trebuia arătat.
    det⁡A=0−4=−4\displaystyle \det A=0-4=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(1−2−20)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-2\\-2&0\end{pmatrix} și B(x)=(1x−x0)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&x\\-x&0\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că B(−6)+3B(2)=4B(0)\displaystyle B(-6)+3B(2)=4B(0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu −6\displaystyle -6 în B(x)\displaystyle B(x). Elementul din dreapta sus este −6\displaystyle -6, iar cel din stânga jos este −(−6)=6\displaystyle -(-6)=6.
    B(−6)=(1−660)\displaystyle B(-6)=\begin{pmatrix}1&-6\\6&0\end{pmatrix}
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în B(x)\displaystyle B(x).
    B(2)=(12−20)\displaystyle B(2)=\begin{pmatrix}1&2\\-2&0\end{pmatrix}
  3. Înmulțim matricea B(2)\displaystyle B(2) cu 3\displaystyle 3, adică fiecare element se înmulțește cu 3\displaystyle 3.
    3B(2)=(36−60)\displaystyle 3B(2)=\begin{pmatrix}3&6\\-6&0\end{pmatrix}
  4. Adunăm B(−6)\displaystyle B(-6) cu 3B(2)\displaystyle 3B(2), element cu element: 1+3=4\displaystyle 1+3=4, −6+6=0\displaystyle -6+6=0, 6+(−6)=0\displaystyle 6+(-6)=0, 0+0=0\displaystyle 0+0=0.
    B(−6)+3B(2)=(4000)\displaystyle B(-6)+3B(2)=\begin{pmatrix}4&0\\0&0\end{pmatrix}
  5. Calculăm B(0)=(1000)\displaystyle B(0)=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, apoi scoatem factorul 4\displaystyle 4 din matricea obținută anterior. Se obține aceeași matrice ca 4B(0)\displaystyle 4B(0), deci egalitatea este demonstrată.
    B(−6)+3B(2)=4(1000)=4B(0)\displaystyle B(-6)+3B(2)=4\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=4B(0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(1−2−20)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-2\\-2&0\end{pmatrix} și B(x)=(1x−x0)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&x\\-x&0\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că B(2)⋅B(−2)−A=4I2\displaystyle B(2)\cdot B(-2)-A=4I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 și x=−2\displaystyle x=-2 în B(x)=(1x−x0)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&x\\-x&0\end{pmatrix}.
    B(2)=(12−20)\displaystyle B(2)=\begin{pmatrix}1&2\\-2&0\end{pmatrix},B(−2)=(1−220)\displaystyle \quad B(-2)=\begin{pmatrix}1&-2\\2&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul: elementul din poziția (1,1) este 1⋅1+2⋅2=5\displaystyle 1\cdot 1+2\cdot 2=5, din (1,2) este 1⋅(−2)+2⋅0=−2\displaystyle 1\cdot(-2)+2\cdot 0=-2, din (2,1) este −2⋅1+0⋅2=−2\displaystyle -2\cdot 1+0\cdot 2=-2, iar din (2,2) este −2⋅(−2)+0⋅0=4\displaystyle -2\cdot(-2)+0\cdot 0=4.
    B(2)⋅B(−2)=(5−2−24)\displaystyle B(2)\cdot B(-2)=\begin{pmatrix}5&-2\\-2&4\end{pmatrix}
  3. Scădem A\displaystyle A din produs, element cu element: 5−1=4\displaystyle 5-1=4, −2−(−2)=0\displaystyle -2-(-2)=0, −2−(−2)=0\displaystyle -2-(-2)=0, 4−0=4\displaystyle 4-0=4.
    B(2)⋅B(−2)−A=(5−2−24)−(1−2−20)=(4004)\displaystyle B(2)\cdot B(-2)-A=\begin{pmatrix}5&-2\\-2&4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1&-2\\-2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}
  4. Scoatem factorul 4\displaystyle 4 în fața matricei și recunoaștem matricea unitate I2\displaystyle I_2, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    (4004)=4(1001)=4I2\displaystyle \begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}=4\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=4I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(1−2−20)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-2\\-2&0\end{pmatrix} și B(x)=(1x−x0)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&x\\-x&0\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(B(2x)+xA)=0\displaystyle \det(B(2x)+xA)=0, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 2x\displaystyle 2x în B(x)=(1x−x0)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&x\\-x&0\end{pmatrix} și obținem matricea B(2x)\displaystyle B(2x).
    B(2x)=(12x−2x0)\displaystyle B(2x)=\begin{pmatrix}1&2x\\-2x&0\end{pmatrix}
  2. Înmulțim fiecare element al matricei A\displaystyle A cu x\displaystyle x.
    xA=(x−2x−2x0)\displaystyle xA=\begin{pmatrix}x&-2x\\-2x&0\end{pmatrix}
  3. Adunăm cele două matrice element cu element. Pe prima linie: 1+x\displaystyle 1+x și 2x−2x=0\displaystyle 2x-2x=0. Pe a doua linie: −2x−2x=−4x\displaystyle -2x-2x=-4x și 0+0=0\displaystyle 0+0=0. Obținem o matrice cu a doua coloană nulă.
    B(2x)+xA=(1+x0−4x0), pentru orice numa˘r real x\displaystyle B(2x)+xA=\begin{pmatrix}1+x&0\\-4x&0\end{pmatrix}\text{, pentru orice număr real }x
  4. Calculăm determinantul matricei sumă: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe cealaltă diagonală. Ambele produse conțin factorul 0\displaystyle 0, deci determinantul este 0\displaystyle 0 pentru orice x\displaystyle x real.
    det⁡(B(2x)+xA)=(1+x)⋅0−(−4x)⋅0=0, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \det(B(2x)+xA)=(1+x)\cdot 0-(-4x)\cdot 0=0\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(1−2−20)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-2\\-2&0\end{pmatrix} și B(x)=(1x−x0)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&x\\-x&0\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) cu proprietatea că B(1)⋅X=A\displaystyle B(1)\cdot X=A.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în B(x)\displaystyle B(x) și obținem matricea B(1)\displaystyle B(1).
    B(1)=(11−10)\displaystyle B(1)=\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul matricei B(1)\displaystyle B(1): produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Cum det⁡(B(1))≠0\displaystyle \det(B(1))\neq 0, matricea B(1)\displaystyle B(1) este inversabilă.
    det⁡(B(1))=1⋅0−1⋅(−1)=1\displaystyle \det(B(1))=1\cdot 0-1\cdot(-1)=1
  3. Aflăm inversa matricei B(1)\displaystyle B(1). Pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} cu determinant nenul, inversa este 1det⁡(d−b−ca)\displaystyle \dfrac{1}{\det}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. Aici det⁡(B(1))=1\displaystyle \det(B(1))=1. Verificare: B(1)⋅(B(1))−1=(11−10)(0−111)=I2\displaystyle B(1)\cdot (B(1))^{-1}=\begin{pmatrix}1&1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}=I_2.
    (B(1))−1=(0−111)\displaystyle (B(1))^{-1}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}
  4. Înmulțim egalitatea B(1)⋅X=A\displaystyle B(1)\cdot X=A la stânga cu (B(1))−1\displaystyle (B(1))^{-1}. Cum (B(1))−1⋅B(1)=I2\displaystyle (B(1))^{-1}\cdot B(1)=I_2, obținem X=(B(1))−1⋅A\displaystyle X=(B(1))^{-1}\cdot A.
    X=(B(1))−1⋅A=(0−111)(1−2−20)\displaystyle X=(B(1))^{-1}\cdot A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-2\\-2&0\end{pmatrix}
  5. Efectuăm înmulțirea, element cu element: prima linie dă 0⋅1+(−1)(−2)=2\displaystyle 0\cdot 1+(-1)(-2)=2 și 0⋅(−2)+(−1)⋅0=0\displaystyle 0\cdot(-2)+(-1)\cdot 0=0, iar a doua linie dă 1⋅1+1⋅(−2)=−1\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot(-2)=-1 și 1⋅(−2)+1⋅0=−2\displaystyle 1\cdot(-2)+1\cdot 0=-2. Deci matricea căutată este X\displaystyle X.
    X=(20−1−2)\displaystyle X=\begin{pmatrix}2&0\\-1&-2\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(1−2−20)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&-2\\-2&0\end{pmatrix} și B(x)=(1x−x0)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}1&x\\-x&0\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere întregi, m≤n\displaystyle m\leq n, pentru care det⁡(B(m)⋅B(n)+mnI2)=4\displaystyle \det(B(m)\cdot B(n)+mnI_2)=4.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul B(m)⋅B(n)\displaystyle B(m)\cdot B(n), înmulțind linie cu coloană. Prima linie a lui B(m)\displaystyle B(m) este (1, m)\displaystyle (1,\ m), a doua este (−m, 0)\displaystyle (-m,\ 0). Coloanele lui B(n)\displaystyle B(n) sunt (1, −n)\displaystyle (1,\ -n) și (n, 0)\displaystyle (n,\ 0).
    B(m)⋅B(n)=(1⋅1+m⋅(−n)1⋅n+m⋅0−m⋅1+0⋅(−n)−m⋅n+0)=(1−mnn−m−mn)\displaystyle B(m)\cdot B(n)=\begin{pmatrix}1\cdot 1+m\cdot(-n)&1\cdot n+m\cdot 0\\ -m\cdot 1+0\cdot(-n)&-m\cdot n+0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-mn&n\\-m&-mn\end{pmatrix}
  2. Adunăm mn⋅I2=(mn00mn)\displaystyle mn\cdot I_2=\begin{pmatrix}mn&0\\0&mn\end{pmatrix}, care adaugă mn\displaystyle mn pe diagonala principală. Elementele 1−mn\displaystyle 1-mn și −mn\displaystyle -mn devin 1\displaystyle 1 și 0\displaystyle 0.
    B(m)⋅B(n)+mnI2=(1n−m0)\displaystyle B(m)\cdot B(n)+mnI_2=\begin{pmatrix}1&n\\-m&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe diagonala secundară. Rezultă că determinantul este mn\displaystyle mn, pentru orice m\displaystyle m și n\displaystyle n întregi.
    det⁡(B(m)⋅B(n)+mnI2)=1⋅0−n⋅(−m)=mn\displaystyle \det(B(m)\cdot B(n)+mnI_2)=1\cdot 0-n\cdot(-m)=mn
  4. Condiția din enunț devine mn=4\displaystyle mn=4. Cum m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt întregi cu m≤n\displaystyle m\leq n, ele au același semn, deoarece produsul este pozitiv. Cazul pozitiv: perechile de divizori pozitivi ai lui 4\displaystyle 4 cu m≤n\displaystyle m\leq n sunt (1,4)\displaystyle (1,4) și (2,2)\displaystyle (2,2). Cazul negativ: m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt negative, cu m≤n\displaystyle m\leq n, deci (−4,−1)\displaystyle (-4,-1) și (−2,−2)\displaystyle (-2,-2).
    mn=4⇒(m,n)∈{(−4,−1),(−2,−2),(1,4),(2,2)}\displaystyle mn=4\Rightarrow (m,n)\in\{(-4,-1),(-2,-2),(1,4),(2,2)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.