Bac matematică M4 pedagogic 2020, model, test de evaluare 20: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (12−1−12+1)⋅(12)2=1\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2}-1}-\frac{1}{\sqrt{2}+1}\right)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=1.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem fracțiile din paranteză la același numitor. Numitorul comun este (2−1)(2+1)\displaystyle \left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right), iar numărătorii se amplifică încrucișat.
    12−1−12+1=2+1−(2−1)(2−1)(2+1)\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}-1}-\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\frac{\sqrt{2}+1-\left(\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}
  2. La numitor folosim formula (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}. Calculăm și pătratul celui de-al doilea factor: (12)2=12\displaystyle \left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)^{2}=\dfrac{1}{2}.
    2+1−(2−1)22−12⋅12\displaystyle \frac{\sqrt{2}+1-\left(\sqrt{2}-1\right)}{\sqrt{2}^2-1^2}\cdot\frac{1}{2}
  3. Calculăm numitorul: 22−12=2−1=1\displaystyle \sqrt{2}^2-1^2=2-1=1. La numărător desfacem paranteza, schimbând semnele: 2+1−2+1\displaystyle \sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1. Radicalii se reduc.
    2+1−2+11=2\displaystyle \frac{\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1}{1}=2
  4. Înmulțim rezultatul din paranteză cu 12\displaystyle \dfrac{1}{2} și obținem egalitatea cerută.
    (2+1−2+1)⋅12=2⋅12=1\displaystyle \left(\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1\right)\cdot\frac{1}{2}=2\cdot\frac{1}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x\displaystyle f(x)=x^2+2x. Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x\displaystyle x pentru care f(x+1)−f(x)≤7\displaystyle f(x+1)-f(x)\leq 7.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(x+1)\displaystyle f(x+1) înlocuind pe x\displaystyle x cu x+1\displaystyle x+1 în f(x)=x2+2x\displaystyle f(x)=x^2+2x.
    f(x+1)=(x+1)2+2(x+1)\displaystyle f(x+1)=(x+1)^2+2(x+1)
  2. Desfacem parantezele: (x+1)2=x2+2x+1\displaystyle (x+1)^2=x^2+2x+1 și 2(x+1)=2x+2\displaystyle 2(x+1)=2x+2.
    f(x+1)=x2+2x+1+2x+2=x2+4x+3\displaystyle f(x+1)=x^2+2x+1+2x+2=x^2+4x+3
  3. Scădem f(x)=x2+2x\displaystyle f(x)=x^2+2x din f(x+1)\displaystyle f(x+1). Termenii x2\displaystyle x^2 și 2x\displaystyle 2x se reduc.
    f(x+1)−f(x)=x2+4x+3−x2−2x=2x+3\displaystyle f(x+1)-f(x)=x^2+4x+3-x^2-2x=2x+3
  4. Inegalitatea f(x+1)−f(x)≤7\displaystyle f(x+1)-f(x)\leq 7 devine o inegalitate de gradul întâi.
    2x+3≤7\displaystyle 2x+3\leq 7
  5. Scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri: 2x≤4\displaystyle 2x\leq 4. Împărțim la 2>0\displaystyle 2>0, deci sensul inegalității se păstrează: x≤2\displaystyle x\leq 2. Mulțimea soluțiilor este intervalul închis la dreapta.
    x≤2, deci x∈(−∞,2]\displaystyle x\leq 2\text{, deci }x\in(-\infty,2]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(x3−8)=1log⁡192\displaystyle \log_2\left(x^3-8\right)=\frac{1}{\log_{19}2}.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci x3−8>0\displaystyle x^{3}-8>0, adică x>2\displaystyle x>2. Logaritmul log⁡192\displaystyle \log_{19}2 este definit și nenul.
    x∈(2,+∞)\displaystyle x\in(2,+\infty)
  2. Folosim formula 1log⁡ba=log⁡ab\displaystyle \dfrac{1}{\log_{b}a}=\log_{a}b. Deci 1log⁡192=log⁡219\displaystyle \dfrac{1}{\log_{19}2}=\log_{2}19.
    1log⁡192=log⁡219\displaystyle \frac{1}{\log_{19}2}=\log_{2}19
  3. Ecuația devine log⁡2(x3−8)=log⁡219\displaystyle \log_2\left(x^3-8\right)=\log_2 19. Funcția logaritmică este injectivă, deci egalăm argumentele: x3−8=19\displaystyle x^3-8=19, adică x3=27\displaystyle x^3=27.
    log⁡2(x3−8)=log⁡219⇒x3−8=19⇔x3=27\displaystyle \log_2\left(x^3-8\right)=\log_2 19\Rightarrow x^3-8=19\Leftrightarrow x^3=27
  4. Din x3=27\displaystyle x^3=27, în mulțimea numerelor reale rezultă x=3\displaystyle x=3. Verificăm condiția: 3>2\displaystyle 3>2, deci soluția convine.
    x=3, care convine\displaystyle x=3\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie multiplu de 12\displaystyle 12.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de două cifre sunt cele de la 10\displaystyle 10 la 99\displaystyle 99. Numărul lor este 99−10+1=90\displaystyle 99-10+1=90. Acestea sunt cazurile posibile.
    90\displaystyle 90
  2. Multiplii de 12\displaystyle 12 de două cifre sunt 12k\displaystyle 12k, cu k\displaystyle k natural. Cerem 10≤12k≤99\displaystyle 10\le 12k\le 99. Rezultă k∈{1,2,…,8}\displaystyle k\in\{1,2,\dots,8\}, deoarece 12⋅8=96\displaystyle 12\cdot 8=96, iar 12⋅9=108\displaystyle 12\cdot 9=108 are trei cifre.
    k∈{1,2,…,8}\displaystyle k\in\{1,2,\dots,8\}
  3. Scriem numerele obținute: 12,24,36,48,60,72,84,96\displaystyle 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96. Sunt 8\displaystyle 8 cazuri favorabile.
    12\displaystyle 12,24\displaystyle 24,36\displaystyle 36,48\displaystyle 48,60\displaystyle 60,72\displaystyle 72,84\displaystyle 84,96, deci 8 cazuri favorabile\displaystyle 96\text{, deci }8\text{ cazuri favorabile}
  4. Aplicăm definiția clasică a probabilității: p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=890\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{8}{90}. Simplificăm fracția prin 2\displaystyle 2 și obținem 445\displaystyle \dfrac{4}{45}.
    p=890=445\displaystyle p=\frac{8}{90}=\frac{4}{45}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−5,5)\displaystyle A(-5,5), B(5,5)\displaystyle B(5,5) și C\displaystyle C. Arătați că, dacă AC=BC\displaystyle AC=BC, atunci punctul C\displaystyle C este situat pe axa Oy\displaystyle Oy.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm C(x,y)\displaystyle C(x,y). Distanțele sunt AC=(x+5)2+(y−5)2\displaystyle AC=\sqrt{(x+5)^{2}+(y-5)^{2}} și BC=(x−5)2+(y−5)2\displaystyle BC=\sqrt{(x-5)^{2}+(y-5)^{2}}.
    AC=(x+5)2+(y−5)2\displaystyle AC=\sqrt{(x+5)^{2}+(y-5)^{2}},BC=(x−5)2+(y−5)2\displaystyle \quad BC=\sqrt{(x-5)^{2}+(y-5)^{2}}
  2. Din AC=BC\displaystyle AC=BC obținem, prin ridicare la pătrat, (x+5)2+(y−5)2=(x−5)2+(y−5)2\displaystyle (x+5)^{2}+(y-5)^{2}=(x-5)^{2}+(y-5)^{2}, deci (x+5)2=(x−5)2\displaystyle (x+5)^{2}=(x-5)^{2}.
    (x+5)2=(x−5)2\displaystyle (x+5)^{2}=(x-5)^{2}
  3. Desfacem parantezele: x2+10x+25=x2−10x+25\displaystyle x^{2}+10x+25=x^{2}-10x+25, deci 20x=0\displaystyle 20x=0. Punctul C\displaystyle C este egal depărtat de A\displaystyle A și B\displaystyle B, deci se află pe mediatoarea segmentului AB\displaystyle AB.
    20x=0⇒x=0\displaystyle 20x=0\Rightarrow x=0
  4. Punctele A\displaystyle A și B\displaystyle B au aceeași ordonată, deci AB∥Ox\displaystyle AB\parallel Ox, iar mijlocul lui AB\displaystyle AB este M(0,5)\displaystyle M(0,5). Mediatoarea este dreapta x=0\displaystyle x=0, adică axa Oy\displaystyle Oy. Cum C\displaystyle C are abscisa 0\displaystyle 0, punctul C\displaystyle C este situat pe axa Oy\displaystyle Oy.
    C(0,y)⇒C∈Oy\displaystyle C(0,y)\Rightarrow C\in Oy
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea catetei AB\displaystyle AB a triunghiului ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, știind că BC=8\displaystyle BC=8 și m(∠B)=30∘\displaystyle m(\angle B)=30^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci ipotenuza este BC\displaystyle BC, iar AB\displaystyle AB este cateta alăturată unghiului B\displaystyle B. Cosinusul unghiului ascuțit B\displaystyle B este raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză: cos⁡B=ABBC\displaystyle \cos B=\dfrac{AB}{BC}.
    cos⁡B=ABBC\displaystyle \cos B=\dfrac{AB}{BC}
  2. Înlocuim m(∠B)=30∘\displaystyle m(\angle B)=30^\circ și BC=8\displaystyle BC=8 în relația de mai sus.
    cos⁡30∘=AB8\displaystyle \cos 30^\circ=\dfrac{AB}{8}
  3. Folosim valoarea cunoscută cos⁡30∘=32\displaystyle \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, deci obținem egalitatea de mai jos.
    32=AB8\displaystyle \dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{AB}{8}
  4. Înmulțim ambii membri cu 8\displaystyle 8 și simplificăm: AB=832=43\displaystyle AB=\dfrac{8\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}.
    AB=43\displaystyle AB=4\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−20\displaystyle x\ast y=x+y-20.

Arătați că 20∗1=1\displaystyle 20\ast 1=1.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∗y=x+y−20\displaystyle x\ast y=x+y-20 pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}. Pentru 20∗1\displaystyle 20\ast 1 luăm x=20\displaystyle x=20 și y=1\displaystyle y=1.
    x=20\displaystyle x=20, y=1\displaystyle \ y=1
  2. Înlocuim x=20\displaystyle x=20 și y=1\displaystyle y=1 în expresia x+y−20\displaystyle x+y-20.
    20∗1=20+1−20\displaystyle 20\ast 1=20+1-20
  3. Calculăm 20−20=0\displaystyle 20-20=0, deci 20+1−20=0+1=1\displaystyle 20+1-20=0+1=1. Am obținut exact valoarea cerută, 20∗1=1\displaystyle 20\ast 1=1.
    20∗1=0+1=1\displaystyle 20\ast 1=0+1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−20\displaystyle x\ast y=x+y-20.

Demonstrați că legea de compoziție „∗\displaystyle \ast” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Precizăm ce trebuie demonstrat: legea este asociativă dacă pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R} avem (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z). Calculăm separat cei doi membri.
    (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x\ast y)\ast z=x\ast(y\ast z), ∀x\displaystyle \ \forall x,y\displaystyle y,z∈R\displaystyle z\in\mathbb{R}
  2. Calculăm x∗y=x+y−20\displaystyle x\ast y=x+y-20 folosind definiția legii, apoi înlocuim în prima grupare: (x∗y)∗z=(x+y−20)∗z\displaystyle (x\ast y)\ast z=(x+y-20)\ast z.
    (x∗y)∗z=(x+y−20)∗z\displaystyle (x\ast y)\ast z=(x+y-20)\ast z
  3. Aplicăm din nou definiția, cu primul termen x+y−20\displaystyle x+y-20 și al doilea z\displaystyle z: (x+y−20)∗z=(x+y−20)+z−20=x+y+z−40\displaystyle (x+y-20)\ast z=(x+y-20)+z-20=x+y+z-40.
    (x∗y)∗z=x+y+z−40\displaystyle (x\ast y)\ast z=x+y+z-40
  4. Calculăm acum a doua grupare. Mai întâi y∗z=y+z−20\displaystyle y\ast z=y+z-20, deci x∗(y∗z)=x∗(y+z−20)\displaystyle x\ast(y\ast z)=x\ast(y+z-20).
    x∗(y∗z)=x∗(y+z−20)\displaystyle x\ast(y\ast z)=x\ast(y+z-20)
  5. Aplicăm definiția legii: x∗(y+z−20)=x+(y+z−20)−20=x+y+z−40\displaystyle x\ast(y+z-20)=x+(y+z-20)-20=x+y+z-40. Acest rezultat coincide cu cel din prima grupare, deci legea „∗\displaystyle \ast” este asociativă.
    x∗(y∗z)=x+y+z−40=(x∗y)∗z\displaystyle x\ast(y\ast z)=x+y+z-40=(x\ast y)\ast z
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−20\displaystyle x\ast y=x+y-20.

Verificați dacă e=20\displaystyle e=20 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle \ast”.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim definiția: e\displaystyle e este element neutru dacă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} avem x∗e=x\displaystyle x\ast e=x și e∗x=x\displaystyle e\ast x=x. Trebuie deci verificate ambele egalități pentru e=20\displaystyle e=20.
    x∗20=x și 20∗x=x\displaystyle x\ast 20=x\text{ și }20\ast x=x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Verificăm egalitatea la dreapta: înlocuim y\displaystyle y cu 20\displaystyle 20 în legea x∗y=x+y−20\displaystyle x\ast y=x+y-20, apoi reducem termenii 20\displaystyle 20 și −20\displaystyle -20.
    x∗20=x+20−20=x\displaystyle x\ast 20=x+20-20=x
  3. Verificăm egalitatea la stânga: în legea x∗y=x+y−20\displaystyle x\ast y=x+y-20 înlocuim x\displaystyle x cu 20\displaystyle 20 și y\displaystyle y cu x\displaystyle x, apoi reducem termenii. Ambele egalități sunt adevărate pentru orice x\displaystyle x real, deci 20\displaystyle 20 este element neutru.
    20∗x=20+x−20=x, deci e=20 este elementul neutru\displaystyle 20\ast x=20+x-20=x\text{, deci }e=20\text{ este elementul neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−20\displaystyle x\ast y=x+y-20.

Determinați numărul real x\displaystyle x, știind că (2x−1)∗x=21\displaystyle (2x-1)\ast x=21.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=x+y−20\displaystyle x\ast y=x+y-20 pentru 2x−1\displaystyle 2x-1 și x\displaystyle x: (2x−1)∗x=(2x−1)+x−20\displaystyle (2x-1)\ast x=(2x-1)+x-20.
    (2x−1)∗x=(2x−1)+x−20\displaystyle (2x-1)\ast x=(2x-1)+x-20
  2. Din condiția din enunț obținem ecuația (2x−1)+x−20=21\displaystyle (2x-1)+x-20=21.
    (2x−1)+x−20=21\displaystyle (2x-1)+x-20=21
  3. Reducem termenii asemenea: 3x−21=21\displaystyle 3x-21=21. Mutăm −21\displaystyle -21 în membrul drept și obținem 3x=21+21\displaystyle 3x=21+21, adică 3x=42\displaystyle 3x=42.
    3x−21=21⇔3x=42\displaystyle 3x-21=21\Leftrightarrow 3x=42
  4. Împărțim ambii membri la 3\displaystyle 3: x=423=14\displaystyle x=\dfrac{42}{3}=14.
    x=14\displaystyle x=14
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−20\displaystyle x\ast y=x+y-20.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care 9x∗3x=−8\displaystyle 9^x\ast 3^x=-8.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii: 9x∗3x=9x+3x−20\displaystyle 9^x\ast 3^x=9^x+3^x-20. Ecuația devine 9x+3x−20=−8\displaystyle 9^x+3^x-20=-8.
    9x+3x−20=−8\displaystyle 9^x+3^x-20=-8
  2. Mutăm −8\displaystyle -8 în membrul stâng: 9x+3x−12=0\displaystyle 9^x+3^x-12=0.
    9x+3x−12=0\displaystyle 9^x+3^x-12=0
  3. Deoarece 9x=(3x)2\displaystyle 9^x=\left(3^x\right)^2, notăm t=3x\displaystyle t=3^x, cu t>0\displaystyle t>0. Ecuația devine t2+t−12=0\displaystyle t^2+t-12=0.
    t2+t−12=0\displaystyle t^2+t-12=0
  4. Căutăm două numere cu suma 1\displaystyle 1 și produsul −12\displaystyle -12: sunt 4\displaystyle 4 și −3\displaystyle -3. Deci t2+t−12=(t+4)(t−3)\displaystyle t^2+t-12=(t+4)(t-3), adică (3x+4)(3x−3)=0\displaystyle \left(3^x+4\right)\left(3^x-3\right)=0.
    (3x+4)(3x−3)=0\displaystyle \left(3^x+4\right)\left(3^x-3\right)=0
  5. Produsul este nul dacă un factor este nul. Cum 3x>0\displaystyle 3^x>0, avem 3x+4>0\displaystyle 3^x+4>0, deci 3x+4=0\displaystyle 3^x+4=0 nu are soluții. Rămâne 3x−3=0\displaystyle 3^x-3=0, adică 3x=3\displaystyle 3^x=3, deci x=1\displaystyle x=1.
    3x>0, obținem 3x=3⇔x=1\displaystyle 3^x>0\text{, obținem }3^x=3\Leftrightarrow x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−20\displaystyle x\ast y=x+y-20.

Arătați că x2∗(2x+21)≥0\displaystyle x^2\ast(2x+21)\geq 0, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este a∗b=a+b−20\displaystyle a\ast b=a+b-20. Aici luăm a=x2\displaystyle a=x^{2} și b=2x+21\displaystyle b=2x+21.
    x2∗(2x+21)=x2+(2x+21)−20\displaystyle x^{2}\ast(2x+21)=x^{2}+(2x+21)-20
  2. Reducem termenii constanți: 21−20=1\displaystyle 21-20=1.
    x2∗(2x+21)=x2+2x+21−20=x2+2x+1\displaystyle x^{2}\ast(2x+21)=x^{2}+2x+21-20=x^{2}+2x+1
  3. Recunoaștem formula (a+b)2=a2+2ab+b2\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} cu a=x\displaystyle a=x și b=1\displaystyle b=1, deci x2+2x+1=(x+1)2\displaystyle x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
    x2+2x+1=(x+1)2\displaystyle x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}
  4. Pătratul unui număr real este mereu pozitiv sau nul, deci (x+1)2≥0\displaystyle (x+1)^{2}\geq 0 pentru orice număr real x\displaystyle x. Prin urmare, inegalitatea cerută este adevărată.
    x2∗(2x+21)=(x+1)2≥0, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x^{2}\ast(2x+21)=(x+1)^{2}\geq 0\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1aa0)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a\\ a & 0\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(0))=0\displaystyle \det(A(0))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în matricea A(a)=(1aa0)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a\\ a & 0\end{pmatrix}: prima linie devine (1, 0)\displaystyle (1,\ 0), iar a doua linie devine (0, 0)\displaystyle (0,\ 0).
    A(0)=(1000)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(0)\displaystyle A(0), care este un determinant de ordin doi.
    det⁡(A(0))=∣1000∣\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}1 & 0\\ 0 & 0\end{vmatrix}
  3. Calculăm determinantul de ordin doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Obținem 1⋅0−0⋅0=0−0=0\displaystyle 1\cdot 0-0\cdot 0=0-0=0, deci det⁡(A(0))=0\displaystyle \det(A(0))=0, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡(A(0))=1⋅0−0⋅0=0\displaystyle \det(A(0))=1\cdot 0-0\cdot 0=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1aa0)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a\\ a & 0\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că A(a)+A(a+1)=2A(−1)\displaystyle A(a)+A(a+1)=2A(-1).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(a+1)\displaystyle A(a+1), înlocuind pe a\displaystyle a cu a+1\displaystyle a+1 în A(a)=(1aa0)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a\\ a & 0\end{pmatrix}.
    A(a+1)=(1a+1a+10)\displaystyle A(a+1)=\begin{pmatrix}1 & a+1\\ a+1 & 0\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele A(a)\displaystyle A(a) și A(a+1)\displaystyle A(a+1) element cu element: 1+1=2\displaystyle 1+1=2, a+(a+1)=2a+1\displaystyle a+(a+1)=2a+1, iar în colțul din dreapta jos 0+0=0\displaystyle 0+0=0.
    A(a)+A(a+1)=(22a+12a+10)\displaystyle A(a)+A(a+1)=\begin{pmatrix}2 & 2a+1\\ 2a+1 & 0\end{pmatrix}
  3. Calculăm membrul drept: A(−1)=(1−1−10)\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}1 & -1\\ -1 & 0\end{pmatrix}. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 fiecare element.
    A(a)+A(a+1)=(22a+12a+10)\displaystyle A(a)+A(a+1)=\begin{pmatrix}2 & 2a+1\\ 2a+1 & 0\end{pmatrix}, 2A(−1)=(2−2−20)\displaystyle \ 2A(-1)=\begin{pmatrix}2 & -2\\ -2 & 0\end{pmatrix}
  4. Două matrice sunt egale când elementele corespunzătoare sunt egale. Elementele 2\displaystyle 2 și 0\displaystyle 0 coincid, deci rămâne condiția dată de celelalte elemente: 2a+1=−2\displaystyle 2a+1=-2.
    2a+1=−2\displaystyle 2a+1=-2
  5. Rezolvăm ecuația: 2a=−3\displaystyle 2a=-3, deci a=−32\displaystyle a=-\dfrac{3}{2}.
    2a+1=−2, deci a=−32\displaystyle 2a+1=-2\text{, deci }a=-\frac{3}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1aa0)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a\\ a & 0\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(1)+A(2)+A(3)+…+A(2020)=2020⋅A(20212)\displaystyle A(1)+A(2)+A(3)+\ldots+A(2020)=2020\cdot A\left(\frac{2021}{2}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem fiecare matrice din sumă, înlocuind pe a\displaystyle a cu 1,2,3,…,2020\displaystyle 1, 2, 3, \ldots, 2020 în A(a)=(1aa0)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a\\ a & 0\end{pmatrix}.
    A(1)+A(2)+…+A(2020)=(1110)+(1220)+(1330)+…+(1202020200)\displaystyle A(1)+A(2)+\ldots+A(2020)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & 3\\ 3 & 0\end{pmatrix}+\ldots+\begin{pmatrix}1 & 2020\\ 2020 & 0\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele element cu element. Pe poziția (1,1)\displaystyle (1,1) apare de 2020 de ori numărul 1\displaystyle 1, pe poziția (2,2)\displaystyle (2,2) apare 0\displaystyle 0, iar pe pozițiile (1,2)\displaystyle (1,2) și (2,1)\displaystyle (2,1) apare suma 1+2+…+2020\displaystyle 1+2+\ldots+2020.
    (20201+2+3+…+20201+2+3+…+20200)\displaystyle \begin{pmatrix}2020 & 1+2+3+\ldots+2020\\ 1+2+3+\ldots+2020 & 0\end{pmatrix}
  3. Calculăm suma primelor 2020 de numere naturale nenule cu formula 1+2+…+n=n(n+1)2\displaystyle 1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}, pentru n=2020\displaystyle n=2020.
    1+2+3+…+2020=2020⋅20212\displaystyle 1+2+3+\ldots+2020=\dfrac{2020\cdot 2021}{2}
  4. Înlocuim suma în matrice. Apoi dăm factor comun 2020\displaystyle 2020: elementul 2020\displaystyle 2020 devine 2020⋅1\displaystyle 2020\cdot 1, iar 2020⋅20212\displaystyle \dfrac{2020\cdot 2021}{2} devine 2020⋅20212\displaystyle 2020\cdot\dfrac{2021}{2}. Matricea obținută este 2020⋅A(20212)\displaystyle 2020\cdot A\left(\dfrac{2021}{2}\right), deoarece A(20212)=(120212202120)\displaystyle A\left(\dfrac{2021}{2}\right)=\begin{pmatrix}1 & \frac{2021}{2}\\ \frac{2021}{2} & 0\end{pmatrix}. Așadar egalitatea cerută este demonstrată.
    (20202020⋅202122020⋅202120)=2020⋅(120212202120)=2020⋅A(20212)\displaystyle \begin{pmatrix}2020 & \frac{2020\cdot 2021}{2}\\ \frac{2020\cdot 2021}{2} & 0\end{pmatrix}=2020\cdot\begin{pmatrix}1 & \frac{2021}{2}\\ \frac{2021}{2} & 0\end{pmatrix}=2020\cdot A\left(\frac{2021}{2}\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1aa0)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a\\ a & 0\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(a)⋅A(b))−det⁡(A(a)+A(b))≥0\displaystyle \det(A(a)\cdot A(b))-\det(A(a)+A(b))\geq 0, pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(a)⋅A(b)\displaystyle A(a)\cdot A(b), înmulțind liniile lui A(a)\displaystyle A(a) cu coloanele lui A(b)\displaystyle A(b). Prima linie: 1⋅1+a⋅b\displaystyle 1\cdot 1+a\cdot b și 1⋅b+a⋅0\displaystyle 1\cdot b+a\cdot 0. A doua linie: a⋅1+0⋅b\displaystyle a\cdot 1+0\cdot b și a⋅b+0⋅0\displaystyle a\cdot b+0\cdot 0.
    A(a)⋅A(b)=(1+abbaab)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1+ab & b\\ a & ab\end{pmatrix}
  2. Calculăm suma A(a)+A(b)\displaystyle A(a)+A(b), adunând elementele de pe aceleași poziții. Obținem pe diagonala principală 1+1=2\displaystyle 1+1=2 și 0+0=0\displaystyle 0+0=0, iar în afara diagonalei a+b\displaystyle a+b.
    A(a)+A(b)=(2a+ba+b0)\displaystyle A(a)+A(b)=\begin{pmatrix}2 & a+b\\ a+b & 0\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul produsului: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe cealaltă diagonală. Termenii ab\displaystyle ab se reduc.
    det⁡(A(a)⋅A(b))=(1+ab)⋅ab−b⋅a=ab+a2b2−ab=a2b2\displaystyle \det(A(a)\cdot A(b))=(1+ab)\cdot ab-b\cdot a=ab+a^2b^2-ab=a^2b^2
  4. Calculăm determinantul sumei: 2\displaystyle 2 înmulțit cu 0\displaystyle 0, minus (a+b)2\displaystyle (a+b)^2.
    det⁡(A(a)+A(b))=2⋅0−(a+b)(a+b)=−(a+b)2\displaystyle \det(A(a)+A(b))=2\cdot 0-(a+b)(a+b)=-(a+b)^2
  5. Scădem cei doi determinanți. Minusul din fața determinantului sumei se compensează cu semnul lui, deci rămâne o sumă de două pătrate, care este pozitivă sau zero pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    det⁡(A(a)⋅A(b))−det⁡(A(a)+A(b))=a2b2+(a+b)2≥0\displaystyle \det(A(a)\cdot A(b))-\det(A(a)+A(b))=a^2b^2+(a+b)^2\geq 0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1aa0)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a\\ a & 0\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că det⁡(A(x)⋅A(y)−A(y)⋅A(x))≥0\displaystyle \det(A(x)\cdot A(y)-A(y)\cdot A(x))\geq 0, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(x)⋅A(y)\displaystyle A(x)\cdot A(y), înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua.
    A(x)A(y)=(1+xyyxxy)\displaystyle A(x)A(y)=\begin{pmatrix}1+xy & y\\ x & xy\end{pmatrix}
  2. Calculăm A(y)⋅A(x)\displaystyle A(y)\cdot A(x), schimbând între ele rolurile lui x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    A(y)A(x)=(1+xyxyxy)\displaystyle A(y)A(x)=\begin{pmatrix}1+xy & x\\ y & xy\end{pmatrix}
  3. Scădem cele două matrice element cu element. Pe diagonală se obține 0\displaystyle 0, iar în colțuri apar y−x\displaystyle y-x și x−y\displaystyle x-y.
    A(x)⋅A(y)−A(y)⋅A(x)=(0y−xx−y0)\displaystyle A(x)\cdot A(y)-A(y)\cdot A(x)=\begin{pmatrix}0 & y-x\\ x-y & 0\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală, 0⋅0\displaystyle 0\cdot 0, minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, (y−x)(x−y)\displaystyle (y-x)(x-y).
    ∣0y−xx−y0∣=0−(y−x)(x−y)=−(x−y)(y−x)\displaystyle \begin{vmatrix}0 & y-x\\ x-y & 0\end{vmatrix}=0-(y-x)(x-y)=-(x-y)(y-x)
  5. Folosim y−x=−(x−y)\displaystyle y-x=-(x-y), deci −(x−y)(y−x)=(x−y)2\displaystyle -(x-y)(y-x)=(x-y)^2. Un pătrat de număr real este mereu pozitiv sau zero, deci inegalitatea este adevărată pentru orice x,y\displaystyle x,y reale.
    det⁡(A(x)A(y)−A(y)A(x))=(x−y)2≥0\displaystyle \det(A(x)A(y)-A(y)A(x))=(x-y)^2\geq 0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1aa0)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1 & a\\ a & 0\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care det⁡(A(a))+det⁡(A(a)⋅A(a))=0\displaystyle \det(A(a))+\det(A(a)\cdot A(a))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a): produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică det⁡(A(a))=1⋅0−a⋅a\displaystyle \det(A(a))=1\cdot 0-a\cdot a.
    det⁡(A(a))=−a2\displaystyle \det(A(a))=-a^{2}
  2. Folosim proprietatea det⁡(X⋅Y)=det⁡X⋅det⁡Y\displaystyle \det(X\cdot Y)=\det X\cdot\det Y. Atunci det⁡(A(a)⋅A(a))=(det⁡A(a))2=(−a2)2\displaystyle \det(A(a)\cdot A(a))=\left(\det A(a)\right)^{2}=\left(-a^{2}\right)^{2}.
    det⁡(A(a)⋅A(a))=a4\displaystyle \det\left(A(a)\cdot A(a)\right)=a^{4}
  3. Înlocuim în ecuația det⁡(A(a))+det⁡(A(a)⋅A(a))=0\displaystyle \det(A(a))+\det(A(a)\cdot A(a))=0 și obținem −a2+a4=0\displaystyle -a^{2}+a^{4}=0.
    a4−a2=0\displaystyle a^{4}-a^{2}=0
  4. Dăm factor comun a2\displaystyle a^{2}: a2(a2−1)=0\displaystyle a^{2}\left(a^{2}-1\right)=0. Descompunem a2−1=(a−1)(a+1)\displaystyle a^{2}-1=(a-1)(a+1), deci a2(a−1)(a+1)=0\displaystyle a^{2}(a-1)(a+1)=0.
    a2(a2−1)=0\displaystyle a^{2}\left(a^{2}-1\right)=0
  5. Un produs este nul când cel puțin un factor este nul: din a2=0\displaystyle a^{2}=0 obținem a=0\displaystyle a=0, iar din a2−1=0\displaystyle a^{2}-1=0 obținem a=−1\displaystyle a=-1 sau a=1\displaystyle a=1.
    a=−1, a=0 sau a=1\displaystyle a=-1\text{, }a=0\text{ sau }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.