Bac matematică M4 pedagogic 2022, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle \sqrt{3}\left(2-\sqrt{3}\right)+3=\sqrt{12}

.

Vezi rezolvarea

Înmulțim $\displaystyle \sqrt{3}$ cu fiecare termen din paranteză: $\displaystyle \sqrt{3}\left(2-\sqrt{3}\right)=2\sqrt{3}-\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}$ .
$\displaystyle \sqrt{3}\left(2-\sqrt{3}\right)+3=2\sqrt{3}-\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}+3$
Știm că $\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$ , deci expresia devine $\displaystyle 2\sqrt{3}-3+3$ . Termenii $\displaystyle -3$ și $\displaystyle +3$ se reduc.
$\displaystyle 2\sqrt{3}-3+3=2\sqrt{3}$
Scriem $\displaystyle \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=\sqrt{4}\cdot\sqrt{3}=2\sqrt{3}$ . Cum și membrul stâng este $\displaystyle 2\sqrt{3}$ , egalitatea este demonstrată.
$\displaystyle \sqrt{12}=2\sqrt{3}$ , $\displaystyle \text{ deci }\sqrt{3}\left(2-\sqrt{3}\right)+3=\sqrt{12}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcțiile

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=x+1

și

\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=2x-1

. Determinați numerele naturale

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle f(a)>g(a)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle f(a)$ și $\displaystyle g(a)$ înlocuind pe $\displaystyle x$ cu $\displaystyle a$ în formulele funcțiilor: $\displaystyle f(a)=a+1$ , iar $\displaystyle g(a)=2a-1$ .
$\displaystyle f(a)=a+1$ , $\displaystyle \quad g(a)=2a-1$
Scriem inegalitatea cerută $\displaystyle f(a)>g(a)$ folosind expresiile obținute.
$\displaystyle a+1>2a-1$
Mutăm termenii cu $\displaystyle a$ în stânga și numerele în dreapta: scădem $\displaystyle a$ din ambii membri și adunăm $\displaystyle 1$ la ambii membri. Obținem $\displaystyle 1+1>2a-a$ , adică $\displaystyle 2>a$ .
$\displaystyle 2>a\iff a<2$
Numerele naturale strict mai mici decât $\displaystyle 2$ sunt $\displaystyle 0$ și $\displaystyle 1$ , deci acestea sunt valorile căutate pentru $\displaystyle a$ .
$\displaystyle a<2\text{, deci }a=0\text{ sau }a=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 3^{x+2}\cdot 2^{x+1}+2\cdot 6^x=120

.

Vezi rezolvarea

Scriem puterile cu exponent sumă ca produse: $\displaystyle 3^{x+2}=3^{x}\cdot 3^{2}$ , iar $\displaystyle 2^{x+1}=2^{x}\cdot 2$ .
$\displaystyle 3^{x}\cdot 3^{2}\cdot 2^{x}\cdot 2+2\cdot 6^{x}=120$
Grupăm puterile: $\displaystyle 3^{x}\cdot 2^{x}=6^{x}$ , iar constantele dau $\displaystyle 3^{2}\cdot 2=9\cdot 2=18$ . Ecuația devine $\displaystyle 18\cdot 6^{x}+2\cdot 6^{x}=120$ .
$\displaystyle 18\cdot 6^{x}+2\cdot 6^{x}=120$
Dăm factor comun $\displaystyle 6^{x}$ : $\displaystyle (18+2)\cdot 6^{x}=120$ , deci $\displaystyle 20\cdot 6^{x}=120$ .
$\displaystyle 20\cdot 6^{x}=120$
Împărțim la $\displaystyle 20$ : $\displaystyle 6^{x}=\dfrac{120}{20}=6=6^{1}$ . Funcția exponențială este injectivă, deci $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle 6^{x}=6\Rightarrow x=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr

\displaystyle n

din mulțimea numerelor naturale nenule mai mici decât

\displaystyle 114

, acesta să fie divizibil cu

\displaystyle 4

.

Vezi rezolvarea

Mulțimea numerelor naturale nenule mai mici decât $\displaystyle 114$ este $\displaystyle \{1,2,\ldots,113\}$ . Numărul cazurilor posibile este egal cu numărul elementelor ei.
$\displaystyle \text{nr. cazuri posibile}=113$
Numerele divizibile cu $\displaystyle 4$ din mulțime sunt de forma $\displaystyle 4k$ , cu $\displaystyle k$ natural nenul. Din condiția $\displaystyle 4k\le 113$ obținem $\displaystyle k\le \dfrac{113}{4}=28{,}25$ .
$\displaystyle k\le \dfrac{113}{4}=28{,}25$
Cum $\displaystyle k$ este număr natural nenul, $\displaystyle k\in\{1,2,\ldots,28\}$ . Multiplii sunt $\displaystyle 4,8,\ldots,112$ , deci avem $\displaystyle 28$ de cazuri favorabile.
$\displaystyle \text{nr. cazuri favorabile}=28$
Aplicăm definiția clasică a probabilității: $\displaystyle p=\dfrac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\dfrac{28}{113}$ .
$\displaystyle p=\dfrac{28}{113}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

Determinați numărul real

\displaystyle a

, știind că punctul

\displaystyle M(a,15)

aparține dreptei

\displaystyle d

de ecuație

\displaystyle y=3x+2a

.

Vezi rezolvarea

Dacă punctul $\displaystyle M(a,15)$ aparține dreptei $\displaystyle d$ , coordonatele lui verifică ecuația $\displaystyle y=3x+2a$ . Punctul $\displaystyle M$ are abscisa $\displaystyle a$ și ordonata $\displaystyle 15$ , deci înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle a$ și $\displaystyle y$ cu $\displaystyle 15$ .
$\displaystyle 15=3a+2a$
Reducem termenii asemenea din membrul drept: $\displaystyle 3a+2a=5a$ .
$\displaystyle 15=5a$
Împărțim ambii membri ai egalității la $\displaystyle 5$ și obținem $\displaystyle a=\dfrac{15}{5}$ .
$\displaystyle a=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Se consideră triunghiul

\displaystyle ABC

dreptunghic în

\displaystyle A

, cu

\displaystyle AB=3

,

\displaystyle AC=4

și înălțimea

\displaystyle AD

, unde punctul

\displaystyle D

aparține laturii

\displaystyle BC

. Arătați că

\displaystyle \sin\angle BAD=\frac{3}{5}

.

Vezi rezolvarea

Aflăm ipotenuza $\displaystyle BC$ cu teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $\displaystyle ABC$ : $\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=3^{2}+4^{2}=25$ , deci $\displaystyle BC=5$ .
$\displaystyle BC=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$
Aplicăm teorema catetei în triunghiul $\displaystyle ABC$ , cu înălțimea $\displaystyle AD$ pe ipotenuză: $\displaystyle AB^{2}=BD\cdot BC$ .
$\displaystyle AB^{2}=BD\cdot BC$
Înlocuim $\displaystyle AB=3$ și $\displaystyle BC=5$ : $\displaystyle 9=BD\cdot 5$ , deci $\displaystyle BD=\dfrac{9}{5}$ .
$\displaystyle BD=\frac{9}{5}$
Triunghiul $\displaystyle ABD$ este dreptunghic în $\displaystyle D$ , deoarece $\displaystyle AD$ este înălțime. În acest triunghi, cateta opusă unghiului $\displaystyle BAD$ este $\displaystyle BD$ , iar ipotenuza este $\displaystyle AB$ , deci $\displaystyle \sin\angle BAD=\dfrac{BD}{AB}$ .
$\displaystyle \sin\angle BAD=\frac{BD}{AB}$
Înlocuim $\displaystyle BD=\dfrac{9}{5}$ și $\displaystyle AB=3$ : $\displaystyle \sin\angle BAD=\dfrac{\frac{9}{5}}{3}=\dfrac{3}{5}$ . Am arătat ce se cerea.
$\displaystyle \sin\angle BAD=\frac{9/5}{3}=\frac{3}{5}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=2xy-x-y+1

.

Arătați că

\displaystyle (-1)\circ(-1)=5

.

Vezi rezolvarea

Legea de compoziție este $\displaystyle x\circ y=2xy-x-y+1$ . Luăm $\displaystyle x=-1$ și $\displaystyle y=-1$ .
$\displaystyle (-1)\circ(-1)=2\cdot(-1)\cdot(-1)-(-1)-(-1)+1$
Calculăm termenii: $\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot(-1)=2$ , $\displaystyle -(-1)=1$ , iar încă o dată $\displaystyle -(-1)=1$ .
$\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot(-1)=2$ , $\displaystyle \quad -(-1)=1$ , $\displaystyle \quad -(-1)=1$
Adunăm: $\displaystyle 2+1+1+1=5$ , deci $\displaystyle (-1)\circ(-1)=5$ .
$\displaystyle (-1)\circ(-1)=2+1+1+1=5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=2xy-x-y+1

.

Demonstrați că

\displaystyle x\circ y=2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}

, pentru orice numere reale

\displaystyle x

și

\displaystyle y

.

Vezi rezolvarea

Pornim de la definiția legii: $\displaystyle x\circ y=2xy-x-y+1$ . Scriem $\displaystyle 1=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}$ , pentru a pregăti gruparea termenilor.
$\displaystyle x\circ y=2xy-x-y+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$
Grupăm termenii: $\displaystyle 2xy-x=x(2y-1)=2x\left(y-\dfrac{1}{2}\right)$ , iar $\displaystyle -y+\dfrac{1}{2}=-\left(y-\dfrac{1}{2}\right)$ . Rămâne termenul $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle x\circ y=2x\left(y-\frac{1}{2}\right)-\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}$
Scoatem factorul comun $\displaystyle y-\dfrac{1}{2}$ din primii doi termeni: $\displaystyle \left(y-\dfrac{1}{2}\right)(2x-1)$ . Cum $\displaystyle 2x-1=2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)$ , obținem forma dorită.
$\displaystyle x\circ y=2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\text{, pentru orice numere }$ $\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=2xy-x-y+1

.

Arătați că

\displaystyle e=1

este elementul neutru al legii de compoziție „

\displaystyle \circ

”.

Vezi rezolvarea

Elementul neutru trebuie să verifice $\displaystyle x\circ e=e\circ x=x$ pentru orice $\displaystyle x$ real. Folosim forma din cerința anterioară: $\displaystyle x\circ y=2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(y-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}$ . Verificăm că această formă coincide cu definiția, dezvoltând produsul.
$\displaystyle 2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}=2xy-x-y+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=2xy-x-y+1$
Calculăm $\displaystyle x\circ 1$ înlocuind $\displaystyle y=1$ în forma restrânsă. Factorul $\displaystyle 1-\dfrac{1}{2}$ este $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ , deci $\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2}=1$ .
$\displaystyle x\circ 1=2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}=x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=x$
Calculăm $\displaystyle 1\circ x$ în același mod, înlocuind primul termen cu $\displaystyle 1$ în forma restrânsă. Obținem tot $\displaystyle x$ , deci $\displaystyle 1\circ x=x\circ 1=x$ pentru orice $\displaystyle x$ real, iar $\displaystyle e=1$ este element neutru.
$\displaystyle 1\circ x=2\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}=x-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=x=x\circ 1\text{, deci }e=1\text{ este elementul neutru}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=2xy-x-y+1

.

Arătați că

\displaystyle x\circ\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\circ x=\frac{1}{2}

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Verificăm mai întâi că legea se poate scrie sub forma $\displaystyle 2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(y-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}$ . Desfacem parantezele: $\displaystyle 2\left(xy-\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{2}=2xy-x-y+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}$ , adică exact $\displaystyle 2xy-x-y+1$ .
$\displaystyle x\circ y=2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}$
Înlocuim $\displaystyle y=\dfrac{1}{2}$ în această formă. Al doilea factor, $\displaystyle \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}$ , este zero, deci tot produsul este zero și rămâne doar $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle x\circ\frac{1}{2}=2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$
Înlocuim acum $\displaystyle x=\dfrac{1}{2}$ . Primul factor, $\displaystyle \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}$ , este zero, deci produsul se anulează și rămâne $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ . Cum ambele compuneri dau $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ pentru orice $\displaystyle x$ real, egalitatea cerută este demonstrată.
$\displaystyle \frac{1}{2}\circ x=2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\text{, deci }x\circ\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\circ x=\frac{1}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=2xy-x-y+1

.

Calculați

\displaystyle \frac{1}{3}\circ\frac{2}{4}\circ\frac{3}{5}\circ\ldots\circ\frac{2020}{2022}

.

Vezi rezolvarea

Observăm că a doua fracție se simplifică: $\displaystyle \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$ . Deci expresia conține factorul $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
Calculăm $\displaystyle x\circ\dfrac{1}{2}$ pentru orice $\displaystyle x$ real: $\displaystyle x\circ\dfrac{1}{2}=2x\cdot\dfrac{1}{2}-x-\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2}$ . Legea este comutativă, deci și $\displaystyle \dfrac{1}{2}\circ x=\dfrac{1}{2}$ . Așadar $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ este element absorbant.
$\displaystyle x\circ\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\circ x=\frac{1}{2}$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}$
Înlocuim $\displaystyle \dfrac{2}{4}$ cu $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ și, folosind asociativitatea, grupăm primii doi factori.
$\displaystyle \frac{1}{3}\circ\frac{2}{4}\circ\frac{3}{5}\circ\ldots\circ\frac{2020}{2022}=\left(\frac{1}{3}\circ\frac{1}{2}\right)\circ\frac{3}{5}\circ\ldots\circ\frac{2020}{2022}$
Deoarece $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ este element absorbant, $\displaystyle \dfrac{1}{3}\circ\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$ . Apoi, folosind asociativitatea, $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ absoarbe pe rând toți factorii următori. Rezultatul este $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle \frac{1}{2}\circ\left(\frac{3}{5}\circ\ldots\circ\frac{2020}{2022}\right)=\frac{1}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă

\displaystyle x\circ y=2xy-x-y+1

.

Determinați numărul real strict pozitiv

\displaystyle x

, pentru care

\displaystyle \left(\log_2 x+\frac{1}{2}\right)\circ\left(\log_3 x+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}

.

Vezi rezolvarea

Rescriem legea de compoziție sub o formă convenabilă: $\displaystyle x\circ y=2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)\left(y-\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{1}{2}$ . Verificăm prin dezvoltare: $\displaystyle 2\left(xy-\dfrac{x}{2}-\dfrac{y}{2}+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{2}=2xy-x-y+1$ .
$\displaystyle x\circ y=2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}$
Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle \log_2 x+\dfrac{1}{2}$ și $\displaystyle y$ cu $\displaystyle \log_3 x+\dfrac{1}{2}$ . Parantezele devin $\displaystyle \log_2 x$ și $\displaystyle \log_3 x$ , deoarece $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ se reduce.
$\displaystyle \left(\log_2 x+\frac{1}{2}\right)\circ\left(\log_3 x+\frac{1}{2}\right)=2\left(\log_2 x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)\left(\log_3 x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}=2\cdot\log_2 x\cdot\log_3 x+\frac{1}{2}$
Egalăm cu $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ și scădem $\displaystyle \dfrac{1}{2}$ din ambii membri, apoi împărțim la $\displaystyle 2$ . Obținem un produs de logaritmi egal cu zero.
$\displaystyle 2\cdot\log_2 x\cdot\log_3 x+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow\log_2 x\cdot\log_3 x=0$
Un produs este zero când un factor este zero. Dacă $\displaystyle \log_2 x=0$ , atunci $\displaystyle x=1$ ; dacă $\displaystyle \log_3 x=0$ , atunci tot $\displaystyle x=1$ . Valoarea $\displaystyle x=1$ este strict pozitivă, deci convine.
$\displaystyle \log_2 x=0\text{ sau }\log_3 x=0\Rightarrow x=1\text{, care convine}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

,

\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}

și

\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a&2\\2&a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle A\cdot A=4I_2

.

Vezi rezolvarea

Scriem produsul $\displaystyle A\cdot A$ , cu matricea $\displaystyle A$ de două ori, așa cum cere enunțul.
$\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}$
Calculăm elementele produsului: fiecare element se obține înmulțind linia din prima matrice cu coloana din a doua matrice. Prima linie cu prima coloană: $\displaystyle 0\cdot 0+2\cdot 2=4$ . Prima linie cu a doua coloană: $\displaystyle 0\cdot 2+2\cdot 0=0$ . A doua linie cu prima coloană: $\displaystyle 2\cdot 0+0\cdot 2=0$ . A doua linie cu a doua coloană: $\displaystyle 2\cdot 2+0\cdot 0=4$ .
$\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}0\cdot 0+2\cdot 2&0\cdot 2+2\cdot 0\\2\cdot 0+0\cdot 2&2\cdot 2+0\cdot 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle 4I_2$ , înmulțind fiecare element al matricei $\displaystyle I_2$ cu $\displaystyle 4$ . Rezultatul coincide cu $\displaystyle A\cdot A$ , deci egalitatea este demonstrată.
$\displaystyle 4I_2=4\cdot\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}\text{, deci }A\cdot A=4I_2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

,

\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}

și

\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a&2\\2&a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle aI_2+A=M(a)

, pentru orice număr real

\displaystyle a

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle I_2$ cu matricea unitate și înmulțim fiecare element cu $\displaystyle a$ : $\displaystyle aI_2=a\cdot\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle aI_2=a\cdot\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}$
Scriem suma $\displaystyle aI_2+A$ cu matricele obținute, înlocuind și pe $\displaystyle A$ .
$\displaystyle aI_2+A=\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}$
Adunăm matricele element cu element: $\displaystyle a+0=a$ , $\displaystyle 0+2=2$ , $\displaystyle 2+0=2$ , $\displaystyle 0+a=a$ . Rezultatul este exact matricea $\displaystyle M(a)$ , pentru orice număr real $\displaystyle a$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}a&2\\2&a\end{pmatrix}=M(a)\text{, pentru orice număr real }a$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

,

\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}

și

\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a&2\\2&a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle M(2)\cdot M(4)=6M(2)

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle M(a)=aI_2+A$ , deoarece $\displaystyle aI_2=\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}$ și adunând $\displaystyle A$ obținem $\displaystyle \begin{pmatrix}a&2\\2&a\end{pmatrix}$ . Deci $\displaystyle M(2)=2I_2+A$ și $\displaystyle M(4)=4I_2+A$ .
$\displaystyle M(2)=2I_2+A$ , $\displaystyle \quad M(4)=4I_2+A$
Calculăm $\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}$ , deci $\displaystyle A\cdot A=4I_2$ .
$\displaystyle A\cdot A=4I_2$
Scriem $\displaystyle M(2)\cdot M(4)=(2I_2+A)(4I_2+A)$ și desfacem parantezele: $\displaystyle 8I_2+2A+4A+A\cdot A$ . Folosind $\displaystyle A\cdot A=4I_2$ obținem $\displaystyle 8I_2+6A+4I_2$ .
$\displaystyle M(2)\cdot M(4)=(2I_2+A)(4I_2+A)=8I_2+6A+4I_2$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle 8I_2+4I_2=12I_2$ , deci produsul este $\displaystyle 12I_2+6A$ .
$\displaystyle 12I_2+6A$
Dăm factor comun $\displaystyle 6$ : $\displaystyle 12I_2+6A=6(2I_2+A)$ . Cum $\displaystyle 2I_2+A=M(2)$ , obținem egalitatea cerută.
$\displaystyle 12I_2+6A=6(2I_2+A)=6\cdot M(2)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

,

\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}

și

\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a&2\\2&a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați perechile

\displaystyle (a,b)

de numere naturale pentru care

\displaystyle M(a)\cdot M(b)=7\cdot I_2+4\cdot A

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle M(a)=a\cdot I_2+A$ , deoarece $\displaystyle a\cdot I_2+A=\begin{pmatrix}a&2\\2&a\end{pmatrix}$ . La fel, $\displaystyle M(b)=b\cdot I_2+A$ .
$\displaystyle M(a)=a\cdot I_2+A$ , $\displaystyle \quad M(b)=b\cdot I_2+A$
Calculăm $\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix}=4\cdot I_2$ .
$\displaystyle A^2=4\cdot I_2$
Înmulțim: $\displaystyle M(a)\cdot M(b)=ab\cdot I_2+(a+b)\cdot A+A^2=ab\cdot I_2+(a+b)\cdot A+4\cdot I_2$ . Egalăm cu $\displaystyle 7\cdot I_2+4\cdot A$ .
$\displaystyle M(a)\cdot M(b)=(ab+4)\cdot I_2+(a+b)\cdot A=7\cdot I_2+4\cdot A$
Matricea $\displaystyle x\cdot I_2+y\cdot A=\begin{pmatrix}x&2y\\2y&x\end{pmatrix}$ , deci egalitatea cere egalitatea coeficienților: $\displaystyle ab+4=7$ și $\displaystyle a+b=4$ .
$\displaystyle ab=3\text{ și }a+b=4$
Numerele $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ sunt rădăcinile ecuației $\displaystyle t^2-4t+3=0$ , adică $\displaystyle t=1$ sau $\displaystyle t=3$ . Ambele sunt numere naturale, deci perechile sunt $\displaystyle (3,1)$ și $\displaystyle (1,3)$ .
$\displaystyle (a,b)\in\{(3,1),(1,3)\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

,

\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}

și

\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a&2\\2&a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numărul natural

\displaystyle k

pentru care

\displaystyle \det(M(k+2))\leq 0

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a$ cu $\displaystyle k+2$ în matricea $\displaystyle M(a)$ : pe diagonala principală apare $\displaystyle k+2$ , iar pe cea secundară rămâne $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle M(k+2)=\begin{pmatrix}k+2&2\\2&k+2\end{pmatrix}$
Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică $\displaystyle \det(M(k+2))=(k+2)\cdot(k+2)-2\cdot 2=(k+2)^2-4$ .
$\displaystyle \det(M(k+2))=(k+2)^2-4$
Desfacem pătratul și reducem termenii: $\displaystyle (k+2)^2-4=k^2+4k+4-4=k^2+4k$ .
$\displaystyle \det(M(k+2))=k^2+4k$
Scriem inegalitatea cerută și dăm factor comun pe $\displaystyle k$ : $\displaystyle k^2+4k\leq 0$ , deci $\displaystyle k(k+4)\leq 0$ .
$\displaystyle k(k+4)\leq 0$
Cum $\displaystyle k$ este număr natural, $\displaystyle k\geq 0$ , deci $\displaystyle k+4\geq 4>0$ . Produsul $\displaystyle k(k+4)$ este atunci $\displaystyle \geq 0$ . Inegalitatea $\displaystyle k(k+4)\leq 0$ impune ca produsul să fie $\displaystyle 0$ , deci $\displaystyle k=0$ .
$\displaystyle k=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

,

\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}

și

\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}a&2\\2&a\end{pmatrix}

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle a

,

\displaystyle a<-2

, știind că inversa matricei

\displaystyle M(a)

este matricea

\displaystyle M(a)-2\cdot A

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle 2\cdot A$ , înmulțind fiecare element al matricei $\displaystyle A$ cu $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle 2\cdot A=\begin{pmatrix}0&4\\4&0\end{pmatrix}$
Scădem $\displaystyle 2\cdot A$ din $\displaystyle M(a)$ , element cu element.
$\displaystyle M(a)-2\cdot A=\begin{pmatrix}a&2\\2&a\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0&4\\4&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&-2\\-2&a\end{pmatrix}$
Matricea $\displaystyle M(a)-2\cdot A$ este inversa lui $\displaystyle M(a)$ dacă produsul lor este $\displaystyle I_2$ . Calculăm produsul, linie cu coloană.
$\displaystyle M(a)\cdot(M(a)-2\cdot A)=\begin{pmatrix}a&2\\2&a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&-2\\-2&a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2-4&-2a+2a\\2a-2a&-4+a^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a^2-4&0\\0&a^2-4\end{pmatrix}$
Egalăm produsul cu matricea unitate $\displaystyle I_2$ . Din egalitatea elementelor de pe diagonală rezultă $\displaystyle a^2-4=1$ , deci $\displaystyle a^2=5$ . Produsul în ordine inversă dă același rezultat, deoarece matricele sunt simetrice.
$\displaystyle a^2-4=1\Rightarrow a^2=5$
Din $\displaystyle a^2=5$ rezultă $\displaystyle a=\sqrt{5}$ sau $\displaystyle a=-\sqrt{5}$ . Condiția $\displaystyle a<-2$ exclude valoarea $\displaystyle \sqrt{5}$ , deoarece $\displaystyle \sqrt{5}$ este pozitiv. Valoarea $\displaystyle -\sqrt{5}$ convine, pentru că $\displaystyle \sqrt{5}>2$ , deci $\displaystyle -\sqrt{5}<-2$ .
$\displaystyle a=-\sqrt{5}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M4 pedagogic 2022, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.1)

Subiectul II.1.2)

Subiectul II.1.3)

Subiectul II.1.4)

Subiectul II.1.5)

Subiectul II.1.6)

Subiectul III.1.1)

Subiectul III.1.2)

Subiectul III.1.3)

Subiectul III.1.4)

Subiectul III.1.5)

Subiectul III.1.6)

Aceeași sesiune, alți ani