Bac matematică M4 pedagogic 2019, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 23−20+45−5+4−12=2\displaystyle 2\sqrt{3}-\sqrt{20}+\sqrt{45}-\sqrt{5}+\sqrt{4}-\sqrt{12}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Simplificăm radicalul din 20: 20=4⋅5=25\displaystyle \sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}.
    20=25\displaystyle \sqrt{20}=2\sqrt{5}
  2. Simplificăm radicalul din 45: 45=9⋅5=35\displaystyle \sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}.
    45=35\displaystyle \sqrt{45}=3\sqrt{5}
  3. Calculăm 4=2\displaystyle \sqrt{4}=2 și simplificăm 12=4⋅3=23\displaystyle \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}.
    4=2\displaystyle \sqrt{4}=2, 12=23\displaystyle \ \sqrt{12}=2\sqrt{3}
  4. Înlocuim radicalii simplificați în expresia dată și obținem 23−25+35−5+2−23\displaystyle 2\sqrt{3}-2\sqrt{5}+3\sqrt{5}-\sqrt{5}+2-2\sqrt{3}.
    23−25+35−5+2−23\displaystyle 2\sqrt{3}-2\sqrt{5}+3\sqrt{5}-\sqrt{5}+2-2\sqrt{3}
  5. Grupăm termenii asemenea: (23−23)+(−25+35−5)+2\displaystyle (2\sqrt{3}-2\sqrt{3})+(-2\sqrt{5}+3\sqrt{5}-\sqrt{5})+2. Termenii cu 3\displaystyle \sqrt{3} se reduc, iar pentru 5\displaystyle \sqrt{5} avem (−2+3−1)5=0\displaystyle (-2+3-1)\sqrt{5}=0. Rămâne 0+0+2=2\displaystyle 0+0+2=2, deci egalitatea este adevărată.
    (23−23)+(−25+35−5)+2=0+0+2=2\displaystyle (2\sqrt{3}-2\sqrt{3})+(-2\sqrt{5}+3\sqrt{5}-\sqrt{5})+2=0+0+2=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+7\displaystyle f(x)=x+7. Calculați f(a)\displaystyle f(a), unde a=f(3)−f(1)\displaystyle a=f(3)-f(1).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(3)\displaystyle f(3) înlocuind x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 în formula f(x)=x+7\displaystyle f(x)=x+7.
    f(3)=3+7=10\displaystyle f(3)=3+7=10
  2. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în formula f(x)=x+7\displaystyle f(x)=x+7.
    f(1)=1+7=8\displaystyle f(1)=1+7=8
  3. Aflăm a\displaystyle a ca diferența dintre f(3)\displaystyle f(3) și f(1)\displaystyle f(1): a=f(3)−f(1)\displaystyle a=f(3)-f(1).
    a=10−8=2\displaystyle a=10-8=2
  4. Cum a=2\displaystyle a=2, avem f(a)=f(2)=2+7\displaystyle f(a)=f(2)=2+7.
    f(a)=f(2)=2+7=9\displaystyle f(a)=f(2)=2+7=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x2+4x+1=x+1\displaystyle \sqrt{2x^2+4x+1}=x+1.
Vezi rezolvarea
  1. Ecuația conține radical, deci membrul drept trebuie să fie nenegativ: x+1≥0\displaystyle x+1\ge 0, adică x≥−1\displaystyle x\ge -1.
    x≥−1\displaystyle x\ge -1
  2. Ridicăm ecuația la pătrat: 2x2+4x+1=(x+1)2\displaystyle 2x^{2}+4x+1=(x+1)^{2}, deci 2x2+4x+1=x2+2x+1\displaystyle 2x^{2}+4x+1=x^{2}+2x+1.
    2x2+4x+1=x2+2x+1\displaystyle 2x^{2}+4x+1=x^{2}+2x+1
  3. Mutăm toți termenii în membrul stâng și reducem termenii asemenea: 2x2−x2+4x−2x+1−1=0\displaystyle 2x^{2}-x^{2}+4x-2x+1-1=0, deci x2+2x=0\displaystyle x^{2}+2x=0.
    x2+2x=0\displaystyle x^{2}+2x=0
  4. Dăm factor comun: x(x+2)=0\displaystyle x(x+2)=0, de unde x=0\displaystyle x=0 sau x=−2\displaystyle x=-2.
    x(x+2)=0⇒x=0 sau x=−2\displaystyle x(x+2)=0\Rightarrow x=0\text{ sau }x=-2
  5. Verificăm soluțiile în ecuația inițială. Pentru x=0\displaystyle x=0: 1=1\displaystyle \sqrt{1}=1 și 0+1=1\displaystyle 0+1=1, deci convine. Pentru x=−2\displaystyle x=-2: 8−8+1=1\displaystyle \sqrt{8-8+1}=1, dar −2+1=−1\displaystyle -2+1=-1, deci nu convine, fiindcă −2<−1\displaystyle -2<-1.
    x=−2, care nu convine sau x=0, care convine\displaystyle x=-2\text{, care nu convine sau }x=0\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După două ieftiniri succesive cu câte 50%\displaystyle 50\%, un obiect costă 100\displaystyle 100 de lei. Calculați prețul inițial al obiectului.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul inițial al obiectului, în lei. Prima ieftinire cu 50%\displaystyle 50\% scade prețul cu jumătate din el, deci după prima ieftinire prețul este x−50100⋅x\displaystyle x-\dfrac{50}{100}\cdot x.
    x−50100⋅x\displaystyle x-\frac{50}{100}\cdot x
  2. Simplificăm: 50100=12\displaystyle \dfrac{50}{100}=\dfrac{1}{2}, deci prețul după prima ieftinire este x−x2=x2\displaystyle x-\dfrac{x}{2}=\dfrac{x}{2}.
    x−50100⋅x=x2\displaystyle x-\frac{50}{100}\cdot x=\frac{x}{2}
  3. A doua ieftinire se aplică prețului x2\displaystyle \dfrac{x}{2}: se scade 50%\displaystyle 50\% din x2\displaystyle \dfrac{x}{2}, deci prețul devine x2−50100⋅x2\displaystyle \dfrac{x}{2}-\dfrac{50}{100}\cdot\dfrac{x}{2}.
    x2−50100⋅x2=x2−x4=x4\displaystyle \frac{x}{2}-\frac{50}{100}\cdot\frac{x}{2}=\frac{x}{2}-\frac{x}{4}=\frac{x}{4}
  4. După cele două ieftiniri obiectul costă 100\displaystyle 100 de lei, deci x4=100\displaystyle \dfrac{x}{4}=100. Înmulțim cu 4\displaystyle 4 și obținem prețul inițial: x=400\displaystyle x=400 de lei.
    x4=100⇒x=400 de lei\displaystyle \frac{x}{4}=100\Rightarrow x=400\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele M(−2,−2)\displaystyle M(-2,-2), N(−2,0)\displaystyle N(-2,0) și P(0,−4)\displaystyle P(0,-4). Determinați lungimea medianei din vârful M\displaystyle M al triunghiului MNP\displaystyle MNP.
Vezi rezolvarea
  1. Mediana din vârful M\displaystyle M unește punctul M\displaystyle M cu mijlocul Q\displaystyle Q al laturii opuse NP\displaystyle NP. Coordonatele mijlocului sunt xQ=xN+xP2\displaystyle x_Q=\dfrac{x_N+x_P}{2} și yQ=yN+yP2\displaystyle y_Q=\dfrac{y_N+y_P}{2}.
    xQ=xN+xP2\displaystyle x_Q=\dfrac{x_N+x_P}{2}, yQ=yN+yP2\displaystyle \ y_Q=\dfrac{y_N+y_P}{2}
  2. Înlocuim N(−2,0)\displaystyle N(-2,0) și P(0,−4)\displaystyle P(0,-4): xQ=−2+02=−1\displaystyle x_Q=\dfrac{-2+0}{2}=-1 și yQ=0+(−4)2=−2\displaystyle y_Q=\dfrac{0+(-4)}{2}=-2.
    Q(−1,−2)\displaystyle Q(-1,-2)
  3. Lungimea medianei este MQ=(xQ−xM)2+(yQ−yM)2\displaystyle MQ=\sqrt{(x_Q-x_M)^{2}+(y_Q-y_M)^{2}}. Pentru M(−2,−2)\displaystyle M(-2,-2) și Q(−1,−2)\displaystyle Q(-1,-2) obținem MQ=(−1+2)2+(−2+2)2=1+0\displaystyle MQ=\sqrt{(-1+2)^{2}+(-2+2)^{2}}=\sqrt{1+0}.
    MQ=12+02=1\displaystyle MQ=\sqrt{1^{2}+0^{2}}=\sqrt{1}
  4. Rezultă că lungimea medianei din vârful M\displaystyle M este MQ=1\displaystyle MQ=1.
    MQ=1\displaystyle MQ=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, cu BC=10\displaystyle BC=10 și m(∡B)=30∘\displaystyle m(\measuredangle B)=30^\circ. Calculați lungimea laturii AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. În triunghiul dreptunghic ABC\displaystyle ABC, cu unghiul drept în A\displaystyle A, ipotenuza este BC\displaystyle BC, iar AB\displaystyle AB este cateta alăturată unghiului B\displaystyle B. Cosinusul unghiului B\displaystyle B este raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză.
    cos⁡B=ABBC\displaystyle \cos B=\frac{AB}{BC}
  2. Știm că cos⁡30∘=32\displaystyle \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, iar BC=10\displaystyle BC=10. Înlocuim în relația anterioară.
    32=AB10\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AB}{10}
  3. Înmulțim ambii membri cu 10\displaystyle 10 și simplificăm: 102=5\displaystyle \dfrac{10}{2}=5.
    AB=10⋅32=53\displaystyle AB=10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x*y=2xy-2x-2y+3. Arătați că 2∗2=3\displaystyle 2*2=3.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∗y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x*y=2xy-2x-2y+3. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 și y=2\displaystyle y=2.
    2∗2=2⋅2⋅2−2⋅2−2⋅2+3\displaystyle 2*2=2\cdot2\cdot2-2\cdot2-2\cdot2+3
  2. Calculăm produsele: 2⋅2⋅2=8\displaystyle 2\cdot2\cdot2=8 și 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot2=4.
    8 și 4\displaystyle 8\text{ și }4
  3. Înlocuim valorile în expresie: 2∗2=8−4−4+3\displaystyle 2*2=8-4-4+3. Efectuăm calculele: 8−4−4=0\displaystyle 8-4-4=0, iar 0+3=3\displaystyle 0+3=3. Deci 2∗2=3\displaystyle 2*2=3.
    2∗2=8−4−4+3=3\displaystyle 2*2=8-4-4+3=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x*y=2xy-2x-2y+3.

Demonstrați că x∗y=2(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=2(x-1)(y-1)+1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii: x∗y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x*y=2xy-2x-2y+3. Scriem termenul liber 3\displaystyle 3 ca 2+1\displaystyle 2+1, pentru a pregăti gruparea termenilor.
    x∗y=2xy−2x−2y+2+1\displaystyle x*y=2xy-2x-2y+2+1
  2. Grupăm termenii: 2xy−2x\displaystyle 2xy-2x și −2y+2\displaystyle -2y+2. Din primul grup dăm factor comun pe 2x\displaystyle 2x, iar din al doilea pe −2\displaystyle -2, ca să apară în ambele grupuri factorul y−1\displaystyle y-1.
    x∗y=2x(y−1)−2(y−1)+1\displaystyle x*y=2x(y-1)-2(y-1)+1
  3. Dăm factor comun pe y−1\displaystyle y-1 și obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=2(x−1)(y−1)+1, pentru orice numere \displaystyle x*y=2(x-1)(y-1)+1\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x*y=2xy-2x-2y+3.

Arătați că e=32\displaystyle e=\frac{3}{2} este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că 32\displaystyle \dfrac{3}{2} este element neutru, trebuie să verificăm că x∗32=x\displaystyle x*\dfrac{3}{2}=x și 32∗x=x\displaystyle \dfrac{3}{2}*x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Pornim de la forma legii și o scriem factorizat, ca să fie calculele mai simple.
    x∗y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x*y=2xy-2x-2y+3
  2. Grupăm termenii: 2xy−2x−2y+2=2(x−1)(y−1)\displaystyle 2xy-2x-2y+2=2(x-1)(y-1), deci legea devine 2(x−1)(y−1)+1\displaystyle 2(x-1)(y-1)+1.
    x∗y=2(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=2(x-1)(y-1)+1
  3. Verificăm la dreapta: înlocuim y=32\displaystyle y=\dfrac{3}{2}. Avem 32−1=12\displaystyle \dfrac{3}{2}-1=\dfrac{1}{2}, deci 2⋅12=1\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2}=1, iar rezultatul este x−1+1=x\displaystyle x-1+1=x, pentru orice x\displaystyle x real.
    x∗32=2(x−1)(32−1)+1=x−1+1=x\displaystyle x*\frac{3}{2}=2(x-1)\left(\frac{3}{2}-1\right)+1=x-1+1=x
  4. Verificăm la stânga: înlocuim primul număr cu 32\displaystyle \dfrac{3}{2} și al doilea cu x\displaystyle x. Expresia 2(x−1)(y−1)\displaystyle 2(x-1)(y-1) este simetrică, deci obținem tot x\displaystyle x.
    32∗x=2(32−1)(x−1)+1=x−1+1=x\displaystyle \frac{3}{2}*x=2\left(\frac{3}{2}-1\right)(x-1)+1=x-1+1=x
  5. Cum x∗32=32∗x=x\displaystyle x*\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}*x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}, concluzia este că e=32\displaystyle e=\dfrac{3}{2} este elementul neutru al legii ∗\displaystyle *.
    32∗x=x∗32=x, pentru orice x∈R, deci e=32 este elementul neutru al \displaystyle \frac{3}{2}*x=x*\frac{3}{2}=x\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}\text{, deci }e=\frac{3}{2}\text{ este elementul neutru al }legii ∗\displaystyle \text{legii }*
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x*y=2xy-2x-2y+3.

Verificați dacă 54\displaystyle \frac{5}{4} este simetricul lui 2\displaystyle 2 în raport cu legea de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Rescriem legea sub o formă convenabilă: x∗y=2(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=2(x-1)(y-1)+1. Verificăm: 2(xy−x−y+1)+1=2xy−2x−2y+3\displaystyle 2(xy-x-y+1)+1=2xy-2x-2y+3. Elementul neutru este e=32\displaystyle e=\dfrac{3}{2}, deoarece 2(x−1)(32−1)+1=x\displaystyle 2(x-1)\left(\dfrac{3}{2}-1\right)+1=x.
    x∗y=2(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=2(x-1)(y-1)+1,e=32\displaystyle \quad e=\dfrac{3}{2}
  2. Calculăm 2∗54=2(2−1)(54−1)+1=2⋅14+1=12+1=32\displaystyle 2*\dfrac{5}{4}=2(2-1)\left(\dfrac{5}{4}-1\right)+1=2\cdot\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}, adică elementul neutru.
    2∗54=2(2−1)(54−1)+1=2⋅14+1=32\displaystyle 2*\dfrac{5}{4}=2(2-1)\left(\dfrac{5}{4}-1\right)+1=2\cdot\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{3}{2}
  3. Legea este comutativă, dar calculăm direct și în cealaltă ordine: 54∗2=2(54−1)(2−1)+1=2⋅14⋅1+1=32\displaystyle \dfrac{5}{4}*2=2\left(\dfrac{5}{4}-1\right)(2-1)+1=2\cdot\dfrac{1}{4}\cdot 1+1=\dfrac{3}{2}. Ambele compuneri dau elementul neutru, deci 54\displaystyle \dfrac{5}{4} este simetricul lui 2\displaystyle 2 în raport cu legea „∗\displaystyle *”.
    54∗2=2(54−1)(2−1)+1=32, deci 54 este simetricul lui 2 ıˆn raport cu legea de \displaystyle \dfrac{5}{4}*2=2\left(\dfrac{5}{4}-1\right)(2-1)+1=\dfrac{3}{2}\text{, deci }\dfrac{5}{4}\text{ este simetricul lui }2\text{ în raport cu legea de }compoziție ∗\displaystyle \text{compoziție }*
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x*y=2xy-2x-2y+3.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care (x+1)∗(x−1)=1\displaystyle (x+1)*(x-1)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se poate scrie sub o formă mai comodă. Desfacem parantezele în 2(x−1)(y−1)+1\displaystyle 2(x-1)(y-1)+1 și obținem 2xy−2x−2y+2+1\displaystyle 2xy-2x-2y+2+1, adică exact legea dată.
    x∗y=2(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=2(x-1)(y-1)+1
  2. Înlocuim primul element cu x+1\displaystyle x+1 și al doilea cu x−1\displaystyle x-1 în această formă. Factorii devin (x+1)−1=x\displaystyle (x+1)-1=x și (x−1)−1=x−2\displaystyle (x-1)-1=x-2.
    (x+1)∗(x−1)=2(x+1−1)(x−1−1)+1=2x(x−2)+1\displaystyle (x+1)*(x-1)=2(x+1-1)(x-1-1)+1=2x(x-2)+1
  3. Ecuația (x+1)∗(x−1)=1\displaystyle (x+1)*(x-1)=1 devine 2x(x−2)+1=1\displaystyle 2x(x-2)+1=1. Scădem 1 din ambii membri și împărțim la 2.
    2x(x−2)+1=1⇔x(x−2)=0\displaystyle 2x(x-2)+1=1\Leftrightarrow x(x-2)=0
  4. Un produs este nul dacă cel puțin un factor este nul, deci x=0\displaystyle x=0 sau x−2=0\displaystyle x-2=0.
    x=0 sau x=2\displaystyle x=0\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=2xy−2x−2y+3\displaystyle x*y=2xy-2x-2y+3. Determinați numerele naturale nenule n\displaystyle n pentru care n∗(n+1)≤5\displaystyle n*(n+1)\leq 5.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată: x∗y=2(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=2(x-1)(y-1)+1. Verificăm: desfacem parantezele și obținem 2xy−2x−2y+2+1\displaystyle 2xy-2x-2y+2+1, adică exact expresia din enunț.
    x∗y=2(x−1)(y−1)+1\displaystyle x*y=2(x-1)(y-1)+1
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu n\displaystyle n și y\displaystyle y cu n+1\displaystyle n+1 în forma factorizată. Factorul n+1−1\displaystyle n+1-1 se reduce la n\displaystyle n.
    n∗(n+1)=2(n−1)(n+1−1)+1=2(n−1)n+1\displaystyle n*(n+1)=2(n-1)(n+1-1)+1=2(n-1)n+1
  3. Scriem inegalitatea cerută, apoi scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri și împărțim la 2\displaystyle 2, deci obținem (n−1)n≤2\displaystyle (n-1)n\leq 2.
    2(n−1)n+1≤5⇔(n−1)n≤2\displaystyle 2(n-1)n+1\leq 5\Leftrightarrow (n-1)n\leq 2
  4. Căutăm numerele naturale nenule n\displaystyle n care verifică inegalitatea. Pentru n=1\displaystyle n=1 avem 0⋅1=0≤2\displaystyle 0\cdot 1=0\leq 2, adevărat. Pentru n=2\displaystyle n=2 avem 1⋅2=2≤2\displaystyle 1\cdot 2=2\leq 2, adevărat. Pentru n=3\displaystyle n=3 avem 2⋅3=6>2\displaystyle 2\cdot 3=6>2, fals. Pentru n≥3\displaystyle n\geq 3 produsul (n−1)n\displaystyle (n-1)n crește, deci rămâne mai mare decât 2\displaystyle 2.
    n∈{1,2}\displaystyle n\in\{1,2\}
  5. Răspuns final: numerele căutate sunt n=1\displaystyle n=1 și n=2\displaystyle n=2.
    n=1 sau n=2\displaystyle n=1\text{ sau }n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(14−3−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&4\\-3&-2\end{pmatrix}, B=(5−1−21)\displaystyle B=\begin{pmatrix}5&-1\\-2&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=10\displaystyle \det A=10.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula determinantului de ordinul 2: pentru o matrice cu elementele a,b\displaystyle a, b pe prima linie și c,d\displaystyle c, d pe a doua linie, determinantul este ad−bc\displaystyle ad-bc.
    ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c
  2. Înlocuim elementele matricei A\displaystyle A în formulă: a=1\displaystyle a=1, b=4\displaystyle b=4, c=−3\displaystyle c=-3, d=−2\displaystyle d=-2.
    det⁡A=∣14−3−2∣=1⋅(−2)−(−3)⋅4\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&4\\-3&-2\end{vmatrix}=1\cdot(-2)-(-3)\cdot 4
  3. Calculăm produsele: 1⋅(−2)=−2\displaystyle 1\cdot(-2)=-2, iar (−3)⋅4=−12\displaystyle (-3)\cdot 4=-12. Scăderea numărului −12\displaystyle -12 înseamnă adunarea lui 12\displaystyle 12.
    det⁡A=−2−(−12)=−2+12=10\displaystyle \det A=-2-(-12)=-2+12=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(14−3−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&4\\-3&-2\end{pmatrix}, B=(5−1−21)\displaystyle B=\begin{pmatrix}5&-1\\-2&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}. Arătați că B⋅B=6B−3I2\displaystyle B\cdot B=6B-3I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm B⋅B\displaystyle B\cdot B înmulțind linie cu coloană. Elementul de pe linia 1, coloana 1: 5⋅5+(−1)⋅(−2)=25+2=27\displaystyle 5\cdot 5+(-1)\cdot(-2)=25+2=27.
    27\displaystyle 27
  2. Celelalte elemente: linia 1, coloana 2: 5⋅(−1)+(−1)⋅1=−6\displaystyle 5\cdot(-1)+(-1)\cdot 1=-6; linia 2, coloana 1: (−2)⋅5+1⋅(−2)=−12\displaystyle (-2)\cdot 5+1\cdot(-2)=-12; linia 2, coloana 2: (−2)⋅(−1)+1⋅1=3\displaystyle (-2)\cdot(-1)+1\cdot 1=3. Deci B⋅B\displaystyle B\cdot B este matricea de mai jos.
    B⋅B=(27−6−123)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}27&-6\\-12&3\end{pmatrix}
  3. Calculăm 6B\displaystyle 6B înmulțind fiecare element al lui B\displaystyle B cu 6\displaystyle 6 și 3I2\displaystyle 3I_2 înmulțind fiecare element al lui I2\displaystyle I_2 cu 3\displaystyle 3, obținând 3I2=(3003)\displaystyle 3I_2=\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}.
    6B=(30−6−126)\displaystyle 6B=\begin{pmatrix}30&-6\\-12&6\end{pmatrix}
  4. Scădem matricele element cu element: 30−3=27\displaystyle 30-3=27, −6−0=−6\displaystyle -6-0=-6, −12−0=−12\displaystyle -12-0=-12, 6−3=3\displaystyle 6-3=3. Obținem exact matricea lui B⋅B\displaystyle B\cdot B, deci egalitatea este demonstrată.
    6B−3I2=(27−6−123)=B⋅B\displaystyle 6B-3I_2=\begin{pmatrix}27&-6\\-12&3\end{pmatrix}=B\cdot B
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(14−3−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&4\\-3&-2\end{pmatrix}, B=(5−1−21)\displaystyle B=\begin{pmatrix}5&-1\\-2&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y pentru care xA+yB=(77−8−3)\displaystyle xA+yB=\begin{pmatrix}7&7\\-8&-3\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim fiecare matrice cu scalarul ei: xA\displaystyle xA are elementele lui A\displaystyle A înmulțite cu x\displaystyle x, iar yB\displaystyle yB are elementele lui B\displaystyle B înmulțite cu y\displaystyle y.
    xA=(x4x−3x−2x)\displaystyle xA=\begin{pmatrix}x&4x\\-3x&-2x\end{pmatrix},yB=(5y−y−2yy)\displaystyle \quad yB=\begin{pmatrix}5y&-y\\-2y&y\end{pmatrix}
  2. Adunăm cele două matrici element cu element.
    xA+yB=(x+5y4x−y−3x−2y−2x+y)\displaystyle xA+yB=\begin{pmatrix}x+5y&4x-y\\-3x-2y&-2x+y\end{pmatrix}
  3. Egalăm elementele corespunzătoare cu cele ale matricei (77−8−3)\displaystyle \begin{pmatrix}7&7\\-8&-3\end{pmatrix} și obținem un sistem de patru ecuații cu două necunoscute.
    {x+5y=74x−y=7−3x−2y=−8−2x+y=−3\displaystyle \begin{cases}x+5y=7\\4x-y=7\\-3x-2y=-8\\-2x+y=-3\end{cases}
  4. Adunăm a doua ecuație cu ultima ecuație ca să eliminăm pe y\displaystyle y: 4x−y+(−2x+y)=7+(−3)\displaystyle 4x-y+(-2x+y)=7+(-3).
    2x=4⇒x=2\displaystyle 2x=4\Rightarrow x=2
  5. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în prima ecuație: 2+5y=7\displaystyle 2+5y=7, deci 5y=5\displaystyle 5y=5.
    y=1\displaystyle y=1
  6. Verificăm cu celelalte ecuații: −3⋅2−2⋅1=−8\displaystyle -3\cdot 2-2\cdot 1=-8 și −2⋅2+1=−3\displaystyle -2\cdot 2+1=-3, deci perechea convine în toate cele patru ecuații.
    x=2 și y=1\displaystyle x=2\text{ și }y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(14−3−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&4\\-3&-2\end{pmatrix}, B=(5−1−21)\displaystyle B=\begin{pmatrix}5&-1\\-2&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați inversa matricei B\displaystyle B.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm det⁡B=5⋅1−(−1)⋅(−2)=5−2=3\displaystyle \det B=5\cdot 1-(-1)\cdot(-2)=5-2=3. Deoarece det⁡B≠0\displaystyle \det B\neq 0, matricea B\displaystyle B este inversabilă.
    det⁡B=5⋅1−(−1)⋅(−2)=3\displaystyle \det B=5\cdot 1-(-1)\cdot(-2)=3
  2. Scriem transpusa lui B\displaystyle B, schimbând liniile cu coloanele: Bt=(5−2−11)\displaystyle B^{t}=\begin{pmatrix}5&-2\\-1&1\end{pmatrix}.
    Bt=(5−2−11)\displaystyle B^{t}=\begin{pmatrix}5&-2\\-1&1\end{pmatrix}
  3. Calculăm complemenții algebrici ai elementelor lui Bt\displaystyle B^{t}: Δ11=1\displaystyle \Delta_{11}=1, Δ12=−(−1)=1\displaystyle \Delta_{12}=-(-1)=1, Δ21=−(−2)=2\displaystyle \Delta_{21}=-(-2)=2, Δ22=5\displaystyle \Delta_{22}=5. Obținem matricea adjunctă B∗=(1125)\displaystyle B^{*}=\begin{pmatrix}1&1\\2&5\end{pmatrix}.
    B∗=(1125)\displaystyle B^{*}=\begin{pmatrix}1&1\\2&5\end{pmatrix}
  4. Aplicăm formula B−1=1det⁡B⋅B∗=13(1125)\displaystyle B^{-1}=\dfrac{1}{\det B}\cdot B^{*}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1&1\\2&5\end{pmatrix}, deci B−1=(13132353)\displaystyle B^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\\dfrac{2}{3}&\dfrac{5}{3}\end{pmatrix}.
    B−1=(13132353)\displaystyle B^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}&\dfrac{1}{3}\\\dfrac{2}{3}&\dfrac{5}{3}\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(14−3−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&4\\-3&-2\end{pmatrix}, B=(5−1−21)\displaystyle B=\begin{pmatrix}5&-1\\-2&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), care verifică egalitatea A+X=B\displaystyle A+X=B, este inversabilă.
Vezi rezolvarea
  1. Din egalitatea A+X=B\displaystyle A+X=B scădem matricea A\displaystyle A din ambii membri și obținem X=B−A\displaystyle X=B-A.
    X=B−A\displaystyle X=B-A
  2. Scădem matricele element cu element: 5−1=4\displaystyle 5-1=4, −1−4=−5\displaystyle -1-4=-5, −2−(−3)=1\displaystyle -2-(-3)=1, 1−(−2)=3\displaystyle 1-(-2)=3.
    X=(5−1−1−4−2+31+2)=(4−513)\displaystyle X=\begin{pmatrix}5-1&-1-4\\-2+3&1+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-5\\1&3\end{pmatrix}
  3. O matrice pătratică este inversabilă dacă determinantul ei este nenul, deci calculăm det⁡X\displaystyle \det X: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡X=∣4−513∣=4⋅3−(−5)⋅1=12+5=17\displaystyle \det X=\begin{vmatrix}4&-5\\1&3\end{vmatrix}=4\cdot3-(-5)\cdot1=12+5=17
  4. Deoarece determinantul este 17≠0\displaystyle 17\neq0, matricea X\displaystyle X este inversabilă.
    det⁡X=17≠0, deci matricea X este inversabila˘\displaystyle \det X=17\neq0\text{, deci matricea }X\text{ este inversabilă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(14−3−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&4\\-3&-2\end{pmatrix}, B=(5−1−21)\displaystyle B=\begin{pmatrix}5&-1\\-2&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Demonstrați că det⁡(A+aI2)>0\displaystyle \det(A+aI_2)>0, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Avem aI2=(a00a)\displaystyle aI_2=\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}, deci adunăm a\displaystyle a pe diagonala principală a lui A\displaystyle A.
    A+aI2=(1+a4−3a−2)\displaystyle A+aI_2=\begin{pmatrix}1+a&4\\-3&a-2\end{pmatrix}
  2. Determinantul este (1+a)(a−2)−4⋅(−3)\displaystyle (1+a)(a-2)-4\cdot(-3). Desfacem parantezele: (1+a)(a−2)=a2−2a+a−2=a2−a−2\displaystyle (1+a)(a-2)=a^2-2a+a-2=a^2-a-2. Apoi adunăm 12\displaystyle 12.
    det⁡(A+aI2)=(1+a)(a−2)+12=a2−a−2+12=a2−a+10\displaystyle \det(A+aI_2)=(1+a)(a-2)+12=a^2-a-2+12=a^2-a+10
  3. Completăm pătratul: a2−a=(a−12)2−14\displaystyle a^2-a=\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}. Deci a2−a+10=(a−12)2−14+10\displaystyle a^2-a+10=\left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2-\dfrac{1}{4}+10, iar 10−14=394\displaystyle 10-\dfrac{1}{4}=\dfrac{39}{4}.
    a2−a+10=(a−12)2+394\displaystyle a^2-a+10=\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{39}{4}
  4. Pentru orice a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R} avem (a−12)2≥0\displaystyle \left(a-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge 0, iar 394>0\displaystyle \dfrac{39}{4}>0. Prin urmare suma lor este strict pozitivă, adică det⁡(A+aI2)>0\displaystyle \det(A+aI_2)>0 pentru orice număr real a\displaystyle a.
    det⁡(A+aI2)=(a−12)2+394>0, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \det(A+aI_2)=\left(a-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{39}{4}>0\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.