Bac matematică M4 pedagogic 2010, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea

\displaystyle \{0, 1, 2, 3, 4\}

, acesta să fie soluție a ecuației

\displaystyle x^2-4x+3=0

.

Vezi rezolvarea

Rezolvăm ecuația $\displaystyle x^2-4x+3=0$ . Calculăm discriminantul: $\displaystyle \Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$ .
$\displaystyle \Delta=4$
Aflăm soluțiile cu formula $\displaystyle x=\dfrac{4\pm\sqrt{4}}{2}=\dfrac{4\pm 2}{2}$ , deci $\displaystyle x_1=1$ și $\displaystyle x_2=3$ .
$\displaystyle x_1=1$ , $\displaystyle \ x_2=3$
Numărăm cazurile posibile: mulțimea $\displaystyle \{0,1,2,3,4\}$ are 5 elemente, deci sunt 5 cazuri posibile. Ambele soluții, $\displaystyle 1$ și $\displaystyle 3$ , aparțin mulțimii, deci sunt 2 cazuri favorabile.
$\displaystyle \text{cazuri favorabile}=2$ , $\displaystyle \ \text{cazuri posibile}=5$
Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: $\displaystyle P=\dfrac{2}{5}$ .
$\displaystyle P=\frac{2}{5}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Calculați suma

\displaystyle S=1+2+3+\ldots+40

.

Vezi rezolvarea

Recunoaștem suma primelor $\displaystyle n$ numere naturale nenule, cu $\displaystyle n=40$ . Formula lui Gauss spune că $\displaystyle 1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ .
$\displaystyle 1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
Înlocuim $\displaystyle n=40$ în formulă. Atunci $\displaystyle n+1=41$ , deci suma devine o fracție cu numărătorul $\displaystyle 40\cdot 41$ și numitorul $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle 1+2+3+\ldots+40=\dfrac{40\cdot 41}{2}$
Calculăm: simplificăm $\displaystyle 40$ cu $\displaystyle 2$ și obținem $\displaystyle 20\cdot 41$ , adică $\displaystyle 820$ .
$\displaystyle S=\dfrac{40\cdot 41}{2}=20\cdot 41=820$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Determinați valorile parametrului real

\displaystyle m

astfel încât ecuația

\displaystyle x^2-4mx+1=0

să aibă soluții reale.

Vezi rezolvarea

Ecuația este de gradul al doilea, cu coeficienții $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=-4m$ , $\displaystyle c=1$ . Ea are soluții reale dacă discriminantul este mai mare sau egal cu zero: $\displaystyle \Delta\ge 0$ .
$\displaystyle a=1$ , $\displaystyle \ b=-4m$ , $\displaystyle \ c=1$ , $\displaystyle \quad \Delta\ge 0$
Calculăm discriminantul: $\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=(-4m)^{2}-4\cdot 1\cdot 1=16m^{2}-4$ .
$\displaystyle \Delta=16m^{2}-4$
Impunem condiția $\displaystyle \Delta\ge 0$ , adică $\displaystyle 16m^{2}-4\ge 0$ . Împărțind la 4, obținem $\displaystyle 4m^{2}-1\ge 0$ , deci $\displaystyle m^{2}\ge\dfrac{1}{4}$ .
$\displaystyle m^{2}\ge\frac{1}{4}$
Rezolvăm inecuația: $\displaystyle 4m^{2}-1=(2m-1)(2m+1)\ge 0$ . Rădăcinile sunt $\displaystyle m=-\dfrac{1}{2}$ și $\displaystyle m=\dfrac{1}{2}$ , iar coeficientul lui $\displaystyle m^{2}$ este pozitiv, deci expresia este pozitivă sau nulă în afara rădăcinilor, adică $\displaystyle |m|\ge\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle m\le-\frac{1}{2}\text{ sau }m\ge\frac{1}{2}$
Scriem răspunsul sub formă de reuniune de intervale: $\displaystyle m\in\left(-\infty,\ -\dfrac{1}{2}\right]\cup\left[\dfrac{1}{2},\ +\infty\right)$ .
$\displaystyle m\in\left(-\infty,\ -\frac{1}{2}\right]\cup\left[\frac{1}{2},\ +\infty\right)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Calculați distanța de la punctul

\displaystyle A(1,2)

la dreapta

\displaystyle d: x+y+1=0

.

Vezi rezolvarea

Dreapta $\displaystyle d: x+y+1=0$ are coeficienții $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=1$ , $\displaystyle c=1$ , iar punctul este $\displaystyle A(1,2)$ , deci $\displaystyle x_A=1$ și $\displaystyle y_A=2$ .
$\displaystyle a=1$ , $\displaystyle \ b=1$ , $\displaystyle \ c=1$ , $\displaystyle \ x_A=1$ , $\displaystyle \ y_A=2$
Formula distanței de la un punct la o dreaptă este $\displaystyle d(A,d)=\dfrac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ .
$\displaystyle d(A,d)=\frac{|ax_A+by_A+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$
Înlocuim: $\displaystyle d(A,d)=\dfrac{|1\cdot 1+1\cdot 2+1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\dfrac{|1+2+1|}{\sqrt{2}}$ .
$\displaystyle d(A,d)=\frac{|1+2+1|}{\sqrt{2}}$
Numărătorul este $\displaystyle |1+2+1|=|4|=4$ , deci $\displaystyle d(A,d)=\dfrac{4}{\sqrt{2}}$ .
$\displaystyle d(A,d)=\frac{4}{\sqrt{2}}$
Amplificăm cu $\displaystyle \sqrt{2}$ : $\displaystyle \dfrac{4}{\sqrt{2}}=\dfrac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$ .
$\displaystyle d(A,d)=2\sqrt{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

Rezolvați în

\displaystyle \mathbb{R}

ecuația

\displaystyle 7^{2x}-8\cdot 7^x+7=0

.

Vezi rezolvarea

Observăm că $\displaystyle 7^{2x}=\left(7^{x}\right)^{2}$ . Notăm $\displaystyle y=7^{x}$ , unde $\displaystyle y>0$ .
$\displaystyle 7^{2x}=\left(7^{x}\right)^{2}=y^{2}$ , $\displaystyle \quad y=7^{x}>0$
Înlocuim în ecuația dată și obținem ecuația de gradul al doilea $\displaystyle y^{2}-8y+7=0$ .
$\displaystyle 7^x=y;\ y^{2}-8y+7=0$
Calculăm discriminantul: $\displaystyle \Delta=(-8)^{2}-4\cdot 1\cdot 7=64-28=36$ , deci $\displaystyle \sqrt{\Delta}=6$ .
$\displaystyle \Delta=36$ , $\displaystyle \quad \sqrt{\Delta}=6$
Rădăcinile sunt $\displaystyle y_{1}=\dfrac{8-6}{2}=1$ și $\displaystyle y_{2}=\dfrac{8+6}{2}=7$ . Ambele sunt pozitive, deci convin.
$\displaystyle y_{1}=1$ , $\displaystyle \quad y_{2}=7$
Pentru $\displaystyle y_{1}=1$ avem $\displaystyle 7^{x}=1=7^{0}$ , deci $\displaystyle x_{1}=0$ .
$\displaystyle y_1=1\Rightarrow x_1=0$
Pentru $\displaystyle y_{2}=7$ avem $\displaystyle 7^{x}=7^{1}$ , deci $\displaystyle x_{2}=1$ . Soluțiile ecuației sunt $\displaystyle 0$ și $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle y_2=7\Rightarrow x_2=1$ , $\displaystyle \quad S=\{0,1\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Calculați

\displaystyle \frac{1}{2}\cos 135^\circ+3\sin 135^\circ

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle 135^\circ=180^\circ-45^\circ$ și folosim formulele de reducere la primul cadran: $\displaystyle \cos(180^\circ-x)=-\cos x$ , iar $\displaystyle \sin(180^\circ-x)=\sin x$ .
$\displaystyle \cos 135^\circ=-\cos 45^\circ$ , $\displaystyle \ \sin 135^\circ=\sin 45^\circ$
Înlocuim valorile pentru $\displaystyle 45^\circ$ : $\displaystyle \cos 45^\circ=\sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
$\displaystyle \cos 135^\circ=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ , $\displaystyle \ \sin 135^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Înlocuim în expresie: $\displaystyle \dfrac{1}{2}\cdot\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)+3\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
$\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{3\sqrt{2}}{2}$
Aducem la același numitor, $\displaystyle 4$ : $\displaystyle \dfrac{3\sqrt{2}}{2}=\dfrac{6\sqrt{2}}{4}$ . Adunăm și obținem rezultatul final.
$\displaystyle \frac{1}{2}\cos 135^\circ+3\sin 135^\circ=\frac{-\sqrt{2}+6\sqrt{2}}{4}=\frac{5\sqrt{2}}{4}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy+2x+2y+a

, cu

\displaystyle a\in\mathbb{Z}

.

Determinați

\displaystyle a\in\mathbb{Z}

știind că legea „

\displaystyle *

” admite element neutru.

Vezi rezolvarea

Dacă legea admite element neutru $\displaystyle e\in\mathbb{Z}$ , atunci $\displaystyle x*e=x$ pentru orice $\displaystyle x\in\mathbb{Z}$ . Legea este comutativă, deci $\displaystyle e$ este neutru și la stânga, și la dreapta.
$\displaystyle x*e=x$ , $\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{Z}$
Înlocuim în definiția legii: $\displaystyle x*e=xe+2x+2e+a$ , apoi egalăm cu $\displaystyle x$ .
$\displaystyle xe+2x+2e+a=x$
Grupăm termenii după $\displaystyle x$ : coeficientul lui $\displaystyle x$ este $\displaystyle e+2$ , iar termenul liber este $\displaystyle 2e+a$ .
$\displaystyle (e+2)x+2e+a=x$
Egalitatea $\displaystyle (e+2)x+2e+a=x$ trebuie să fie adevărată pentru orice $\displaystyle x$ întreg, deci identificăm coeficienții: coeficientul lui $\displaystyle x$ trebuie să fie $\displaystyle 1$ , iar termenul liber trebuie să fie $\displaystyle 0$ .
$\displaystyle \begin{cases} e+2=1 \\ 2e+a=0 \end{cases}$
Din prima ecuație obținem $\displaystyle e=-1$ . Înlocuim în a doua ecuație: $\displaystyle -2+a=0$ , deci $\displaystyle a=2$ . Cum $\displaystyle e=-1\in\mathbb{Z}$ , valoarea convine.
$\displaystyle a=2\text{ și }e=-1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy+2x+2y+a

, cu

\displaystyle a\in\mathbb{Z}

.

Pentru

\displaystyle a=2

demonstrați că legea „

\displaystyle *

” este asociativă.

Vezi rezolvarea

Legea este asociativă dacă pentru orice $\displaystyle x,y,z\in\mathbb{Z}$ avem egalitatea $\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)$ . Aceasta trebuie demonstrată.
$\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)$ , $\displaystyle \ \forall x$ , $\displaystyle y$ , $\displaystyle z\in\mathbb{Z}$
Pentru $\displaystyle a=2$ , legea devine $\displaystyle x*y=xy+2x+2y+2$ .
$\displaystyle x*y=xy+2x+2y+2$
Calculăm prima parte. Înlocuim $\displaystyle x*y$ în lege, în locul lui $\displaystyle x$ , iar $\displaystyle z$ rămâne al doilea element: $\displaystyle (x*y)*z=(x*y)z+2(x*y)+2z+2$ .
$\displaystyle (x*y)*z=(xy+2x+2y+2)z+2(xy+2x+2y+2)+2z+2$
Desfacem parantezele: $\displaystyle xyz+2xz+2yz+2z+2xy+4x+4y+4+2z+2$ . Grupăm termenii: termenul $\displaystyle xyz$ , apoi $\displaystyle 2(xy+yz+zx)$ , apoi $\displaystyle 4(x+y+z)$ , iar constantele $\displaystyle 4+2=6$ .
$\displaystyle (x*y)*z=xyz+2(xy+yz+zx)+4(x+y+z)+6$
Calculăm a doua parte. Mai întâi $\displaystyle y*z=yz+2y+2z+2$ , apoi $\displaystyle x*(y*z)=x(y*z)+2x+2(y*z)+2$ .
$\displaystyle x*(y*z)=x(yz+2y+2z+2)+2x+2(yz+2y+2z+2)+2$
Desfacem parantezele: $\displaystyle xyz+2xy+2xz+2x+2x+2yz+4y+4z+4+2$ . Grupăm termenii: $\displaystyle xyz$ , $\displaystyle 2(xy+yz+zx)$ , $\displaystyle 4(x+y+z)$ și constanta $\displaystyle 6$ . Obținem exact aceeași expresie ca la prima parte, deci $\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)$ pentru orice $\displaystyle x,y,z\in\mathbb{Z}$ , adică legea este asociativă.
$\displaystyle x*(y*z)=xyz+2(xy+yz+zx)+4(x+y+z)+6=(x*y)*z$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy+2x+2y+a

, cu

\displaystyle a\in\mathbb{Z}

.

Dacă

\displaystyle a=2

arătați că

\displaystyle (x+y+2)*z=(x*z)+(y*z)+2

, pentru orice

\displaystyle x,y,z\in\mathbb{Z}

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle a=2$ legea devine $\displaystyle x*y=xy+2x+2y+2$ . Observăm că $\displaystyle (x+2)(y+2)=xy+2x+2y+4$ , deci $\displaystyle x*y$ se scrie ca $\displaystyle (x+2)(y+2)-2$ .
$\displaystyle x*y=(x+2)(y+2)-2$
Calculăm membrul stâng: în forma de la pasul 1 înlocuim pe $\displaystyle x$ cu $\displaystyle x+y+2$ și pe $\displaystyle y$ cu $\displaystyle z$ . Primul factor devine $\displaystyle (x+y+2)+2=x+y+4$ .
$\displaystyle (x+y+2)*z=(x+y+4)(z+2)-2$
Calculăm membrul drept: scriem fiecare compunere cu forma de la pasul 1 și adăugăm $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle (x*z)+(y*z)+2=(x+2)(z+2)-2+(y+2)(z+2)-2+2$
Reducem termenii constanți: $\displaystyle -2-2+2=-2$ . Dăm factor comun pe $\displaystyle z+2$ și obținem $\displaystyle (x+2+y+2)(z+2)=(x+y+4)(z+2)$ .
$\displaystyle (x*z)+(y*z)+2=(x+y+4)(z+2)-2$
Cei doi membri sunt egali, deci egalitatea este adevărată pentru orice $\displaystyle x,y,z\in\mathbb{Z}$ .
$\displaystyle (x+y+4)(z+2)-2=(x+y+2)*z$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.d)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy+2x+2y+a

, cu

\displaystyle a\in\mathbb{Z}

.

Pentru

\displaystyle a=2

determinați mulțimea

\displaystyle M=\{x\in\mathbb{Z}\mid \text{există }x'\in\mathbb{Z}\text{, astfel încât }x*x'=-1\}

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle a=2$ legea devine $\displaystyle x*y=xy+2x+2y+2$ . Observăm că $\displaystyle xy+2x+2y+4=(x+2)(y+2)$ , deci $\displaystyle x*y=(x+2)(y+2)-2$ .
$\displaystyle x*x'=(x+2)(x'+2)-2$
Punem condiția $\displaystyle x*x'=-1$ și obținem $\displaystyle (x+2)(x'+2)-2=-1$ , adică $\displaystyle (x+2)(x'+2)=1$ .
$\displaystyle (x+2)(x'+2)=1$
Pentru $\displaystyle x=-2$ egalitatea ar da $\displaystyle 0=1$ , imposibil. Deci $\displaystyle x+2\neq 0$ și putem împărți: $\displaystyle x'+2=\dfrac{1}{x+2}$ , de unde $\displaystyle x'=-2+\dfrac{1}{x+2}$ . Cerem ca $\displaystyle x'$ să fie întreg.
$\displaystyle x'=-2+\frac{1}{x+2}\in\mathbb{Z}$
Cum $\displaystyle -2$ este întreg, $\displaystyle x'$ este întreg exact când fracția $\displaystyle \dfrac{1}{x+2}$ este număr întreg, adică $\displaystyle x+2$ divide $\displaystyle 1$ . Divizorii întregi ai lui $\displaystyle 1$ sunt $\displaystyle -1$ și $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle (x+2)\mid 1\text{, adică }(x+2)\in\{-1,1\}$
Rezolvăm cele două cazuri: $\displaystyle x+2=-1$ dă $\displaystyle x=-3$ , iar $\displaystyle x+2=1$ dă $\displaystyle x=-1$ . Verificare: pentru $\displaystyle x=-3$ avem $\displaystyle x'=-3$ , iar pentru $\displaystyle x=-1$ avem $\displaystyle x'=-1$ , ambele întregi.
$\displaystyle x=-3\text{ sau }x=-1$
Mulțimea căutată conține exact aceste două numere.
$\displaystyle M=\{-3,-1\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.e)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy+2x+2y+a

, cu

\displaystyle a\in\mathbb{Z}

.

Pentru

\displaystyle a=2

determinați

\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}

, astfel încât

\displaystyle x*y=3

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle a=2$ legea devine $\displaystyle x*y=xy+2x+2y+2$ , deci condiția $\displaystyle x*y=3$ se scrie $\displaystyle xy+2x+2y+2=3$ .
$\displaystyle xy+2x+2y+2=3$
Din $\displaystyle xy+2x+2y=1$ adăugăm $\displaystyle 4$ în ambii membri și obținem $\displaystyle xy+2x+2y+4=5$ .
$\displaystyle xy+2x+2y+4=5$
Observăm că $\displaystyle xy+2x+2y+4=(x+2)(y+2)$ , deci ecuația devine $\displaystyle (x+2)(y+2)=5$ .
$\displaystyle (x+2)(y+2)=5$
Cum $\displaystyle x,y\in\mathbb{Z}$ , numerele $\displaystyle x+2$ și $\displaystyle y+2$ sunt divizori întregi ai lui $\displaystyle 5$ , adică aparțin mulțimii $\displaystyle \{-5,-1,1,5\}$ .
$\displaystyle x+2\in\{-5,-1,1,5\}$
Dacă $\displaystyle x+2=1$ , atunci $\displaystyle y+2=5$ , deci $\displaystyle x=-1$ , $\displaystyle y=3$ . Dacă $\displaystyle x+2=5$ , atunci $\displaystyle y+2=1$ , deci $\displaystyle x=3$ , $\displaystyle y=-1$ . Dacă $\displaystyle x+2=-1$ , atunci $\displaystyle y+2=-5$ , deci $\displaystyle x=-3$ , $\displaystyle y=-7$ . Dacă $\displaystyle x+2=-5$ , atunci $\displaystyle y+2=-1$ , deci $\displaystyle x=-7$ , $\displaystyle y=-3$ .
$\displaystyle (-1;3)$ , $\displaystyle \ (3;-1)$ , $\displaystyle \ (-3;-7)$ , $\displaystyle \ (-7;-3)$
Perechile căutate sunt cele de mai sus, deci mulțimea soluțiilor este formată din cele patru perechi $\displaystyle (x;y)$ .
$\displaystyle (x;y)\in\{(-1;3),(-3;-7),(3;-1),(-7;-3)\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.f)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor întregi se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=xy+2x+2y+a

, cu

\displaystyle a\in\mathbb{Z}

.

Fie mulțimea

\displaystyle H=\{-3,-1\}

. Determinați

\displaystyle a\in\mathbb{Z}

astfel încât, pentru oricare

\displaystyle x,y\in H

, să rezulte că

\displaystyle x*y\in H

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsele elementelor lui $\displaystyle H$ cu ele însele, înlocuind în $\displaystyle x*y=xy+2x+2y+a$ . Pentru $\displaystyle x=y=-3$ : $\displaystyle (-3)*(-3)=9-6-6+a=a-3$ . Pentru $\displaystyle x=y=-1$ : $\displaystyle (-1)*(-1)=1-2-2+a=a-3$ .
$\displaystyle (-3)*(-3)=(-1)*(-1)=a-3$
Cerem ca $\displaystyle a-3\in H$ , adică $\displaystyle a-3=-3$ sau $\displaystyle a-3=-1$ . De aici $\displaystyle a=0$ sau $\displaystyle a=2$ .
$\displaystyle a-3\in\{-3,-1\}\Rightarrow a\in\{0,2\}$
Calculăm produsul elementelor diferite: $\displaystyle (-3)*(-1)=3-6-2+a=a-5$ . Legea este comutativă, deci $\displaystyle (-1)*(-3)=a-5$ .
$\displaystyle (-3)*(-1)=(-1)*(-3)=a-5$
Cerem ca $\displaystyle a-5\in H$ , adică $\displaystyle a-5=-3$ sau $\displaystyle a-5=-1$ . De aici $\displaystyle a=2$ sau $\displaystyle a=4$ .
$\displaystyle a-5\in\{-3,-1\}\Rightarrow a\in\{2,4\}$
Toate condițiile trebuie îndeplinite simultan, deci intersectăm mulțimile obținute: $\displaystyle \{0,2\}\cap\{2,4\}=\{2\}$ . Singura valoare convenabilă este $\displaystyle a=2$ .
$\displaystyle \{0,2\}\cap\{2,4\}=\{2\}\Rightarrow a=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Fie numerele reale

\displaystyle a,b,c

și determinantul

D=\begin{vmatrix}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{vmatrix}.

Pentru

\displaystyle a=1

,

\displaystyle b=2

și

\displaystyle c=3

, calculați determinantul

\displaystyle D

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=2$ , $\displaystyle c=3$ în determinant. Pe prima linie avem $\displaystyle 1, 1, 1$ , pe a doua $\displaystyle 1, 2, 4$ (pentru că $\displaystyle 2^2=4$ ), iar pe a treia $\displaystyle 1, 3, 9$ (pentru că $\displaystyle 3^2=9$ ).
$\displaystyle D=\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9\end{vmatrix}$
Scădem prima linie din a doua și din a treia linie ( $\displaystyle L_2-L_1$ și $\displaystyle L_3-L_1$ ), ceea ce nu schimbă valoarea determinantului. Obținem zerouri pe prima coloană sub primul element.
$\displaystyle D=\begin{vmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 8\end{vmatrix}$
Dezvoltăm determinantul după prima coloană: rămâne produsul dintre $\displaystyle 1$ și determinantul de ordin 2 format din liniile 2 și 3, coloanele 2 și 3. Calculăm: $\displaystyle 1\cdot 8-3\cdot 2=8-6=2$ .
$\displaystyle D=1\cdot\begin{vmatrix}1 & 3 \\ 2 & 8\end{vmatrix}=1\cdot 8-3\cdot 2=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Fie numerele reale

\displaystyle a,b,c

și determinantul

D=\begin{vmatrix}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{vmatrix}.

Arătați că dacă

\displaystyle a=b

, atunci

\displaystyle D=0

.

Vezi rezolvarea

Presupunem că $\displaystyle a=b$ și înlocuim $\displaystyle b$ cu $\displaystyle a$ în a doua linie a determinantului. A doua linie devine $\displaystyle (1,\ a,\ a^{2})$ .
$\displaystyle D=\begin{vmatrix}1 & a & a^2 \\ 1 & a & a^2 \\ 1 & c & c^2\end{vmatrix}$
Observăm că prima și a doua linie sunt identice, deoarece au aceleași elemente: $\displaystyle 1$ , $\displaystyle a$ , $\displaystyle a^{2}$ .
$\displaystyle L_1=L_2=(1,\ a,\ a^2)$
Un determinant cu două linii egale este nul: scăzând linia a doua din prima obținem o linie de zerouri, iar valoarea determinantului nu se schimbă. Un determinant cu o linie formată numai din zerouri este egal cu $\displaystyle 0$ . Deci $\displaystyle D=0$ .
$\displaystyle D=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Fie numerele reale

\displaystyle a,b,c

și determinantul

D=\begin{vmatrix}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{vmatrix}.

Pentru

\displaystyle b=2

și

\displaystyle c=3

, determinați

\displaystyle a\in\mathbb{R}

, astfel încât

\displaystyle D=2

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle b=2$ și $\displaystyle c=3$ în determinant și obținem $\displaystyle D=\begin{vmatrix}1 & a & a^2 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9\end{vmatrix}$ .
$\displaystyle D=\begin{vmatrix}1 & a & a^2 \\ 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 9\end{vmatrix}$
Dezvoltăm determinantul după regula lui Sarrus: $\displaystyle D=1\cdot 2\cdot 9+a\cdot 4\cdot 1+a^2\cdot 1\cdot 3-a^2\cdot 2\cdot 1-1\cdot 4\cdot 3-a\cdot 1\cdot 9$ .
$\displaystyle D=18+4a+3a^2-2a^2-12-9a$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle 3a^2-2a^2=a^2$ , $\displaystyle 4a-9a=-5a$ , $\displaystyle 18-12=6$ .
$\displaystyle D=a^2-5a+6$
Punem condiția $\displaystyle D=2$ , adică $\displaystyle a^2-5a+6=2$ , de unde, scăzând 2 din ambii membri, obținem ecuația de gradul al doilea.
$\displaystyle a^2-5a+4=0$
Calculăm discriminantul: $\displaystyle \Delta=(-5)^2-4\cdot 1\cdot 4=25-16=9$ .
$\displaystyle \Delta=9$
Aplicăm formula rădăcinilor: $\displaystyle a=\dfrac{5\pm 3}{2}$ , deci $\displaystyle a=\dfrac{5+3}{2}=4$ sau $\displaystyle a=\dfrac{5-3}{2}=1$ .
$\displaystyle a=1\text{ sau }a=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.d)

5 puncte

Fie numerele reale

\displaystyle a,b,c

și determinantul

D=\begin{vmatrix}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{vmatrix}.

Demonstrați că

\displaystyle D=(b-a)\cdot(c-a)\cdot(c-b)

.

Vezi rezolvarea

Scădem prima linie din a doua și din a treia linie ( $\displaystyle L_2\to L_2-L_1$ , $\displaystyle L_3\to L_3-L_1$ ). Valoarea determinantului nu se schimbă, iar pe prima coloană, sub elementul $\displaystyle 1$ , apar zerouri.
$\displaystyle D=\begin{vmatrix}1 & a & a^2 \\ 0 & b-a & b^2-a^2 \\ 0 & c-a & c^2-a^2\end{vmatrix}$
Descompunem diferențele de pătrate de pe ultima coloană: $\displaystyle b^2-a^2=(b-a)(b+a)$ și $\displaystyle c^2-a^2=(c-a)(c+a)$ .
$\displaystyle b^2-a^2=(b-a)(b+a)$ , $\displaystyle \quad c^2-a^2=(c-a)(c+a)$
Pe a doua linie toate elementele (cele nenule) au factorul comun $\displaystyle b-a$ , iar pe a treia linie factorul comun $\displaystyle c-a$ . Îi scoatem în fața determinantului.
$\displaystyle D=(b-a)(c-a)\cdot\begin{vmatrix}1 & a & a^2 \\ 0 & 1 & b+a \\ 0 & 1 & c+a\end{vmatrix}$
Dezvoltăm determinantul de ordin $\displaystyle 3$ după prima coloană, în care singurul element nenul este $\displaystyle 1$ . Rămâne un determinant de ordin $\displaystyle 2$ : $\displaystyle \begin{vmatrix}1 & b+a \\ 1 & c+a\end{vmatrix}=(c+a)-(b+a)=c-b$ . Deci obținem formula cerută.
$\displaystyle D=(b-a)(c-a)(c-b)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.e)

5 puncte

Fie numerele reale

\displaystyle a,b,c

și determinantul

D=\begin{vmatrix}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{vmatrix}.

Arătați că dacă

\displaystyle D=0

, atunci cel puțin două dintre numerele

\displaystyle a

,

\displaystyle b

și

\displaystyle c

sunt egale.

Vezi rezolvarea

Scădem prima linie din a doua și din a treia linie ( $\displaystyle L_2-L_1$ și $\displaystyle L_3-L_1$ ). Determinantul nu se schimbă, iar pe prima coloană rămân zerouri sub primul element.
$\displaystyle D=\begin{vmatrix}1 & a & a^2 \\ 0 & b-a & b^2-a^2 \\ 0 & c-a & c^2-a^2\end{vmatrix}$
Dezvoltăm determinantul după prima coloană și obținem un determinant de ordinul doi.
$\displaystyle D=\begin{vmatrix}b-a & b^2-a^2 \\ c-a & c^2-a^2\end{vmatrix}$
Folosim $\displaystyle b^2-a^2=(b-a)(b+a)$ și $\displaystyle c^2-a^2=(c-a)(c+a)$ . Scoatem factorul $\displaystyle b-a$ de pe prima linie și factorul $\displaystyle c-a$ de pe a doua linie.
$\displaystyle D=(b-a)(c-a)\begin{vmatrix}1 & b+a \\ 1 & c+a\end{vmatrix}$
Calculăm determinantul de ordinul doi: $\displaystyle (c+a)-(b+a)=c-b$ . Obținem forma factorizată a lui $\displaystyle D$ , iar condiția $\displaystyle D=0$ înseamnă că produsul este nul, deci unul dintre factori este nul.
$\displaystyle D=(b-a)(c-a)(c-b)=0\Rightarrow b-a=0\text{ sau }c-a=0\text{ sau }c-b=0$
Un produs de numere reale este nul doar dacă cel puțin un factor este nul. Din $\displaystyle b-a=0$ rezultă $\displaystyle a=b$ , din $\displaystyle c-a=0$ rezultă $\displaystyle a=c$ , iar din $\displaystyle c-b=0$ rezultă $\displaystyle b=c$ . Deci cel puțin două dintre numerele $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ sunt egale.
$\displaystyle a=b\text{ sau }a=c\text{ sau }b=c$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.f)

5 puncte

Fie numerele reale

\displaystyle a,b,c

și determinantul

D=\begin{vmatrix}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{vmatrix}.

Arătați că dacă

\displaystyle a,b,c\in\mathbb{Z}

, atunci

\displaystyle D

este număr întreg par.

Vezi rezolvarea

Calculăm determinantul Vandermonde: scădem prima linie din a doua și din a treia, apoi dezvoltăm după prima coloană. Obținem $\displaystyle D=(b-a)(c-a)(c-b)$ .
$\displaystyle D=(b-a)(c-a)(c-b)$
Dacă $\displaystyle a,b,c\in\mathbb{Z}$ , atunci diferențele $\displaystyle b-a$ , $\displaystyle c-a$ , $\displaystyle c-b$ sunt numere întregi, deci $\displaystyle D$ este număr întreg, produs de numere întregi.
$\displaystyle D\in\mathbb{Z}$
Cele trei numere $\displaystyle a,b,c$ pot avea doar două parități (pară sau impară). Conform principiului cutiei, cel puțin două dintre ele au aceeași paritate. Diferența a două numere cu aceeași paritate este un număr par.
$\displaystyle \text{cel puțin una dintre }$ $\displaystyle \text{diferențele }b-a$ , $\displaystyle \ c-a$ , $\displaystyle \ c-b\text{ este număr par}$
Produsul $\displaystyle (b-a)(c-a)(c-b)$ conține un factor par, deci este par. Prin urmare $\displaystyle D$ este număr întreg par.
$\displaystyle D=(b-a)(c-a)(c-b)\text{ este număr par}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M4 pedagogic 2010, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.1.d)

Subiectul II.1.e)

Subiectul II.1.f)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.1.d)

Subiectul III.1.e)

Subiectul III.1.f)

Aceeași sesiune, alți ani