Bac matematică M4 pedagogic 2020, model, test de evaluare 7: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Determinați a 2020-a zecimală a numărului 56\displaystyle \frac{5}{6}.
Vezi rezolvarea
  1. Împărțim 5\displaystyle 5 la 6\displaystyle 6: 5:6=0,8333…\displaystyle 5:6=0,8333\ldots Prima zecimală este 8\displaystyle 8, iar după ea se repetă la nesfârșit cifra 3\displaystyle 3, deci perioada este 3\displaystyle 3.
    56=0\displaystyle \frac{5}{6}=0,8(3)\displaystyle 8(3)
  2. În scrierea 0,8(3)\displaystyle 0,8(3) doar prima zecimală este 8\displaystyle 8. Toate zecimalele de pe pozițiile 2,3,4,…\displaystyle 2, 3, 4, \ldots sunt egale cu 3\displaystyle 3.
    cn=3, pentru orice n≥2\displaystyle c_n=3\text{, pentru orice }n\geq 2
  3. Cum 2020≥2\displaystyle 2020\geq 2, a 2020\displaystyle 2020-a zecimală se află în perioadă, deci este 3\displaystyle 3.
    3\displaystyle 3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x−3\displaystyle f(x)=3x-3 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x2−1\displaystyle g(x)=x^2-1. Determinați numerele naturale x\displaystyle x pentru care f(x)≥g(x)\displaystyle f(x)\ge g(x).
Vezi rezolvarea
  1. Inegalitatea f(x)≥g(x)\displaystyle f(x)\ge g(x) devine 3x−3≥x2−1\displaystyle 3x-3\ge x^{2}-1.
    3x−3≥x2−1\displaystyle 3x-3\ge x^{2}-1
  2. Scădem 3x−3\displaystyle 3x-3 din ambii membri: 0≥x2−3x+2\displaystyle 0\ge x^{2}-3x+2, deci x2−3x+2≤0\displaystyle x^{2}-3x+2\le 0.
    x2−3x+2≤0\displaystyle x^{2}-3x+2\le 0
  3. Pentru x2−3x+2=0\displaystyle x^{2}-3x+2=0 avem Δ=9−8=1\displaystyle \Delta=9-8=1, deci x1,2=3±12\displaystyle x_{1,2}=\dfrac{3\pm 1}{2}, adică x1=1\displaystyle x_1=1 și x2=2\displaystyle x_2=2.
    x1=1\displaystyle x_1=1, x2=2\displaystyle \ x_2=2
  4. Deoarece coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} este pozitiv, x2−3x+2≤0\displaystyle x^{2}-3x+2\le 0 pentru x\displaystyle x între rădăcini, adică x∈[1,2]\displaystyle x\in[1,2].
    x∈[1,2]\displaystyle x\in[1,2]
  5. Numerele naturale din intervalul [1,2]\displaystyle [1,2] sunt 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2.
    x=1 sau x=2\displaystyle x=1\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 5−x=x+1\displaystyle \sqrt{5-x}=\sqrt{x+1}.
Vezi rezolvarea
  1. Determinăm condițiile de existență: expresiile de sub radical trebuie să fie pozitive sau nule, adică 5−x≥0\displaystyle 5-x\ge 0 și x+1≥0\displaystyle x+1\ge 0. Obținem x≤5\displaystyle x\le 5 și x≥−1\displaystyle x\ge -1, deci x∈[−1,5]\displaystyle x\in[-1,5].
    x∈[−1,5]\displaystyle x\in[-1,5]
  2. Ridicăm ecuația la pătrat. Pe domeniul de existență, (a)2=a\displaystyle \left(\sqrt{a}\right)^{2}=a, deci radicalii dispar și obținem 5−x=x+1\displaystyle 5-x=x+1.
    5−x=x+1\displaystyle 5-x=x+1
  3. Trecem termenii cu x\displaystyle x într-o parte și numerele în cealaltă: 5−1=x+x\displaystyle 5-1=x+x. Rezultă 4=2x\displaystyle 4=2x, adică 2x=4\displaystyle 2x=4.
    5−x=x+1⇒2x=4\displaystyle 5-x=x+1\Rightarrow 2x=4
  4. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
  5. Verificăm soluția. Avem 2∈[−1,5]\displaystyle 2\in[-1,5]. Pentru x=2\displaystyle x=2: 5−2=3\displaystyle \sqrt{5-2}=\sqrt{3} și 2+1=3\displaystyle \sqrt{2+1}=\sqrt{3}, deci egalitatea este adevărată și soluția convine.
    x=2, care convine\displaystyle x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Dacă elevii unei clase se așază câte trei în bancă, rămân patru bănci libere, iar dacă se așază câte doi în bancă, un elev rămâne singur în bancă și nu rămân bănci libere. Determinați numărul de bănci din această sală de clasă.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu b\displaystyle b numărul de bănci. Când elevii se așază câte trei în bancă, rămân patru bănci libere, deci sunt ocupate b−4\displaystyle b-4 bănci, iar numărul de elevi este 3(b−4)\displaystyle 3(b-4).
    numa˘rul de elevi=3(b−4)\displaystyle \text{numărul de elevi}=3(b-4)
  2. Când elevii se așază câte doi în bancă, un elev rămâne singur și nu rămân bănci libere: b−1\displaystyle b-1 bănci au câte doi elevi, iar una are un singur elev. Numărul de elevi este 2(b−1)+1\displaystyle 2(b-1)+1.
    numa˘rul de elevi=2(b−1)+1\displaystyle \text{numărul de elevi}=2(b-1)+1
  3. Numărul de elevi este același în ambele situații, deci egalăm cele două expresii.
    3(b−4)=2(b−1)+1\displaystyle 3(b-4)=2(b-1)+1
  4. Desfacem parantezele în ambii membri: 3b−12=2b−2+1\displaystyle 3b-12=2b-2+1, adică 3b−12=2b−1\displaystyle 3b-12=2b-1.
    3b−12=2b−1\displaystyle 3b-12=2b-1
  5. Mutăm termenii cu b\displaystyle b în stânga și numerele în dreapta: 3b−2b=12−1\displaystyle 3b-2b=12-1. Obținem b=11\displaystyle b=11. Verificare: 3⋅7=21\displaystyle 3\cdot 7=21 elevi, iar 2⋅10+1=21\displaystyle 2\cdot 10+1=21. Deci sala are 11 bănci.
    b=11\displaystyle b=11
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(7,0)\displaystyle A(7,0), B(4,4)\displaystyle B(4,4) și C(2,0)\displaystyle C(2,0). Calculați distanța de la punctul C\displaystyle C la dreapta AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm lungimea segmentului AC\displaystyle AC. Punctele A\displaystyle A și C\displaystyle C se află pe axa Ox\displaystyle Ox, deci distanța dintre ele este diferența absciselor: AC=∣7−2∣=5\displaystyle AC=|7-2|=5.
    AC=5\displaystyle AC=5
  2. Calculăm lungimea segmentului AB\displaystyle AB cu formula distanței dintre două puncte: AB=(4−7)2+(4−0)2=9+16=25\displaystyle AB=\sqrt{(4-7)^{2}+(4-0)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}.
    AB=9+16=5\displaystyle AB=\sqrt{9+16}=5
  3. Deoarece AB=AC=5\displaystyle AB=AC=5, triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel cu vârful în A\displaystyle A. Aria se scrie ca AC⋅d(B,AC)2=AB⋅d(C,AB)2\displaystyle \dfrac{AC\cdot d(B,AC)}{2}=\dfrac{AB\cdot d(C,AB)}{2}. Cum AB=AC\displaystyle AB=AC, rezultă că distanța de la C\displaystyle C la dreapta AB\displaystyle AB este egală cu distanța de la B\displaystyle B la dreapta AC\displaystyle AC.
    d(C,AB)=d(B,AC)\displaystyle d(C,AB)=d(B,AC)
  4. Dreapta AC\displaystyle AC este axa Ox\displaystyle Ox, deci distanța de la B(4,4)\displaystyle B(4,4) la ea este ordonata lui B\displaystyle B, adică 4\displaystyle 4. Prin urmare, distanța de la C\displaystyle C la dreapta AB\displaystyle AB este 4\displaystyle 4.
    AB=5, distanța este 4\displaystyle AB=5\text{, distanța este }4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 3sin⁡60∘−43sin⁡60∘cos⁡60∘+cos⁡60∘=1\displaystyle \sqrt{3}\sin 60^\circ-\frac{4}{\sqrt{3}}\sin 60^\circ\cos 60^\circ+\cos 60^\circ=1.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valorile cunoscute: sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} și cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}.
    sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡60∘=12\displaystyle \ \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}
  2. Înlocuim aceste valori în expresia din enunț: expresia devine o sumă de trei termeni numerici.
    3⋅32−43⋅32⋅12+12\displaystyle \sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{4}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}
  3. Calculăm primul termen: 3⋅3=3\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3, deci primul termen este 32\displaystyle \dfrac{3}{2}.
    3⋅32=32\displaystyle \sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3}{2}
  4. Calculăm al doilea termen: 3\displaystyle \sqrt{3} se simplifică cu 3\displaystyle \sqrt{3} de la numitor, deci obținem 42⋅2=1\displaystyle \dfrac{4}{2\cdot 2}=1.
    43⋅32⋅12=44=1\displaystyle \dfrac{4}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{4}=1
  5. Adunăm termenii: 32−1+12=42−1=2−1=1\displaystyle \dfrac{3}{2}-1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{2}-1=2-1=1, deci egalitatea este demonstrată.
    32−1+12=1\displaystyle \dfrac{3}{2}-1+\dfrac{1}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=2xy−6(x+y)+21\displaystyle x\circ y=2xy-6(x+y)+21.

Arătați că (−1)∘3=3\displaystyle (-1)\circ 3=3.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∘y=2xy−6(x+y)+21\displaystyle x\circ y=2xy-6(x+y)+21 și înlocuim x=−1\displaystyle x=-1, y=3\displaystyle y=3.
    (−1)∘3=2⋅(−1)⋅3−6(−1+3)+21\displaystyle (-1)\circ 3=2\cdot(-1)\cdot 3-6(-1+3)+21
  2. Calculăm separat: 2⋅(−1)⋅3=−6\displaystyle 2\cdot(-1)\cdot 3=-6, iar −1+3=2\displaystyle -1+3=2, deci −6⋅2=−12\displaystyle -6\cdot 2=-12.
    (−1)∘3=−6−12+21\displaystyle (-1)\circ 3=-6-12+21
  3. Efectuăm adunarea și scăderea: −6−12=−18\displaystyle -6-12=-18, iar −18+21=3\displaystyle -18+21=3. Am obținut exact valoarea cerută.
    (−1)∘3=3\displaystyle (-1)\circ 3=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=2xy−6(x+y)+21\displaystyle x\circ y=2xy-6(x+y)+21.

Demonstrați că x∘y=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=2(x-3)(y-3)+3, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=2xy−6(x+y)+21\displaystyle x\circ y=2xy-6(x+y)+21 și desfacem paranteza: −6(x+y)=−6x−6y\displaystyle -6(x+y)=-6x-6y.
    x∘y=2xy−6x−6y+21\displaystyle x\circ y=2xy-6x-6y+21
  2. Scriem 21=18+3\displaystyle 21=18+3, pentru a pregăti gruparea termenilor.
    x∘y=2xy−6x−6y+18+3\displaystyle x\circ y=2xy-6x-6y+18+3
  3. Grupăm 2xy−6x\displaystyle 2xy-6x, care are factorul comun 2x\displaystyle 2x, și −6y+18\displaystyle -6y+18, care are factorul comun −6\displaystyle -6.
    x∘y=2x(y−3)−6(y−3)+3\displaystyle x\circ y=2x(y-3)-6(y-3)+3
  4. Dăm factor comun pe y−3\displaystyle y-3 și obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=(y−3)(2x−6)+3=2(x−3)(y−3)+3, pentru orice numere \displaystyle x\circ y=(y-3)(2x-6)+3=2(x-3)(y-3)+3\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=2xy−6(x+y)+21\displaystyle x\circ y=2xy-6(x+y)+21.

Verificați dacă e=72\displaystyle e=\frac{7}{2} este elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că e=72\displaystyle e=\dfrac{7}{2} este element neutru, trebuie să verificăm că x∘e=e∘x=x\displaystyle x\circ e=e\circ x=x pentru orice x\displaystyle x real. Scriem mai întâi legea sub formă canonică: 2(x−3)(y−3)=2xy−6x−6y+18\displaystyle 2(x-3)(y-3)=2xy-6x-6y+18, deci x∘y=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=2(x-3)(y-3)+3.
    x∘y=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=2(x-3)(y-3)+3
  2. Calculăm x∘72\displaystyle x\circ\dfrac{7}{2} folosind forma canonică. Avem 72−3=12\displaystyle \dfrac{7}{2}-3=\dfrac{1}{2}, deci 2⋅12=1\displaystyle 2\cdot\dfrac{1}{2}=1.
    x∘72=2(x−3)(72−3)+3=x−3+3=x\displaystyle x\circ\frac{7}{2}=2(x-3)\left(\frac{7}{2}-3\right)+3=x-3+3=x
  3. Calculăm acum 72∘x\displaystyle \dfrac{7}{2}\circ x în același mod. Legea este comutativă, dar verificăm direct și în această parte: 2(72−3)=1\displaystyle 2\left(\dfrac{7}{2}-3\right)=1.
    72∘x=2(72−3)(x−3)+3=x−3+3=x\displaystyle \frac{7}{2}\circ x=2\left(\frac{7}{2}-3\right)(x-3)+3=x-3+3=x
  4. Cum x∘72=72∘x=x\displaystyle x\circ\dfrac{7}{2}=\dfrac{7}{2}\circ x=x pentru orice x\displaystyle x real, numărul 72\displaystyle \dfrac{7}{2} este element neutru al legii.
    72∘x=x∘72=x, deci e=72 este elementul neutru\displaystyle \frac{7}{2}\circ x=x\circ\frac{7}{2}=x\text{, deci }e=\frac{7}{2}\text{ este elementul neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=2xy−6(x+y)+21\displaystyle x\circ y=2xy-6(x+y)+21.

Determinați mulțimea numerelor întregi a\displaystyle a pentru care (a+3)∘(a−3)<3\displaystyle (a+3)\circ(a-3)<3.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că x∘y=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=2(x-3)(y-3)+3. Verificăm: 2(x−3)(y−3)+3=2xy−6x−6y+18+3=2xy−6(x+y)+21\displaystyle 2(x-3)(y-3)+3=2xy-6x-6y+18+3=2xy-6(x+y)+21.
    x∘y=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=2(x-3)(y-3)+3
  2. Înlocuim x=a+3\displaystyle x=a+3 și y=a−3\displaystyle y=a-3. Avem a+3−3=a\displaystyle a+3-3=a și a−3−3=a−6\displaystyle a-3-3=a-6, deci (a+3)∘(a−3)=2a(a−6)+3\displaystyle (a+3)\circ(a-3)=2a(a-6)+3.
    (a+3)∘(a−3)=2a(a−6)+3\displaystyle (a+3)\circ(a-3)=2a(a-6)+3
  3. Impunem 2a(a−6)+3<3\displaystyle 2a(a-6)+3<3. Scăzând 3\displaystyle 3 din ambii membri, obținem 2a(a−6)<0\displaystyle 2a(a-6)<0.
    2a(a−6)<0\displaystyle 2a(a-6)<0
  4. Împărțim la 2>0\displaystyle 2>0 și obținem a(a−6)<0\displaystyle a(a-6)<0. Trinomul are rădăcinile 0\displaystyle 0 și 6\displaystyle 6 și coeficientul dominant pozitiv, deci este negativ între rădăcini.
    a∈(0,6)\displaystyle a\in(0,6)
  5. Cum a\displaystyle a este număr întreg și 0<a<6\displaystyle 0<a<6, obținem valorile 1,2,3,4,5\displaystyle 1,2,3,4,5.
    a∈{1,2,3,4,5}\displaystyle a\in\{1,2,3,4,5\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=2xy−6(x+y)+21\displaystyle x\circ y=2xy-6(x+y)+21.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care x∘x∘x=7\displaystyle x\circ x\circ x=7.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată. Observăm că 2xy−6x−6y+21=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle 2xy-6x-6y+21=2(x-3)(y-3)+3, deoarece 2(x−3)(y−3)=2xy−6x−6y+18\displaystyle 2(x-3)(y-3)=2xy-6x-6y+18.
    x∘y=2(x−3)(y−3)+3\displaystyle x\circ y=2(x-3)(y-3)+3
  2. Calculăm x∘x\displaystyle x\circ x punând y=x\displaystyle y=x în forma factorizată.
    x∘x=2(x−3)2+3\displaystyle x\circ x=2(x-3)^2+3
  3. Calculăm x∘x∘x=(x∘x)∘x\displaystyle x\circ x\circ x=(x\circ x)\circ x. Avem (x∘x)−3=2(x−3)2\displaystyle (x\circ x)-3=2(x-3)^2, deci (x∘x)∘x=2⋅2(x−3)2⋅(x−3)+3=4(x−3)3+3\displaystyle (x\circ x)\circ x=2\cdot 2(x-3)^2\cdot(x-3)+3=4(x-3)^3+3.
    x∘x∘x=4(x−3)3+3\displaystyle x\circ x\circ x=4(x-3)^3+3
  4. Scriem ecuația x∘x∘x=7\displaystyle x\circ x\circ x=7 și izolăm cubul: 4(x−3)3=4\displaystyle 4(x-3)^3=4, deci (x−3)3=1\displaystyle (x-3)^3=1.
    4(x−3)3+3=7⇔(x−3)3=1\displaystyle 4(x-3)^3+3=7\Leftrightarrow (x-3)^3=1
  5. Funcția t↦t3\displaystyle t\mapsto t^3 este injectivă pe numerele reale, deci (x−3)3=1\displaystyle (x-3)^3=1 implică x−3=1\displaystyle x-3=1, adică x=4\displaystyle x=4.
    x=4\displaystyle x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=2xy−6(x+y)+21\displaystyle x\circ y=2xy-6(x+y)+21.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere naturale pentru care m∘n=5\displaystyle m\circ n=5.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem condiția m∘n=5\displaystyle m\circ n=5 folosind definiția legii: 2mn−6(m+n)+21=5\displaystyle 2mn-6(m+n)+21=5.
    2mn−6m−6n+21=5\displaystyle 2mn-6m-6n+21=5
  2. Observăm că 2(m−3)(n−3)=2mn−6m−6n+18\displaystyle 2(m-3)(n-3)=2mn-6m-6n+18, deci 2mn−6m−6n+21=2(m−3)(n−3)+3\displaystyle 2mn-6m-6n+21=2(m-3)(n-3)+3.
    2(m−3)(n−3)+3=5\displaystyle 2(m-3)(n-3)+3=5
  3. Scădem 3\displaystyle 3 din ambii membri și împărțim la 2\displaystyle 2, obținând un produs de numere întregi egal cu 1\displaystyle 1.
    (m−3)(n−3)=1\displaystyle (m-3)(n-3)=1
  4. Numerele m−3\displaystyle m-3 și n−3\displaystyle n-3 sunt întregi cu produsul 1\displaystyle 1, deci sunt divizori ai lui 1\displaystyle 1: ori m−3=n−3=1\displaystyle m-3=n-3=1, ori m−3=n−3=−1\displaystyle m-3=n-3=-1.
    m−3=n−3=1 sau m−3=n−3=−1\displaystyle m-3=n-3=1\text{ sau }m-3=n-3=-1
  5. Rezolvăm cele două cazuri: m=n=4\displaystyle m=n=4 sau m=n=2\displaystyle m=n=2. Ambele sunt numere naturale, deci convin.
    (2,2) sau (4,4)\displaystyle (2,2)\text{ sau }(4,4)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1201)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} și B=(1−201)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}.

Calculați det⁡A\displaystyle \det A.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea din enunț este A=(1201)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}, deci determinantul ei este un determinant de ordinul doi: det⁡A=∣1201∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}.
    det⁡A=∣1201∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&2\\0&1\end{vmatrix}
  2. Pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} avem det⁡=a⋅d−c⋅b\displaystyle \det=a\cdot d-c\cdot b. Aici a=1\displaystyle a=1, b=2\displaystyle b=2, c=0\displaystyle c=0, d=1\displaystyle d=1, deci det⁡A=1⋅1−0⋅2\displaystyle \det A=1\cdot 1-0\cdot 2.
    det⁡A=1⋅1−0⋅2\displaystyle \det A=1\cdot 1-0\cdot 2
  3. Calculăm produsele: 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1 și 0⋅2=0\displaystyle 0\cdot 2=0. Obținem det⁡A=1−0=1\displaystyle \det A=1-0=1.
    det⁡A=1−0=1\displaystyle \det A=1-0=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1201)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} și B=(1−201)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că A2−2A+I2=O2\displaystyle A^2-2A+I_2=O_2, unde A2=A⋅A\displaystyle A^2=A\cdot A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A2=A⋅A\displaystyle A^2=A\cdot A, înmulțind linie cu coloană. Elementele sunt: 1⋅1+2⋅0=1\displaystyle 1\cdot 1+2\cdot 0=1, 1⋅2+2⋅1=4\displaystyle 1\cdot 2+2\cdot 1=4, 0⋅1+1⋅0=0\displaystyle 0\cdot 1+1\cdot 0=0, 0⋅2+1⋅1=1\displaystyle 0\cdot 2+1\cdot 1=1.
    A2=(1201)⋅(1201)=(1401)\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm 2A\displaystyle 2A, înmulțind fiecare element al matricei A\displaystyle A cu 2\displaystyle 2. Împreună cu A2\displaystyle A^2 de la pasul anterior, avem ambele matrice necesare.
    A2=(1401)\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix}, 2A=(2402)\displaystyle \ 2A=\begin{pmatrix}2&4\\0&2\end{pmatrix}
  3. Înlocuim în expresie și efectuăm adunarea și scăderea element cu element: 1−2+1=0\displaystyle 1-2+1=0, 4−4+0=0\displaystyle 4-4+0=0, 0−0+0=0\displaystyle 0-0+0=0, 1−2+1=0\displaystyle 1-2+1=0. Obținem matricea nulă, deci egalitatea este demonstrată.
    A2−2A+I2=(1401)−(2402)+(1001)=(0000)=O2\displaystyle A^2-2A+I_2=\begin{pmatrix}1&4\\0&1\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&4\\0&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1201)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} și B=(1−201)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale m\displaystyle m pentru care det⁡((m−1)A)=m+1\displaystyle \det((m-1)A)=m+1.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim matricea A\displaystyle A cu scalarul m−1\displaystyle m-1: fiecare element al matricei se înmulțește cu m−1\displaystyle m-1.
    (m−1)A=(m−12(m−1)0m−1)\displaystyle (m-1)A=\begin{pmatrix}m-1&2(m-1)\\0&m-1\end{pmatrix}
  2. Matricea obținută este superior triunghiulară, deci determinantul este (m−1)(m−1)−2(m−1)⋅0\displaystyle (m-1)(m-1)-2(m-1)\cdot 0.
    det⁡((m−1)A)=(m−1)2\displaystyle \det((m-1)A)=(m-1)^2
  3. Punem condiția din enunț: determinantul este egal cu m+1\displaystyle m+1.
    (m−1)2=m+1\displaystyle (m-1)^2=m+1
  4. Desfacem pătratul: m2−2m+1=m+1\displaystyle m^2-2m+1=m+1. Aducem toți termenii în membrul stâng și reducem termenii asemenea:
    m2−3m=0\displaystyle m^2-3m=0
  5. Dăm factor comun m\displaystyle m: m(m−3)=0\displaystyle m(m-3)=0. Un produs este nul dacă un factor este nul, deci obținem:
    m=0 sau m=3\displaystyle m=0\text{ sau }m=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1201)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} și B=(1−201)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că A⋅B=B⋅A=I2\displaystyle A\cdot B=B\cdot A=I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B și folosim regula: elementul de pe linia i\displaystyle i, coloana j\displaystyle j se obține înmulțind linia i\displaystyle i din prima matrice cu coloana j\displaystyle j din a doua.
    A⋅B=(1201)(1−201)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element: 1⋅1+2⋅0=1\displaystyle 1\cdot 1+2\cdot 0=1, 1⋅(−2)+2⋅1=0\displaystyle 1\cdot(-2)+2\cdot 1=0, 0⋅1+1⋅0=0\displaystyle 0\cdot 1+1\cdot 0=0, 0⋅(−2)+1⋅1=1\displaystyle 0\cdot(-2)+1\cdot 1=1.
    A⋅B=(1+0−2+20+00+1)=(1001)=I2\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}1+0&-2+2\\0+0&0+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
  3. Scriem acum produsul B⋅A\displaystyle B\cdot A, cu aceeași regulă de înmulțire.
    B⋅A=(1−201)(1201)\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}
  4. Calculăm elementele: 1⋅1+(−2)⋅0=1\displaystyle 1\cdot 1+(-2)\cdot 0=1, 1⋅2+(−2)⋅1=0\displaystyle 1\cdot 2+(-2)\cdot 1=0, 0⋅1+1⋅0=0\displaystyle 0\cdot 1+1\cdot 0=0, 0⋅2+1⋅1=1\displaystyle 0\cdot 2+1\cdot 1=1.
    B⋅A=(1+02+(−2)0+00+1)=(1001)=I2\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}1+0&2+(-2)\\0+0&0+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
  5. Cele două produse sunt egale cu matricea unitate, deci A⋅B=B⋅A=I2\displaystyle A\cdot B=B\cdot A=I_2.
    A⋅B=B⋅A=I2\displaystyle A\cdot B=B\cdot A=I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1201)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} și B=(1−201)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}.

Demonstrați că, dacă X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) astfel încât A⋅X=X⋅A\displaystyle A\cdot X=X\cdot A, atunci X=(ab0a)\displaystyle X=\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.
Vezi rezolvarea
  1. Fie X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) o matrice oarecare, cu elemente reale a,b,c,d\displaystyle a,b,c,d.
    X=(abcd)\displaystyle X=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}
  2. Calculăm A⋅X\displaystyle A\cdot X: prima linie a lui A\displaystyle A este (1,2)\displaystyle (1,2), iar a doua este (0,1)\displaystyle (0,1). Obținem prima linie (a+2c, b+2d)\displaystyle (a+2c,\ b+2d) și a doua linie (c, d)\displaystyle (c,\ d).
    A⋅X=(1201)(abcd)=(a+2cb+2dcd)\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a+2c&b+2d\\c&d\end{pmatrix}
  3. Calculăm X⋅A\displaystyle X\cdot A: coloanele lui A\displaystyle A sunt (10)\displaystyle \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} și (21)\displaystyle \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}. Obținem prima linie (a, 2a+b)\displaystyle (a,\ 2a+b) și a doua linie (c, 2c+d)\displaystyle (c,\ 2c+d).
    X⋅A=(abcd)(1201)=(a2a+bc2c+d)\displaystyle X\cdot A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a&2a+b\\c&2c+d\end{pmatrix}
  4. Din A⋅X=X⋅A\displaystyle A\cdot X=X\cdot A, egalăm elementele de pe aceleași poziții: a+2c=a\displaystyle a+2c=a, b+2d=2a+b\displaystyle b+2d=2a+b, c=c\displaystyle c=c și d=2c+d\displaystyle d=2c+d.
    {a+2c=ab+2d=2a+bc=cd=2c+d\displaystyle \begin{cases}a+2c=a\\b+2d=2a+b\\c=c\\d=2c+d\end{cases}
  5. Din a+2c=a\displaystyle a+2c=a rezultă 2c=0\displaystyle 2c=0, deci c=0\displaystyle c=0. Din b+2d=2a+b\displaystyle b+2d=2a+b rezultă 2d=2a\displaystyle 2d=2a, deci a=d\displaystyle a=d. Ecuația d=2c+d\displaystyle d=2c+d dă tot c=0\displaystyle c=0, iar c=c\displaystyle c=c este mereu adevărată.
    c=0 și a=d\displaystyle c=0\text{ și }a=d
  6. Înlocuim c=0\displaystyle c=0 și d=a\displaystyle d=a în X\displaystyle X, iar b\displaystyle b rămâne un număr real oarecare. Deci X\displaystyle X are forma cerută, cu a,b∈R\displaystyle a,b\in\mathbb{R}.
    a=d și c=0, deci X=(ab0a)\displaystyle a=d\text{ și }c=0\text{, deci }X=\begin{pmatrix}a&b\\0&a\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1201)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} și B=(1−201)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}. Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, știind că xA+yB=(5−205)\displaystyle xA+yB=\begin{pmatrix}5&-2\\0&5\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim fiecare matrice cu scalarul ei: xA=(x2x0x)\displaystyle xA=\begin{pmatrix}x&2x\\0&x\end{pmatrix} și yB=(y−2y0y)\displaystyle yB=\begin{pmatrix}y&-2y\\0&y\end{pmatrix}.
    (x2x0x)+(y−2y0y)\displaystyle \begin{pmatrix}x&2x\\0&x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}y&-2y\\0&y\end{pmatrix}
  2. Adunăm cele două matrice element cu element: xA+yB=(x+y2x−2y0x+y)\displaystyle xA+yB=\begin{pmatrix}x+y&2x-2y\\0&x+y\end{pmatrix}.
    xA+yB=(x+y2x−2y0x+y)\displaystyle xA+yB=\begin{pmatrix}x+y&2x-2y\\0&x+y\end{pmatrix}
  3. Egalăm elementele corespunzătoare ale matricei obținute cu cele ale matricei (5−205)\displaystyle \begin{pmatrix}5&-2\\0&5\end{pmatrix}. Elementul 0\displaystyle 0 coincide în ambele matrice, deci rămân două ecuații: x+y=5\displaystyle x+y=5 și 2x−2y=−2\displaystyle 2x-2y=-2.
    {x+y=52x−2y=−2\displaystyle \begin{cases}x+y=5\\2x-2y=-2\end{cases}
  4. Împărțim a doua ecuație la 2\displaystyle 2 și obținem x−y=−1\displaystyle x-y=-1. Adunăm această ecuație cu x+y=5\displaystyle x+y=5 și obținem 2x=4\displaystyle 2x=4, deci x=2\displaystyle x=2. Din x+y=5\displaystyle x+y=5 rezultă y=3\displaystyle y=3. Verificare: 2⋅2−2⋅3=−2\displaystyle 2\cdot 2-2\cdot 3=-2.
    x=2 și y=3\displaystyle x=2\text{ și }y=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.