Bac matematică M4 pedagogic 2021, model, test de evaluare 8: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (2,5−0,7):2+∣−110∣=1\displaystyle (2,5-0,7):2+\left|-\frac{1}{10}\right|=1, unde ∣x∣\displaystyle |x| reprezintă modulul numărului real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Efectuăm mai întâi operația din paranteză: 2,5−0,7=1,8\displaystyle 2,5-0,7=1,8.
    2\displaystyle 2,5−0\displaystyle 5-0,7=1\displaystyle 7=1,8\displaystyle 8
  2. Împărțim rezultatul la 2: 1,8:2=0,9\displaystyle 1,8:2=0,9.
    1\displaystyle 1,8:2=0\displaystyle 8:2=0,9\displaystyle 9
  3. Modulul unui număr negativ este opusul lui, deci ∣−110∣=110\displaystyle \left|-\dfrac{1}{10}\right|=\dfrac{1}{10}. Expresia devine 1,8:2+110=0,9+110\displaystyle 1,8:2+\dfrac{1}{10}=0,9+\dfrac{1}{10}.
    (2,5−0,7):2+∣−110∣=1\displaystyle (2,5-0,7):2+\left|-\frac{1}{10}\right|=1,8:2+110=0\displaystyle 8:2+\frac{1}{10}=0,9+110\displaystyle 9+\frac{1}{10}
  4. Scriem 110=0,1\displaystyle \dfrac{1}{10}=0,1 și adunăm: 0,9+0,1=1\displaystyle 0,9+0,1=1. Deci egalitatea cerută este adevărată.
    0\displaystyle 0,9+0\displaystyle 9+0,1=1\displaystyle 1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−4\displaystyle f(x)=2x-4. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(2a−4)=f(a)+4\displaystyle f(2a-4)=f(a)+4.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(2a−4)\displaystyle f(2a-4) înlocuind pe x\displaystyle x cu 2a−4\displaystyle 2a-4 în formula funcției: f(2a−4)=2⋅(2a−4)−4\displaystyle f(2a-4)=2\cdot(2a-4)-4.
    f(2a−4)=2(2a−4)−4\displaystyle f(2a-4)=2(2a-4)-4
  2. Desfacem parantezele și reducem termenii: 4a−8−4=4a−12\displaystyle 4a-8-4=4a-12. Pentru f(a)\displaystyle f(a) înlocuim x\displaystyle x cu a\displaystyle a și obținem 2a−4\displaystyle 2a-4.
    f(2a−4)=4a−12\displaystyle f(2a-4)=4a-12, f(a)=2a−4\displaystyle \ f(a)=2a-4
  3. Înlocuim aceste valori în egalitatea f(2a−4)=f(a)+4\displaystyle f(2a-4)=f(a)+4.
    4a−12=2a−4+4\displaystyle 4a-12=2a-4+4
  4. Reducem termenii din dreapta: 2a−4+4=2a\displaystyle 2a-4+4=2a. Mutăm 2a\displaystyle 2a în stânga și obținem 4a−2a=12\displaystyle 4a-2a=12, adică 2a=12\displaystyle 2a=12.
    2a=12\displaystyle 2a=12
  5. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem a=6\displaystyle a=6. Verificare: f(8)=12\displaystyle f(8)=12, f(6)=8\displaystyle f(6)=8, iar 12=8+4\displaystyle 12=8+4.
    a=6\displaystyle a=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 39−x=93−x\displaystyle 3^{9-x}=9^{3-x}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 9=32\displaystyle 9=3^{2}, deci scriem baza 9\displaystyle 9 ca putere a lui 3\displaystyle 3, ca să avem aceeași bază în ambii membri.
    9=32\displaystyle 9=3^{2}
  2. Înlocuim în ecuație și folosim regula (am)n=amn\displaystyle (a^{m})^{n}=a^{mn}. Obținem 39−x=(32)3−x=32(3−x)\displaystyle 3^{9-x}=\left(3^{2}\right)^{3-x}=3^{2(3-x)}.
    39−x=32(3−x)\displaystyle 3^{9-x}=3^{2(3-x)}
  3. Funcția exponențială de bază 3\displaystyle 3 este injectivă, deci două puteri ale lui 3\displaystyle 3 sunt egale numai dacă exponenții sunt egali. Egalăm exponenții și desfacem paranteza: 9−x=2(3−x)\displaystyle 9-x=2(3-x), adică 9−x=6−2x\displaystyle 9-x=6-2x.
    9−x=6−2x\displaystyle 9-x=6-2x
  4. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: adunăm 2x\displaystyle 2x la ambii membri și scădem 9\displaystyle 9. Rezultă −x+2x=6−9\displaystyle -x+2x=6-9, deci x=−3\displaystyle x=-3.
    x=−3\displaystyle x=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o ieftinire cu 45%\displaystyle 45\%, un produs costă 77\displaystyle 77 de lei. Determinați prețul produsului înainte de ieftinire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul produsului înainte de ieftinire, în lei. Ieftinirea cu 45%\displaystyle 45\% înseamnă că se scade din x\displaystyle x suma egală cu 45100⋅x\displaystyle \dfrac{45}{100}\cdot x.
    x−45100⋅x\displaystyle x-\frac{45}{100}\cdot x
  2. Prețul după ieftinire este 77\displaystyle 77 de lei, deci obținem ecuația procentuală.
    x−45100⋅x=77\displaystyle x-\frac{45}{100}\cdot x=77
  3. Scoatem x\displaystyle x factor comun: după ieftinire rămâne 55100\displaystyle \dfrac{55}{100} din prețul inițial, adică 100−45100\displaystyle \dfrac{100-45}{100}.
    55100⋅x=77\displaystyle \frac{55}{100}\cdot x=77
  4. Aflăm x\displaystyle x împărțind 77\displaystyle 77 la 55100\displaystyle \dfrac{55}{100}, adică înmulțind cu 10055\displaystyle \dfrac{100}{55}. Simplificăm cu 11\displaystyle 11: 77:11=7\displaystyle 77:11=7, iar 55:11=5\displaystyle 55:11=5.
    x=77⋅10055=7⋅1005=7⋅20\displaystyle x=\frac{77\cdot 100}{55}=\frac{7\cdot 100}{5}=7\cdot 20
  5. Prețul produsului înainte de ieftinire este 140\displaystyle 140 de lei. Verificare: 45%\displaystyle 45\% din 140\displaystyle 140 este 63\displaystyle 63, iar 140−63=77\displaystyle 140-63=77.
    x=140 de lei\displaystyle x=140\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,−1)\displaystyle A(1,-1), B(−5,7)\displaystyle B(-5,7) și C(7,7)\displaystyle C(7,7). Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele B(−5,7)\displaystyle B(-5,7) și C(7,7)\displaystyle C(7,7) au aceeași ordonată, deci BC∥Ox\displaystyle BC \parallel Ox. Lungimea laturii este diferența absolută a abscizelor: BC=∣7−(−5)∣\displaystyle BC=|7-(-5)|.
    BC=∣7−(−5)∣=12\displaystyle BC=|7-(-5)|=12
  2. Deoarece BC∥Ox\displaystyle BC\parallel Ox, dreapta BC\displaystyle BC are ecuația y=7\displaystyle y=7. Distanța de la A(1,−1)\displaystyle A(1,-1) la ea este diferența absolută a ordonatelor: d(A,BC)=∣7−(−1)∣\displaystyle d(A,BC)=|7-(-1)|.
    d(A,BC)=∣7−(−1)∣=8\displaystyle d(A,BC)=|7-(-1)|=8
  3. Aria triunghiului este baza înmulțită cu înălțimea, împărțită la doi: AΔABC=BC⋅d(A,BC)2=12⋅82\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{BC\cdot d(A,BC)}{2}=\dfrac{12\cdot 8}{2}.
    AΔABC=8⋅122=48\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{8\cdot 12}{2}=48
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC cu AB=AC=6\displaystyle AB=AC=6 și BC=4\displaystyle BC=4. Calculați cos⁡A\displaystyle \cos A.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem teorema cosinusului în triunghiul ABC\displaystyle ABC pentru latura BC\displaystyle BC, opusă unghiului A\displaystyle A: BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡A\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A.
    BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡A\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A
  2. Exprimăm cos⁡A\displaystyle \cos A din relația anterioară și înlocuim lungimile laturilor: AB=AC=6\displaystyle AB=AC=6 și BC=4\displaystyle BC=4.
    cos⁡A=AB2+AC2−BC22⋅AB⋅AC=62+62−422⋅6⋅6\displaystyle \cos A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{6^{2}+6^{2}-4^{2}}{2\cdot 6\cdot 6}
  3. Calculăm pătratele de la numărător și produsul de la numitor: 36+36−16=56\displaystyle 36+36-16=56, iar 2⋅6⋅6=72\displaystyle 2\cdot 6\cdot 6=72. Simplificăm fracția prin 8\displaystyle 8.
    cos⁡A=36+36−162⋅6⋅6=5672=79\displaystyle \cos A=\frac{36+36-16}{2\cdot 6\cdot 6}=\frac{56}{72}=\frac{7}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=4(x+y)−2xy\displaystyle x\circ y=4(x+y)-2xy.

Arătați că (−2)∘3=16\displaystyle (-2)\circ 3=16.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∘y=4(x+y)−2xy\displaystyle x\circ y=4(x+y)-2xy. Înlocuim x=−2\displaystyle x=-2 și y=3\displaystyle y=3.
    (−2)∘3=4(−2+3)−2⋅(−2)⋅3\displaystyle (-2)\circ 3=4(-2+3)-2\cdot(-2)\cdot 3
  2. Calculăm separat termenii: −2+3=1\displaystyle -2+3=1, deci 4(−2+3)=4\displaystyle 4(-2+3)=4. Apoi (−2)⋅3=−6\displaystyle (-2)\cdot 3=-6, deci −2⋅(−6)=12\displaystyle -2\cdot(-6)=12.
    4 și 12\displaystyle 4\text{ și }12
  3. Adunăm termenii: 4+12=16\displaystyle 4+12=16. Deci (−2)∘3=16\displaystyle (-2)\circ 3=16, ceea ce trebuia arătat.
    4+12=16\displaystyle 4+12=16
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=4(x+y)−2xy\displaystyle x\circ y=4(x+y)-2xy.

Arătați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este comutativă dacă x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}. Fixăm x\displaystyle x și y\displaystyle y numere reale oarecare și calculăm y∘x\displaystyle y\circ x.
    x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x, ∀x\displaystyle \ \forall x,y∈R\displaystyle y\in\mathbb{R}
  2. În formula x∘y=4(x+y)−2xy\displaystyle x\circ y=4(x+y)-2xy punem y\displaystyle y în locul lui x\displaystyle x și x\displaystyle x în locul lui y\displaystyle y.
    y∘x=4(y+x)−2yx\displaystyle y\circ x=4(y+x)-2yx
  3. Adunarea și înmulțirea numerelor reale sunt comutative: y+x=x+y\displaystyle y+x=x+y și yx=xy\displaystyle yx=xy. Rezultă că expresia este aceeași ca la x∘y\displaystyle x\circ y.
    y∘x=4(y+x)−2yx=4(x+y)−2xy\displaystyle y\circ x=4(y+x)-2yx=4(x+y)-2xy
  4. Expresia 4(x+y)−2xy\displaystyle 4(x+y)-2xy este exact x∘y\displaystyle x\circ y, deci y∘x=x∘y\displaystyle y\circ x=x\circ y pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}. Prin urmare, legea „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
    y∘x=x∘y, pentru orice numere \displaystyle y\circ x=x\circ y\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=4(x+y)−2xy\displaystyle x\circ y=4(x+y)-2xy.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care (1−x)∘x=8\displaystyle (1-x)\circ x=8.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția x∘y=4(x+y)−2xy\displaystyle x\circ y=4(x+y)-2xy pentru elementele 1−x\displaystyle 1-x și x\displaystyle x. Suma lor este (1−x)+x=1\displaystyle (1-x)+x=1, iar produsul este (1−x)x=x−x2\displaystyle (1-x)x=x-x^{2}.
    (1−x)∘x=4⋅1−2(x−x2)\displaystyle (1-x)\circ x=4\cdot 1-2(x-x^{2})
  2. Desfacem parantezele: 4−2(x−x2)=4−2x+2x2\displaystyle 4-2(x-x^{2})=4-2x+2x^{2}.
    (1−x)∘x=2x2−2x+4\displaystyle (1-x)\circ x=2x^{2}-2x+4
  3. Din condiția (1−x)∘x=8\displaystyle (1-x)\circ x=8 obținem 2x2−2x+4=8\displaystyle 2x^{2}-2x+4=8, deci 2x2−2x−4=0\displaystyle 2x^{2}-2x-4=0.
    2x2−2x−4=0\displaystyle 2x^{2}-2x-4=0
  4. Împărțim ecuația la 2\displaystyle 2 și obținem ecuația de gradul al doilea simplificată.
    x2−x−2=0\displaystyle x^{2}-x-2=0
  5. Calculăm discriminantul Δ=(−1)2−4⋅1⋅(−2)=9\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot(-2)=9. Rădăcinile sunt x=1±32\displaystyle x=\dfrac{1\pm 3}{2}, adică x=1−32=−1\displaystyle x=\dfrac{1-3}{2}=-1 și x=1+32=2\displaystyle x=\dfrac{1+3}{2}=2.
    x=−1 sau x=2\displaystyle x=-1\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=4(x+y)−2xy\displaystyle x\circ y=4(x+y)-2xy.

Determinați cel mai mic număr natural n\displaystyle n pentru care 1∘n≥2021\displaystyle 1\circ n\ge 2021.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=n\displaystyle y=n în x∘y=4(x+y)−2xy\displaystyle x\circ y=4(x+y)-2xy și obținem 1∘n=4(1+n)−2⋅1⋅n\displaystyle 1\circ n=4(1+n)-2\cdot 1\cdot n.
    1∘n=4(1+n)−2n\displaystyle 1\circ n=4(1+n)-2n
  2. Desfacem parantezele: 4+4n−2n\displaystyle 4+4n-2n. Reducem termenii asemenea și obținem 2n+4\displaystyle 2n+4.
    1∘n=2n+4\displaystyle 1\circ n=2n+4
  3. Condiția 1∘n≥2021\displaystyle 1\circ n\ge 2021 devine 2n+4≥2021\displaystyle 2n+4\ge 2021.
    2n+4≥2021\displaystyle 2n+4\ge 2021
  4. Scădem 4 din ambii membri: 2n≥2017\displaystyle 2n\ge 2017. Împărțim la 2: n≥20172=1008,5\displaystyle n\ge\dfrac{2017}{2}=1008{,}5.
    n≥20172=1008,5\displaystyle n\ge\dfrac{2017}{2}=1008{,}5
  5. Cum n∈N\displaystyle n\in\mathbb{N} și n≥1008,5\displaystyle n\ge 1008{,}5, cel mai mic număr natural care convine este n=1009\displaystyle n=1009. Verificare: pentru n=1009\displaystyle n=1009 avem 2⋅1009+4=2022≥2021\displaystyle 2\cdot 1009+4=2022\ge 2021, iar pentru n=1008\displaystyle n=1008 avem 2⋅1008+4=2020<2021\displaystyle 2\cdot 1008+4=2020<2021.
    n=1009\displaystyle n=1009
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=4(x+y)−2xy\displaystyle x\circ y=4(x+y)-2xy.

Determinați numărul întreg a\displaystyle a pentru care numărul A=a∘2\displaystyle A=a\circ\sqrt{2} este întreg.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem numărul A\displaystyle A folosind definiția legii de compoziție, cu x=a\displaystyle x=a și y=2\displaystyle y=\sqrt{2}: A=4(a+2)−2a2\displaystyle A=4\left(a+\sqrt{2}\right)-2a\sqrt{2}.
    A=4(a+2)−2a2\displaystyle A=4\left(a+\sqrt{2}\right)-2a\sqrt{2}
  2. Desfacem parantezele: A=4a+42−2a2\displaystyle A=4a+4\sqrt{2}-2a\sqrt{2}. Grupăm termenii care conțin 2\displaystyle \sqrt{2} și obținem partea rațională 4a\displaystyle 4a și partea irațională (4−2a)2\displaystyle (4-2a)\sqrt{2}.
    A=4a+42−2a2=4a+(4−2a)2\displaystyle A=4a+4\sqrt{2}-2a\sqrt{2}=4a+(4-2a)\sqrt{2}
  3. Numărul a\displaystyle a este întreg, deci 4a\displaystyle 4a este întreg. Atunci A\displaystyle A este întreg doar dacă termenul irațional dispare, adică dacă 4−2a=0\displaystyle 4-2a=0. Altfel, pentru 4−2a≠0\displaystyle 4-2a\neq 0, numărul A\displaystyle A ar fi irațional, fiindcă 2\displaystyle \sqrt{2} este irațional și 4−2a\displaystyle 4-2a este întreg nenul.
    4−2a=0\displaystyle 4-2a=0
  4. Rezolvăm ecuația 4−2a=0\displaystyle 4-2a=0 și obținem a=2\displaystyle a=2. Verificare: pentru a=2\displaystyle a=2 avem A=4⋅2+0⋅2=8\displaystyle A=4\cdot 2+0\cdot\sqrt{2}=8, care este întreg.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=4(x+y)−2xy\displaystyle x\circ y=4(x+y)-2xy.

Se consideră numerele reale x\displaystyle x, y\displaystyle y și z\displaystyle z, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. Arătați că, pentru orice număr real m\displaystyle m, numerele x∘m\displaystyle x\circ m, y∘m\displaystyle y\circ m și z∘m\displaystyle z\circ m sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.
Vezi rezolvarea
  1. Cum x,y,z\displaystyle x, y, z sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, y\displaystyle y este media aritmetică a lui x\displaystyle x și z\displaystyle z, deci y=x+z2\displaystyle y=\dfrac{x+z}{2}, adică x+z=2y\displaystyle x+z=2y.
    x+z=2y\displaystyle x+z=2y
  2. Pentru a arăta că x∘m\displaystyle x\circ m, y∘m\displaystyle y\circ m, z∘m\displaystyle z\circ m sunt în progresie aritmetică, verificăm că y∘m\displaystyle y\circ m este media aritmetică a celorlalți doi termeni: (x∘m)+(z∘m)2=y∘m\displaystyle \dfrac{(x\circ m)+(z\circ m)}{2}=y\circ m.
    (x∘m)+(z∘m)2y∘m\displaystyle \dfrac{(x\circ m)+(z\circ m)}{2}\stackrel{?}{=}y\circ m
  3. Scriem x∘m=4(x+m)−2xm\displaystyle x\circ m=4(x+m)-2xm și z∘m=4(z+m)−2zm\displaystyle z\circ m=4(z+m)-2zm și le adunăm, grupând termenii.
    (x∘m)+(z∘m)=4(x+2m+z)−2m(x+z)\displaystyle (x\circ m)+(z\circ m)=4(x+2m+z)-2m(x+z)
  4. Înlocuim x+z=2y\displaystyle x+z=2y și împărțim la 2\displaystyle 2: 4(2y+2m)−2m⋅2y2=4(y+m)−2my=y∘m\displaystyle \dfrac{4(2y+2m)-2m\cdot 2y}{2}=4(y+m)-2my=y\circ m. Deci x∘m\displaystyle x\circ m, y∘m\displaystyle y\circ m, z∘m\displaystyle z\circ m sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, pentru orice m\displaystyle m real.
    (x∘m)+(z∘m)2=4(2y+2m)−2m⋅2y2=4(y+m)−2my=y∘m\displaystyle \dfrac{(x\circ m)+(z\circ m)}{2}=\dfrac{4(2y+2m)-2m\cdot 2y}{2}=4(y+m)-2my=y\circ m
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1238)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&8\end{pmatrix}, B=(−123−8)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-1&2\\3&-8\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=2\displaystyle \det A=2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A, folosind elementele ei: pe prima linie 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2, pe a doua linie 3\displaystyle 3 și 8\displaystyle 8.
    det⁡A=∣1238∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&2\\3&8\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c.
    det⁡A=1⋅8−2⋅3\displaystyle \det A=1\cdot 8-2\cdot 3
  3. Calculăm produsele: 1⋅8=8\displaystyle 1\cdot 8=8, iar 2⋅3=6\displaystyle 2\cdot 3=6. Apoi scădem și obținem 2\displaystyle 2, deci det⁡A=2\displaystyle \det A=2, așa cum trebuia arătat.
    8−6=2\displaystyle 8-6=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1238)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&8\end{pmatrix}, B=(−123−8)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-1&2\\3&-8\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că (A+B)⋅(A+B)=24I2\displaystyle (A+B)\cdot(A+B)=24I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm suma A+B\displaystyle A+B adunând elementele de pe aceleași poziții: 1+(−1)=0\displaystyle 1+(-1)=0, 2+2=4\displaystyle 2+2=4, 3+3=6\displaystyle 3+3=6, 8+(−8)=0\displaystyle 8+(-8)=0.
    A+B=(0460)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}0&4\\6&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul (A+B)⋅(A+B)\displaystyle (A+B)\cdot(A+B), înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua: 0⋅0+4⋅6=24\displaystyle 0\cdot 0+4\cdot 6=24, 0⋅4+4⋅0=0\displaystyle 0\cdot 4+4\cdot 0=0, 6⋅0+0⋅6=0\displaystyle 6\cdot 0+0\cdot 6=0, 6⋅4+0⋅0=24\displaystyle 6\cdot 4+0\cdot 0=24.
    (A+B)⋅(A+B)=(0460)⋅(0460)=(240024)\displaystyle (A+B)\cdot(A+B)=\begin{pmatrix}0&4\\6&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}0&4\\6&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}24&0\\0&24\end{pmatrix}
  3. Scoatem factorul 24\displaystyle 24 în fața matricei și recunoaștem matricea unitate I2\displaystyle I_2, deci egalitatea cerută este demonstrată.
    (240024)=24(1001)=24I2\displaystyle \begin{pmatrix}24&0\\0&24\end{pmatrix}=24\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=24I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1238)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&8\end{pmatrix}, B=(−123−8)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-1&2\\3&-8\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care 2(X−A)=3(X−B)\displaystyle 2(X-A)=3(X-B).
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem parantezele în egalitatea dată: 2(X−A)=3(X−B)\displaystyle 2(X-A)=3(X-B) devine 2X−2A=3X−3B\displaystyle 2X-2A=3X-3B.
    2X−2A=3X−3B\displaystyle 2X-2A=3X-3B
  2. Mutăm termenii cu X\displaystyle X într-o parte și pe ceilalți în cealaltă parte: 3B−2A=3X−2X\displaystyle 3B-2A=3X-2X. Deci X=3B−2A\displaystyle X=3B-2A.
    X=3B−2A\displaystyle X=3B-2A
  3. Calculăm 3B\displaystyle 3B înmulțind fiecare element al matricei B\displaystyle B cu 3\displaystyle 3.
    3B=(−369−24)\displaystyle 3B=\begin{pmatrix}-3&6\\9&-24\end{pmatrix}
  4. Calculăm 2A\displaystyle 2A înmulțind fiecare element al matricei A\displaystyle A cu 2\displaystyle 2.
    2A=(24616)\displaystyle 2A=\begin{pmatrix}2&4\\6&16\end{pmatrix}
  5. Scădem matricele element cu element: −3−2=−5\displaystyle -3-2=-5, 6−4=2\displaystyle 6-4=2, 9−6=3\displaystyle 9-6=3, −24−16=−40\displaystyle -24-16=-40. Deci matricea căutată este cea de mai jos.
    X=(−369−24)−(24616)=(−523−40)\displaystyle X=\begin{pmatrix}-3&6\\9&-24\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&4\\6&16\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5&2\\3&-40\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1238)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&8\end{pmatrix}, B=(−123−8)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-1&2\\3&-8\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(A+xI2)=2\displaystyle \det(A+xI_2)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea A+xI2\displaystyle A+xI_2: adunăm x\displaystyle x pe diagonala principală a lui A\displaystyle A, deoarece xI2=(x00x)\displaystyle xI_2=\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}.
    A+xI2=(1+x238+x)\displaystyle A+xI_2=\begin{pmatrix}1+x&2\\3&8+x\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică (1+x)(8+x)−2⋅3\displaystyle (1+x)(8+x)-2\cdot 3.
    det⁡(A+xI2)=(1+x)(8+x)−6\displaystyle \det(A+xI_2)=(1+x)(8+x)-6
  3. Desfacem parantezele: (1+x)(8+x)=8+x+8x+x2=x2+9x+8\displaystyle (1+x)(8+x)=8+x+8x+x^2=x^2+9x+8. Scădem 6\displaystyle 6 și obținem expresia determinantului.
    det⁡(A+xI2)=x2+9x+2\displaystyle \det(A+xI_2)=x^2+9x+2
  4. Punem condiția din enunț: x2+9x+2=2\displaystyle x^2+9x+2=2. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri și obținem o ecuație de gradul al doilea fără termen liber.
    x2+9x=0\displaystyle x^2+9x=0
  5. Dăm factor comun pe x\displaystyle x: x(x+9)=0\displaystyle x(x+9)=0. Un produs este nul când unul dintre factori este nul, deci x=0\displaystyle x=0 sau x+9=0\displaystyle x+9=0.
    x=−9 sau x=0\displaystyle x=-9\text{ sau }x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1238)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&8\end{pmatrix}, B=(−123−8)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-1&2\\3&-8\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că, pentru orice număr natural nenul n\displaystyle n, numărul N=det⁡((1+n)A+(1−n)B)\displaystyle N=\det\left((1+n)A+(1-n)B\right) este natural, multiplu de 8\displaystyle 8.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim fiecare element al matricei A\displaystyle A cu 1+n\displaystyle 1+n.
    (1+n)A=(1+n2+2n3+3n8+8n)\displaystyle (1+n)A=\begin{pmatrix}1+n&2+2n\\3+3n&8+8n\end{pmatrix}
  2. Înmulțim fiecare element al matricei B\displaystyle B cu 1−n\displaystyle 1-n.
    (1−n)B=(−1+n2−2n3−3n−8+8n)\displaystyle (1-n)B=\begin{pmatrix}-1+n&2-2n\\3-3n&-8+8n\end{pmatrix}
  3. Adunăm cele două matrice element cu element: 1+n+(−1+n)=2n\displaystyle 1+n+(-1+n)=2n, 2+2n+2−2n=4\displaystyle 2+2n+2-2n=4, 3+3n+3−3n=6\displaystyle 3+3n+3-3n=6, 8+8n−8+8n=16n\displaystyle 8+8n-8+8n=16n. Determinantul este cel al matricei obținute.
    N=∣2n4616n∣\displaystyle N=\begin{vmatrix}2n&4\\6&16n\end{vmatrix}
  4. Determinantul este 2n⋅16n−4⋅6=32n2−24\displaystyle 2n\cdot 16n-4\cdot 6=32n^{2}-24. Scoatem factor comun 8\displaystyle 8.
    N=32n2−24=8(4n2−3)\displaystyle N=32n^{2}-24=8(4n^{2}-3)
  5. Pentru n∈N∗\displaystyle n\in\mathbb{N}^{*} avem n2≥1\displaystyle n^{2}\geq 1, deci 4n2−3≥1\displaystyle 4n^{2}-3\geq 1 este număr natural. Atunci N\displaystyle N este produsul dintre 8\displaystyle 8 și un număr natural, deci este natural și multiplu de 8\displaystyle 8.
    4n2−3∈N⇒N este natural, multiplu de 8\displaystyle 4n^{2}-3\in\mathbb{N}\Rightarrow N\text{ este natural, multiplu de }8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(1238)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\3&8\end{pmatrix}, B=(−123−8)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-1&2\\3&-8\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A⋅(A−xI2)=B⋅(B+xI2)\displaystyle A\cdot(A-xI_2)=B\cdot(B+xI_2).
Vezi rezolvarea
  1. Desfacem parantezele folosind distributivitatea și faptul că A⋅I2=A\displaystyle A\cdot I_2=A, iar B⋅I2=B\displaystyle B\cdot I_2=B. Obținem A⋅A−xA=B⋅B+xB\displaystyle A\cdot A-xA=B\cdot B+xB.
    A⋅A−xA=B⋅B+xB\displaystyle A\cdot A-xA=B\cdot B+xB
  2. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în dreapta și dăm factor comun x\displaystyle x. Obținem forma echivalentă A⋅A−B⋅B=x(A+B)\displaystyle A\cdot A-B\cdot B=x(A+B).
    A⋅A−B⋅B=x(A+B)\displaystyle A\cdot A-B\cdot B=x(A+B)
  3. Calculăm A⋅A\displaystyle A\cdot A prin înmulțirea liniilor cu coloanele: 1⋅1+2⋅3=7\displaystyle 1\cdot1+2\cdot3=7, 1⋅2+2⋅8=18\displaystyle 1\cdot2+2\cdot8=18, 3⋅1+8⋅3=27\displaystyle 3\cdot1+8\cdot3=27, 3⋅2+8⋅8=70\displaystyle 3\cdot2+8\cdot8=70.
    A⋅A=(7182770)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}7&18\\27&70\end{pmatrix}
  4. Calculăm B⋅B\displaystyle B\cdot B la fel: (−1)(−1)+2⋅3=7\displaystyle (-1)(-1)+2\cdot3=7, (−1)⋅2+2⋅(−8)=−18\displaystyle (-1)\cdot2+2\cdot(-8)=-18, 3⋅(−1)+(−8)⋅3=−27\displaystyle 3\cdot(-1)+(-8)\cdot3=-27, 3⋅2+(−8)(−8)=70\displaystyle 3\cdot2+(-8)(-8)=70.
    B⋅B=(7−18−2770)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}7&-18\\-27&70\end{pmatrix}
  5. Scădem matricele element cu element: A⋅A−B⋅B\displaystyle A\cdot A-B\cdot B.
    A⋅A−B⋅B=(036540)\displaystyle A\cdot A-B\cdot B=\begin{pmatrix}0&36\\54&0\end{pmatrix}
  6. Calculăm suma A+B\displaystyle A+B element cu element.
    A+B=(0460)\displaystyle A+B=\begin{pmatrix}0&4\\6&0\end{pmatrix}
  7. Înlocuim în egalitate și comparăm elementele: 36=4x\displaystyle 36=4x și 54=6x\displaystyle 54=6x, deci x=9\displaystyle x=9 în ambele cazuri, iar pe diagonală avem 0=0\displaystyle 0=0.
    (036540)=x(0460), de unde x=9\displaystyle \begin{pmatrix}0&36\\54&0\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}0&4\\6&0\end{pmatrix}\text{, de unde }x=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.