Bac matematică M4 pedagogic 2020, model, test de evaluare 2: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (32+23)⋅627+8=1\displaystyle \left(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}\right)\cdot\frac{6}{\sqrt{27}+\sqrt{8}}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem fracțiile din paranteză la numitorul comun 6\displaystyle 6: prima fracție se amplifică cu 3\displaystyle 3, a doua cu 2\displaystyle 2.
    32+23=336+226\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{6}+\frac{2\sqrt{2}}{6}
  2. Scoatem factorii de sub radicali la numitorul celei de-a doua fracții: 27=9⋅3=33\displaystyle \sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=3\sqrt{3}, iar 8=4⋅2=22\displaystyle \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}.
    27+8=33+22\displaystyle \sqrt{27}+\sqrt{8}=3\sqrt{3}+2\sqrt{2}
  3. Scriem expresia inițială cu cele două transformări făcute.
    (336+226)⋅633+22\displaystyle \left(\frac{3\sqrt{3}}{6}+\frac{2\sqrt{2}}{6}\right)\cdot\frac{6}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}
  4. Adunăm fracțiile din paranteză, care au același numitor, apoi simplificăm factorul 6\displaystyle 6 și factorul 33+22\displaystyle 3\sqrt{3}+2\sqrt{2}, care apar o dată la numărător și o dată la numitor. Rezultă 1\displaystyle 1, deci egalitatea este demonstrată.
    33+226⋅633+22=1\displaystyle \frac{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}\cdot\frac{6}{3\sqrt{3}+2\sqrt{2}}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcțiile f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+1\displaystyle f(x)=2x+1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x+2\displaystyle g(x)=x+2. Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care f(n)≤g(n)\displaystyle f(n)\leq g(n).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem inegalitatea f(n)≤g(n)\displaystyle f(n)\leq g(n), înlocuind f(n)=2n+1\displaystyle f(n)=2n+1 și g(n)=n+2\displaystyle g(n)=n+2.
    2n+1≤n+2\displaystyle 2n+1\leq n+2
  2. Trecem termenii cu n\displaystyle n în partea stângă și numerele în partea dreaptă: scădem n\displaystyle n din ambii membri, apoi scădem 1\displaystyle 1. Obținem n≤1\displaystyle n\leq 1.
    2n+1≤n+2⇔n≤1\displaystyle 2n+1\leq n+2\Leftrightarrow n\leq 1
  3. Cum n\displaystyle n este număr natural și n≤1\displaystyle n\leq 1, singurele valori posibile sunt 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    n=0 sau n=1\displaystyle n=0\text{ sau }n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația lg⁡(x2+5)=lg⁡(4x+1)\displaystyle \lg\left(x^2+5\right)=\lg(4x+1).
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive. Expresia x2+5\displaystyle x^{2}+5 este mereu pozitivă, deci rămâne condiția 4x+1>0\displaystyle 4x+1>0, adică x>−14\displaystyle x>-\dfrac{1}{4}.
    x∈(−14,+∞)\displaystyle x\in\left(-\dfrac{1}{4},+\infty\right)
  2. Funcția logaritm zecimal este injectivă, deci egalăm argumentele celor doi logaritmi: x2+5=4x+1\displaystyle x^{2}+5=4x+1.
    x2+5=4x+1\displaystyle x^{2}+5=4x+1
  3. Mutăm toți termenii în membrul stâng și obținem o ecuație de gradul al doilea: x2−4x+4=0\displaystyle x^{2}-4x+4=0.
    x2−4x+4=0\displaystyle x^{2}-4x+4=0
  4. Recunoaștem pătratul unei diferențe: x2−4x+4=(x−2)2\displaystyle x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}. Din (x−2)2=0\displaystyle (x-2)^{2}=0 rezultă x=2\displaystyle x=2.
    (x−2)2=0⇒x=2\displaystyle (x-2)^{2}=0\Rightarrow x=2
  5. Verificăm condiția de existență: pentru x=2\displaystyle x=2 avem 4x+1=9>0\displaystyle 4x+1=9>0, iar x2+5=9\displaystyle x^{2}+5=9. Ambele argumente sunt egale cu 9 și pozitive, deci x=2\displaystyle x=2 convine.
    x=2, care convine\displaystyle x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Un biciclist parcurge un traseu în trei etape. În prima etapă biciclistul parcurge 50%\displaystyle 50\% din traseu, în a doua etapă 25%\displaystyle 25\% din traseu, iar în a treia etapă restul de 10 km\displaystyle 10\text{ km}. Determinați lungimea traseului.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x lungimea totală a traseului, în kilometri. Primele două etape acoperă 50%+25%\displaystyle 50\%+25\% din traseu, adică 75%\displaystyle 75\%.
    50%+25%=75%\displaystyle 50\%+25\%=75\%
  2. Procentul rămas pentru a treia etapă este 100%−50%−25%\displaystyle 100\%-50\%-25\%, adică 25%\displaystyle 25\% din traseu.
    100%−50%−25%=25%\displaystyle 100\%-50\%-25\%=25\%
  3. A treia etapă are 10 km\displaystyle 10\text{ km}, deci 25%\displaystyle 25\% din traseu este egal cu 10 km\displaystyle 10\text{ km}. Scriem ecuația, cu 25%=25100\displaystyle 25\%=\dfrac{25}{100}.
    25100⋅x=10\displaystyle \frac{25}{100}\cdot x=10
  4. Simplificăm fracția: 25100=14\displaystyle \dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4}, deci x4=10\displaystyle \dfrac{x}{4}=10. Înmulțim cu 4\displaystyle 4 și obținem lungimea traseului.
    x=10⋅4=40 km\displaystyle x=10\cdot 4=40\text{ km}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(6,0)\displaystyle A(6,0), B(4,4)\displaystyle B(4,4) și C(3,0)\displaystyle C(3,0). Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că punctele A(6,0)\displaystyle A(6,0) și C(3,0)\displaystyle C(3,0) se află pe axa Ox\displaystyle Ox, deoarece ordonatele lor sunt 0\displaystyle 0. Alegem segmentul AC\displaystyle AC ca bază a triunghiului.
    A(6,0)\displaystyle A(6,0), C(3,0)∈Ox\displaystyle \ C(3,0)\in Ox
  2. Calculăm lungimea bazei AC\displaystyle AC ca modul al diferenței absciselor: AC=∣6−3∣\displaystyle AC=|6-3|.
    AC=∣6−3∣=3\displaystyle AC=|6-3|=3
  3. Înălțimea din B\displaystyle B pe dreapta AC\displaystyle AC (axa Ox\displaystyle Ox) este distanța de la B\displaystyle B la axa Ox\displaystyle Ox, adică ordonata lui B\displaystyle B.
    h=yB=4\displaystyle h=y_B=4
  4. Aplicăm formula ariei triunghiului: A=AC⋅h2\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{AC\cdot h}{2}. Înlocuim și obținem aria triunghiului ABC\displaystyle ABC.
    AΔABC=4⋅32=6\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{4\cdot 3}{2}=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 3⋅cos⁡30∘+sin⁡30∘−2sin⁡245∘=1\displaystyle \sqrt{3}\cdot\cos 30^\circ+\sin 30^\circ-2\sin^2 45^\circ=1.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de 30∘\displaystyle 30^\circ și 45∘\displaystyle 45^\circ: cos⁡30∘=32\displaystyle \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, iar sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    cos⁡30∘=32\displaystyle \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡30∘=12\displaystyle \ \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, sin⁡45∘=22\displaystyle \ \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  2. Înlocuim aceste valori în expresia 3⋅cos⁡30∘+sin⁡30∘−2sin⁡245∘\displaystyle \sqrt{3}\cdot\cos 30^\circ+\sin 30^\circ-2\sin^2 45^\circ.
    3⋅32+12−2⋅(22)2\displaystyle \sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}-2\cdot\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2
  3. Calculăm fiecare termen: 3⋅3=3\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3, deci primul termen este 32\displaystyle \dfrac{3}{2}. Pătratul lui 22\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2} este 24\displaystyle \dfrac{2}{4}, deci ultimul termen este 2⋅24=1\displaystyle 2\cdot\dfrac{2}{4}=1.
    32+12−2⋅24\displaystyle \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}-2\cdot\dfrac{2}{4}
  4. Adunăm fracțiile: 32+12=42=2\displaystyle \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{4}{2}=2. Apoi scădem 1\displaystyle 1 și obținem 2−1=1\displaystyle 2-1=1, deci egalitatea este demonstrată.
    32+12−2⋅24=2−1=1\displaystyle \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}-2\cdot\dfrac{2}{4}=2-1=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2x−2y+2+2\displaystyle x*y=xy-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+\sqrt{2}+2.

Arătați că 2∗(−2)=2\displaystyle \sqrt{2}*\left(-\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în definiția x∗y=xy−2x−2y+2+2\displaystyle x*y=xy-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+\sqrt{2}+2 valorile x=2\displaystyle x=\sqrt{2} și y=−2\displaystyle y=-\sqrt{2}.
    2∗(−2)=2⋅(−2)−2⋅2−2⋅(−2)+2+2\displaystyle \sqrt{2}*\left(-\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}\cdot\left(-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}-\sqrt{2}\cdot\left(-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}+2
  2. Calculăm fiecare produs, știind că 2⋅2=2\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2: primul produs este −2\displaystyle -2, al doilea este −2\displaystyle -2, iar al treilea, −2⋅(−2)\displaystyle -\sqrt{2}\cdot\left(-\sqrt{2}\right), devine +2\displaystyle +2.
    2⋅(−2)=−2\displaystyle \sqrt{2}\cdot\left(-\sqrt{2}\right)=-2,−2⋅2=−2\displaystyle \quad -\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=-2,−2⋅(−2)=2\displaystyle \quad -\sqrt{2}\cdot\left(-\sqrt{2}\right)=2
  3. Reunim termenii: −2−2+2+2+2\displaystyle -2-2+2+\sqrt{2}+2. Numerele întregi dau −2−2+2+2=0\displaystyle -2-2+2+2=0, deci rămâne 2\displaystyle \sqrt{2}.
    −2−2+2+2+2=2\displaystyle -2-2+2+\sqrt{2}+2=\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2x−2y+2+2\displaystyle x*y=xy-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+\sqrt{2}+2.

Demonstrați că x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=\left(x-\sqrt{2}\right)\left(y-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii: x∗y=xy−2x−2y+2+2\displaystyle x*y=xy-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+2+\sqrt{2}.
    x∗y=xy−2x−2y+2+2\displaystyle x*y=xy-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+2+\sqrt{2}
  2. Observăm că 2=2⋅2\displaystyle 2=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}, deci scriem x∗y=xy−2x−2y+2⋅2+2\displaystyle x*y=xy-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}+\sqrt{2}.
    x∗y=xy−2x−2y+2⋅2+2\displaystyle x*y=xy-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}+\sqrt{2}
  3. Grupăm câte doi termeni: x∗y=(xy−2x)+(−2y+2⋅2)+2\displaystyle x*y=\left(xy-\sqrt{2}x\right)+\left(-\sqrt{2}y+\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}. În prima paranteză dăm factor comun pe x\displaystyle x, iar în a doua pe −2\displaystyle -\sqrt{2}.
    x∗y=x(y−2)−2(y−2)+2\displaystyle x*y=x\left(y-\sqrt{2}\right)-\sqrt{2}\left(y-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}
  4. Dăm factor comun paranteza y−2\displaystyle y-\sqrt{2} și obținem forma cerută, valabilă pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=\left(x-\sqrt{2}\right)\left(y-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2x−2y+2+2\displaystyle x*y=xy-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+\sqrt{2}+2.

Verificați dacă e=1+2\displaystyle e=1+\sqrt{2} este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea de compoziție se poate scrie sub formă factorizată: x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=\left(x-\sqrt{2}\right)\left(y-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}. Într-adevăr, produsul dă xy−2x−2y+2\displaystyle xy-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+2, iar adăugând 2\displaystyle \sqrt{2} se obține legea dată.
    x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=\left(x-\sqrt{2}\right)\left(y-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}
  2. Calculăm x∗e\displaystyle x*e pentru e=1+2\displaystyle e=1+\sqrt{2}, folosind forma factorizată. Al doilea factor devine 1+2−2=1\displaystyle 1+\sqrt{2}-\sqrt{2}=1, deci se obține x−2+2=x\displaystyle x-\sqrt{2}+\sqrt{2}=x.
    x∗(1+2)=(x−2)(1+2−2)+2=x−2+2=x\displaystyle x*\left(1+\sqrt{2}\right)=\left(x-\sqrt{2}\right)\left(1+\sqrt{2}-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}=x-\sqrt{2}+\sqrt{2}=x
  3. Calculăm acum e∗x\displaystyle e*x, cu e=1+2\displaystyle e=1+\sqrt{2}. Primul factor devine 1+2−2=1\displaystyle 1+\sqrt{2}-\sqrt{2}=1, deci se obține x−2+2=x\displaystyle x-\sqrt{2}+\sqrt{2}=x.
    (1+2)∗x=(1+2−2)(x−2)+2=x−2+2=x\displaystyle \left(1+\sqrt{2}\right)*x=\left(1+\sqrt{2}-\sqrt{2}\right)\left(x-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}=x-\sqrt{2}+\sqrt{2}=x
  4. Am obținut x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x pentru orice x\displaystyle x real, deci e=1+2\displaystyle e=1+\sqrt{2} este element neutru al legii „∗\displaystyle *”.
    (1+2)∗x=x=x∗(1+2)\displaystyle \left(1+\sqrt{2}\right)*x=x=x*\left(1+\sqrt{2}\right), ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2x−2y+2+2\displaystyle x*y=xy-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+\sqrt{2}+2.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care a∗a=2+2\displaystyle a*a=2+\sqrt{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Punem legea sub formă factorizată. Observăm că (x−2)(y−2)=xy−2x−2y+2\displaystyle (x-\sqrt{2})(y-\sqrt{2})=xy-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+2. Deci x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-\sqrt{2})(y-\sqrt{2})+\sqrt{2}.
    x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=\left(x-\sqrt{2}\right)\left(y-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}
  2. Luăm x=y=a\displaystyle x=y=a și scriem ecuația a∗a=2+2\displaystyle a*a=2+\sqrt{2}.
    (a−2)(a−2)+2=2+2\displaystyle \left(a-\sqrt{2}\right)\left(a-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}=2+\sqrt{2}
  3. Scădem 2\displaystyle \sqrt{2} din ambii membri și scriem produsul ca pătrat.
    (a−2)2=2\displaystyle \left(a-\sqrt{2}\right)^2=2
  4. Extragem rădăcina pătrată din ambii membri: a−2=2\displaystyle a-\sqrt{2}=\sqrt{2} sau a−2=−2\displaystyle a-\sqrt{2}=-\sqrt{2}.
    a−2=2 sau a−2=−2\displaystyle a-\sqrt{2}=\sqrt{2}\text{ sau }a-\sqrt{2}=-\sqrt{2}
  5. Din prima ecuație obținem a=22\displaystyle a=2\sqrt{2}, iar din a doua a=0\displaystyle a=0. Ambele sunt numere reale, deci convin.
    a=0 sau a=22\displaystyle a=0\text{ sau }a=2\sqrt{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2x−2y+2+2\displaystyle x*y=xy-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+\sqrt{2}+2.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care 4x∗2x=2\displaystyle 4^x*2^x=\sqrt{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată. Observăm că (x−2)(y−2)=xy−2x−2y+2\displaystyle (x-\sqrt{2})(y-\sqrt{2})=xy-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+2, deci x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-\sqrt{2})(y-\sqrt{2})+\sqrt{2}.
    x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-\sqrt{2})(y-\sqrt{2})+\sqrt{2}
  2. Aplicăm forma factorizată pentru 4x\displaystyle 4^x și 2x\displaystyle 2^x și egalăm cu 2\displaystyle \sqrt{2}.
    (4x−2)(2x−2)+2=2\displaystyle \left(4^x-\sqrt{2}\right)\left(2^x-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}=\sqrt{2}
  3. Scădem 2\displaystyle \sqrt{2} din ambii membri și obținem un produs egal cu zero.
    (4x−2)(2x−2)=0\displaystyle \left(4^x-\sqrt{2}\right)\left(2^x-\sqrt{2}\right)=0
  4. Un produs este zero când cel puțin un factor este zero. Rezolvăm separat fiecare ecuație, scriind 2=212\displaystyle \sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}} și 4x=22x\displaystyle 4^x=2^{2x}.
    22x=212 sau 2x=212\displaystyle 2^{2x}=2^{\frac{1}{2}}\text{ sau }2^x=2^{\frac{1}{2}}
  5. Egalăm exponenții în fiecare caz: din prima ecuație 2x=12\displaystyle 2x=\dfrac{1}{2}, deci x=14\displaystyle x=\dfrac{1}{4}; din a doua x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2}. Ambele valori sunt numere reale, deci convin.
    x=14 sau x=12\displaystyle x=\frac{1}{4}\text{ sau }x=\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2x−2y+2+2\displaystyle x*y=xy-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+\sqrt{2}+2.

Determinați valorile reale ale lui x\displaystyle x pentru care (x+2)∗(x−2)≤2\displaystyle \left(x+\sqrt{2}\right)*\left(x-\sqrt{2}\right)\leq\sqrt{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Factorizăm legea de compoziție. Observăm că (x−2)(y−2)=xy−2x−2y+2\displaystyle (x-\sqrt{2})(y-\sqrt{2})=xy-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+2, deci x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-\sqrt{2})(y-\sqrt{2})+\sqrt{2}.
    x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=\left(x-\sqrt{2}\right)\left(y-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}
  2. Înlocuim primul termen cu x+2\displaystyle x+\sqrt{2} și al doilea cu x−2\displaystyle x-\sqrt{2} în forma factorizată, iar inegalitatea devine (x+2−2)(x−2−2)+2≤2\displaystyle \left(x+\sqrt{2}-\sqrt{2}\right)\left(x-\sqrt{2}-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}\leq\sqrt{2}.
    (x+2−2)(x−2−2)+2≤2\displaystyle \left(x+\sqrt{2}-\sqrt{2}\right)\left(x-\sqrt{2}-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}\leq\sqrt{2}
  3. Reducem termenii: prima paranteză devine x\displaystyle x, a doua devine x−22\displaystyle x-2\sqrt{2}. Scădem 2\displaystyle \sqrt{2} din ambii membri și obținem o inegalitate de gradul al doilea.
    x(x−22)≤0\displaystyle x\left(x-2\sqrt{2}\right)\leq 0
  4. Expresia x(x−22)\displaystyle x\left(x-2\sqrt{2}\right) are rădăcinile 0\displaystyle 0 și 22\displaystyle 2\sqrt{2}, iar coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} este pozitiv, deci produsul este mai mic sau egal cu zero între rădăcini, inclusiv în rădăcini.
    x∈[0,22]\displaystyle x\in\left[0,2\sqrt{2}\right]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2031)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&0\\3&1\end{pmatrix}, B=(2x30)\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&x\\3&0\end{pmatrix} și C=(x001)\displaystyle C=\begin{pmatrix}x&0\\0&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=2\displaystyle \det A=2.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea este A=(2031)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&0\\3&1\end{pmatrix}. Pentru o matrice de ordinul doi avem ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c.
    det⁡A=∣2031∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&0\\3&1\end{vmatrix}
  2. Aici a=2\displaystyle a=2, b=0\displaystyle b=0, c=3\displaystyle c=3, d=1\displaystyle d=1. Produsul de pe diagonala principală este 2⋅1\displaystyle 2\cdot 1, iar cel de pe diagonala secundară este 0⋅3\displaystyle 0\cdot 3, deci scădem aceste produse.
    det⁡A=2⋅1−3⋅0\displaystyle \det A=2\cdot 1-3\cdot 0
  3. Calculăm 2⋅1=2\displaystyle 2\cdot 1=2 și 3⋅0=0\displaystyle 3\cdot 0=0, apoi 2−0=2\displaystyle 2-0=2. Am obținut ceea ce trebuia arătat.
    det⁡A=2−0=2\displaystyle \det A=2-0=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2031)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&0\\3&1\end{pmatrix}, B=(2x30)\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&x\\3&0\end{pmatrix} și C=(x001)\displaystyle C=\begin{pmatrix}x&0\\0&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care B+C=A\displaystyle B+C=A.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricele B=(2x30)\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&x\\3&0\end{pmatrix} și C=(x001)\displaystyle C=\begin{pmatrix}x&0\\0&1\end{pmatrix}, apoi le adunăm element cu element: adunăm elementele aflate pe aceleași poziții.
    B+C=(2+xx+03+00+1)\displaystyle B+C=\begin{pmatrix}2+x&x+0\\3+0&0+1\end{pmatrix}
  2. Simplificăm elementele matricei sumă: x+0=x\displaystyle x+0=x, 3+0=3\displaystyle 3+0=3, 0+1=1\displaystyle 0+1=1.
    B+C=(2+xx31)\displaystyle B+C=\begin{pmatrix}2+x&x\\3&1\end{pmatrix}
  3. Egalăm matricea B+C\displaystyle B+C cu matricea A\displaystyle A. Două matrice sunt egale când elementele de pe aceleași poziții sunt egale.
    (2+xx31)=(2031)\displaystyle \begin{pmatrix}2+x&x\\3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\3&1\end{pmatrix}
  4. Scriem egalitățile element cu element: din primul rând obținem 2+x=2\displaystyle 2+x=2 și x=0\displaystyle x=0, iar elementele 3\displaystyle 3 și 1\displaystyle 1 coincid deja. Ambele ecuații dau x=0\displaystyle x=0.
    (2+xx31)=(2031)⇔x=0\displaystyle \begin{pmatrix}2+x&x\\3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\3&1\end{pmatrix}\Leftrightarrow x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2031)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&0\\3&1\end{pmatrix}, B=(2x30)\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&x\\3&0\end{pmatrix} și C=(x001)\displaystyle C=\begin{pmatrix}x&0\\0&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care det⁡(B−C)=0\displaystyle \det(B-C)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scădem matricele element cu element: B−C=(2−xx−03−00−1)\displaystyle B-C=\begin{pmatrix}2-x&x-0\\3-0&0-1\end{pmatrix}, deci avem rezultatul de mai jos.
    B−C=(2−xx3−1)\displaystyle B-C=\begin{pmatrix}2-x&x\\3&-1\end{pmatrix}
  2. Aplicăm regula ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc: det⁡(B−C)=(2−x)⋅(−1)−x⋅3\displaystyle \det(B-C)=(2-x)\cdot(-1)-x\cdot 3.
    det⁡(B−C)=(2−x)⋅(−1)−3x\displaystyle \det(B-C)=(2-x)\cdot(-1)-3x
  3. Desfacem parantezele: −2+x−3x\displaystyle -2+x-3x, iar prin reducerea termenilor asemenea obținem expresia de mai jos.
    det⁡(B−C)=−2−2x\displaystyle \det(B-C)=-2-2x
  4. Din condiția det⁡(B−C)=0\displaystyle \det(B-C)=0 obținem −2−2x=0\displaystyle -2-2x=0, deci 2x=−2\displaystyle 2x=-2, adică x=−1\displaystyle x=-1.
    x=−1\displaystyle x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2031)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&0\\3&1\end{pmatrix}, B=(2x30)\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&x\\3&0\end{pmatrix} și C=(x001)\displaystyle C=\begin{pmatrix}x&0\\0&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că det⁡(B⋅C−C⋅B)=3x(x−1)2\displaystyle \det(B\cdot C-C\cdot B)=3x(x-1)^2, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul B⋅C\displaystyle B\cdot C, înmulțind linie cu coloană: prima linie a lui B\displaystyle B este (2, x)\displaystyle (2,\ x), a doua este (3, 0)\displaystyle (3,\ 0), iar coloanele lui C\displaystyle C sunt (x0)\displaystyle \begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix} și (01)\displaystyle \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}.
    B⋅C=(2⋅x+x⋅02⋅0+x⋅13⋅x+0⋅03⋅0+0⋅1)=(2xx3x0)\displaystyle B\cdot C=\begin{pmatrix}2\cdot x+x\cdot 0&2\cdot 0+x\cdot 1\\3\cdot x+0\cdot 0&3\cdot 0+0\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x&x\\3x&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul C⋅B\displaystyle C\cdot B: prima linie a lui C\displaystyle C este (x, 0)\displaystyle (x,\ 0), a doua este (0, 1)\displaystyle (0,\ 1), iar coloanele lui B\displaystyle B sunt (23)\displaystyle \begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix} și (x0)\displaystyle \begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}.
    C⋅B=(x⋅2+0⋅3x⋅x+0⋅00⋅2+1⋅30⋅x+1⋅0)=(2xx230)\displaystyle C\cdot B=\begin{pmatrix}x\cdot 2+0\cdot 3&x\cdot x+0\cdot 0\\0\cdot 2+1\cdot 3&0\cdot x+1\cdot 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x&x^2\\3&0\end{pmatrix}
  3. Scădem cele două matrice element cu element: B⋅C−C⋅B\displaystyle B\cdot C-C\cdot B.
    B⋅C−C⋅B=(2x−2xx−x23x−30−0)=(0x−x23x−30)\displaystyle B\cdot C-C\cdot B=\begin{pmatrix}2x-2x&x-x^2\\3x-3&0-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&x-x^2\\3x-3&0\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul matricei diferență: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe diagonala secundară. Pe diagonala principală avem 0\displaystyle 0 și 0\displaystyle 0.
    det⁡(B⋅C−C⋅B)=0⋅0−(x−x2)(3x−3)=−(x−x2)⋅3(x−1)\displaystyle \det(B\cdot C-C\cdot B)=0\cdot 0-\left(x-x^2\right)\left(3x-3\right)=-\left(x-x^2\right)\cdot 3(x-1)
  5. Scriem x−x2=−x(x−1)\displaystyle x-x^2=-x(x-1). Atunci minusul din fața produsului se reduce cu minusul din −x(x−1)\displaystyle -x(x-1), deci determinantul devine 3(x−1)⋅x(x−1)\displaystyle 3(x-1)\cdot x(x-1).
    det⁡(B⋅C−C⋅B)=3(x−1)(x2−x)=3x(x−1)2\displaystyle \det(B\cdot C-C\cdot B)=3(x-1)\left(x^2-x\right)=3x(x-1)^2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2031)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&0\\3&1\end{pmatrix}, B=(2x30)\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&x\\3&0\end{pmatrix} și C=(x001)\displaystyle C=\begin{pmatrix}x&0\\0&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Pentru x=1\displaystyle x=1, arătați că inversa matricei B\displaystyle B este matricea (0131−23)\displaystyle \begin{pmatrix}0&\frac{1}{3}\\1&-\frac{2}{3}\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x=1\displaystyle x=1 obținem B=(2130)\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&1\\3&0\end{pmatrix}. Notăm B′=(0131−23)\displaystyle B'=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{3}\\1&-\frac{2}{3}\end{pmatrix}. Trebuie să arătăm că B⋅B′=B′⋅B=I2\displaystyle B\cdot B'=B'\cdot B=I_2.
    B=(2130)\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&1\\3&0\end{pmatrix}
  2. Calculăm elementele produsului B⋅B′\displaystyle B\cdot B': 2⋅0+1⋅1=1\displaystyle 2\cdot 0+1\cdot 1=1, 2⋅13+1⋅(−23)=0\displaystyle 2\cdot\frac{1}{3}+1\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=0, 3⋅0+0⋅1=0\displaystyle 3\cdot 0+0\cdot 1=0, 3⋅13+0⋅(−23)=1\displaystyle 3\cdot\frac{1}{3}+0\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)=1.
    B⋅B′=(2⋅0+1⋅12⋅13+1⋅(−23)3⋅0+0⋅13⋅13+0⋅(−23))=(1001)=I2\displaystyle B\cdot B'=\begin{pmatrix}2\cdot 0+1\cdot 1&2\cdot\frac{1}{3}+1\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)\\3\cdot 0+0\cdot 1&3\cdot\frac{1}{3}+0\cdot\left(-\frac{2}{3}\right)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
  3. Calculăm elementele produsului B′⋅B\displaystyle B'\cdot B: 0⋅2+13⋅3=1\displaystyle 0\cdot 2+\frac{1}{3}\cdot 3=1, 0⋅1+13⋅0=0\displaystyle 0\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot 0=0, 1⋅2+(−23)⋅3=0\displaystyle 1\cdot 2+\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot 3=0, 1⋅1+(−23)⋅0=1\displaystyle 1\cdot 1+\left(-\frac{2}{3}\right)\cdot 0=1.
    B′⋅B=(0⋅2+13⋅30⋅1+13⋅01⋅2−23⋅31⋅1−23⋅0)=(1001)=I2\displaystyle B'\cdot B=\begin{pmatrix}0\cdot 2+\frac{1}{3}\cdot 3&0\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot 0\\1\cdot 2-\frac{2}{3}\cdot 3&1\cdot 1-\frac{2}{3}\cdot 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
  4. Cum B⋅B′=B′⋅B=I2\displaystyle B\cdot B'=B'\cdot B=I_2, matricea B′\displaystyle B' este inversa lui B\displaystyle B, adică B−1=(0131−23)\displaystyle B^{-1}=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{3}\\1&-\frac{2}{3}\end{pmatrix}.
    B−1=(0131−23)\displaystyle B^{-1}=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{3}\\1&-\frac{2}{3}\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(2031)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&0\\3&1\end{pmatrix}, B=(2x30)\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&x\\3&0\end{pmatrix} și C=(x001)\displaystyle C=\begin{pmatrix}x&0\\0&1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Pentru x=1\displaystyle x=1, rezolvați în M2(R)\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R}) ecuația B⋅X⋅C=A\displaystyle B\cdot X\cdot C=A.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru x=1\displaystyle x=1 matricea C\displaystyle C devine matricea unitate de ordin 2: C=I2\displaystyle C=I_2.
    C=(1001)=I2\displaystyle C=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
  2. Cum X⋅I2=X\displaystyle X\cdot I_2=X, ecuația B⋅X⋅C=A\displaystyle B\cdot X\cdot C=A se reduce la B⋅X=A\displaystyle B\cdot X=A, unde B=(2130)\displaystyle B=\begin{pmatrix}2&1\\3&0\end{pmatrix}.
    B⋅X=A\displaystyle B\cdot X=A,B=(2130)\displaystyle \quad B=\begin{pmatrix}2&1\\3&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm det⁡B=2⋅0−1⋅3=−3\displaystyle \det B=2\cdot 0-1\cdot 3=-3. Deoarece det⁡B≠0\displaystyle \det B\neq 0, matricea B\displaystyle B este inversabilă.
    det⁡B=−3≠0\displaystyle \det B=-3\neq 0
  4. Inversa unei matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix} este 1det⁡(d−b−ca)\displaystyle \dfrac{1}{\det}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}. Obținem B−1=−13(0−1−32)\displaystyle B^{-1}=-\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}0&-1\\-3&2\end{pmatrix}.
    B−1=(0131−23)\displaystyle B^{-1}=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{3}\\1&-\frac{2}{3}\end{pmatrix}
  5. Înmulțim la stânga relația B⋅X=A\displaystyle B\cdot X=A cu B−1\displaystyle B^{-1} și obținem X=B−1⋅A\displaystyle X=B^{-1}\cdot A.
    X=B−1⋅A=(0131−23)⋅(2031)\displaystyle X=B^{-1}\cdot A=\begin{pmatrix}0&\frac{1}{3}\\1&-\frac{2}{3}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2&0\\3&1\end{pmatrix}
  6. Efectuăm produsul, linie cu coloană. Prima linie: 0⋅2+13⋅3=1\displaystyle 0\cdot 2+\dfrac{1}{3}\cdot 3=1 și 0⋅0+13⋅1=13\displaystyle 0\cdot 0+\dfrac{1}{3}\cdot 1=\dfrac{1}{3}. A doua linie: 1⋅2−23⋅3=0\displaystyle 1\cdot 2-\dfrac{2}{3}\cdot 3=0 și 1⋅0−23⋅1=−23\displaystyle 1\cdot 0-\dfrac{2}{3}\cdot 1=-\dfrac{2}{3}. Deci soluția ecuației este matricea X\displaystyle X de mai jos.
    X=(1130−23)\displaystyle X=\begin{pmatrix}1&\frac{1}{3}\\0&-\frac{2}{3}\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.