Bac matematică M4 pedagogic 2021, model, test de evaluare 4: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (32−23)(3,2−2,3)+(12)2=1\displaystyle \left(\frac{3}{2}-\frac{2}{3}\right)(3,2-2,3)+\left(\frac{1}{2}\right)^2=1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm diferența din prima paranteză, aducând fracțiile la numitorul comun 6\displaystyle 6: 32=96\displaystyle \dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{6}, iar 23=46\displaystyle \dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{6}.
    32−23=96−46=56\displaystyle \frac{3}{2}-\frac{2}{3}=\frac{9}{6}-\frac{4}{6}=\frac{5}{6}
  2. Calculăm diferența din a doua paranteză, cu numere zecimale: 3,2−2,3=0,9\displaystyle 3,2-2,3=0,9, adică 910\displaystyle \dfrac{9}{10}.
    3\displaystyle 3,2−2\displaystyle 2-2,3=0\displaystyle 3=0,9=910\displaystyle 9=\frac{9}{10}
  3. Calculăm puterea: (12)2=14\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}.
    (12)2=14\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}
  4. Înlocuim rezultatele în expresia dată și obținem produsul 56⋅910\displaystyle \dfrac{5}{6}\cdot\dfrac{9}{10}, plus 14\displaystyle \dfrac{1}{4}.
    56⋅910+14\displaystyle \frac{5}{6}\cdot\frac{9}{10}+\frac{1}{4}
  5. Efectuăm înmulțirea și simplificăm: 5⋅96⋅10=4560\displaystyle \dfrac{5\cdot 9}{6\cdot 10}=\dfrac{45}{60}, iar prin simplificare cu 15\displaystyle 15 obținem 34\displaystyle \dfrac{3}{4}.
    56⋅910=4560=34\displaystyle \frac{5}{6}\cdot\frac{9}{10}=\frac{45}{60}=\frac{3}{4}
  6. Adunăm fracțiile cu același numitor: 34+14=44=1\displaystyle \dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{4}=1. Egalitatea este demonstrată.
    34+14=1\displaystyle \frac{3}{4}+\frac{1}{4}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=−3x2−x+2\displaystyle f(x)=-3x^2-x+2 cu axa Ox\displaystyle Ox.
Vezi rezolvarea
  1. Punctele de intersecție cu axa Ox\displaystyle Ox au ordonata zero, deci abscisele lor sunt soluțiile ecuației f(x)=0\displaystyle f(x)=0. Scriem ecuația: −3x2−x+2=0\displaystyle -3x^{2}-x+2=0.
    −3x2−x+2=0\displaystyle -3x^{2}-x+2=0
  2. Înmulțim ecuația cu −1\displaystyle -1 ca să avem coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} pozitiv: 3x2+x−2=0\displaystyle 3x^{2}+x-2=0. Identificăm a=3\displaystyle a=3, b=1\displaystyle b=1, c=−2\displaystyle c=-2 și calculăm discriminantul: Δ=b2−4ac=1+24=25\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=1+24=25.
    Δ=12−4⋅3⋅(−2)=25\displaystyle \Delta=1^{2}-4\cdot 3\cdot(-2)=25
  3. Aplicăm formula x=−b±Δ2a=−1±56\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1\pm 5}{6}. Obținem x1=−1−56=−1\displaystyle x_1=\dfrac{-1-5}{6}=-1 și x2=−1+56=46=23\displaystyle x_2=\dfrac{-1+5}{6}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}.
    x1=−1−56=−1\displaystyle x_1=\frac{-1-5}{6}=-1,x2=−1+56=23\displaystyle \quad x_2=\frac{-1+5}{6}=\frac{2}{3}
  4. Cele două soluții sunt abscisele punctelor de intersecție ale graficului cu axa Ox\displaystyle Ox: x=−1\displaystyle x=-1 și x=23\displaystyle x=\dfrac{2}{3}.
    x=−1 și x=23\displaystyle x=-1\text{ și }x=\frac{2}{3}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 16+3x=5\displaystyle \sqrt{16+3x}=5.
Vezi rezolvarea
  1. Impunem condiția de existență a radicalului: 16+3x≥0\displaystyle 16+3x\geq 0, deci x≥−163\displaystyle x\geq -\dfrac{16}{3}.
    x≥−163\displaystyle x\geq -\dfrac{16}{3}
  2. Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației 16+3x=5\displaystyle \sqrt{16+3x}=5. Membrul drept este pozitiv, iar 52=25\displaystyle 5^{2}=25, deci obținem 16+3x=25\displaystyle 16+3x=25.
    16+3x=52⇒16+3x=25\displaystyle 16+3x=5^{2}\Rightarrow 16+3x=25
  3. Scădem 16 din ambii membri: 3x=25−16=9\displaystyle 3x=25-16=9. Apoi împărțim la 3 și obținem x=3\displaystyle x=3.
    3x=9⇒x=3\displaystyle 3x=9\Rightarrow x=3
  4. Verificăm soluția în ecuația inițială: pentru x=3\displaystyle x=3 avem 16+3⋅3=25=5\displaystyle \sqrt{16+3\cdot 3}=\sqrt{25}=5, deci egalitatea este adevărată. De asemenea, 3≥−163\displaystyle 3\geq -\dfrac{16}{3}, deci soluția convine.
    x=3, care convine\displaystyle x=3\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Două produse s-au vândut, o perioadă de timp, cu același preț. După ce unul dintre ele s-a scumpit cu 20%\displaystyle 20\% și celălalt s-a ieftinit cu 20%\displaystyle 20\%, diferența dintre prețul primului produs și prețul celui de-al doilea este de 26\displaystyle 26 de lei. Determinați prețul inițial al produselor.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul inițial al fiecărui produs, în lei.
    x = prețul inițial\displaystyle x\text{ = prețul inițial}
  2. Primul produs se scumpește cu 20%\displaystyle 20\%, deci noul lui preț este x+20100⋅x=120100⋅x\displaystyle x+\dfrac{20}{100}\cdot x=\dfrac{120}{100}\cdot x.
    120100⋅x\displaystyle \dfrac{120}{100}\cdot x
  3. Al doilea produs se ieftinește cu 20%\displaystyle 20\%, deci noul lui preț este x−20100⋅x=80100⋅x\displaystyle x-\dfrac{20}{100}\cdot x=\dfrac{80}{100}\cdot x.
    80100⋅x\displaystyle \dfrac{80}{100}\cdot x
  4. Scriem diferența dintre prețul primului produs și prețul celui de-al doilea ca procent din x\displaystyle x: 120100⋅x−80100⋅x=40100⋅x\displaystyle \dfrac{120}{100}\cdot x-\dfrac{80}{100}\cdot x=\dfrac{40}{100}\cdot x.
    120100⋅x−80100⋅x=40100⋅x\displaystyle \dfrac{120}{100}\cdot x-\dfrac{80}{100}\cdot x=\dfrac{40}{100}\cdot x
  5. Diferența este de 26\displaystyle 26 de lei, deci scriem ecuația 40100⋅x=26\displaystyle \dfrac{40}{100}\cdot x=26.
    40100⋅x=26\displaystyle \dfrac{40}{100}\cdot x=26
  6. Rezolvăm ecuația: x=26⋅10040=260040=65\displaystyle x=\dfrac{26\cdot 100}{40}=\dfrac{2600}{40}=65. Prețul inițial al fiecărui produs este de 65\displaystyle 65 de lei.
    40100⋅x=26, de unde x=65 de lei\displaystyle \dfrac{40}{100}\cdot x=26\text{, de unde }x=65\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−8,4)\displaystyle A(-8,4), B(6,7)\displaystyle B(6,7) și C(0,a)\displaystyle C(0,a), unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că dreptele AO\displaystyle AO și BC\displaystyle BC sunt paralele.
Vezi rezolvarea
  1. Dreptele paralele au pante egale, deci scriem condiția mAO=mBC\displaystyle m_{AO}=m_{BC}. Calculăm panta dreptei AO\displaystyle AO, unde O(0,0)\displaystyle O(0,0) este originea, cu formula m=y2−y1x2−x1\displaystyle m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}: mAO=4−0−8−0\displaystyle m_{AO}=\dfrac{4-0}{-8-0}.
    mAO=4−8=−12\displaystyle m_{AO}=\dfrac{4}{-8}=-\dfrac{1}{2}
  2. Calculăm panta dreptei BC\displaystyle BC, cu B(6,7)\displaystyle B(6,7) și C(0,a)\displaystyle C(0,a): mBC=a−70−6=7−a6\displaystyle m_{BC}=\dfrac{a-7}{0-6}=\dfrac{7-a}{6}.
    mAO=−12\displaystyle m_{AO}=-\dfrac{1}{2}, mBC=7−a6\displaystyle \ m_{BC}=\dfrac{7-a}{6}
  3. Egalăm pantele, deoarece dreptele AO\displaystyle AO și BC\displaystyle BC sunt paralele: −12=7−a6\displaystyle -\dfrac{1}{2}=\dfrac{7-a}{6}. Înmulțim ambii membri cu 6\displaystyle 6 și obținem 7−a=−3\displaystyle 7-a=-3.
    7−a=−3\displaystyle 7-a=-3
  4. Din 7−a=−3\displaystyle 7-a=-3 rezultă a=7+3=10\displaystyle a=7+3=10.
    −12=7−a6, de unde a=10\displaystyle -\dfrac{1}{2}=\dfrac{7-a}{6}\text{, de unde }a=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră rombul ABCD\displaystyle ABCD, cu unghiul A\displaystyle A ascuțit, AB=9\displaystyle AB=9 și aria egală cu 72\displaystyle 72. Calculați sin⁡A\displaystyle \sin A.
Vezi rezolvarea
  1. Într-un romb toate laturile sunt egale, deci AD=AB=9\displaystyle AD=AB=9.
    AD=AB=9\displaystyle AD=AB=9
  2. Aria rombului este produsul a două laturi alăturate și sinusul unghiului dintre ele: A=AB⋅AD⋅sin⁡A\displaystyle \mathcal{A}=AB\cdot AD\cdot\sin A. Înlocuim aria 72\displaystyle 72 și laturile 9\displaystyle 9.
    72=9⋅9⋅sin⁡A\displaystyle 72=9\cdot 9\cdot\sin A
  3. Calculăm 9⋅9=81\displaystyle 9\cdot 9=81, deci 72=81⋅sin⁡A\displaystyle 72=81\cdot\sin A. Împărțim ambii membri la 81\displaystyle 81 și simplificăm fracția prin 9\displaystyle 9.
    sin⁡A=7281=89\displaystyle \sin A=\frac{72}{81}=\frac{8}{9}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x−y+1)(y−x+1)\displaystyle x*y=(x-y+1)(y-x+1).

Arătați că (−1)∗4=−24\displaystyle (-1)*4=-24.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∗y=(x−y+1)(y−x+1)\displaystyle x*y=(x-y+1)(y-x+1). Pentru (−1)∗4\displaystyle (-1)*4 avem x=−1\displaystyle x=-1 și y=4\displaystyle y=4.
    (−1)∗4=(−1−4+1)(4−(−1)+1)\displaystyle (-1)*4=(-1-4+1)(4-(-1)+1)
  2. Calculăm separat factorii: −1−4+1=−4\displaystyle -1-4+1=-4, iar 4−(−1)+1=4+1+1=6\displaystyle 4-(-1)+1=4+1+1=6. Deci scrierea devine (−1)∗4=(−1−4+1)(4+1+1)\displaystyle (-1)*4=(-1-4+1)(4+1+1).
    (−1)∗4=(−1−4+1)(4+1+1)\displaystyle (-1)*4=(-1-4+1)(4+1+1)
  3. Înmulțim valorile factorilor: (−4)⋅6=−24\displaystyle (-4)\cdot 6=-24, ceea ce trebuia arătat.
    (−1)∗4=−4⋅6=−24\displaystyle (-1)*4=-4\cdot 6=-24
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x−y+1)(y−x+1)\displaystyle x*y=(x-y+1)(y-x+1).

Arătați că x∗y=1−(x−y)2\displaystyle x*y=1-(x-y)^2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∗y=(x−y+1)(y−x+1)\displaystyle x*y=(x-y+1)(y-x+1) și rearanjăm termenii din fiecare paranteză: x−y+1=1+(x−y)\displaystyle x-y+1=1+(x-y).
    x∗y=(1+x−y)(1+y−x)\displaystyle x*y=(1+x-y)(1+y-x)
  2. Observăm că y−x=−(x−y)\displaystyle y-x=-(x-y), deci 1+y−x=1−(x−y)\displaystyle 1+y-x=1-(x-y). Astfel produsul devine un produs de forma sumă înmulțită cu diferență.
    x∗y=(1+(x−y))(1−(x−y))\displaystyle x*y=(1+(x-y))(1-(x-y))
  3. Aplicăm formula (a+b)(a−b)=a2−b2\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2} cu a=1\displaystyle a=1 și b=x−y\displaystyle b=x-y. Obținem 12−(x−y)2\displaystyle 1^{2}-(x-y)^{2}, iar 12=1\displaystyle 1^{2}=1, deci egalitatea cerută este adevărată pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∗y=12−(x−y)2=1−(x−y)2, pentru orice numere \displaystyle x*y=1^2-(x-y)^2=1-(x-y)^2\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x−y+1)(y−x+1)\displaystyle x*y=(x-y+1)(y-x+1).

Arătați că x∗(x−1)=0\displaystyle x*(x-1)=0, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim forma obținută la cerința 2. Notăm t=x−y\displaystyle t=x-y și observăm că x−y+1=1+t\displaystyle x-y+1=1+t, iar y−x+1=1−t\displaystyle y-x+1=1-t. Produsul este o diferență de pătrate: (1+t)(1−t)=1−t2\displaystyle (1+t)(1-t)=1-t^{2}.
    x∗y=1−(x−y)2\displaystyle x*y=1-(x-y)^{2}
  2. Înlocuim y\displaystyle y cu x−1\displaystyle x-1 în această formă. Diferența x−y\displaystyle x-y devine x−(x−1)=x−x+1\displaystyle x-(x-1)=x-x+1.
    x∗(x−1)=1−(x−x+1)2\displaystyle x*(x-1)=1-(x-x+1)^{2}
  3. Reducem termenii: x−x+1=1\displaystyle x-x+1=1, deci pătratul este 12=1\displaystyle 1^{2}=1. Obținem 1−1=0\displaystyle 1-1=0, pentru orice număr real x\displaystyle x, adică egalitatea cerută.
    x∗(x−1)=1−1=0, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*(x-1)=1-1=0\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x−y+1)(y−x+1)\displaystyle x*y=(x-y+1)(y-x+1).

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗(−12)=34\displaystyle x*\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{3}{4}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că (x−y+1)(y−x+1)=(1+(x−y))(1−(x−y))\displaystyle (x-y+1)(y-x+1)=\left(1+(x-y)\right)\left(1-(x-y)\right), adică o diferență de pătrate. Deci x∗y=1−(x−y)2\displaystyle x*y=1-(x-y)^{2}.
    x∗y=1−(x−y)2\displaystyle x*y=1-(x-y)^{2}
  2. Înlocuim y=−12\displaystyle y=-\dfrac{1}{2}. Diferența x−y\displaystyle x-y devine x+12\displaystyle x+\dfrac{1}{2}, deci obținem expresia lui x∗(−12)\displaystyle x*\left(-\dfrac{1}{2}\right) pentru orice x\displaystyle x real.
    x∗(−12)=1−(x+12)2, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*\left(-\frac{1}{2}\right)=1-\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}\text{, pentru orice număr real }x
  3. Ecuația din enunț devine 1−(x+12)2=34\displaystyle 1-\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{3}{4}.
    1−(x+12)2=34\displaystyle 1-\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}
  4. Mutăm pătratul în partea dreaptă: (x+12)2=1−34=14\displaystyle \left(x+\dfrac{1}{2}\right)^{2}=1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}.
    (x+12)2=14\displaystyle \left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}
  5. Extragem rădăcina pătrată: x+12=12\displaystyle x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2} sau x+12=−12\displaystyle x+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}. Din primul caz x=0\displaystyle x=0, din al doilea x=−1\displaystyle x=-1.
    x=−1 sau x=0\displaystyle x=-1\text{ sau }x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x−y+1)(y−x+1)\displaystyle x*y=(x-y+1)(y-x+1).

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2x∗2x−1=1−24040\displaystyle 2^x*2^{x-1}=1-2^{4040}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea într-o formă mai simplă. Notăm a=x−y\displaystyle a=x-y. Atunci (x−y+1)(y−x+1)=(1+a)(1−a)=1−a2\displaystyle (x-y+1)(y-x+1)=(1+a)(1-a)=1-a^{2}, deci x∗y=1−(x−y)2\displaystyle x*y=1-(x-y)^{2}.
    x∗y=1−(x−y)2\displaystyle x*y=1-(x-y)^{2}
  2. Aplicăm formula pentru 2x\displaystyle 2^{x} și 2x−1\displaystyle 2^{x-1}: 2x∗2x−1=1−(2x−2x−1)2\displaystyle 2^{x}*2^{x-1}=1-\left(2^{x}-2^{x-1}\right)^{2}.
    2x∗2x−1=1−(2x−2x−1)2\displaystyle 2^{x}*2^{x-1}=1-\left(2^{x}-2^{x-1}\right)^{2}
  3. Calculăm diferența: 2x−2x−1=2x−1(2−1)=2x−1\displaystyle 2^{x}-2^{x-1}=2^{x-1}(2-1)=2^{x-1}. Ridicăm la pătrat: (2x−1)2=22x−2\displaystyle \left(2^{x-1}\right)^{2}=2^{2x-2}. Deci expresia din stânga este 1−22x−2\displaystyle 1-2^{2x-2}, pentru orice x\displaystyle x real.
    2x∗2x−1=1−22x−2\displaystyle 2^{x}*2^{x-1}=1-2^{2x-2}
  4. Înlocuim în ecuație: 1−22x−2=1−24040\displaystyle 1-2^{2x-2}=1-2^{4040}. Scădem 1 și schimbăm semnul: 22x−2=24040\displaystyle 2^{2x-2}=2^{4040}.
    22x−2=24040\displaystyle 2^{2x-2}=2^{4040}
  5. Funcția exponențială de bază 2\displaystyle 2 este injectivă, deci exponenții sunt egali: 2x−2=4040\displaystyle 2x-2=4040, adică 2x=4042\displaystyle 2x=4042, de unde x=2021\displaystyle x=2021.
    x=2021\displaystyle x=2021
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=(x−y+1)(y−x+1)\displaystyle x*y=(x-y+1)(y-x+1).

Determinați numărul real x\displaystyle x, x>0\displaystyle x>0, pentru care (lg⁡x∗lg⁡x10)∗(lg⁡x10∗lg⁡x100)=x∗1\displaystyle \left(\lg x*\lg\frac{x}{10}\right)*\left(\lg\frac{x}{10}*\lg\frac{x}{100}\right)=x*1.
Vezi rezolvarea
  1. Rescriem legea de compoziție. Cum x−y+1=1+(x−y)\displaystyle x-y+1=1+(x-y) și y−x+1=1−(x−y)\displaystyle y-x+1=1-(x-y), avem un produs de forma (1+d)(1−d)\displaystyle (1+d)(1-d), deci x∗y=1−(x−y)2\displaystyle x*y=1-(x-y)^{2}.
    x∗y=1−(x−y)2\displaystyle x*y=1-(x-y)^{2}
  2. Calculăm prima compunere. Deoarece lg⁡x10=lg⁡x−1\displaystyle \lg\dfrac{x}{10}=\lg x-1, diferența este lg⁡x−lg⁡x10=1\displaystyle \lg x-\lg\dfrac{x}{10}=1, deci lg⁡x∗lg⁡x10=1−12=0\displaystyle \lg x*\lg\dfrac{x}{10}=1-1^{2}=0.
    lg⁡x∗lg⁡x10=1−12=0\displaystyle \lg x*\lg\frac{x}{10}=1-1^{2}=0
  3. Calculăm a doua compunere. Deoarece lg⁡x100=lg⁡x−2\displaystyle \lg\dfrac{x}{100}=\lg x-2, diferența este lg⁡x10−lg⁡x100=(lg⁡x−1)−(lg⁡x−2)=1\displaystyle \lg\dfrac{x}{10}-\lg\dfrac{x}{100}=(\lg x-1)-(\lg x-2)=1, deci lg⁡x10∗lg⁡x100=1−12=0\displaystyle \lg\dfrac{x}{10}*\lg\dfrac{x}{100}=1-1^{2}=0, pentru orice x>0\displaystyle x>0.
    lg⁡x∗lg⁡x10=0\displaystyle \lg x*\lg\frac{x}{10}=0, lg⁡x10∗lg⁡x100=0, pentru orice x>0\displaystyle \ \lg\frac{x}{10}*\lg\frac{x}{100}=0\text{, pentru orice }x>0
  4. Membrul stâng devine 0∗0\displaystyle 0*0, iar 0∗0=1−(0−0)2=1\displaystyle 0*0=1-(0-0)^{2}=1.
    0∗0=1\displaystyle 0*0=1
  5. Calculăm membrul drept cu formula legii: x∗1=1−(x−1)2\displaystyle x*1=1-(x-1)^{2}.
    x∗1=1−(x−1)2\displaystyle x*1=1-(x-1)^{2}
  6. Egalăm cei doi membri: 1=1−(x−1)2\displaystyle 1=1-(x-1)^{2}, deci (x−1)2=0\displaystyle (x-1)^{2}=0, de unde x=1\displaystyle x=1. Valoarea verifică condiția x>0\displaystyle x>0, deci convine.
    0∗0=x∗1, de unde 1=1−(x−1)2, deci x=1, care convine\displaystyle 0*0=x*1\text{, de unde }1=1-(x-1)^{2}\text{, deci }x=1\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(52−5−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&2\\-5&-3\end{pmatrix} și B=(32−5−5)\displaystyle B=\begin{pmatrix}3&2\\-5&-5\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=−5\displaystyle \det A=-5.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula determinantului de ordin 2: pentru o matrice cu elementele a,b\displaystyle a, b pe prima linie și c,d\displaystyle c, d pe a doua linie, determinantul este ad−bc\displaystyle ad-bc.
    ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc
  2. Identificăm elementele matricei A\displaystyle A: a=5\displaystyle a=5, b=2\displaystyle b=2, c=−5\displaystyle c=-5, d=−3\displaystyle d=-3. Înlocuim în formulă.
    det⁡A=∣52−5−3∣=5⋅(−3)−2⋅(−5)\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}5&2\\-5&-3\end{vmatrix}=5\cdot(-3)-2\cdot(-5)
  3. Calculăm produsele: 5⋅(−3)=−15\displaystyle 5\cdot(-3)=-15, iar 2⋅(−5)=−10\displaystyle 2\cdot(-5)=-10. Scăderea lui −10\displaystyle -10 înseamnă adunarea lui 10\displaystyle 10, deci obținem −15+10\displaystyle -15+10, adică −5\displaystyle -5.
    det⁡A=−15+10=−5\displaystyle \det A=-15+10=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(52−5−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&2\\-5&-3\end{pmatrix} și B=(32−5−5)\displaystyle B=\begin{pmatrix}3&2\\-5&-5\end{pmatrix}.

Arătați că A⋅B=5I2\displaystyle A\cdot B=5I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B și aplicăm regula de înmulțire linie cu coloană: fiecare element al produsului se obține înmulțind o linie din A\displaystyle A cu o coloană din B\displaystyle B.
    A⋅B=(52−5−3)⋅(32−5−5)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}5&2\\-5&-3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3&2\\-5&-5\end{pmatrix}
  2. Elementul din linia 1, coloana 1 este prima linie din A\displaystyle A înmulțită cu prima coloană din B\displaystyle B.
    5⋅3+2⋅(−5)=15−10=5\displaystyle 5\cdot 3+2\cdot(-5)=15-10=5
  3. Elementul din linia 1, coloana 2 este prima linie din A\displaystyle A înmulțită cu a doua coloană din B\displaystyle B.
    5⋅2+2⋅(−5)=10−10=0\displaystyle 5\cdot 2+2\cdot(-5)=10-10=0
  4. Elementul din linia 2, coloana 1 este a doua linie din A\displaystyle A înmulțită cu prima coloană din B\displaystyle B.
    (−5)⋅3+(−3)⋅(−5)=−15+15=0\displaystyle (-5)\cdot 3+(-3)\cdot(-5)=-15+15=0
  5. Elementul din linia 2, coloana 2 este a doua linie din A\displaystyle A înmulțită cu a doua coloană din B\displaystyle B.
    (−5)⋅2+(−3)⋅(−5)=−10+15=5\displaystyle (-5)\cdot 2+(-3)\cdot(-5)=-10+15=5
  6. Adunăm cele patru elemente calculate într-o singură matrice.
    A⋅B=(15−1010+(−10)−15+15−10+15)=(5005)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}15-10&10+(-10)\\-15+15&-10+15\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}
  7. Scoatem factorul 5\displaystyle 5 din matrice și recunoaștem matricea unitate I2\displaystyle I_2. Astfel, A⋅B=5I2\displaystyle A\cdot B=5I_2, adică egalitatea cerută.
    A⋅B=5(1001)=5I2\displaystyle A\cdot B=5\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=5I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(52−5−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&2\\-5&-3\end{pmatrix} și B=(32−5−5)\displaystyle B=\begin{pmatrix}3&2\\-5&-5\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(A−xI2)=10\displaystyle \det(A-xI_2)=10.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A−xI2\displaystyle A-xI_2, scăzând x\displaystyle x din fiecare element de pe diagonala principală a lui A\displaystyle A.
    A−xI2=(5−x2−5−3−x)\displaystyle A-xI_2=\begin{pmatrix}5-x&2\\-5&-3-x\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică det⁡(A−xI2)=(5−x)(−3−x)−2⋅(−5)\displaystyle \det(A-xI_2)=(5-x)(-3-x)-2\cdot(-5).
    det⁡(A−xI2)=(5−x)(−3−x)−2⋅(−5)\displaystyle \det(A-xI_2)=(5-x)(-3-x)-2\cdot(-5)
  3. Desfacem parantezele: (5−x)(−3−x)=−15−5x+3x+x2=x2−2x−15\displaystyle (5-x)(-3-x)=-15-5x+3x+x^{2}=x^{2}-2x-15. Adăugăm 10\displaystyle 10 din termenul −2⋅(−5)\displaystyle -2\cdot(-5) și obținem x2−2x−5\displaystyle x^{2}-2x-5, pentru orice x\displaystyle x real.
    det⁡(A−xI2)=x2−2x−15+10=x2−2x−5\displaystyle \det(A-xI_2)=x^{2}-2x-15+10=x^{2}-2x-5
  4. Punem condiția din enunț: x2−2x−5=10\displaystyle x^{2}-2x-5=10. Trecem totul în membrul stâng și obținem x2−2x−15=0\displaystyle x^{2}-2x-15=0.
    x2−2x−15=0\displaystyle x^{2}-2x-15=0
  5. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Discriminantul este Δ=(−2)2−4⋅1⋅(−15)=64\displaystyle \Delta=(-2)^{2}-4\cdot1\cdot(-15)=64, deci x=2±82\displaystyle x=\dfrac{2\pm8}{2}. Obținem x=−3\displaystyle x=-3 și x=5\displaystyle x=5, ambele numere reale, deci convin.
    x=−3 sau x=5\displaystyle x=-3\text{ sau }x=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(52−5−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&2\\-5&-3\end{pmatrix} și B=(32−5−5)\displaystyle B=\begin{pmatrix}3&2\\-5&-5\end{pmatrix}.

Arătați că suma elementelor matricei A−1\displaystyle A^{-1} este egală cu −1\displaystyle -1, unde A−1\displaystyle A^{-1} este inversa matricei A\displaystyle A.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B element cu element. Primul rând: 5⋅3+2⋅(−5)=5\displaystyle 5\cdot 3+2\cdot(-5)=5 și 5⋅2+2⋅(−5)=0\displaystyle 5\cdot 2+2\cdot(-5)=0. Al doilea rând: (−5)⋅3+(−3)⋅(−5)=0\displaystyle (-5)\cdot 3+(-3)\cdot(-5)=0 și (−5)⋅2+(−3)⋅(−5)=5\displaystyle (-5)\cdot 2+(-3)\cdot(-5)=5. Deci produsul este 5I2\displaystyle 5I_2.
    A⋅B=(5005)=5I2\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}=5I_2
  2. Împărțim egalitatea la 5\displaystyle 5: A⋅(15B)=I2\displaystyle A\cdot\left(\dfrac{1}{5}B\right)=I_2. Rezultă că A\displaystyle A este inversabilă, iar inversa ei este 15B\displaystyle \dfrac{1}{5}B. Înmulțim fiecare element al lui B\displaystyle B cu 15\displaystyle \dfrac{1}{5}.
    A−1=15B=(3525−1−1)\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{5}B=\begin{pmatrix}\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\-1&-1\end{pmatrix}
  3. Adunăm cele patru elemente ale lui A−1\displaystyle A^{-1}: 35+25−1−1\displaystyle \dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}-1-1. Primii doi termeni dau 1\displaystyle 1, deci suma este 1−2=−1\displaystyle 1-2=-1, așa cum trebuia arătat.
    35+25−1−1=−1\displaystyle \frac{3}{5}+\frac{2}{5}-1-1=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(52−5−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&2\\-5&-3\end{pmatrix} și B=(32−5−5)\displaystyle B=\begin{pmatrix}3&2\\-5&-5\end{pmatrix}.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}) pentru care B⋅X=−20I2\displaystyle B\cdot X=-20I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei B\displaystyle B, ca să vedem că B\displaystyle B este inversabilă: det⁡B=3⋅(−5)−2⋅(−5)\displaystyle \det B=3\cdot(-5)-2\cdot(-5).
    det⁡B=−15+10=−5≠0\displaystyle \det B=-15+10=-5\neq 0
  2. Scriem inversa lui B\displaystyle B cu formula cu matricea adjunctă: se schimbă între ele elementele de pe diagonala principală, se schimbă semnul elementelor de pe diagonala secundară și se împarte la determinant. Obținem B−1=1−5(−5−253)\displaystyle B^{-1}=\dfrac{1}{-5}\begin{pmatrix}-5&-2\\5&3\end{pmatrix}, adică matricea A\displaystyle A împărțită la 5\displaystyle 5.
    B−1=1−5(−5−253)=15(52−5−3)=15A\displaystyle B^{-1}=\dfrac{1}{-5}\begin{pmatrix}-5&-2\\5&3\end{pmatrix}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}5&2\\-5&-3\end{pmatrix}=\dfrac{1}{5}A
  3. Înmulțim egalitatea B⋅X=−20I2\displaystyle B\cdot X=-20I_2 la stânga cu B−1\displaystyle B^{-1}. Cum B−1⋅B=I2\displaystyle B^{-1}\cdot B=I_2 și I2\displaystyle I_2 este element neutru la înmulțire, obținem X=−20B−1\displaystyle X=-20B^{-1}.
    X=−20B−1\displaystyle X=-20B^{-1}
  4. Înlocuim B−1=15A\displaystyle B^{-1}=\dfrac{1}{5}A și simplificăm: X=−20⋅15A=−4A\displaystyle X=-20\cdot\dfrac{1}{5}A=-4A. Apoi înmulțim fiecare element al lui A\displaystyle A cu −4\displaystyle -4.
    X=−4A, deci X=(−20−82012)\displaystyle X=-4A\text{, deci }X=\begin{pmatrix}-20&-8\\20&12\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(52−5−3)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&2\\-5&-3\end{pmatrix} și B=(32−5−5)\displaystyle B=\begin{pmatrix}3&2\\-5&-5\end{pmatrix}.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care A⋅(B⋅B−I2)−(A⋅A−I2)⋅B=x(B−A)\displaystyle A\cdot(B\cdot B-I_2)-(A\cdot A-I_2)\cdot B=x(B-A).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B, pentru că relația A⋅B=5I2\displaystyle A\cdot B=5I_2 din metodă ne va simplifica expresia. Înmulțim linie cu coloană: A⋅B=(5⋅3+2⋅(−5)5⋅2+2⋅(−5)−5⋅3+(−3)⋅(−5)−5⋅2+(−3)⋅(−5))\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}5\cdot 3+2\cdot(-5)&5\cdot 2+2\cdot(-5)\\-5\cdot 3+(-3)\cdot(-5)&-5\cdot 2+(-3)\cdot(-5)\end{pmatrix}.
    A⋅B=(5005)=5I2\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}=5I_2
  2. Dezvoltăm expresia din membrul stâng folosind distributivitatea: A⋅(B⋅B−I2)=A⋅B⋅B−A\displaystyle A\cdot(B\cdot B-I_2)=A\cdot B\cdot B-A și (A⋅A−I2)⋅B=A⋅A⋅B−B\displaystyle (A\cdot A-I_2)\cdot B=A\cdot A\cdot B-B.
    A⋅B⋅B−A−A⋅A⋅B+B\displaystyle A\cdot B\cdot B-A-A\cdot A\cdot B+B
  3. Grupăm A⋅B⋅B=(A⋅B)⋅B=5I2⋅B\displaystyle A\cdot B\cdot B=(A\cdot B)\cdot B=5I_2\cdot B. Cum I2⋅B=B\displaystyle I_2\cdot B=B, obținem A⋅B⋅B=5B\displaystyle A\cdot B\cdot B=5B.
    A⋅B⋅B=5B\displaystyle A\cdot B\cdot B=5B
  4. Grupăm A⋅A⋅B=A⋅(A⋅B)=A⋅5I2\displaystyle A\cdot A\cdot B=A\cdot(A\cdot B)=A\cdot 5I_2. Cum A⋅I2=A\displaystyle A\cdot I_2=A, obținem A⋅A⋅B=5A\displaystyle A\cdot A\cdot B=5A.
    A⋅A⋅B=5A\displaystyle A\cdot A\cdot B=5A
  5. Înlocuim în expresia dezvoltată: 5B−A−5A+B\displaystyle 5B-A-5A+B. Reducem termenii asemenea: 5B+B=6B\displaystyle 5B+B=6B și −A−5A=−6A\displaystyle -A-5A=-6A.
    A⋅B⋅B−A−A⋅A⋅B+B=5B−A−5A+B=6B−6A\displaystyle A\cdot B\cdot B-A-A\cdot A\cdot B+B=5B-A-5A+B=6B-6A
  6. Egalăm cu membrul drept: 6(B−A)=x(B−A)\displaystyle 6(B-A)=x(B-A). Matricea B−A\displaystyle B-A nu este nulă, deoarece B≠A\displaystyle B\neq A, deci coeficienții sunt egali și x=6\displaystyle x=6.
    6(B−A)=x(B−A), de unde x=6\displaystyle 6(B-A)=x(B-A)\text{, de unde }x=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.