Bac matematică M4 pedagogic 2020, model, test de evaluare 19: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (1−12)(1−13)(1−14)(1−15)(1−16)=16\displaystyle \left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)\left(1-\frac{1}{5}\right)\left(1-\frac{1}{6}\right)=\frac{1}{6}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem fiecare paranteză sub forma unei singure fracții, amplificând pe 1\displaystyle 1 cu numitorul: 1−12=2−12\displaystyle 1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2-1}{2} și analog pentru celelalte.
    2−12⋅3−13⋅4−14⋅5−15⋅6−16\displaystyle \frac{2-1}{2}\cdot\frac{3-1}{3}\cdot\frac{4-1}{4}\cdot\frac{5-1}{5}\cdot\frac{6-1}{6}
  2. Efectuăm scăderile de la numărători: 2−1=1\displaystyle 2-1=1, 3−1=2\displaystyle 3-1=2, 4−1=3\displaystyle 4-1=3, 5−1=4\displaystyle 5-1=4, 6−1=5\displaystyle 6-1=5.
    12⋅23⋅34⋅45⋅56\displaystyle \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{6}
  3. Înmulțim fracțiile și simplificăm factorii comuni: 2\displaystyle 2, 3\displaystyle 3, 4\displaystyle 4 și 5\displaystyle 5 apar atât la numărător, cât și la numitor. Rămân 1\displaystyle 1 la numărător și 6\displaystyle 6 la numitor.
    1⋅2⋅3⋅4⋅52⋅3⋅4⋅5⋅6=16\displaystyle \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}=\frac{1}{6}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2+2x+1\displaystyle f(x)=x^2+2x+1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=1\displaystyle g(x)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Abscisele punctelor de intersecție sunt soluțiile ecuației f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x). Scriem această ecuație: x2+2x+1=1\displaystyle x^{2}+2x+1=1.
    x2+2x+1=1\displaystyle x^{2}+2x+1=1
  2. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri și obținem o ecuație de gradul al doilea fără termen liber: x2+2x=0\displaystyle x^{2}+2x=0.
    x2+2x=0\displaystyle x^{2}+2x=0
  3. Dăm factor comun pe x\displaystyle x și obținem un produs egal cu zero: x(x+2)=0\displaystyle x(x+2)=0.
    x(x+2)=0\displaystyle x(x+2)=0
  4. Un produs este nul când cel puțin un factor este nul, deci x=0\displaystyle x=0 sau x+2=0\displaystyle x+2=0. Rezultă x=0\displaystyle x=0 sau x=−2\displaystyle x=-2. Acestea sunt abscisele punctelor de intersecție.
    x=−2 și x=0\displaystyle x=-2\text{ și }x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 312−3x=9−3\displaystyle 3^{12-3x}=9^{-3}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că 9=32\displaystyle 9=3^{2}, deci putem scrie ecuația cu aceeași bază 3\displaystyle 3 în ambii membri.
    9=32\displaystyle 9=3^{2}
  2. Înlocuim în membrul drept: 9−3=(32)−3\displaystyle 9^{-3}=\left(3^{2}\right)^{-3}. Înmulțim exponenții: 2⋅(−3)=−6\displaystyle 2\cdot(-3)=-6, deci 9−3=3−6\displaystyle 9^{-3}=3^{-6}.
    312−3x=(32)−3=3−6\displaystyle 3^{12-3x}=\left(3^{2}\right)^{-3}=3^{-6}
  3. Cum baza 3\displaystyle 3 este aceeași și funcția t↦3t\displaystyle t\mapsto 3^{t} este injectivă, egalăm exponenții: 12−3x=−6\displaystyle 12-3x=-6.
    12−3x=−6\displaystyle 12-3x=-6
  4. Trecem 12\displaystyle 12 în membrul drept: −3x=−6−12\displaystyle -3x=-6-12, deci −3x=−18\displaystyle -3x=-18.
    −3x=−18\displaystyle -3x=-18
  5. Împărțim ambii membri la −3\displaystyle -3 și obținem x=−18−3=6\displaystyle x=\dfrac{-18}{-3}=6.
    x=6\displaystyle x=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale pare de două cifre se pot forma cu elementele mulțimii A={1,2,3,4,5,6,7,8,9}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}.
Vezi rezolvarea
  1. Un număr de două cifre are forma ab‾\displaystyle \overline{ab}, cu a\displaystyle a cifra zecilor și b\displaystyle b cifra unităților, ambele din mulțimea A\displaystyle A. Numărul este par dacă ultima cifră este pară. Cifrele pare din A\displaystyle A sunt 2,4,6,8\displaystyle 2, 4, 6, 8, deci cifra unităților se poate alege în 4\displaystyle 4 moduri.
    b∈{2,4,6,8}⇒4 alegeri\displaystyle b\in\{2,4,6,8\}\Rightarrow 4\text{ alegeri}
  2. Cifra zecilor poate fi oricare dintre cele 9\displaystyle 9 elemente ale mulțimii A\displaystyle A, deoarece nu există nicio restricție asupra ei (nici una dintre cifre nu este 0\displaystyle 0) și cifrele se pot repeta.
    a∈A⇒9 alegeri\displaystyle a\in A\Rightarrow 9\text{ alegeri}
  3. Aplicăm regula produsului: numărul de numere este produsul dintre numărul de alegeri pentru cifra unităților și numărul de alegeri pentru cifra zecilor. Deci se pot forma 36\displaystyle 36 de numere pare.
    4⋅9=36\displaystyle 4\cdot 9=36
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(4,0)\displaystyle A(4,0), B(8,3)\displaystyle B(8,3) și C(0,3)\displaystyle C(0,3). Calculați perimetrul triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Perimetrul este suma lungimilor laturilor. Folosim formula distanței: d(M,N)=(xN−xM)2+(yN−yM)2\displaystyle d(M,N)=\sqrt{(x_N-x_M)^{2}+(y_N-y_M)^{2}}.
    d(M,N)=(xN−xM)2+(yN−yM)2\displaystyle d(M,N)=\sqrt{(x_N-x_M)^{2}+(y_N-y_M)^{2}}
  2. Calculăm AB\displaystyle AB pentru A(4,0)\displaystyle A(4,0) și B(8,3)\displaystyle B(8,3): AB=(8−4)2+(3−0)2=16+9=25\displaystyle AB=\sqrt{(8-4)^{2}+(3-0)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}.
    AB=25=5\displaystyle AB=\sqrt{25}=5
  3. Calculăm AC\displaystyle AC pentru A(4,0)\displaystyle A(4,0) și C(0,3)\displaystyle C(0,3): AC=(0−4)2+(3−0)2=16+9=25\displaystyle AC=\sqrt{(0-4)^{2}+(3-0)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}.
    AC=25=5\displaystyle AC=\sqrt{25}=5
  4. Calculăm BC\displaystyle BC pentru B(8,3)\displaystyle B(8,3) și C(0,3)\displaystyle C(0,3): BC=(0−8)2+(3−3)2=64\displaystyle BC=\sqrt{(0-8)^{2}+(3-3)^{2}}=\sqrt{64}. Deci laturile sunt AB=5\displaystyle AB=5, AC=5\displaystyle AC=5 și BC=8\displaystyle BC=8.
    AB=5\displaystyle AB=5, AC=5 și BC=8\displaystyle \ AC=5\text{ și }BC=8
  5. Adunăm lungimile laturilor: P△ABC=AB+AC+BC=5+5+8=18\displaystyle P_{\triangle ABC}=AB+AC+BC=5+5+8=18.
    P△ABC=5+5+8=18\displaystyle P_{\triangle ABC}=5+5+8=18
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 2sin⁡230∘−cos⁡245∘=0\displaystyle 2\sin^2 30^\circ-\cos^2 45^\circ=0.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim valorile cunoscute: sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2} și cos⁡45∘=22\displaystyle \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
    sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, cos⁡45∘=22\displaystyle \ \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
  2. Ridicăm la pătrat: sin⁡230∘=(12)2=14\displaystyle \sin^2 30^\circ=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4} și cos⁡245∘=(22)2=24\displaystyle \cos^2 45^\circ=\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{2}{4}.
    sin⁡230∘=14\displaystyle \sin^2 30^\circ=\dfrac{1}{4}, cos⁡245∘=24\displaystyle \ \cos^2 45^\circ=\dfrac{2}{4}
  3. Înlocuim în expresie: 2sin⁡230∘−cos⁡245∘=2⋅14−24=24−24=0\displaystyle 2\sin^2 30^\circ-\cos^2 45^\circ=2\cdot\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{4}=\dfrac{2}{4}-\dfrac{2}{4}=0. Egalitatea este demonstrată.
    2sin⁡230∘−cos⁡245∘=2⋅14−24=0\displaystyle 2\sin^2 30^\circ-\cos^2 45^\circ=2\cdot\dfrac{1}{4}-\dfrac{2}{4}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy+3x+3y+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6.

Arătați că 2020∘(−3)=−3\displaystyle 2020\circ(-3)=-3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii pentru x=2020\displaystyle x=2020 și y=−3\displaystyle y=-3, adică înlocuim x\displaystyle x cu 2020\displaystyle 2020 și y\displaystyle y cu −3\displaystyle -3 în expresia xy+3x+3y+6\displaystyle xy+3x+3y+6.
    2020∘(−3)=2020⋅(−3)+3⋅2020+3⋅(−3)+6\displaystyle 2020\circ(-3)=2020\cdot(-3)+3\cdot 2020+3\cdot(-3)+6
  2. Calculăm produsele: 2020⋅(−3)=−6060\displaystyle 2020\cdot(-3)=-6060, iar 3⋅2020=6060\displaystyle 3\cdot 2020=6060. Aceste două numere sunt opuse, deci se reduc.
    −6060+6060+3⋅(−3)+6=0−9+6\displaystyle -6060+6060+3\cdot(-3)+6=0-9+6
  3. Efectuăm calculul rămas: −9+6=−3\displaystyle -9+6=-3, deci egalitatea cerută este adevărată.
    2020∘(−3)=−9+6=−3\displaystyle 2020\circ(-3)=-9+6=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy+3x+3y+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6.

Demonstrați că x∘y=(x+3)(y+3)−3\displaystyle x\circ y=(x+3)(y+3)-3, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y: x∘y=xy+3x+3y+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6.
    x∘y=xy+3x+3y+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6
  2. Scriem 6=9−3\displaystyle 6=9-3, pentru a obține termenul 9\displaystyle 9, care va permite gruparea factorilor.
    x∘y=xy+3x+3y+9−3\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+9-3
  3. Grupăm termenii xy+3x\displaystyle xy+3x și 3y+9\displaystyle 3y+9 și dăm factor comun: xy+3x=x(y+3)\displaystyle xy+3x=x(y+3), iar 3y+9=3(y+3)\displaystyle 3y+9=3(y+3).
    x(y+3)+3(y+3)−3\displaystyle x(y+3)+3(y+3)-3
  4. Dăm factor comun pe y+3\displaystyle y+3 și obținem forma cerută, pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∘y=(x+3)(y+3)−3\displaystyle x\circ y=(x+3)(y+3)-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy+3x+3y+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6.

Arătați că (−3)∘x=−3\displaystyle (-3)\circ x=-3, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție în forma echivalentă. Desfacem parantezele din (x+3)(y+3)−3\displaystyle (x+3)(y+3)-3 și obținem xy+3x+3y+9−3\displaystyle xy+3x+3y+9-3, adică exact xy+3x+3y+6\displaystyle xy+3x+3y+6.
    x∘y=(x+3)(y+3)−3\displaystyle x\circ y=(x+3)(y+3)-3
  2. Înlocuim primul element cu −3\displaystyle -3 în forma obținută, iar al doilea element rămâne x\displaystyle x.
    (−3)∘x=((−3)+3)(x+3)−3\displaystyle (-3)\circ x=((-3)+3)(x+3)-3
  3. Prima paranteză este (−3)+3=0\displaystyle (-3)+3=0, deci produsul cu (x+3)\displaystyle (x+3) este 0\displaystyle 0, pentru orice x\displaystyle x real. Rămâne 0−3=−3\displaystyle 0-3=-3, ceea ce trebuia arătat.
    0⋅(x+3)−3=0−3=−3\displaystyle 0\cdot(x+3)-3=0-3=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy+3x+3y+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6.

Verificați dacă e=−2\displaystyle e=-2 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul e=−2\displaystyle e=-2 este neutru dacă x∘e=e∘x=x\displaystyle x\circ e=e\circ x=x pentru orice x\displaystyle x real. Observăm că legea se poate scrie factorizat: xy+3x+3y+6=(x+3)(y+3)−3\displaystyle xy+3x+3y+6=(x+3)(y+3)-3, deoarece (x+3)(y+3)=xy+3x+3y+9\displaystyle (x+3)(y+3)=xy+3x+3y+9.
    x∘y=(x+3)(y+3)−3\displaystyle x\circ y=(x+3)(y+3)-3
  2. Calculăm x∘(−2)\displaystyle x\circ(-2) înlocuind y=−2\displaystyle y=-2 în forma factorizată: factorul (−2)+3\displaystyle (-2)+3 este egal cu 1\displaystyle 1, deci rămâne x+3−3=x\displaystyle x+3-3=x.
    x∘(−2)=(x+3)((−2)+3)−3=x+3−3=x\displaystyle x\circ(-2)=(x+3)\big((-2)+3\big)-3=x+3-3=x
  3. Calculăm (−2)∘x\displaystyle (-2)\circ x înlocuind primul argument cu −2\displaystyle -2. Factorul (−2)+3\displaystyle (-2)+3 este egal cu 1\displaystyle 1, deci obținem din nou x\displaystyle x. Cele două egalități arată că −2\displaystyle -2 este element neutru.
    (−2)∘x=((−2)+3)(x+3)−3=x+3−3=x, deci e=−2 este elementul neutru\displaystyle (-2)\circ x=\big((-2)+3\big)(x+3)-3=x+3-3=x\text{, deci }e=-2\text{ este elementul neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy+3x+3y+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6.

Calculați (−3)∘(−2)∘(−1)∘0∘1∘2∘3\displaystyle (-3)\circ(-2)\circ(-1)\circ 0\circ 1\circ 2\circ 3.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se poate scrie factorizat. Avem (x+3)(y+3)=xy+3x+3y+9\displaystyle (x+3)(y+3)=xy+3x+3y+9, deci x∘y=(x+3)(y+3)−3\displaystyle x\circ y=(x+3)(y+3)-3.
    x∘y=(x+3)(y+3)−3\displaystyle x\circ y=(x+3)(y+3)-3
  2. Calculăm (−3)∘x=(−3+3)(x+3)−3=0⋅(x+3)−3\displaystyle (-3)\circ x=(-3+3)(x+3)-3=0\cdot(x+3)-3. Rezultatul nu depinde de x\displaystyle x.
    (−3)∘x=−3\displaystyle (-3)\circ x=-3, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  3. Legea fiind asociativă, grupăm paranteza astfel: primul termen −3\displaystyle -3 compus cu restul expresiei.
    (−3)∘(−2)∘(−1)∘0∘1∘2∘3=(−3)∘((−2)∘(−1)∘0∘1∘2∘3)\displaystyle (-3)\circ(-2)\circ(-1)\circ 0\circ 1\circ 2\circ 3=(-3)\circ\left((-2)\circ(-1)\circ 0\circ 1\circ 2\circ 3\right)
  4. Rezultatul din paranteză este un număr real a\displaystyle a. Din (−3)∘a=−3\displaystyle (-3)\circ a=-3 obținem valoarea expresiei.
    (−3)∘(−2)∘(−1)∘0∘1∘2∘3=−3\displaystyle (-3)\circ(-2)\circ(-1)\circ 0\circ 1\circ 2\circ 3=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=xy+3x+3y+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∘x=1\displaystyle x\circ x=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea sub formă factorizată: xy+3x+3y+6=xy+3x+3y+9−3\displaystyle xy+3x+3y+6=xy+3x+3y+9-3, iar xy+3x+3y+9=(x+3)(y+3)\displaystyle xy+3x+3y+9=(x+3)(y+3).
    x∘y=(x+3)(y+3)−3\displaystyle x\circ y=(x+3)(y+3)-3
  2. Luăm y=x\displaystyle y=x în forma factorizată.
    x∘x=(x+3)2−3\displaystyle x\circ x=(x+3)^2-3
  3. Din x∘x=1\displaystyle x\circ x=1 obținem (x+3)2−3=1\displaystyle (x+3)^2-3=1, deci (x+3)2=4\displaystyle (x+3)^2=4.
    (x+3)2=4\displaystyle (x+3)^2=4
  4. Din (x+3)2=4\displaystyle (x+3)^2=4 rezultă x+3=2\displaystyle x+3=2 sau x+3=−2\displaystyle x+3=-2.
    x+3=2 sau x+3=−2\displaystyle x+3=2\text{ sau }x+3=-2
  5. Din x+3=2\displaystyle x+3=2 obținem x=−1\displaystyle x=-1, iar din x+3=−2\displaystyle x+3=-2 obținem x=−5\displaystyle x=-5.
    x=−5 sau x=−1\displaystyle x=-5\text{ sau }x=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(5221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡A=1\displaystyle \det A=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A=(5221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix}.
    det⁡A=∣5221∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}5&2\\2&1\end{vmatrix}
  2. Aplicăm formula ∣abcd∣=a⋅d−b⋅c\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Aici a=5\displaystyle a=5, b=2\displaystyle b=2, c=2\displaystyle c=2, d=1\displaystyle d=1.
    det⁡A=5⋅1−2⋅2\displaystyle \det A=5\cdot 1-2\cdot 2
  3. Efectuăm înmulțirile: 5⋅1=5\displaystyle 5\cdot 1=5 și 2⋅2=4\displaystyle 2\cdot 2=4, apoi scădem. Obținem 5−4=1\displaystyle 5-4=1, deci det⁡A=1\displaystyle \det A=1.
    det⁡A=5−4=1\displaystyle \det A=5-4=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(5221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că A⋅A−6A=−I2\displaystyle A\cdot A-6A=-I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este 5⋅5+2⋅2=29\displaystyle 5\cdot 5+2\cdot 2=29.
    5⋅5+2⋅2=29\displaystyle 5\cdot 5+2\cdot 2=29
  2. Calculăm celelalte elemente: linia 1, coloana 2 este 5⋅2+2⋅1=12\displaystyle 5\cdot 2+2\cdot 1=12; linia 2, coloana 1 este 2⋅5+1⋅2=12\displaystyle 2\cdot 5+1\cdot 2=12; linia 2, coloana 2 este 2⋅2+1⋅1=5\displaystyle 2\cdot 2+1\cdot 1=5. Rezultă matricea A⋅A\displaystyle A\cdot A.
    A⋅A=(2912125)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}29&12\\12&5\end{pmatrix}
  3. Calculăm 6A\displaystyle 6A, înmulțind fiecare element al lui A\displaystyle A cu 6\displaystyle 6.
    6A=(3012126)\displaystyle 6A=\begin{pmatrix}30&12\\12&6\end{pmatrix}
  4. Scădem matricele element cu element: 29−30=−1\displaystyle 29-30=-1, 12−12=0\displaystyle 12-12=0, 5−6=−1\displaystyle 5-6=-1. Obținem exact minus matricea unitate, deci egalitatea este demonstrată.
    A⋅A−6A=(2912125)−(3012126)=(−100−1)=−I2\displaystyle A\cdot A-6A=\begin{pmatrix}29&12\\12&5\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}30&12\\12&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(5221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(xA)=4\displaystyle \det(xA)=4.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim matricea A\displaystyle A cu scalarul x\displaystyle x: fiecare element al matricei se înmulțește cu x\displaystyle x.
    xA=(5x2x2xx)\displaystyle xA=\begin{pmatrix}5x&2x\\2x&x\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul matricei xA\displaystyle xA ca diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(xA)=5x⋅x−2x⋅2x\displaystyle \det(xA)=5x\cdot x-2x\cdot 2x.
    det⁡(xA)=5x2−4x2=x2\displaystyle \det(xA)=5x^{2}-4x^{2}=x^{2}
  3. Înlocuim în condiția din enunț, det⁡(xA)=4\displaystyle \det(xA)=4, și obținem ecuația x2=4\displaystyle x^{2}=4.
    x2=4\displaystyle x^{2}=4
  4. Rezolvăm ecuația x2=4\displaystyle x^{2}=4: avem x=±4\displaystyle x=\pm\sqrt{4}. Ambele valori sunt numere reale, deci convin.
    x=−2 sau x=2\displaystyle x=-2\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(5221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Arătați că det⁡(A⋅A−6A+aI2)≥0\displaystyle \det(A\cdot A-6A+aI_2)\ge 0, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm A⋅A\displaystyle A\cdot A înmulțind matricea A\displaystyle A cu ea însăși, linie cu coloană.
    A⋅A=(5⋅5+2⋅25⋅2+2⋅12⋅5+1⋅22⋅2+1⋅1)=(2912125)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}5\cdot5+2\cdot2&5\cdot2+2\cdot1\\2\cdot5+1\cdot2&2\cdot2+1\cdot1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}29&12\\12&5\end{pmatrix}
  2. Calculăm 6A\displaystyle 6A, înmulțind fiecare element al lui A\displaystyle A cu 6\displaystyle 6.
    6A=(3012126)\displaystyle 6A=\begin{pmatrix}30&12\\12&6\end{pmatrix}
  3. Scădem matricele și obținem A⋅A−6A\displaystyle A\cdot A-6A. Se observă că rezultatul este minus matricea unitate.
    A⋅A−6A=(29−3012−1212−125−6)=(−100−1)=−I2\displaystyle A\cdot A-6A=\begin{pmatrix}29-30&12-12\\12-12&5-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}=-I_2
  4. Adunăm aI2\displaystyle aI_2 și obținem o matrice diagonală cu a−1\displaystyle a-1 pe diagonală. Determinantul ei este determinantul acestei matrice.
    A⋅A−6A+aI2=(a−100a−1)⇒det⁡(A⋅A−6A+aI2)=∣a−100a−1∣\displaystyle A\cdot A-6A+aI_2=\begin{pmatrix}a-1&0\\0&a-1\end{pmatrix}\Rightarrow\det(A\cdot A-6A+aI_2)=\begin{vmatrix}a-1&0\\0&a-1\end{vmatrix}
  5. Calculăm determinantul matricei diagonale: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe cealaltă diagonală. Obținem un pătrat perfect, care este nenegativ pentru orice număr real a\displaystyle a.
    (a−1)(a−1)−0⋅0=(a−1)2≥0, pentru orice numa˘r real a\displaystyle (a-1)(a-1)-0\cdot0=(a-1)^2\ge 0\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(5221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați numerele reale m\displaystyle m pentru care m(det⁡(A+I2)+det⁡(A−I2))=det⁡(mA)\displaystyle m\left(\det(A+I_2)+\det(A-I_2)\right)=\det(mA).
Vezi rezolvarea
  1. Adunăm I2\displaystyle I_2 la A\displaystyle A: se mărește cu 1 fiecare element de pe diagonala principală, deci A+I2=(6222)\displaystyle A+I_2=\begin{pmatrix}6&2\\2&2\end{pmatrix}.
    A+I2=(6222)\displaystyle A+I_2=\begin{pmatrix}6&2\\2&2\end{pmatrix}
  2. Determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe diagonala secundară: det⁡(A+I2)=6⋅2−2⋅2=12−4=8\displaystyle \det(A+I_2)=6\cdot 2-2\cdot 2=12-4=8.
    det⁡(A+I2)=∣6222∣=8\displaystyle \det(A+I_2)=\begin{vmatrix}6&2\\2&2\end{vmatrix}=8
  3. Scădem 1 din fiecare element de pe diagonala principală: A−I2=(4220)\displaystyle A-I_2=\begin{pmatrix}4&2\\2&0\end{pmatrix}. Atunci det⁡(A−I2)=4⋅0−2⋅2=−4\displaystyle \det(A-I_2)=4\cdot 0-2\cdot 2=-4.
    det⁡(A−I2)=∣4220∣=−4\displaystyle \det(A-I_2)=\begin{vmatrix}4&2\\2&0\end{vmatrix}=-4
  4. Avem mA=(5m2m2mm)\displaystyle mA=\begin{pmatrix}5m&2m\\2m&m\end{pmatrix}, deci det⁡(mA)=5m⋅m−2m⋅2m=5m2−4m2=m2\displaystyle \det(mA)=5m\cdot m-2m\cdot 2m=5m^{2}-4m^{2}=m^{2}.
    det⁡(mA)=∣5m2m2mm∣=m2\displaystyle \det(mA)=\begin{vmatrix}5m&2m\\2m&m\end{vmatrix}=m^{2}
  5. Suma determinanților este 8+(−4)=4\displaystyle 8+(-4)=4, deci ecuația devine m⋅4=m2\displaystyle m\cdot 4=m^{2}, adică m2−4m=0\displaystyle m^{2}-4m=0.
    4m=m2⇔m2−4m=0\displaystyle 4m=m^{2}\Leftrightarrow m^{2}-4m=0
  6. Scoatem factor comun: m(m−4)=0\displaystyle m(m-4)=0. Un produs este nul când un factor este nul, deci m=0\displaystyle m=0 sau m=4\displaystyle m=4.
    m=0 sau m=4\displaystyle m=0\text{ sau }m=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(5221)\displaystyle A=\begin{pmatrix}5&2\\2&1\end{pmatrix} și I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere întregi, știind că det⁡(mA)−det⁡(nA)=8\displaystyle \det(mA)-\det(nA)=8.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei A\displaystyle A: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică det⁡A=5⋅1−2⋅2\displaystyle \det A=5\cdot 1-2\cdot 2.
    det⁡A=5−4=1\displaystyle \det A=5-4=1
  2. Pentru o matrice de ordin 2\displaystyle 2 înmulțită cu un scalar k\displaystyle k, determinantul se înmulțește cu k2\displaystyle k^{2}. Deci det⁡(mA)=m2det⁡A\displaystyle \det(mA)=m^{2}\det A și det⁡(nA)=n2det⁡A\displaystyle \det(nA)=n^{2}\det A.
    det⁡(mA)=m2\displaystyle \det(mA)=m^{2}, det⁡(nA)=n2\displaystyle \ \det(nA)=n^{2}
  3. Înlocuim în relația det⁡(mA)−det⁡(nA)=8\displaystyle \det(mA)-\det(nA)=8 și descompunem diferența de pătrate în produs.
    m2−n2=8⇔(m−n)(m+n)=8\displaystyle m^{2}-n^{2}=8\Leftrightarrow (m-n)(m+n)=8
  4. Suma celor doi factori este (m−n)+(m+n)=2m\displaystyle (m-n)+(m+n)=2m, deci un număr par. Atunci factorii au aceeași paritate, iar produsul lor fiind 8\displaystyle 8, ambii factori sunt pari. Descompunerile cu factori 1\displaystyle 1 și 8\displaystyle 8, respectiv −1\displaystyle -1 și −8\displaystyle -8, nu convin.
    (m−n, m+n)∈{(2,4),(4,2),(−2,−4),(−4,−2)}\displaystyle (m-n,\ m+n)\in\{(2,4),(4,2),(-2,-4),(-4,-2)\}
  5. Rezolvăm fiecare sistem, folosind m=(m−n)+(m+n)2\displaystyle m=\dfrac{(m-n)+(m+n)}{2} și n=(m+n)−(m−n)2\displaystyle n=\dfrac{(m+n)-(m-n)}{2}.
    m−n=2, m+n=4⇒(m,n)=(3,1)m−n=4, m+n=2⇒(m,n)=(3,−1)m−n=−2, m+n=−4⇒(m,n)=(−3,−1)m−n=−4, m+n=−2⇒(m,n)=(−3,1)\displaystyle \begin{aligned}&m-n=2,\ m+n=4\Rightarrow (m,n)=(3,1)\\&m-n=4,\ m+n=2\Rightarrow (m,n)=(3,-1)\\&m-n=-2,\ m+n=-4\Rightarrow (m,n)=(-3,-1)\\&m-n=-4,\ m+n=-2\Rightarrow (m,n)=(-3,1)\end{aligned}
  6. Toate cele patru perechi sunt formate din numere întregi, deci toate convin. Perechile căutate sunt:
    (−3,−1)\displaystyle (-3,-1), (−3,1)\displaystyle \ (-3,1), (3,−1) și (3,1)\displaystyle \ (3,-1)\text{ și }(3,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.