Bac matematică M4 pedagogic 2017, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle \left(\left(\frac{1}{3}\right)^2+3\right):\frac{28}{9}=1

.

Vezi rezolvarea

Calculăm puterea din paranteză: $\displaystyle \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}=\dfrac{1^{2}}{3^{2}}=\dfrac{1}{9}$ .
$\displaystyle \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}=\dfrac{1}{9}$
Scriem $\displaystyle 3=\dfrac{27}{9}$ și adunăm: $\displaystyle \dfrac{1}{9}+3=\dfrac{1}{9}+\dfrac{27}{9}=\dfrac{28}{9}$ .
$\displaystyle \left(\dfrac{1}{3}\right)^{2}+3=\dfrac{1}{9}+3=\dfrac{28}{9}$
Înlocuim valoarea parantezei în expresie: $\displaystyle \dfrac{28}{9}:\dfrac{28}{9}$ . Împărțim un număr nenul la el însuși, deci rezultatul este $\displaystyle 1$ , adică egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle \dfrac{28}{9}:\dfrac{28}{9}=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Arătați că

\displaystyle f(1)-f(-1)=4

pentru orice număr real

\displaystyle m

, unde

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x+m

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle f(1)$ înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 1$ în formula funcției $\displaystyle f(x)=2x+m$ .
$\displaystyle f(1)=2\cdot 1+m=2+m$
Calculăm $\displaystyle f(-1)$ înlocuind $\displaystyle x$ cu $\displaystyle -1$ în aceeași formulă.
$\displaystyle f(-1)=2\cdot(-1)+m=-2+m$
Scriem diferența $\displaystyle f(1)-f(-1)$ cu valorile găsite. Punem a doua valoare între paranteze, ca semnul minus să se aplice ambilor termeni.
$\displaystyle f(1)-f(-1)=2+m-(-2+m)$
Desfacem parantezele și reducem termenii: $\displaystyle m$ se reduce cu $\displaystyle -m$ , iar $\displaystyle 2+2=4$ . Rezultatul nu depinde de $\displaystyle m$ , deci egalitatea este adevărată pentru orice număr real $\displaystyle m$ .
$\displaystyle 2+m+2-m=4\text{, pentru orice număr real }m$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle 2^{x^2+3}=2^{4x}

.

Vezi rezolvarea

Baza $\displaystyle 2$ este aceeași în ambii membri, iar funcția exponențială $\displaystyle t\mapsto 2^{t}$ este injectivă, deci egalitatea puterilor revine la egalitatea exponenților: $\displaystyle x^{2}+3=4x$ .
$\displaystyle x^{2}+3=4x$
Mutăm termenul $\displaystyle 4x$ în membrul stâng și obținem ecuația de gradul al doilea $\displaystyle x^{2}-4x+3=0$ .
$\displaystyle x^{2}+3=4x\Leftrightarrow x^{2}-4x+3=0$
Identificăm coeficienții $\displaystyle a=1$ , $\displaystyle b=-4$ , $\displaystyle c=3$ și calculăm discriminantul: $\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=16-12=4$ .
$\displaystyle \Delta=(-4)^{2}-4\cdot 1\cdot 3=4$
Aplicăm formula $\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4\pm 2}{2}$ . Obținem $\displaystyle x=1$ și $\displaystyle x=3$ , ambele reale, deci convin.
$\displaystyle x=1\text{ sau }x=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Prețul unui obiect este

\displaystyle 1200

de lei. Determinați prețul obiectului după ce se scumpește de două ori, succesiv, cu câte

\displaystyle 5\%

.

Vezi rezolvarea

Calculăm cât reprezintă $\displaystyle 5\%$ din prețul inițial: $\displaystyle 5\%\cdot 1200=\dfrac{5}{100}\cdot 1200$ .
$\displaystyle 5\%\cdot 1200=60\text{ de lei}$
Adunăm creșterea la prețul inițial: $\displaystyle 1200+60$ . Acesta este prețul după prima scumpire.
$\displaystyle 1200+5\%\cdot 1200=1260\text{ de lei}$
A doua scumpire de $\displaystyle 5\%$ se aplică noului preț, $\displaystyle 1260$ de lei. Calculăm $\displaystyle 5\%\cdot 1260=\dfrac{5}{100}\cdot 1260$ .
$\displaystyle 5\%\cdot 1260=63\text{ de lei}$
Adunăm creșterea la prețul de $\displaystyle 1260$ de lei: $\displaystyle 1260+63$ . Acesta este prețul final al obiectului.
$\displaystyle 1260+5\%\cdot 1260=1323\text{ de lei}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctele

\displaystyle A(2,6)

și

\displaystyle B(2,3)

. Determinați distanța de la punctul

\displaystyle O

la punctul

\displaystyle C

, unde

\displaystyle C

este simetricul punctului

\displaystyle A

față de punctul

\displaystyle B

.

Vezi rezolvarea

Punctul $\displaystyle C$ este simetricul lui $\displaystyle A$ față de $\displaystyle B$ , deci $\displaystyle B$ este mijlocul segmentului $\displaystyle AC$ . Scriem formulele mijlocului: $\displaystyle x_B=\dfrac{x_A+x_C}{2}$ și $\displaystyle y_B=\dfrac{y_A+y_C}{2}$ .
$\displaystyle 2=\dfrac{2+x_C}{2}$ , $\displaystyle \quad 3=\dfrac{6+y_C}{2}$
Rezolvăm cele două ecuații: din prima, $\displaystyle 2+x_C=4$ , deci $\displaystyle x_C=2$ ; din a doua, $\displaystyle 6+y_C=6$ , deci $\displaystyle y_C=0$ . Deci $\displaystyle C(2,0)$ .
$\displaystyle C(2,0)$
Calculăm distanța de la $\displaystyle O(0,0)$ la $\displaystyle C(2,0)$ cu formula distanței dintre două puncte: $\displaystyle OC=\sqrt{(x_C-x_O)^2+(y_C-y_O)^2}$ .
$\displaystyle OC=\sqrt{(2-0)^2+(0-0)^2}=\sqrt{4}=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Calculați aria triunghiului

\displaystyle ABC

, știind că

\displaystyle m(\sphericalangle B)=45^\circ

și

\displaystyle AB=AC=4

.

Vezi rezolvarea

Triunghiul $\displaystyle ABC$ are $\displaystyle AB=AC$ , deci este isoscel cu baza $\displaystyle BC$ , iar unghiurile de la bază sunt egale. Din $\displaystyle m(\sphericalangle B)=45^\circ$ rezultă că și $\displaystyle m(\sphericalangle C)=45^\circ$ .
$\displaystyle m(\sphericalangle C)=45^\circ$
Suma unghiurilor unui triunghi este $\displaystyle 180^\circ$ , deci $\displaystyle m(\sphericalangle A)=180^\circ-45^\circ-45^\circ=90^\circ$ . Triunghiul este dreptunghic isoscel, cu catetele $\displaystyle AB$ și $\displaystyle AC$ .
$\displaystyle m(\sphericalangle A)=90^\circ$
Aria unui triunghi dreptunghic este semiprodusul catetelor. Înlocuim $\displaystyle AB=AC=4$ .
$\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{4\cdot 4}{2}$
Calculăm: $\displaystyle 4\cdot 4=16$ , iar $\displaystyle \dfrac{16}{2}=8$ . Aria triunghiului este $\displaystyle 8$ .
$\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=8$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+y-2017

.

Arătați că

\displaystyle 2000*17=0

.

Vezi rezolvarea

Scriem definiția legii de compoziție: pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ , $\displaystyle x*y=x+y-2017$ .
$\displaystyle x*y=x+y-2017$
Înlocuim $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 2000$ și $\displaystyle y$ cu $\displaystyle 17$ în definiție.
$\displaystyle 2000*17=2000+17-2017$
Calculăm suma $\displaystyle 2000+17=2017$ , apoi scădem $\displaystyle 2017$ și obținem $\displaystyle 0$ , deci egalitatea cerută este adevărată.
$\displaystyle 2017-2017=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+y-2017

.

Arătați că legea de compoziție „

\displaystyle *

” este asociativă.

Vezi rezolvarea

Legea este asociativă dacă $\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)$ pentru orice $\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}$ . Calculăm separat cele două grupări, începând cu $\displaystyle (x*y)*z$ .
$\displaystyle (x*y)*z$
Înlocuim $\displaystyle x*y=x+y-2017$ , apoi aplicăm legea între $\displaystyle x+y-2017$ și $\displaystyle z$ : adunăm cele două numere și scădem $\displaystyle 2017$ .
$\displaystyle (x*y)*z=(x+y-2017)*z=(x+y-2017)+z-2017$
Reducem termenii asemenea: $\displaystyle -2017-2017=-4034$ .
$\displaystyle (x*y)*z=x+y+z-4034$
Calculăm acum cealaltă grupare, $\displaystyle x*(y*z)$ . Mai întâi înlocuim $\displaystyle y*z=y+z-2017$ .
$\displaystyle x*(y*z)=x*(y+z-2017)$
Aplicăm legea între $\displaystyle x$ și $\displaystyle y+z-2017$ : adunăm cele două numere și scădem $\displaystyle 2017$ .
$\displaystyle x*(y+z-2017)=x+(y+z-2017)-2017$
Reducem termenii asemenea și obținem aceeași expresie ca la prima grupare. Deci cele două grupări sunt egale pentru orice numere reale $\displaystyle x,y,z$ , adică legea „ $\displaystyle *$ ” este asociativă.
$\displaystyle x*(y*z)=x+y+z-4034=(x*y)*z\text{, pentru orice numere }$ $\displaystyle \text{reale }x$ , $\displaystyle y\text{ și }z$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+y-2017

.

Demonstrați că

\displaystyle a*(a+2017)=(a+1009)*(a+1008)

, pentru orice număr real

\displaystyle a

.

Vezi rezolvarea

Legea de compoziție este $\displaystyle x*y=x+y-2017$ . Calculăm separat membrul stâng $\displaystyle a*(a+2017)$ și membrul drept $\displaystyle (a+1009)*(a+1008)$ .
$\displaystyle x*y=x+y-2017$
Pentru membrul stâng înlocuim $\displaystyle x=a$ și $\displaystyle y=a+2017$ : $\displaystyle a*(a+2017)=a+(a+2017)-2017$ .
$\displaystyle a*(a+2017)=a+(a+2017)-2017$
Termenii $\displaystyle +2017$ și $\displaystyle -2017$ se anulează, deci rămâne $\displaystyle a+a=2a$ .
$\displaystyle a*(a+2017)=2a$
Pentru membrul drept înlocuim $\displaystyle x=a+1009$ și $\displaystyle y=a+1008$ : $\displaystyle (a+1009)*(a+1008)=(a+1009)+(a+1008)-2017$ .
$\displaystyle (a+1009)*(a+1008)=(a+1009)+(a+1008)-2017$
Adunăm termenii: $\displaystyle a+a=2a$ și $\displaystyle 1009+1008=2017$ , deci $\displaystyle 2a+2017-2017=2a$ .
$\displaystyle (a+1009)*(a+1008)=2a$
Ambii membri sunt egali cu $\displaystyle 2a$ , deci egalitatea este adevărată pentru orice număr real $\displaystyle a$ .
$\displaystyle a*(a+2017)=2a=(a+1009)*(a+1008)\text{, pentru orice număr real }a$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+y-2017

.

Determinați numărul real

\displaystyle x

, știind că

\displaystyle 4^x*2^x=-2011

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm definiția legii $\displaystyle x*y=x+y-2017$ pentru $\displaystyle 4^x$ și $\displaystyle 2^x$ și egalăm cu $\displaystyle -2011$ : $\displaystyle 4^x+2^x-2017=-2011$ .
$\displaystyle 4^x+2^x-2017=-2011$
Adunăm $\displaystyle 2017$ în ambii membri: $\displaystyle 4^x+2^x=2017-2011$ , deci $\displaystyle 4^x+2^x-6=0$ .
$\displaystyle 4^x+2^x-6=0$
Observăm că $\displaystyle 4^x=\left(2^x\right)^2$ . Notăm $\displaystyle t=2^x$ , cu $\displaystyle t>0$ , și obținem $\displaystyle t^2+t-6=0$ . Căutăm două numere cu suma $\displaystyle 1$ și produsul $\displaystyle -6$ , anume $\displaystyle 3$ și $\displaystyle -2$ , deci $\displaystyle t^2+t-6=(t+3)(t-2)$ . Revenind la $\displaystyle x$ : $\displaystyle (2^x+3)(2^x-2)=0$ .
$\displaystyle (2^x+3)(2^x-2)=0$
Un produs este $\displaystyle 0$ când un factor este $\displaystyle 0$ . Din $\displaystyle 2^x+3=0$ ar rezulta $\displaystyle 2^x=-3$ , imposibil, deoarece $\displaystyle 2^x>0$ . Rămâne $\displaystyle 2^x-2=0$ , adică $\displaystyle 2^x=2=2^1$ , deci $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle 2^x=-3\text{ (imposibil, }2^x>0\text{)}\text{; }2^x=2\Rightarrow x=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+y-2017

.

Determinați cel mai mare număr natural

\displaystyle n

, pentru care

\displaystyle n*n\le n

.

Vezi rezolvarea

Din definiția legii, $\displaystyle n*n=n+n-2017=2n-2017$ . Inegalitatea $\displaystyle n*n\le n$ devine $\displaystyle 2n-2017\le n$ .
$\displaystyle n*n\le n\Leftrightarrow n+n-2017\le n$
Scădem $\displaystyle n$ din ambii membri și adunăm $\displaystyle 2017$ : $\displaystyle 2n-2017\le n\Leftrightarrow n\le 2017$ .
$\displaystyle n+n-2017\le n\Leftrightarrow n\le 2017$
Deoarece $\displaystyle n\in\mathbb{N}$ și $\displaystyle n\le 2017$ , cea mai mare valoare este $\displaystyle n=2017$ . Verificare: $\displaystyle 2017*2017=2017+2017-2017=2017\le 2017$ .
$\displaystyle n=2017$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=x+y-2017

.

Arătați că numărul

\displaystyle \frac{2}{3-\sqrt{5}}*\frac{2}{3+\sqrt{5}}

este întreg.

Vezi rezolvarea

Aplicăm definiția legii $\displaystyle x*y=x+y-2017$ pentru $\displaystyle x=\dfrac{2}{3-\sqrt{5}}$ și $\displaystyle y=\dfrac{2}{3+\sqrt{5}}$ .
$\displaystyle \frac{2}{3-\sqrt{5}}*\frac{2}{3+\sqrt{5}}=\frac{2}{3-\sqrt{5}}+\frac{2}{3+\sqrt{5}}-2017$
Aducem fracțiile la numitor comun. Numitorul comun este $\displaystyle (3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})$ , iar după formula diferenței de pătrate este $\displaystyle 3^{2}-(\sqrt{5})^{2}=9-5=4$ .
$\displaystyle (3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})=9-5=4$
Amplificăm prima fracție cu $\displaystyle 3+\sqrt{5}$ și a doua cu $\displaystyle 3-\sqrt{5}$ , apoi adunăm fracțiile.
$\displaystyle \frac{2(3+\sqrt{5})+2(3-\sqrt{5})}{4}-2017$
La numărător, termenii cu $\displaystyle \sqrt{5}$ se reduc: $\displaystyle 6+2\sqrt{5}+6-2\sqrt{5}=12$ . Deci fracția este $\displaystyle \dfrac{12}{4}=3$ . Scădem 2017 și obținem $\displaystyle -2014$ , care este număr întreg.
$\displaystyle \frac{12}{4}-2017=3-2017=-2014\text{, care este număr întreg}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Calculați

\displaystyle \det A

.

Vezi rezolvarea

Scriem determinantul matricei $\displaystyle A$ , adică determinantul de ordin 2 format cu elementele ei: $\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&2\\2&2\end{vmatrix}$ .
$\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&2\\2&2\end{vmatrix}$
Aplicăm formula $\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c$ : produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Obținem $\displaystyle \det A=1\cdot 2-2\cdot 2$ .
$\displaystyle \det A=1\cdot 2-2\cdot 2$
Efectuăm înmulțirile: $\displaystyle 1\cdot 2=2$ și $\displaystyle 2\cdot 2=4$ . Apoi scăderea dă $\displaystyle 2-4=-2$ .
$\displaystyle \det A=2-4=-2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Demonstrați că inversa matricei

\displaystyle A

este matricea

\displaystyle \begin{pmatrix}-1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}

.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $\displaystyle B=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$ matricea dată. Ea este inversa lui $\displaystyle A$ dacă $\displaystyle A\cdot B=I_2$ și $\displaystyle B\cdot A=I_2$ .
$\displaystyle A\cdot B=I_2\text{ și }B\cdot A=I_2$
Calculăm elementele produsului $\displaystyle A\cdot B$ , înmulțind liniile lui $\displaystyle A$ cu coloanele lui $\displaystyle B$ : $\displaystyle 1\cdot(-1)+2\cdot 1=1$ , $\displaystyle 1\cdot 1+2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=0$ , $\displaystyle 2\cdot(-1)+2\cdot 1=0$ , $\displaystyle 2\cdot 1+2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=1$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+2&1-1\\-2+2&2-1\end{pmatrix}$
Rezultă că $\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2$ .
$\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2$
Calculăm elementele produsului $\displaystyle B\cdot A$ : $\displaystyle (-1)\cdot 1+1\cdot 2=1$ , $\displaystyle (-1)\cdot 2+1\cdot 2=0$ , $\displaystyle 1\cdot 1+\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 2=0$ , $\displaystyle 1\cdot 2+\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot 2=1$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}-1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1+2&-2+2\\1-1&2-1\end{pmatrix}$
Rezultă că $\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2$ . Cum $\displaystyle A\cdot B=B\cdot A=I_2$ , matricea $\displaystyle B$ este inversa lui $\displaystyle A$ .
$\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2\text{, deci }A^{-1}=\begin{pmatrix}-1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Arătați că

\displaystyle A\cdot A-3A=2I_2

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul $\displaystyle A\cdot A$ , înmulțind linie cu coloană. Elementul din linia 1, coloana 1 este $\displaystyle 1\cdot 1+2\cdot 2=5$ .
$\displaystyle 1\cdot 1+2\cdot 2=5$
Elementul din linia 1, coloana 2 este $\displaystyle 1\cdot 2+2\cdot 2=6$ , iar elementul din linia 2, coloana 1 este $\displaystyle 2\cdot 1+2\cdot 2=6$ .
$\displaystyle 1\cdot 2+2\cdot 2=6$ , $\displaystyle \ 2\cdot 1+2\cdot 2=6$
Elementul din linia 2, coloana 2 este $\displaystyle 2\cdot 2+2\cdot 2=8$ . Deci $\displaystyle A\cdot A$ este matricea de mai jos. Apoi înmulțim fiecare element al lui $\displaystyle A$ cu $\displaystyle 3$ .
$\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}5&6\\6&8\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \ 3A=\begin{pmatrix}3&6\\6&6\end{pmatrix}$
Scădem cele două matrice element cu element: $\displaystyle 5-3=2$ , $\displaystyle 6-6=0$ , $\displaystyle 6-6=0$ , $\displaystyle 8-6=2$ . Matricea obținută este $\displaystyle 2$ ori matricea unitate, deci egalitatea este demonstrată.
$\displaystyle A\cdot A-3A=\begin{pmatrix}5&6\\6&8\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3&6\\6&6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=2I_2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Determinați numerele reale

\displaystyle x

, știind că

\displaystyle \det(A-xI_2)=2

.

Vezi rezolvarea

Calculăm matricea $\displaystyle xI_2$ : se înmulțește fiecare element al lui $\displaystyle I_2$ cu $\displaystyle x$ .
$\displaystyle xI_2=\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}$
Scădem matricele element cu element și obținem matricea $\displaystyle A-xI_2$ .
$\displaystyle A-xI_2=\begin{pmatrix}1-x&2\\2&2-x\end{pmatrix}$
Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe cealaltă diagonală. Dezvoltăm $\displaystyle (1-x)(2-x)=2-3x+x^{2}$ și reducem termenii asemenea.
$\displaystyle \det(A-xI_2)=(1-x)(2-x)-2\cdot 2=x^{2}-3x+2-4=x^{2}-3x-2$
Punem condiția din enunț, $\displaystyle \det(A-xI_2)=2$ , și trecem totul în membrul stâng, obținând o ecuație de gradul al doilea.
$\displaystyle x^{2}-3x-2=2\Leftrightarrow x^{2}-3x-4=0$
Calculăm discriminantul ecuației, apoi rădăcinile cu formula $\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$ .
$\displaystyle \Delta=(-3)^{2}-4\cdot 1\cdot(-4)=25$ , $\displaystyle \quad x=\dfrac{3\pm 5}{2}$
Rădăcinile sunt $\displaystyle -1$ și $\displaystyle 4$ , deci acestea sunt numerele reale căutate.
$\displaystyle x=-1\text{ sau }x=4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

.

Determinați numărul real

\displaystyle a

, știind că

\displaystyle A\cdot A\cdot A=aA+6I_2

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle A\cdot A$ prin înmulțirea matricei $\displaystyle A$ cu ea însăși, linie cu coloană: $\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1\cdot1+2\cdot2&1\cdot2+2\cdot2\\2\cdot1+2\cdot2&2\cdot2+2\cdot2\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}5&6\\6&8\end{pmatrix}$
Exprimăm $\displaystyle A\cdot A$ în funcție de $\displaystyle A$ și $\displaystyle I_2$ . Avem $\displaystyle 3A+2I_2=\begin{pmatrix}3&6\\6&6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&6\\6&8\end{pmatrix}$ , deci relația din metodă este adevărată.
$\displaystyle A\cdot A=3A+2I_2$
Înmulțim relația la dreapta cu $\displaystyle A$ și folosim $\displaystyle I_2\cdot A=A$ : $\displaystyle A\cdot A\cdot A=(3A+2I_2)\cdot A=3A\cdot A+2A$ .
$\displaystyle A\cdot A\cdot A=3\,A\cdot A+2A$
Înlocuim din nou $\displaystyle A\cdot A=3A+2I_2$ și reducem termenii asemenea: $\displaystyle 3(3A+2I_2)+2A=9A+6I_2+2A$ .
$\displaystyle A\cdot A\cdot A=11A+6I_2$
Egalăm cu $\displaystyle aA+6I_2$ din enunț: $\displaystyle 11A+6I_2=aA+6I_2$ . Scădem $\displaystyle 6I_2$ și obținem $\displaystyle 11A=aA$ . Cum $\displaystyle A\neq O_2$ , rezultă $\displaystyle a=11$ .
$\displaystyle a=11$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}

și

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

. Determinați numerele reale

\displaystyle p

și

\displaystyle q

, pentru care

\displaystyle A\cdot X=X\cdot A

, unde

\displaystyle X=\begin{pmatrix}2&1\\p&q\end{pmatrix}

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul $\displaystyle A\cdot X$ , înmulțind liniile lui $\displaystyle A$ cu coloanele lui $\displaystyle X$ : $\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\p&q\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A\cdot X=\begin{pmatrix}2+2p&1+2q\\4+2p&2+2q\end{pmatrix}$
Calculăm produsul $\displaystyle X\cdot A$ , înmulțind liniile lui $\displaystyle X$ cu coloanele lui $\displaystyle A$ : $\displaystyle X\cdot A=\begin{pmatrix}2&1\\p&q\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\2&2\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle X\cdot A=\begin{pmatrix}4&6\\p+2q&2p+2q\end{pmatrix}$
Din $\displaystyle A\cdot X=X\cdot A$ egalăm elementele corespunzătoare ale celor două matrice și obținem patru ecuații.
$\displaystyle \begin{cases}2+2p=4\\1+2q=6\\4+2p=p+2q\\2+2q=2p+2q\end{cases}$
Din $\displaystyle 2+2p=4$ rezultă $\displaystyle p=1$ , iar din $\displaystyle 1+2q=6$ rezultă $\displaystyle 2q=5$ , deci $\displaystyle q=\dfrac{5}{2}$ .
$\displaystyle p=1\text{, }q=\frac{5}{2}$
Verificăm: $\displaystyle 4+2p=6$ și $\displaystyle p+2q=1+5=6$ ; apoi $\displaystyle 2+2q=7$ și $\displaystyle 2p+2q=2+5=7$ . Ambele ecuații sunt adevărate.
$\displaystyle 6=6\text{ și }7=7$
Numerele cerute sunt $\displaystyle p=1$ și $\displaystyle q=\dfrac{5}{2}$ .
$\displaystyle p=1\text{ și }q=\frac{5}{2}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M4 pedagogic 2017, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.1)

Subiectul II.1.2)

Subiectul II.1.3)

Subiectul II.1.4)

Subiectul II.1.5)

Subiectul II.1.6)

Subiectul III.1.1)

Subiectul III.1.2)

Subiectul III.1.3)

Subiectul III.1.4)

Subiectul III.1.5)

Subiectul III.1.6)

Aceeași sesiune, alți ani