Bac matematică M4 pedagogic 2011, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Calculați

\displaystyle \log_2 \sqrt{2}+\log_3 \dfrac{1}{\sqrt{3}}

.

Vezi rezolvarea

Scriem radicalul ca putere: $\displaystyle \sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}$ .
$\displaystyle \log_2 \sqrt{2}=\log_2 2^{\frac{1}{2}}$
Folosim proprietatea $\displaystyle \log_a b^{n}=n\log_a b$ și faptul că $\displaystyle \log_2 2=1$ .
$\displaystyle \log_2 \sqrt{2}=\dfrac{1}{2}\log_2 2=\dfrac{1}{2}$
Scriem $\displaystyle \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{3^{\frac{1}{2}}}=3^{-\frac{1}{2}}$ .
$\displaystyle \log_3 \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\log_3 3^{-\frac{1}{2}}$
Aplicăm $\displaystyle \log_a b^{n}=n\log_a b$ și folosim $\displaystyle \log_3 3=1$ .
$\displaystyle \log_3 \dfrac{1}{\sqrt{3}}=-\dfrac{1}{2}\log_3 3=-\dfrac{1}{2}$
Adunăm rezultatele: $\displaystyle \dfrac{1}{2}+\left(-\dfrac{1}{2}\right)=0$ .
$\displaystyle \log_2 \sqrt{2}+\log_3 \dfrac{1}{\sqrt{3}}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Determinați

\displaystyle a,b\in\mathbb{R}

pentru care punctul

\displaystyle A(a,b+1)

aparține graficelor funcțiilor

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x+5

și

\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle g(x)=x+1

.

Vezi rezolvarea

Punctul $\displaystyle A(a,b+1)$ aparține graficului unei funcții dacă ordonata lui este egală cu valoarea funcției în abscisa $\displaystyle a$ . Deci $\displaystyle f(a)=b+1$ și $\displaystyle g(a)=b+1$ .
$\displaystyle f(a)=b+1\text{ și }g(a)=b+1$
Înlocuim expresiile funcțiilor: $\displaystyle f(a)=2a+5$ și $\displaystyle g(a)=a+1$ . Obținem două ecuații cu necunoscutele $\displaystyle a$ și $\displaystyle b$ .
$\displaystyle b+1=2a+5\text{ și }b+1=a+1$
Cum ambele expresii sunt egale cu $\displaystyle b+1$ , ele sunt egale între ele: $\displaystyle 2a+5=a+1$ .
$\displaystyle 2a+5=a+1$
Trecem termenii cu $\displaystyle a$ în stânga și numerele în dreapta: $\displaystyle 2a-a=1-5$ , deci $\displaystyle a=-4$ .
$\displaystyle a=-4$
Înlocuim $\displaystyle a=-4$ în ecuația $\displaystyle b+1=a+1$ : $\displaystyle b+1=-4+1=-3$ , deci $\displaystyle b=-4$ . Verificare: $\displaystyle f(-4)=-8+5=-3$ și $\displaystyle g(-4)=-4+1=-3$ , iar $\displaystyle b+1=-3$ . Deci $\displaystyle a=b=-4$ .
$\displaystyle a=b=-4$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Calculați probabilitatea ca, alegând un element din mulțimea

\displaystyle \{\sqrt{2},\sqrt{4},\sqrt{6},\sqrt{8},\sqrt{10},\sqrt{12},\sqrt{14},\sqrt{16}\}

, acesta să fie număr irațional.

Vezi rezolvarea

Mulțimea are $\displaystyle 8$ elemente, deci sunt $\displaystyle 8$ cazuri posibile. Verificăm care dintre radicali sunt numere raționale: $\displaystyle \sqrt{4}=2$ și $\displaystyle \sqrt{16}=4$ , deci acestea sunt raționale.
$\displaystyle \sqrt{4}=2\in\mathbb{Q}$ , $\displaystyle \quad \sqrt{16}=4\in\mathbb{Q}$
Numerele $\displaystyle 2, 6, 8, 10, 12$ și $\displaystyle 14$ nu sunt pătrate perfecte, deci radicalii lor sunt numere iraționale. Acestea sunt cazurile favorabile.
$\displaystyle \sqrt{2}$ , $\displaystyle \sqrt{6}$ , $\displaystyle \sqrt{8}$ , $\displaystyle \sqrt{10}$ , $\displaystyle \sqrt{12}$ , $\displaystyle \sqrt{14}$
Numărăm cazurile favorabile: sunt $\displaystyle 6$ elemente iraționale din $\displaystyle 8$ elemente în total. Aplicăm formula probabilității, cazuri favorabile pe cazuri posibile, și simplificăm fracția prin $\displaystyle 2$ .
$\displaystyle p=\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor naturale ecuația

\displaystyle A_x^3=x\cdot 2

.

Vezi rezolvarea

Aranjamentele $\displaystyle A_x^3$ există doar pentru $\displaystyle x\in\mathbb{N}$ și $\displaystyle x\geq 3$ . Deci condiția de existență este $\displaystyle x\geq 3$ .
$\displaystyle x\in\mathbb{N}$ , $\displaystyle \ x\geq 3$
Folosim formula $\displaystyle A_n^k=n(n-1)\cdots(n-k+1)$ . Pentru $\displaystyle k=3$ obținem $\displaystyle A_x^3=x\cdot(x-1)\cdot(x-2)$ , cu $\displaystyle x\geq 3$ .
$\displaystyle A_x^3=x\cdot(x-1)\cdot(x-2)$ , $\displaystyle \ x\geq 3$
Înlocuim în ecuația $\displaystyle A_x^3=x\cdot 2$ și obținem $\displaystyle x(x-1)(x-2)=2x$ .
$\displaystyle x\cdot(x-1)\cdot(x-2)=2x$
Cum $\displaystyle x\geq 3$ , avem $\displaystyle x\neq 0$ , deci împărțim ecuația prin $\displaystyle x$ : $\displaystyle (x-1)(x-2)=2$ .
$\displaystyle (x-1)(x-2)=2$
Desfacem parantezele: $\displaystyle x^{2}-3x+2=2$ , deci $\displaystyle x^{2}-3x=0$ , adică $\displaystyle x(x-3)=0$ .
$\displaystyle x(x-3)=0$
Soluțiile sunt $\displaystyle x=0$ și $\displaystyle x=3$ . Din condiția $\displaystyle x\geq 3$ se exclude $\displaystyle x=0$ , deci rămâne doar $\displaystyle x=3$ .
$\displaystyle x=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

Calculați aria triunghiului care are laturile

\displaystyle a=12

,

\displaystyle b=13

,

\displaystyle c=5

.

Vezi rezolvarea

Calculăm pătratele celor trei laturi: $\displaystyle a^{2}=12^{2}=144$ , $\displaystyle b^{2}=13^{2}=169$ , $\displaystyle c^{2}=5^{2}=25$ .
$\displaystyle a^{2}=144$ , $\displaystyle \ b^{2}=169$ , $\displaystyle \ c^{2}=25$
Observăm că $\displaystyle a^{2}+c^{2}=144+25=169=b^{2}$ . Conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul este dreptunghic, cu ipotenuza $\displaystyle b=13$ și catetele $\displaystyle a=12$ și $\displaystyle c=5$ .
$\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}=169$
Într-un triunghi dreptunghic, aria este jumătate din produsul catetelor: $\displaystyle A_{\Delta}=\dfrac{a\cdot c}{2}=\dfrac{12\cdot 5}{2}=\dfrac{60}{2}=30$ .
$\displaystyle A_{\Delta}=\dfrac{a\cdot c}{2}=30$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Calculați media geometrică a numerelor

\displaystyle x=-\cos 135^\circ

,

\displaystyle y=2\sin 45^\circ

.

Vezi rezolvarea

Scriem $\displaystyle 135^\circ=180^\circ-45^\circ$ , deci $\displaystyle \cos 135^\circ=-\cos 45^\circ$ .
$\displaystyle \cos 135^\circ=-\cos 45^\circ$
Atunci $\displaystyle x=-\cos 135^\circ=\cos 45^\circ$ , iar $\displaystyle \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
$\displaystyle x=-\cos 135^\circ=\cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Avem $\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , deci $\displaystyle y=2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ .
$\displaystyle y=2\sin 45^\circ=\sqrt{2}$
Calculăm produsul: $\displaystyle xy=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{2}=\dfrac{2}{2}=1$ .
$\displaystyle xy=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\sqrt{2}=1$
Media geometrică a două numere pozitive este $\displaystyle m_g=\sqrt{xy}$ , deci $\displaystyle m_g=\sqrt{1}=1$ .
$\displaystyle m_g=\sqrt{xy}=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.a)

5 puncte

Se consideră mulțimea de matrice

\displaystyle M=\left\{A(x)=\begin{pmatrix}1 & x-1\\ 0 & x\end{pmatrix}\mid x\in[0,+\infty)\right\}

. Pe mulțimea

\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R})

se definește legea de compoziție

\displaystyle X\circ Y=X+Y-\begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 0\end{pmatrix}

.

Determinați

\displaystyle x\in[0,+\infty)

pentru care suma elementelor matricei

\displaystyle A(x)

este egală cu 2010.

Vezi rezolvarea

Matricea este $\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & x-1\\ 0 & x\end{pmatrix}$ , deci elementele ei sunt $\displaystyle 1$ , $\displaystyle x-1$ , $\displaystyle 0$ și $\displaystyle x$ .
$\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & x-1\\ 0 & x\end{pmatrix}$
Suma elementelor este $\displaystyle 1+(x-1)+0+x$ . Reducem termenii: $\displaystyle 1-1=0$ , deci suma este $\displaystyle x+x=2x$ .
$\displaystyle 1+(x-1)+0+x=2x$
Punem condiția $\displaystyle 2x=2010$ . Împărțind la $\displaystyle 2$ obținem $\displaystyle x=1005$ , iar $\displaystyle 1005\in[0,+\infty)$ , deci valoarea convine.
$\displaystyle 2x=2010\Rightarrow x=1005$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.b)

5 puncte

Se consideră mulțimea de matrice

\displaystyle M=\left\{A(x)=\begin{pmatrix}1 & x-1\\ 0 & x\end{pmatrix}\mid x\in[0,+\infty)\right\}

. Pe mulțimea

\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R})

se definește legea de compoziție

\displaystyle X\circ Y=X+Y-\begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 0\end{pmatrix}

.

Arătați că

\displaystyle A(x)\circ A(y)=A(x+y)

, pentru oricare

\displaystyle A(x),A(y)\in M

.

Vezi rezolvarea

Scriem matricele $\displaystyle A(x)$ și $\displaystyle A(y)$ conform definiției mulțimii $\displaystyle M$ , cu $\displaystyle x,y\in[0,+\infty)$ .
$\displaystyle A(x)=\begin{pmatrix}1 & x-1\\ 0 & x\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \ A(y)=\begin{pmatrix}1 & y-1\\ 0 & y\end{pmatrix}$
Aplicăm definiția legii: $\displaystyle X\circ Y=X+Y-\begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ . Scăderea acestei matrice înseamnă adunarea matricei $\displaystyle \begin{pmatrix}-1 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A(x)\circ A(y)=\begin{pmatrix}1 & x-1\\ 0 & x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1 & y-1\\ 0 & y\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$
Adunăm element cu element. Pe poziția $\displaystyle (1,1)$ : $\displaystyle 1+1-1=1$ . Pe poziția $\displaystyle (1,2)$ : $\displaystyle x-1+y-1+1=x+y-1$ . Pe poziția $\displaystyle (2,1)$ : $\displaystyle 0$ . Pe poziția $\displaystyle (2,2)$ : $\displaystyle x+y+0=x+y$ .
$\displaystyle A(x)\circ A(y)=\begin{pmatrix}1 & x+y-1\\ 0 & x+y\end{pmatrix}$
Matricea obținută are forma lui $\displaystyle A(t)$ pentru $\displaystyle t=x+y$ , iar $\displaystyle x+y\ge 0$ , deci aparține mulțimii $\displaystyle M$ . Prin urmare, este chiar $\displaystyle A(x+y)$ .
$\displaystyle A(x)\circ A(y)=A(x+y)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.c)

5 puncte

Se consideră mulțimea de matrice

\displaystyle M=\left\{A(x)=\begin{pmatrix}1 & x-1\\ 0 & x\end{pmatrix}\mid x\in[0,+\infty)\right\}

. Pe mulțimea

\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R})

se definește legea de compoziție

\displaystyle X\circ Y=X+Y-\begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 0\end{pmatrix}

.

Determinați elementul neutru în raport cu legea „

\displaystyle \circ

” pe mulțimea

\displaystyle M

.

Vezi rezolvarea

Căutăm $\displaystyle e\in[0,+\infty)$ astfel încât $\displaystyle A(e)\circ A(x)=A(x)$ , pentru orice $\displaystyle x\in[0,+\infty)$ .
$\displaystyle A(e)\circ A(x)=A(x)$ , $\displaystyle \ \forall x\ge 0$
Calculăm $\displaystyle A(x)\circ A(y)=A(x)+A(y)-\begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ . Colțul stânga sus este $\displaystyle 1+1-1=1$ , în dreapta sus avem $\displaystyle (x-1)+(y-1)+1=x+y-1$ , iar în dreapta jos $\displaystyle x+y$ .
$\displaystyle A(x)\circ A(y)=\begin{pmatrix}1 & x+y-1\\ 0 & x+y\end{pmatrix}=A(x+y)$
Aplicăm regula de compunere pentru $\displaystyle e$ și $\displaystyle x$ .
$\displaystyle A(e)\circ A(x)=A(x+e)$
Din $\displaystyle A(x)=A(x+e)$ , egalând elementele din dreapta jos, obținem $\displaystyle x=x+e$ , deci $\displaystyle e=0$ . Cum $\displaystyle 0\in[0,+\infty)$ , valoarea convine.
$\displaystyle e=0$
Elementul neutru este $\displaystyle A(0)$ . Înlocuind $\displaystyle x=0$ în $\displaystyle A(x)$ , obținem matricea de mai jos. Legea este comutativă, deoarece $\displaystyle A(x)\circ A(0)=A(x+0)=A(x)$ , deci $\displaystyle A(0)$ este neutru la stânga și la dreapta.
$\displaystyle A(e)=A(0)=\begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.d)

5 puncte

Se consideră mulțimea de matrice

\displaystyle M=\left\{A(x)=\begin{pmatrix}1 & x-1\\ 0 & x\end{pmatrix}\mid x\in[0,+\infty)\right\}

. Pe mulțimea

\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R})

se definește legea de compoziție

\displaystyle X\circ Y=X+Y-\begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 0\end{pmatrix}

.

Arătați că legea „

\displaystyle \circ

” este asociativă pe mulțimea

\displaystyle M

.

Vezi rezolvarea

Notăm $\displaystyle E=\begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ . Calculăm $\displaystyle A(x)\circ A(y)=A(x)+A(y)-E$ pentru $\displaystyle x,y\in[0,+\infty)$ .
$\displaystyle A(x)\circ A(y)=\begin{pmatrix}1+1-1 & x-1+y-1+1\\ 0 & x+y\end{pmatrix}$
Simplificăm: $\displaystyle 1+1-1=1$ și $\displaystyle x-1+y-1+1=x+y-1$ . Obținem forma lui $\displaystyle A(x+y)$ . Cum $\displaystyle x+y\in[0,+\infty)$ , rezultatul aparține lui $\displaystyle M$ .
$\displaystyle A(x)\circ A(y)=\begin{pmatrix}1 & x+y-1\\ 0 & x+y\end{pmatrix}=A(x+y)$
Calculăm $\displaystyle (A(x)\circ A(y))\circ A(z)$ pentru $\displaystyle x,y,z\in[0,+\infty)$ . Folosim regula $\displaystyle A(a)\circ A(b)=A(a+b)$ de două ori: mai întâi $\displaystyle A(x)\circ A(y)=A(x+y)$ , apoi $\displaystyle A(x+y)\circ A(z)$ .
$\displaystyle (A(x)\circ A(y))\circ A(z)=A(x+y)\circ A(z)=A(x+y+z)$
Calculăm $\displaystyle A(x)\circ(A(y)\circ A(z))$ . Mai întâi $\displaystyle A(y)\circ A(z)=A(y+z)$ , apoi aplicăm aceeași regulă pentru $\displaystyle A(x)\circ A(y+z)$ .
$\displaystyle A(x)\circ(A(y)\circ A(z))=A(x)\circ A(y+z)=A(x+y+z)$
Cele două grupări dau același rezultat, $\displaystyle A(x+y+z)$ , pentru orice $\displaystyle x,y,z\in[0,+\infty)$ . Deci legea „ $\displaystyle \circ$ ” este asociativă pe $\displaystyle M$ .
$\displaystyle (A(x)\circ A(y))\circ A(z)=A(x)\circ(A(y)\circ A(z))=A(x+y+z)\text{, deci legea este }$ $\displaystyle \text{asociativă}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.e)

5 puncte

Se consideră mulțimea de matrice

\displaystyle M=\left\{A(x)=\begin{pmatrix}1 & x-1\\ 0 & x\end{pmatrix}\mid x\in[0,+\infty)\right\}

. Pe mulțimea

\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R})

se definește legea de compoziție

\displaystyle X\circ Y=X+Y-\begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 0\end{pmatrix}

.

Rezolvați în mulțimea

\displaystyle M

ecuația

\displaystyle A(2)\circ A(x^3)=A(10)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle A(x)\circ A(y)$ pentru $\displaystyle x,y\in[0,+\infty)$ . Adunăm matricele și scădem matricea $\displaystyle \begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ . Pe prima linie obținem $\displaystyle 1+1-1=1$ și $\displaystyle (x-1)+(y-1)+1=x+y-1$ . Pe a doua linie obținem $\displaystyle 0$ și $\displaystyle x+y$ .
$\displaystyle A(x)\circ A(y)=\begin{pmatrix}1 & x+y-1\\ 0 & x+y\end{pmatrix}=A(x+y)$
Aplicăm formula pentru $\displaystyle x=2$ și $\displaystyle y=x^3$ . Obținem $\displaystyle A(2)\circ A(x^3)=A(2+x^3)$ .
$\displaystyle A(2)\circ A(x^3)=A(2+x^3)$
Ecuația devine $\displaystyle A(2+x^3)=A(10)$ . Două matrice $\displaystyle A(a)$ și $\displaystyle A(b)$ sunt egale când au aceleași elemente, deci $\displaystyle a=b$ (de exemplu, elementul din colțul dreapta jos este $\displaystyle a$ , respectiv $\displaystyle b$ ). Deci $\displaystyle 2+x^3=10$ .
$\displaystyle 2+x^{3}=10$
Rezolvăm ecuația: $\displaystyle x^3=8$ , deci $\displaystyle x=2$ . Verificăm că $\displaystyle 2\in[0,+\infty)$ , deci $\displaystyle A(x^3)=A(8)$ este în $\displaystyle M$ , iar soluția convine.
$\displaystyle x^{3}=8\Rightarrow x=2\in[0,+\infty)$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.f)

5 puncte

Se consideră mulțimea de matrice

\displaystyle M=\left\{A(x)=\begin{pmatrix}1 & x-1\\ 0 & x\end{pmatrix}\mid x\in[0,+\infty)\right\}

. Pe mulțimea

\displaystyle \mathcal{M}_2(\mathbb{R})

se definește legea de compoziție

\displaystyle X\circ Y=X+Y-\begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 0\end{pmatrix}

.

Rezolvați în mulțimea

\displaystyle M

ecuația

\displaystyle A(x)\circ A(x)\circ A(x)\circ A(x)\circ A(x)=A(10)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle A(x)\circ A(y)$ pentru $\displaystyle x,y\in[0,+\infty)$ . Adunăm matricele și scădem matricea $\displaystyle \begin{pmatrix}1 & -1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ . Pe prima linie obținem $\displaystyle 1+1-1=1$ și $\displaystyle (x-1)+(y-1)+1=x+y-1$ , iar pe a doua linie $\displaystyle 0$ și $\displaystyle x+y$ .
$\displaystyle A(x)\circ A(y)=\begin{pmatrix}1 & x+y-1\\ 0 & x+y\end{pmatrix}$
Recunoaștem forma lui $\displaystyle A(x+y)$ . Cum $\displaystyle x+y\in[0,+\infty)$ , rezultă regula de mai jos, deci legea este internă pe $\displaystyle M$ .
$\displaystyle A(x)\circ A(y)=A(x+y)$
Aplicăm regula pas cu pas: $\displaystyle A(x)\circ A(x)=A(2x)$ , apoi $\displaystyle A(2x)\circ A(x)=A(3x)$ , apoi $\displaystyle A(4x)$ și în final $\displaystyle A(5x)$ . Ordinea grupării nu contează, deoarece adunarea argumentelor este asociativă.
$\displaystyle A(x)\circ A(x)\circ A(x)\circ A(x)\circ A(x)=A(5x)$
Ecuația devine $\displaystyle A(5x)=A(10)$ . Două matrice $\displaystyle A(a)$ și $\displaystyle A(b)$ sunt egale doar dacă au același element în colțul din dreapta jos, adică $\displaystyle a=b$ . Deci $\displaystyle 5x=10$ , de unde $\displaystyle x=2$ , valoare din $\displaystyle [0,+\infty)$ .
$\displaystyle A(5x)=A(10)\Rightarrow 5x=10\Rightarrow x=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.a)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & -m & 1\\ 1 & 1 & -m\end{pmatrix}

și sistemul

\displaystyle (S)\ \begin{cases}2x+y+z=3\\ x-my+z=0\\ x+y-mz=2\end{cases}

, unde

\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}

și

\displaystyle m

este un parametru real.

Calculați determinantul matricei

\displaystyle A

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm regula lui Sarrus pentru $\displaystyle \det(A)$ : suma produselor de pe diagonala principală și de pe paralelele ei, minus suma produselor de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei.
$\displaystyle \det(A)=\begin{vmatrix}2&1&1\\1&-m&1\\1&1&-m\end{vmatrix}$
Calculăm produsele pe direcția diagonalei principale: $\displaystyle 2\cdot(-m)\cdot(-m)$ , $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1$ și $\displaystyle 1\cdot 1\cdot 1$ .
$\displaystyle 2m^2+1+1=2m^2+2$
Calculăm produsele pe direcția diagonalei secundare: $\displaystyle 1\cdot(-m)\cdot 1$ , $\displaystyle 2\cdot 1\cdot 1$ și $\displaystyle 1\cdot 1\cdot(-m)$ .
$\displaystyle -m+2-m=2-2m$
Scădem a doua sumă din prima și reducem termenii asemenea: $\displaystyle \det(A)=(2m^2+2)-(2-2m)$ .
$\displaystyle \det(A)=2m^2+2-2+2m=2m^2+2m$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.b)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & -m & 1\\ 1 & 1 & -m\end{pmatrix}

și sistemul

\displaystyle (S)\ \begin{cases}2x+y+z=3\\ x-my+z=0\\ x+y-mz=2\end{cases}

, unde

\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}

și

\displaystyle m

este un parametru real.

Determinați

\displaystyle m\in\mathbb{R}

pentru care

\displaystyle \det(A+I_3)=-1

.

Vezi rezolvarea

Adunăm matricea unitate $\displaystyle I_3$ la $\displaystyle A$ , adică adunăm $\displaystyle 1$ pe fiecare element al diagonalei principale.
$\displaystyle A+I_3=\begin{pmatrix}3 & 1 & 1\\ 1 & 1-m & 1\\ 1 & 1 & 1-m\end{pmatrix}$
Pentru a simplifica calculul, notăm $\displaystyle a=1-m$ și dezvoltăm determinantul după prima linie: $\displaystyle \det(A+I_3)=3(a^{2}-1)-(a-1)+(1-a)$ .
$\displaystyle \det(A+I_3)=3(a^{2}-1)-(a-1)+(1-a)$
Reducem termenii: obținem $\displaystyle 3a^{2}-2a-1$ . Apoi revenim la $\displaystyle m$ , înlocuind $\displaystyle a=1-m$ : $\displaystyle 3(1-m)^{2}-2(1-m)-1=3-6m+3m^{2}-2+2m-1$ , deci determinantul este $\displaystyle 3m^{2}-4m$ .
$\displaystyle \det(A+I_3)=3m^{2}-4m$
Punem condiția din enunț $\displaystyle \det(A+I_3)=-1$ , adică $\displaystyle 3m^{2}-4m=-1$ , și aducem ecuația la forma generală.
$\displaystyle 3m^{2}-4m+1=0$
Calculăm discriminantul: $\displaystyle \Delta=16-12=4$ . Rădăcinile sunt $\displaystyle m=\dfrac{4\pm 2}{6}$ , adică $\displaystyle m=1$ și $\displaystyle m=\dfrac{1}{3}$ .
$\displaystyle m\in\left\{1,\dfrac{1}{3}\right\}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.c)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & -m & 1\\ 1 & 1 & -m\end{pmatrix}

și sistemul

\displaystyle (S)\ \begin{cases}2x+y+z=3\\ x-my+z=0\\ x+y-mz=2\end{cases}

, unde

\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}

și

\displaystyle m

este un parametru real.

Verificați dacă pentru

\displaystyle m=2

tripletul

\displaystyle \left(\dfrac{5}{4},\dfrac{7}{12},-\dfrac{1}{12}\right)

este soluție a sistemului

\displaystyle (S)

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle m=2$ în sistemul $\displaystyle (S)$ și scriem sistemul obținut.
$\displaystyle \begin{cases}2x+y+z=3\\ x-2y+z=0\\ x+y-2z=2\end{cases}$
Verificăm prima ecuație: înlocuim $\displaystyle x=\dfrac{5}{4}$ , $\displaystyle y=\dfrac{7}{12}$ , $\displaystyle z=-\dfrac{1}{12}$ în $\displaystyle 2x+y+z$ . Avem $\displaystyle \dfrac{5}{2}+\dfrac{7}{12}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}=3$ , deci ecuația este verificată.
$\displaystyle 2\cdot\dfrac{5}{4}+\dfrac{7}{12}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{5}{2}+\dfrac{1}{2}=3$
Verificăm a doua ecuație: $\displaystyle x-2y+z=\dfrac{5}{4}-\dfrac{14}{12}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{5}{4}-\dfrac{15}{12}=\dfrac{5}{4}-\dfrac{5}{4}=0$ , deci ecuația este verificată.
$\displaystyle \dfrac{5}{4}-2\cdot\dfrac{7}{12}-\dfrac{1}{12}=\dfrac{15}{12}-\dfrac{15}{12}=0$
Verificăm a treia ecuație: $\displaystyle x+y-2z=\dfrac{5}{4}+\dfrac{7}{12}+\dfrac{2}{12}=\dfrac{15}{12}+\dfrac{9}{12}=\dfrac{24}{12}=2$ , deci ecuația este verificată.
$\displaystyle \dfrac{5}{4}+\dfrac{7}{12}-2\cdot\left(-\dfrac{1}{12}\right)=\dfrac{24}{12}=2$
Tripletul verifică toate cele trei ecuații ale sistemului pentru $\displaystyle m=2$ , deci este soluție a sistemului $\displaystyle (S)$ .
$\displaystyle \text{Tripletul este soluție a }$ $\displaystyle \text{sistemului}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.d)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & -m & 1\\ 1 & 1 & -m\end{pmatrix}

și sistemul

\displaystyle (S)\ \begin{cases}2x+y+z=3\\ x-my+z=0\\ x+y-mz=2\end{cases}

, unde

\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}

și

\displaystyle m

este un parametru real.

Pentru

\displaystyle m=1

, arătați că

\displaystyle \det(A)\neq 0

.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle m=1$ în matricea $\displaystyle A$ : pe liniile a doua și a treia apare $\displaystyle -1$ în loc de $\displaystyle -m$ .
$\displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\end{pmatrix}$
Dezvoltăm determinantul după prima linie, cu semnele $\displaystyle +,-,+$ , înmulțind fiecare element cu minorul lui.
$\displaystyle \det(A)=2\begin{vmatrix}-1 & 1\\ 1 & -1\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1 & 1\\ 1 & -1\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}1 & -1\\ 1 & 1\end{vmatrix}$
Calculăm cei trei minori de ordin 2: primul este $\displaystyle (-1)(-1)-1\cdot 1=0$ , al doilea este $\displaystyle 1\cdot(-1)-1\cdot 1=-2$ , al treilea este $\displaystyle 1\cdot 1-(-1)\cdot 1=2$ .
$\displaystyle \det(A)=2\cdot 0-1\cdot(-2)+1\cdot 2$
Adunăm termenii: $\displaystyle 0+2+2=4$ , deci determinantul este diferit de zero.
$\displaystyle \det(A)=4\neq 0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.e)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & -m & 1\\ 1 & 1 & -m\end{pmatrix}

și sistemul

\displaystyle (S)\ \begin{cases}2x+y+z=3\\ x-my+z=0\\ x+y-mz=2\end{cases}

, unde

\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}

și

\displaystyle m

este un parametru real.

Pentru

\displaystyle m=1

, rezolvați sistemul

\displaystyle (S)

.

Vezi rezolvarea

Pentru $\displaystyle m=1$ sistemul devine $\displaystyle \begin{cases}2x+y+z=3\\ x-y+z=0\\ x+y-z=2\end{cases}$ , cu matricea $\displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\end{pmatrix}$ .
$\displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle \Delta=\det A$ dezvoltând după prima linie: $\displaystyle \Delta=2(1-1)-1(-1-1)+1(1+1)=0+2+2$ . Cum $\displaystyle \Delta\neq 0$ , sistemul este compatibil determinat și aplicăm regula lui Cramer.
$\displaystyle \Delta=\begin{vmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\end{vmatrix}=4\neq 0$
Înlocuim prima coloană cu termenii liberi $\displaystyle 3,0,2$ și dezvoltăm după prima linie: $\displaystyle D_x=3(1-1)-1(0-2)+1(0+2)=0+2+2$ .
$\displaystyle D_x=\begin{vmatrix}3 & 1 & 1\\ 0 & -1 & 1\\ 2 & 1 & -1\end{vmatrix}=4$
Înlocuim a doua coloană cu termenii liberi și dezvoltăm după prima linie: $\displaystyle D_y=2(0-2)-3(-1-1)+1(2-0)=-4+6+2$ .
$\displaystyle D_y=\begin{vmatrix}2 & 3 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 2 & -1\end{vmatrix}=4$
Înlocuim a treia coloană cu termenii liberi și dezvoltăm după prima linie: $\displaystyle D_z=2(-2-0)-1(2-0)+3(1+1)=-4-2+6=0$ . Deci $\displaystyle D_x=4$ , $\displaystyle D_y=4$ , $\displaystyle D_z=0$ .
$\displaystyle D_z=\begin{vmatrix}2 & 1 & 3\\ 1 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 2\end{vmatrix}=0$ , $\displaystyle \quad D_x=4$ , $\displaystyle \ D_y=4$ , $\displaystyle \ D_z=0$
Din formulele lui Cramer: $\displaystyle x=\dfrac{D_x}{\Delta}=\dfrac{4}{4}=1$ , $\displaystyle y=\dfrac{D_y}{\Delta}=\dfrac{4}{4}=1$ , $\displaystyle z=\dfrac{D_z}{\Delta}=\dfrac{0}{4}=0$ .
$\displaystyle x=1$ , $\displaystyle \ y=1$ , $\displaystyle \ z=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.f)

5 puncte

Se consideră matricea

\displaystyle A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & -m & 1\\ 1 & 1 & -m\end{pmatrix}

și sistemul

\displaystyle (S)\ \begin{cases}2x+y+z=3\\ x-my+z=0\\ x+y-mz=2\end{cases}

, unde

\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R}

și

\displaystyle m

este un parametru real.

Arătați că pentru

\displaystyle m=0

sistemul este incompatibil.

Vezi rezolvarea

Înlocuim $\displaystyle m=0$ în sistem. A doua ecuație devine $\displaystyle x+z=0$ , iar a treia devine $\displaystyle x+y=2$ , deoarece termenii cu $\displaystyle m$ dispar.
$\displaystyle \begin{cases}2x+y+z=3\\ x+z=0\\ x+y=2\end{cases}$
Adunăm ultimele două ecuații, membru cu membru: în stânga obținem $\displaystyle 2x+y+z$ , iar în dreapta $\displaystyle 0+2=2$ .
$\displaystyle (x+z)+(x+y)=0+2\;\Rightarrow\;2x+y+z=2$
Prima ecuație a sistemului spune că $\displaystyle 2x+y+z=3$ , dar din ultimele două ecuații am obținut $\displaystyle 2x+y+z=2$ . Cele două valori sunt diferite, deci avem o contradicție și sistemul nu are soluții. Prin urmare, pentru $\displaystyle m=0$ sistemul este incompatibil.
$\displaystyle 2x+y+z=2\text{, contradicție cu }2x+y+z=3$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M4 pedagogic 2011, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.a)

Subiectul II.1.b)

Subiectul II.1.c)

Subiectul II.1.d)

Subiectul II.1.e)

Subiectul II.1.f)

Subiectul III.1.a)

Subiectul III.1.b)

Subiectul III.1.c)

Subiectul III.1.d)

Subiectul III.1.e)

Subiectul III.1.f)

Aceeași sesiune, alți ani