Bac matematică M4 pedagogic 2020, model, test de evaluare 5: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 2⋅(18−2⋅9)+(2⋅9−8):2=5\displaystyle 2\cdot(18-2\cdot 9)+(2\cdot 9-8):2=5.
Vezi rezolvarea
  1. Începem cu parantezele. În prima paranteză, efectuăm înmulțirea 2⋅9=18\displaystyle 2\cdot 9=18. În a doua paranteză, efectuăm tot înmulțirea 2⋅9=18\displaystyle 2\cdot 9=18.
    2⋅(18−18)+(18−8):2\displaystyle 2\cdot(18-18)+(18-8):2
  2. Efectuăm scăderile din paranteze: 18−18=0\displaystyle 18-18=0, iar 18−8=10\displaystyle 18-8=10.
    2⋅0+10:2\displaystyle 2\cdot 0+10:2
  3. Respectăm ordinea operațiilor: mai întâi înmulțirea și împărțirea, apoi adunarea. Avem 2⋅0=0\displaystyle 2\cdot 0=0, iar 10:2=5\displaystyle 10:2=5. Adunăm și obținem 0+5=5\displaystyle 0+5=5, deci egalitatea este adevărată.
    2⋅0+10:2=0+5=5\displaystyle 2\cdot 0+10:2=0+5=5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x+1\displaystyle f(x)=x+1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=2x−1\displaystyle g(x)=2x-1.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție are coordonatele care verifică ambele ecuații, deci abscisa se află din egalitatea f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x).
    x+1=2x−1\displaystyle x+1=2x-1
  2. Mutăm termenii cu x\displaystyle x într-o parte și numerele în cealaltă parte: 1+1=2x−x\displaystyle 1+1=2x-x.
    x=2\displaystyle x=2
  3. Calculăm ordonata înlocuind x=2\displaystyle x=2 în f\displaystyle f: f(2)=2+1=3\displaystyle f(2)=2+1=3. Verificăm cu g\displaystyle g: g(2)=2⋅2−1=3\displaystyle g(2)=2\cdot 2-1=3.
    y=f(2)=3\displaystyle y=f(2)=3
  4. Punctul de intersecție are abscisa 2\displaystyle 2 și ordonata 3\displaystyle 3.
    A(2,3)\displaystyle A(2,3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡2(10−2x)=1\displaystyle \log_2(10-2x)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, deci 10−2x>0\displaystyle 10-2x>0. Rezultă x<5\displaystyle x<5.
    x<5\displaystyle x<5
  2. Aplicăm definiția logaritmului: log⁡2a=1\displaystyle \log_2 a=1 exact când a=21=2\displaystyle a=2^{1}=2. Deci ecuația devine 10−2x=2\displaystyle 10-2x=2.
    10−2x=2\displaystyle 10-2x=2
  3. Rezolvăm ecuația liniară: scădem 10 din ambii membri și obținem −2x=−8\displaystyle -2x=-8. Împărțim la −2\displaystyle -2 și obținem x=4\displaystyle x=4.
    −2x=−8⇒x=4\displaystyle -2x=-8\Rightarrow x=4
  4. Verificăm soluția: 4<5\displaystyle 4<5, deci convine. Într-adevăr, 10−2⋅4=2\displaystyle 10-2\cdot 4=2, iar log⁡22=1\displaystyle \log_2 2=1. Soluția ecuației este x=4\displaystyle x=4.
    x=4, care convine\displaystyle x=4\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale pare de două cifre au ambele cifre nenule.
Vezi rezolvarea
  1. Un număr de două cifre are forma ab‾\displaystyle \overline{ab}, cu cifra zecilor a\displaystyle a și cifra unităților b\displaystyle b. Numărul este par dacă ultima cifră este pară. Cifrele pare sunt 0,2,4,6,8\displaystyle 0, 2, 4, 6, 8, dar cifra unităților trebuie să fie nenulă, deci rămân 2,4,6,8\displaystyle 2, 4, 6, 8. Sunt 4 posibilități pentru cifra unităților.
    b∈{2,4,6,8}, adica˘ 4 posibilita˘ți\displaystyle b\in\{2,4,6,8\}\text{, adică }4\text{ posibilități}
  2. Cifra zecilor a\displaystyle a trebuie să fie nenulă, deci poate fi oricare dintre cifrele de la 1\displaystyle 1 la 9\displaystyle 9. Sunt 9 posibilități pentru cifra zecilor.
    a∈{1,2,…,9}, adica˘ 9 posibilita˘ți\displaystyle a\in\{1,2,\ldots,9\}\text{, adică }9\text{ posibilități}
  3. Alegerile pentru cele două cifre sunt independente, deci înmulțim numărul de posibilități: 4⋅9=36\displaystyle 4\cdot 9=36. Există 36 de astfel de numere.
    4⋅9=36\displaystyle 4\cdot 9=36
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,2)\displaystyle A(1,2), B(5,2)\displaystyle B(5,2) și C(5,6)\displaystyle C(5,6). Demonstrați că triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel.
Vezi rezolvarea
  1. Pentru a arăta că triunghiul este isoscel, calculăm lungimile laturilor cu formula distanței dintre două puncte: d=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
    d=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
  2. Calculăm lungimea laturii AB\displaystyle AB, cu A(1,2)\displaystyle A(1,2) și B(5,2)\displaystyle B(5,2). Punctele au aceeași ordonată, deci segmentul este orizontal: AB=(5−1)2+(2−2)2=16+0=4\displaystyle AB=\sqrt{(5-1)^2+(2-2)^2}=\sqrt{16+0}=4.
    AB=(5−1)2+(2−2)2=16=4\displaystyle AB=\sqrt{(5-1)^2+(2-2)^2}=\sqrt{16}=4
  3. Calculăm lungimea laturii BC\displaystyle BC, cu B(5,2)\displaystyle B(5,2) și C(5,6)\displaystyle C(5,6). Punctele au aceeași abscisă, deci segmentul este vertical: BC=(5−5)2+(6−2)2=0+16=4\displaystyle BC=\sqrt{(5-5)^2+(6-2)^2}=\sqrt{0+16}=4.
    BC=(5−5)2+(6−2)2=16=4\displaystyle BC=\sqrt{(5-5)^2+(6-2)^2}=\sqrt{16}=4
  4. Deoarece AB=BC=4\displaystyle AB=BC=4, triunghiul ABC\displaystyle ABC are două laturi congruente, deci este isoscel, cu vârful în B\displaystyle B.
    AB=BC=4, deci △ABC este isoscel\displaystyle AB=BC=4\text{, deci }\triangle ABC\text{ este isoscel}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că (sin⁡60∘−cos⁡60∘)(sin⁡60∘+cos⁡60∘)=12\displaystyle (\sin 60^\circ-\cos 60^\circ)(\sin 60^\circ+\cos 60^\circ)=\frac{1}{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valorile cunoscute pentru unghiul de 60∘\displaystyle 60^\circ: sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2} și cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}.
    sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, cos⁡60∘=12\displaystyle \ \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}
  2. Produsul are forma (a−b)(a+b)\displaystyle (a-b)(a+b), cu a=sin⁡60∘\displaystyle a=\sin 60^\circ și b=cos⁡60∘\displaystyle b=\cos 60^\circ. Aplicăm formula (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
    (sin⁡60∘−cos⁡60∘)(sin⁡60∘+cos⁡60∘)=sin⁡260∘−cos⁡260∘\displaystyle (\sin 60^\circ-\cos 60^\circ)(\sin 60^\circ+\cos 60^\circ)=\sin^{2} 60^\circ-\cos^{2} 60^\circ
  3. Înlocuim valorile din primul pas și ridicăm la pătrat: (32)2=34\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=\dfrac{3}{4} și (12)2=14\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}.
    sin⁡260∘−cos⁡260∘=34−14\displaystyle \sin^{2} 60^\circ-\cos^{2} 60^\circ=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}
  4. Scădem fracțiile cu același numitor: 34−14=24=12\displaystyle \dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}. Așadar egalitatea cerută este adevărată.
    34−14=24=12\displaystyle \dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+3x+3y+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6.

Arătați că 3∘(−1)=9\displaystyle 3\circ(-1)=9.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție x∘y=xy+3x+3y+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6 pentru x=3\displaystyle x=3 și y=−1\displaystyle y=-1, adică înlocuim x\displaystyle x cu 3\displaystyle 3 și y\displaystyle y cu −1\displaystyle -1 în expresie.
    3∘(−1)=3⋅(−1)+3⋅3+3⋅(−1)+6\displaystyle 3\circ(-1)=3\cdot(-1)+3\cdot 3+3\cdot(-1)+6
  2. Calculăm fiecare produs din expresie: 3⋅(−1)=−3\displaystyle 3\cdot(-1)=-3, 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9, iar 3⋅(−1)=−3\displaystyle 3\cdot(-1)=-3.
    3∘(−1)=−3+9−3+6\displaystyle 3\circ(-1)=-3+9-3+6
  3. Adunăm termenii: −3+9=6\displaystyle -3+9=6, apoi 6−3=3\displaystyle 6-3=3, apoi 3+6=9\displaystyle 3+6=9. Am obținut valoarea cerută, deci egalitatea este demonstrată.
    −3+9−3+6=9, deci 3∘(−1)=9\displaystyle -3+9-3+6=9\text{, deci }3\circ(-1)=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+3x+3y+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6.

Arătați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Comutativitatea înseamnă că x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y. Pornim de la definiția legii pentru x∘y\displaystyle x\circ y.
    x∘y=xy+3x+3y+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6
  2. Folosim comutativitatea înmulțirii și a adunării numerelor reale: xy=yx\displaystyle xy=yx și 3x+3y=3y+3x\displaystyle 3x+3y=3y+3x. Rearanjăm termenii astfel încât să apară rolurile inversate ale lui x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=xy+3x+3y+6=yx+3y+3x+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6=yx+3y+3x+6
  3. Expresia yx+3y+3x+6\displaystyle yx+3y+3x+6 este exact definiția lui y∘x\displaystyle y\circ x, obținută prin înlocuirea lui x\displaystyle x cu y\displaystyle y și a lui y\displaystyle y cu x\displaystyle x în definiția legii. Deci x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x pentru orice x,y\displaystyle x,y reale, adică legea este comutativă.
    x∘y=y∘x, pentru orice numere \displaystyle x\circ y=y\circ x\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+3x+3y+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6.

Demonstrați că x∘y=(x+3)(y+3)−3\displaystyle x\circ y=(x+3)(y+3)-3, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∘y=xy+3x+3y+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6.
    x∘y=xy+3x+3y+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6
  2. Descompunem termenul liber 6\displaystyle 6 ca 9−3\displaystyle 9-3, pentru ca termenii să se poată grupa convenabil.
    x∘y=xy+3x+3y+9−3\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+9-3
  3. Grupăm termenii xy+3x\displaystyle xy+3x și 3y+9\displaystyle 3y+9, apoi dăm factor comun: x\displaystyle x în primul grup și 3\displaystyle 3 în al doilea.
    x∘y=x(y+3)+3(y+3)−3\displaystyle x\circ y=x(y+3)+3(y+3)-3
  4. Observăm că y+3\displaystyle y+3 apare în ambii termeni, deci îl dăm factor comun. Obținem forma cerută, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x(y+3)+3(y+3)−3=(x+3)(y+3)−3, pentru orice numere \displaystyle x(y+3)+3(y+3)-3=(x+3)(y+3)-3\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+3x+3y+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care a∘x=a\displaystyle a\circ x=a, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție sub o formă factorizată: x∘y=(x+3)(y+3)−3\displaystyle x\circ y=(x+3)(y+3)-3, deoarece (x+3)(y+3)=xy+3x+3y+9\displaystyle (x+3)(y+3)=xy+3x+3y+9.
    x∘y=(x+3)(y+3)−3\displaystyle x\circ y=(x+3)(y+3)-3
  2. Aplicăm formula pentru a∘x\displaystyle a\circ x și punem condiția a∘x=a\displaystyle a\circ x=a.
    (a+3)(x+3)−3=a\displaystyle (a+3)(x+3)-3=a
  3. Adunăm 3\displaystyle 3 în ambii membri și obținem (a+3)(x+3)=a+3\displaystyle (a+3)(x+3)=a+3. Trecem totul în stânga și dăm factor comun a+3\displaystyle a+3: (a+3)(x+3)−(a+3)=(a+3)(x+2)\displaystyle (a+3)(x+3)-(a+3)=(a+3)(x+2). Egalitatea trebuie să fie adevărată pentru orice x\displaystyle x real.
    (a+3)(x+2)=0, pentru orice numa˘r real x\displaystyle (a+3)(x+2)=0\text{, pentru orice număr real }x
  4. Produsul (a+3)(x+2)\displaystyle (a+3)(x+2) este nul pentru orice x\displaystyle x doar dacă a+3=0\displaystyle a+3=0, pentru că x+2\displaystyle x+2 nu este zero pentru orice x\displaystyle x. De exemplu, pentru x=0\displaystyle x=0 obținem 2(a+3)=0\displaystyle 2(a+3)=0.
    a+3=0\displaystyle a+3=0
  5. Din a+3=0\displaystyle a+3=0 rezultă a=−3\displaystyle a=-3. Verificare: (−3)∘x=0⋅(x+3)−3=−3\displaystyle (-3)\circ x=0\cdot(x+3)-3=-3, deci a∘x=a\displaystyle a\circ x=a pentru orice x\displaystyle x.
    a=−3\displaystyle a=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+3x+3y+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6.

Arătați că, dacă x,y∈(−3,+∞)\displaystyle x,y\in(-3,+\infty), atunci x∘y∈(−3,+∞)\displaystyle x\circ y\in(-3,+\infty).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem condițiile din ipoteză: dacă x,y∈(−3,+∞)\displaystyle x,y\in(-3,+\infty), atunci x>−3\displaystyle x>-3 și y>−3\displaystyle y>-3. Adunând 3\displaystyle 3 în fiecare inegalitate, obținem că x+3>0\displaystyle x+3>0 și y+3>0\displaystyle y+3>0.
    x+3>0 și y+3>0\displaystyle x+3>0\text{ și }y+3>0
  2. Scriem legea de compoziție în forma convenabilă. Dezvoltăm produsul (x+3)(y+3)=xy+3x+3y+9\displaystyle (x+3)(y+3)=xy+3x+3y+9, deci xy+3x+3y+6=(x+3)(y+3)−3\displaystyle xy+3x+3y+6=(x+3)(y+3)-3.
    x∘y=(x+3)(y+3)−3\displaystyle x\circ y=(x+3)(y+3)-3
  3. Produsul a doi factori pozitivi este pozitiv, deci (x+3)(y+3)>0\displaystyle (x+3)(y+3)>0. Scăzând 3\displaystyle 3 din ambii membri, obținem (x+3)(y+3)−3>−3\displaystyle (x+3)(y+3)-3>-3, adică x∘y>−3\displaystyle x\circ y>-3, deci x∘y∈(−3,+∞)\displaystyle x\circ y\in(-3,+\infty).
    (x+3)(y+3)>0⇒(x+3)(y+3)−3>−3⇒x∘y>−3, deci x∘y∈(−3,+∞)\displaystyle (x+3)(y+3)>0\Rightarrow(x+3)(y+3)-3>-3\Rightarrow x\circ y>-3\text{, deci }x\circ y\in(-3,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy+3x+3y+6\displaystyle x\circ y=xy+3x+3y+6.

Determinați valorile reale ale lui x\displaystyle x pentru care (x+3)∘(x−3)≤37\displaystyle (x+3)\circ(x-3)\le 37.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că xy+3x+3y+9=(x+3)(y+3)\displaystyle xy+3x+3y+9=(x+3)(y+3), deci legea se scrie x∘y=(x+3)(y+3)−3\displaystyle x\circ y=(x+3)(y+3)-3.
    x∘y=(x+3)(y+3)−3\displaystyle x\circ y=(x+3)(y+3)-3
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu x+3\displaystyle x+3 și y\displaystyle y cu x−3\displaystyle x-3. Factorii devin x+3+3=x+6\displaystyle x+3+3=x+6 și x−3+3=x\displaystyle x-3+3=x.
    (x+3)∘(x−3)=(x+6)⋅x−3\displaystyle (x+3)\circ(x-3)=(x+6)\cdot x-3
  3. Inegalitatea (x+3)∘(x−3)≤37\displaystyle (x+3)\circ(x-3)\le 37 devine x2+6x−3≤37\displaystyle x^{2}+6x-3\le 37, adică, după ce trecem totul în membrul stâng, x2+6x−40≤0\displaystyle x^{2}+6x-40\le 0.
    x2+6x−40≤0\displaystyle x^{2}+6x-40\le 0
  4. Rezolvăm ecuația x2+6x−40=0\displaystyle x^{2}+6x-40=0. Discriminantul este Δ=36+160=196\displaystyle \Delta=36+160=196, iar rădăcinile sunt x=−6±142\displaystyle x=\dfrac{-6\pm 14}{2}, adică x1=−10\displaystyle x_1=-10 și x2=4\displaystyle x_2=4.
    x1=−10\displaystyle x_1=-10, x2=4\displaystyle \ x_2=4
  5. Coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} este pozitiv, deci trinomul este ≤0\displaystyle \le 0 între rădăcini, inclusiv în rădăcini. Obținem x∈[−10,4]\displaystyle x\in[-10,4].
    x∈[−10,4]\displaystyle x\in[-10,4]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1005a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&0\\0&5^a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(3))=125\displaystyle \det(A(3))=125.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=3\displaystyle a=3 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(3)\displaystyle A(3), cu 1\displaystyle 1 și 53\displaystyle 5^{3} pe diagonala principală și zerouri în rest.
    A(3)=(10053)\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix}1&0\\0&5^{3}\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(3)\displaystyle A(3).
    det⁡(A(3))=∣10053∣\displaystyle \det(A(3))=\begin{vmatrix}1&0\\0&5^{3}\end{vmatrix}
  3. Calculăm 53=125\displaystyle 5^{3}=125. Determinantul unei matrice diagonale este produsul elementelor de pe diagonala principală: 1⋅125−0⋅0=125\displaystyle 1\cdot 125-0\cdot 0=125.
    ∣100125∣=1⋅125−0⋅0=125\displaystyle \begin{vmatrix}1&0\\0&125\end{vmatrix}=1\cdot 125-0\cdot 0=125
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1005a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&0\\0&5^a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că A(a)⋅A(b)=A(a+b)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=A(a+b), pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricile A(a)\displaystyle A(a) și A(b)\displaystyle A(b) după definiție și formăm produsul lor: A(a)⋅A(b)\displaystyle A(a)\cdot A(b).
    A(a)⋅A(b)=(1005a)⋅(1005b)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1&0\\0&5^a\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&0\\0&5^b\end{pmatrix}
  2. Calculăm fiecare element al produsului, linie pe coloană. Elementul de pe linia 1, coloana 1 este 1⋅1+0⋅0=1\displaystyle 1\cdot 1+0\cdot 0=1, cel de pe linia 1, coloana 2 este 1⋅0+0⋅5b=0\displaystyle 1\cdot 0+0\cdot 5^b=0, cel de pe linia 2, coloana 1 este 0⋅1+5a⋅0=0\displaystyle 0\cdot 1+5^a\cdot 0=0, iar cel de pe linia 2, coloana 2 este 0⋅0+5a⋅5b=5a⋅5b\displaystyle 0\cdot 0+5^a\cdot 5^b=5^a\cdot 5^b.
    A(a)⋅A(b)=(1005a⋅5b)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1&0\\0&5^a\cdot 5^b\end{pmatrix}
  3. Aplicăm regula de înmulțire a puterilor cu aceeași bază: 5a⋅5b=5a+b\displaystyle 5^a\cdot 5^b=5^{a+b}, adică la înmulțire exponenții se adună.
    5a⋅5b=5a+b\displaystyle 5^a\cdot 5^b=5^{a+b}
  4. Înlocuim în matricea produs și observăm că obținem exact matricea A(a+b)\displaystyle A(a+b), definită prin înlocuirea lui a\displaystyle a cu a+b\displaystyle a+b. Egalitatea este adevărată pentru orice numere reale a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    A(a)⋅A(b)=(1005a+b)=A(a+b), pentru orice numere \displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1&0\\0&5^{a+b}\end{pmatrix}=A(a+b)\text{, pentru orice numere }reale a și b\displaystyle \text{reale }a\text{ și }b
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1005a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&0\\0&5^a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(1)⋅A(4)−A(2)⋅A(3)=O2\displaystyle A(1)\cdot A(4)-A(2)\cdot A(3)=O_2, unde O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(a)⋅A(b)\displaystyle A(a)\cdot A(b) pentru numere reale oarecare a\displaystyle a și b\displaystyle b, înmulțind matricele diagonale: A(a)⋅A(b)=(1005a)(1005b)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1&0\\0&5^a\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0\\0&5^b\end{pmatrix}.
    A(a)⋅A(b)=(1⋅1+0⋅01⋅0+0⋅5b0⋅1+5a⋅00⋅0+5a⋅5b)=(1005a⋅5b)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1\cdot 1+0\cdot 0&1\cdot 0+0\cdot 5^b\\0\cdot 1+5^a\cdot 0&0\cdot 0+5^a\cdot 5^b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&5^{a}\cdot 5^{b}\end{pmatrix}
  2. Folosim regula 5a⋅5b=5a+b\displaystyle 5^a\cdot 5^b=5^{a+b} și obținem proprietatea A(a)⋅A(b)=A(a+b)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=A(a+b).
    A(a)⋅A(b)=(1005a+b)=A(a+b)\displaystyle A(a)\cdot A(b)=\begin{pmatrix}1&0\\0&5^{a+b}\end{pmatrix}=A(a+b)
  3. Aplicăm proprietatea fiecărui produs din expresie: A(1)⋅A(4)=A(1+4)\displaystyle A(1)\cdot A(4)=A(1+4), iar A(2)⋅A(3)=A(2+3)\displaystyle A(2)\cdot A(3)=A(2+3).
    A(1)⋅A(4)−A(2)⋅A(3)=A(1+4)−A(2+3)\displaystyle A(1)\cdot A(4)-A(2)\cdot A(3)=A(1+4)-A(2+3)
  4. Calculăm sumele din argumente: 1+4=5\displaystyle 1+4=5 și 2+3=5\displaystyle 2+3=5, deci cele două matrici coincid: A(5)=(10055)\displaystyle A(5)=\begin{pmatrix}1&0\\0&5^5\end{pmatrix}. Diferența lor este matricea nulă.
    A(5)−A(5)=(0000)=O2\displaystyle A(5)-A(5)=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1005a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&0\\0&5^a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. O matrice pătratică este inversabilă dacă și numai dacă determinantul ei este nenul. Deci calculăm determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a).
    A(a) inversabila˘⇔det⁡(A(a))≠0\displaystyle A(a)\text{ inversabilă}\Leftrightarrow \det(A(a))\neq 0
  2. Matricea este diagonală, deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală: 1⋅5a−0⋅0\displaystyle 1\cdot 5^a-0\cdot 0.
    det⁡(A(a))=∣1005a∣=1⋅5a−0⋅0=5a\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}1&0\\0&5^a\end{vmatrix}=1\cdot 5^a-0\cdot 0=5^a
  3. Puterea 5a\displaystyle 5^a a unui număr pozitiv este strict pozitivă pentru orice a∈R\displaystyle a\in\mathbb{R}, deci diferită de zero.
    5a>0⇒5a≠0, pentru orice a∈R\displaystyle 5^a>0\Rightarrow 5^a\neq 0\text{, pentru orice }a\in\mathbb{R}
  4. Rezultă că det⁡(A(a))=5a≠0\displaystyle \det(A(a))=5^a\neq 0 pentru orice a\displaystyle a real, deci matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă pentru orice număr real a\displaystyle a.
    det⁡(A(a))=5a≠0, deci matricea A(a) este inversabila˘, pentru \displaystyle \det(A(a))=5^a\neq 0\text{, deci matricea }A(a)\text{ este inversabilă, pentru }orice numa˘r real a\displaystyle \text{orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1005a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&0\\0&5^a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați matricea X∈M2(R)\displaystyle X\in\mathcal{M}_2(\mathbb{R}), astfel încât A(2)⋅X=A(0)\displaystyle A(2)\cdot X=A(0).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricele din ecuație: A(2)=(10052)=(10025)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1&0\\0&5^{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&25\end{pmatrix} și A(0)=(10050)=I2\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&0\\0&5^{0}\end{pmatrix}=I_2.
    A(2)=(10025)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1&0\\0&25\end{pmatrix}, A(0)=I2\displaystyle \ A(0)=I_2
  2. Calculăm A(2)⋅A(−2)=(10052⋅5−2)=(1001)=A(0)=I2\displaystyle A(2)\cdot A(-2)=\begin{pmatrix}1&0\\0&5^{2}\cdot 5^{-2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=A(0)=I_2. Deci A(2)\displaystyle A(2) este inversabilă și (A(2))−1=A(−2)\displaystyle (A(2))^{-1}=A(-2).
    A(2)A(−2)=A(0)=I2, deci (A(2))−1=A(−2)\displaystyle A(2)A(-2)=A(0)=I_2\text{, deci }(A(2))^{-1}=A(-2)
  3. Înmulțim la stânga egalitatea A(2)⋅X=A(0)\displaystyle A(2)\cdot X=A(0) cu (A(2))−1\displaystyle (A(2))^{-1}. Cum (A(2))−1⋅A(2)=I2\displaystyle (A(2))^{-1}\cdot A(2)=I_2, obținem X=(A(2))−1⋅A(0)=A(−2)⋅A(0)\displaystyle X=(A(2))^{-1}\cdot A(0)=A(-2)\cdot A(0).
    X=(A(2))−1⋅A(0)=A(−2)⋅A(0)\displaystyle X=(A(2))^{-1}\cdot A(0)=A(-2)\cdot A(0)
  4. Cum A(0)=I2\displaystyle A(0)=I_2, rezultă X=A(−2)\displaystyle X=A(-2). Deoarece 5−2=125\displaystyle 5^{-2}=\dfrac{1}{25}, obținem X=(100125)\displaystyle X=\begin{pmatrix}1&0\\0&\dfrac{1}{25}\end{pmatrix}.
    X=A(−2)=(100125)\displaystyle X=A(-2)=\begin{pmatrix}1&0\\0&\frac{1}{25}\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(1005a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&0\\0&5^a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care det⁡(A(n))≤1253\displaystyle \det(A(n))\le\sqrt[3]{125}.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea A(n)\displaystyle A(n) este diagonală, deci determinantul ei este produsul elementelor de pe diagonala principală: det⁡(A(n))=1⋅5n\displaystyle \det(A(n))=1\cdot 5^{n}.
    det⁡(A(n))=1⋅5n=5n\displaystyle \det(A(n))=1\cdot 5^{n}=5^{n}
  2. Scriem 125=53\displaystyle 125=5^{3}, deci 1253=533=5\displaystyle \sqrt[3]{125}=\sqrt[3]{5^{3}}=5.
    1253=5\displaystyle \sqrt[3]{125}=5
  3. Inegalitatea devine 5n≤5\displaystyle 5^{n}\le 5, adică 5n≤51\displaystyle 5^{n}\le 5^{1}. Deoarece baza 5>1\displaystyle 5>1, funcția exponențială este crescătoare, deci sensul inegalității se păstrează pentru exponenți: n≤1\displaystyle n\le 1.
    5n≤1253⇔5n≤5⇔n≤1\displaystyle 5^{n}\le\sqrt[3]{125}\Leftrightarrow 5^{n}\le 5\Leftrightarrow n\le 1
  4. Cum n\displaystyle n este număr natural și n≤1\displaystyle n\le 1, rămân valorile n=0\displaystyle n=0 și n=1\displaystyle n=1. Verificare: 50=1≤5\displaystyle 5^{0}=1\le 5 și 51=5≤5\displaystyle 5^{1}=5\le 5.
    n=0 sau n=1\displaystyle n=0\text{ sau }n=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.