Bac matematică M4 pedagogic 2021, model, test de evaluare 6: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 9:(123−(−1)3)=8\displaystyle 9:\left(\frac{1}{2^3}-(-1)^3\right)=8.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm puterile din paranteză: 23=8\displaystyle 2^3=8, iar (−1)3=−1\displaystyle (-1)^3=-1.
    23=8\displaystyle 2^3=8, (−1)3=−1\displaystyle \ (-1)^3=-1
  2. Înlocuim puterile în expresie: 9:(18−(−1))\displaystyle 9:\left(\dfrac{1}{8}-(-1)\right). Scăderea lui −1\displaystyle -1 devine adunare cu 1\displaystyle 1.
    9:(18−(−1))=9:(18+1)\displaystyle 9:\left(\frac{1}{8}-(-1)\right)=9:\left(\frac{1}{8}+1\right)
  3. Aducem termenii din paranteză la același numitor: 1=88\displaystyle 1=\dfrac{8}{8}, deci 18+1=18+88\displaystyle \dfrac{1}{8}+1=\dfrac{1}{8}+\dfrac{8}{8}.
    18+1=98\displaystyle \frac{1}{8}+1=\frac{9}{8}
  4. Împărțirea la o fracție este înmulțire cu inversa ei: 9:98=9⋅89\displaystyle 9:\dfrac{9}{8}=9\cdot\dfrac{8}{9}.
    9:98=9⋅89\displaystyle 9:\frac{9}{8}=9\cdot\frac{8}{9}
  5. Simplificăm 9\displaystyle 9 cu 9\displaystyle 9 și obținem 8\displaystyle 8, deci egalitatea cerută este adevărată.
    9⋅89=8\displaystyle 9\cdot\frac{8}{9}=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=ax−2\displaystyle f(x)=ax-2, unde a\displaystyle a este număr real. Arătați că, dacă punctul A(1,3)\displaystyle A(1,3) aparține graficului funcției f\displaystyle f, atunci punctul B(−1,−7)\displaystyle B(-1,-7) aparține graficului funcției f\displaystyle f.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul A(1,3)\displaystyle A(1,3) aparține graficului funcției f\displaystyle f, deci f(1)=3\displaystyle f(1)=3. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 în f(x)=ax−2\displaystyle f(x)=ax-2.
    f(1)=a⋅1−2=a−2\displaystyle f(1)=a\cdot 1-2=a-2
  2. Egalăm cu 3\displaystyle 3 și aflăm valoarea lui a\displaystyle a: din a−2=3\displaystyle a-2=3 obținem a=5\displaystyle a=5.
    a−2=3⇒a=5\displaystyle a-2=3\Rightarrow a=5
  3. Cu a=5\displaystyle a=5, funcția este f(x)=5x−2\displaystyle f(x)=5x-2. Punctul B(−1,−7)\displaystyle B(-1,-7) aparține graficului dacă f(−1)=−7\displaystyle f(-1)=-7, deci calculăm f(−1)\displaystyle f(-1).
    f(−1)=5⋅(−1)−2=−5−2=−7\displaystyle f(-1)=5\cdot(-1)-2=-5-2=-7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 52x−5=125\displaystyle 5^{2x-5}=125.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem membrul drept ca putere a lui 5\displaystyle 5: 125=53\displaystyle 125=5^{3}, deoarece 5⋅5⋅5=125\displaystyle 5\cdot 5\cdot 5=125.
    125=53\displaystyle 125=5^{3}
  2. Ecuația devine 52x−5=53\displaystyle 5^{2x-5}=5^{3}. Ambii membri au aceeași bază 5\displaystyle 5, pozitivă și diferită de 1\displaystyle 1, deci funcția exponențială este injectivă și putem egala exponenții: 2x−5=3\displaystyle 2x-5=3.
    52x−5=53⇔2x−5=3\displaystyle 5^{2x-5}=5^{3}\Leftrightarrow 2x-5=3
  3. Adunăm 5\displaystyle 5 în ambii membri: 2x=3+5=8\displaystyle 2x=3+5=8.
    2x=8\displaystyle 2x=8
  4. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem x=4\displaystyle x=4. Verificare: 2⋅4−5=3\displaystyle 2\cdot 4-5=3, iar 53=125\displaystyle 5^{3}=125.
    x=4\displaystyle x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați probabilitatea ca, alegând un număr n\displaystyle n din mulțimea numerelor naturale de o cifră, numărul 3n−3\displaystyle 3^{n-3} să fie subunitar.
Vezi rezolvarea
  1. Numerele naturale de o cifră sunt 0,1,2,…,9\displaystyle 0,1,2,\ldots,9. Le numărăm: sunt 10\displaystyle 10 cazuri posibile.
    10\displaystyle 10
  2. Numărul 3n−3\displaystyle 3^{n-3} este subunitar când 3n−3<1\displaystyle 3^{n-3}<1. Scriem 1=30\displaystyle 1=3^{0}.
    3n−3<30\displaystyle 3^{n-3}<3^{0}
  3. Baza 3>1\displaystyle 3>1, deci funcția exponențială este crescătoare și inegalitatea se păstrează pentru exponenți: n−3<0\displaystyle n-3<0, adică n<3\displaystyle n<3.
    n−3<0⇒n<3\displaystyle n-3<0\Rightarrow n<3
  4. Dintre numerele de o cifră, cele mai mici decât 3\displaystyle 3 sunt 0\displaystyle 0, 1\displaystyle 1 și 2\displaystyle 2. Avem 3\displaystyle 3 cazuri favorabile.
    n=0 sau n=1 sau n=2\displaystyle n=0\text{ sau }n=1\text{ sau }n=2, 3 cazuri favorabile\displaystyle \ 3\text{ cazuri favorabile}
  5. Probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și numărul cazurilor posibile: p=310\displaystyle p=\dfrac{3}{10}.
    p=nr. cazuri favorabilenr. cazuri posibile=310\displaystyle p=\frac{\text{nr. cazuri favorabile}}{\text{nr. cazuri posibile}}=\frac{3}{10}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(−2,4)\displaystyle A(-2,4), B(0,2)\displaystyle B(0,2), C(1,3)\displaystyle C(1,3) și D\displaystyle D, astfel încât segmentele AB\displaystyle AB și CD\displaystyle CD au același mijloc. Determinați coordonatele punctului D\displaystyle D.
Vezi rezolvarea
  1. Mijlocul M\displaystyle M al segmentului AB\displaystyle AB are coordonatele xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yM=yA+yB2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}, yM=yA+yB2\displaystyle \ y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
  2. Pentru A(−2,4)\displaystyle A(-2,4) și B(0,2)\displaystyle B(0,2) obținem xM=−2+02=−1\displaystyle x_M=\dfrac{-2+0}{2}=-1 și yM=4+22=3\displaystyle y_M=\dfrac{4+2}{2}=3, deci M(−1,3)\displaystyle M(-1,3).
    M(−1,3)\displaystyle M(-1,3)
  3. Deoarece M\displaystyle M este și mijlocul lui CD\displaystyle CD, cu C(1,3)\displaystyle C(1,3) și D(xD,yD)\displaystyle D(x_D,y_D) avem −1=1+xD2\displaystyle -1=\dfrac{1+x_D}{2} și 3=3+yD2\displaystyle 3=\dfrac{3+y_D}{2}.
    −1=1+xD2\displaystyle -1=\dfrac{1+x_D}{2}, 3=3+yD2\displaystyle \ 3=\dfrac{3+y_D}{2}
  4. Din prima ecuație, 1+xD=−2\displaystyle 1+x_D=-2, deci xD=−3\displaystyle x_D=-3. Din a doua, 3+yD=6\displaystyle 3+y_D=6, deci yD=3\displaystyle y_D=3. Așadar D(−3,3)\displaystyle D(-3,3).
    xD=−3\displaystyle x_D=-3, yD=3\displaystyle \ y_D=3, D(−3,3)\displaystyle \ D(-3,3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră pătratul ABCD\displaystyle ABCD de latură 12\displaystyle 12 și punctul O\displaystyle O, intersecția dreptelor AC\displaystyle AC și BD\displaystyle BD. Determinați aria triunghiului AMC\displaystyle AMC, știind că M\displaystyle M este mijlocul segmentului OB\displaystyle OB.
Vezi rezolvarea
  1. Diagonala pătratului de latură 12\displaystyle 12 este AC=122\displaystyle AC=12\sqrt{2}.
    AC=122\displaystyle AC=12\sqrt{2}
  2. Diagonalele pătratului sunt egale și se înjumătățesc, deci BD=AC=122\displaystyle BD=AC=12\sqrt{2} și OB=BD2=62\displaystyle OB=\dfrac{BD}{2}=6\sqrt{2}.
    OB=62\displaystyle OB=6\sqrt{2}
  3. Cum M\displaystyle M este mijlocul segmentului OB\displaystyle OB, avem MO=OB2=622=32\displaystyle MO=\dfrac{OB}{2}=\dfrac{6\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}. Deci AC=122\displaystyle AC=12\sqrt{2} și MO=32\displaystyle MO=3\sqrt{2}.
    AC=122\displaystyle AC=12\sqrt{2}, MO=32\displaystyle \ MO=3\sqrt{2}
  4. Diagonalele pătratului sunt perpendiculare, deci MO⊥AC\displaystyle MO\perp AC, iar O∈AC\displaystyle O\in AC. Așadar MO\displaystyle MO este înălțime în triunghiul AMC\displaystyle AMC corespunzătoare bazei AC\displaystyle AC.
    MO⊥AC\displaystyle MO\perp AC
  5. Aria triunghiului este AΔAMC=MO⋅AC2=32⋅1222=722=36\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta AMC}=\dfrac{MO\cdot AC}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}\cdot 12\sqrt{2}}{2}=\dfrac{72}{2}=36.
    AΔAMC=MO⋅AC2=32⋅1222=36\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta AMC}=\frac{MO\cdot AC}{2}=\frac{3\sqrt{2}\cdot 12\sqrt{2}}{2}=36
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x3−x2y−xy2+y3\displaystyle x\circ y=x^3-x^2y-xy^2+y^3.

Arătați că 1∘(−2)=−9\displaystyle 1\circ(-2)=-9.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=1\displaystyle x=1 și y=−2\displaystyle y=-2 în definiția x∘y=x3−x2y−xy2+y3\displaystyle x\circ y=x^3-x^2y-xy^2+y^3.
    1∘(−2)=13−12⋅(−2)−1⋅(−2)2+(−2)3\displaystyle 1\circ(-2)=1^3-1^2\cdot(-2)-1\cdot(-2)^2+(-2)^3
  2. Calculăm fiecare termen separat: 13=1\displaystyle 1^3=1, −12⋅(−2)=2\displaystyle -1^2\cdot(-2)=2, −1⋅(−2)2=−4\displaystyle -1\cdot(-2)^2=-4, (−2)3=−8\displaystyle (-2)^3=-8.
    1+2−4−8\displaystyle 1+2-4-8
  3. Adunăm termenii: 1+2=3\displaystyle 1+2=3, 3−4=−1\displaystyle 3-4=-1, −1−8=−9\displaystyle -1-8=-9. Deci egalitatea este demonstrată.
    1∘(−2)=1+2−4−8=−9\displaystyle 1\circ(-2)=1+2-4-8=-9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x3−x2y−xy2+y3\displaystyle x\circ y=x^3-x^2y-xy^2+y^3.

Arătați că x∘y=(x+y)(x−y)2\displaystyle x\circ y=(x+y)(x-y)^2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=x3−x2y−xy2+y3\displaystyle x\circ y=x^3-x^2y-xy^2+y^3 și grupăm termenii doi câte doi: (x3−x2y)+(−xy2+y3)\displaystyle (x^3-x^2y)+(-xy^2+y^3).
    x∘y=(x3−x2y)+(−xy2+y3)\displaystyle x\circ y=(x^3-x^2y)+(-xy^2+y^3)
  2. În primul grup dăm factor comun x2\displaystyle x^2, iar în al doilea grup dăm factor comun −y2\displaystyle -y^2: x3−x2y=x2(x−y)\displaystyle x^3-x^2y=x^2(x-y) și −xy2+y3=−y2(x−y)\displaystyle -xy^2+y^3=-y^2(x-y). În ambele grupuri apare factorul x−y\displaystyle x-y.
    x∘y=x2(x−y)−y2(x−y)\displaystyle x\circ y=x^2(x-y)-y^2(x-y)
  3. Dăm factor comun pe x−y\displaystyle x-y și obținem produsul dintre x2−y2\displaystyle x^2-y^2 și x−y\displaystyle x-y.
    x∘y=(x2−y2)(x−y)\displaystyle x\circ y=(x^2-y^2)(x-y)
  4. Descompunem diferența de pătrate: x2−y2=(x+y)(x−y)\displaystyle x^2-y^2=(x+y)(x-y). Înlocuim în egalitatea precedentă.
    x∘y=(x+y)(x−y)(x−y)\displaystyle x\circ y=(x+y)(x-y)(x-y)
  5. Cei doi factori x−y\displaystyle x-y se scriu ca pătrat, deci x∘y=(x+y)(x−y)2\displaystyle x\circ y=(x+y)(x-y)^2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=(x+y)(x−y)2\displaystyle x\circ y=(x+y)(x-y)^2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x3−x2y−xy2+y3\displaystyle x\circ y=x^3-x^2y-xy^2+y^3.

Arătați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii: x∘y=x3−x2y−xy2+y3\displaystyle x\circ y=x^3-x^2y-xy^2+y^3.
    x∘y=x3−x2y−xy2+y3\displaystyle x\circ y=x^3-x^2y-xy^2+y^3
  2. Grupăm termenii: (x3−x2y)+(−xy2+y3)\displaystyle (x^3-x^2y)+(-xy^2+y^3). În prima paranteză dăm factor comun x2\displaystyle x^2, în a doua y2\displaystyle y^2.
    x∘y=x2(x−y)+y2(y−x)\displaystyle x\circ y=x^2(x-y)+y^2(y-x)
  3. Folosim y−x=−(x−y)\displaystyle y-x=-(x-y) și dăm factor comun x−y\displaystyle x-y.
    x∘y=(x−y)(x2−y2)\displaystyle x\circ y=(x-y)(x^2-y^2)
  4. Folosim x2−y2=(x−y)(x+y)\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y) și obținem forma factorizată.
    x∘y=(x+y)(x−y)2\displaystyle x\circ y=(x+y)(x-y)^2
  5. Din x+y=y+x\displaystyle x+y=y+x și (x−y)2=(y−x)2\displaystyle (x-y)^2=(y-x)^2 rezultă că expresia se poate scrie și în altă ordine.
    x∘y=(x+y)(x−y)2=(y+x)(y−x)2\displaystyle x\circ y=(x+y)(x-y)^2=(y+x)(y-x)^2
  6. Expresia (y+x)(y−x)2\displaystyle (y+x)(y-x)^2 este forma factorizată a lui y∘x\displaystyle y\circ x. Deci x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}, adică legea „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
    x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x, ∀x\displaystyle \ \forall x,y∈R\displaystyle y\in\mathbb{R}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x3−x2y−xy2+y3\displaystyle x\circ y=x^3-x^2y-xy^2+y^3.

Arătați că x∘(−x)=0\displaystyle x\circ(-x)=0, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Grupăm termenii: x∘y=x2(x−y)−y2(x−y)\displaystyle x\circ y=x^2(x-y)-y^2(x-y). Dăm factor comun x−y\displaystyle x-y și folosim diferența de pătrate x2−y2=(x−y)(x+y)\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).
    x∘y=(x−y)(x2−y2)=(x+y)(x−y)2\displaystyle x\circ y=(x-y)(x^2-y^2)=(x+y)(x-y)^2
  2. Înlocuim y=−x\displaystyle y=-x în forma factorizată x∘y=(x+y)(x−y)2\displaystyle x\circ y=(x+y)(x-y)^2.
    x∘(−x)=(x+(−x))(x−(−x))2\displaystyle x\circ(-x)=(x+(-x))(x-(-x))^2
  3. Calculăm factorii: x+(−x)=0\displaystyle x+(-x)=0, iar x−(−x)=x+x=2x\displaystyle x-(-x)=x+x=2x.
    x+(−x)=0\displaystyle x+(-x)=0,x−(−x)=2x\displaystyle \quad x-(-x)=2x
  4. Deci x∘(−x)=0⋅(2x)2=0\displaystyle x\circ(-x)=0\cdot(2x)^2=0, pentru orice x\displaystyle x real, ceea ce trebuia demonstrat.
    x∘(−x)=0⋅(2x)2=0\displaystyle x\circ(-x)=0\cdot(2x)^2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x3−x2y−xy2+y3\displaystyle x\circ y=x^3-x^2y-xy^2+y^3.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care (2x)∘x=24\displaystyle (2x)\circ x=24.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea de compoziție pentru perechea (2x,x)\displaystyle (2x, x), adică înlocuim x\displaystyle x cu 2x\displaystyle 2x și y\displaystyle y cu x\displaystyle x în expresia x3−x2y−xy2+y3\displaystyle x^3-x^2y-xy^2+y^3.
    (2x)∘x=(2x)3−(2x)2x−(2x)x2+x3\displaystyle (2x)\circ x=(2x)^3-(2x)^2x-(2x)x^2+x^3
  2. Factorizăm expresia legii: x3−x2y−xy2+y3=x2(x−y)−y2(x−y)=(x−y)(x2−y2)\displaystyle x^3-x^2y-xy^2+y^3=x^2(x-y)-y^2(x-y)=(x-y)(x^2-y^2). Deci x∘y=(x+y)(x−y)2\displaystyle x\circ y=(x+y)(x-y)^2.
    x∘y=(x+y)(x−y)2\displaystyle x\circ y=(x+y)(x-y)^2
  3. Înlocuim x\displaystyle x cu 2x\displaystyle 2x și y\displaystyle y cu x\displaystyle x în forma factorizată. Suma este 2x+x=3x\displaystyle 2x+x=3x, iar diferența este 2x−x=x\displaystyle 2x-x=x. Deci (2x)∘x=3x⋅x2\displaystyle (2x)\circ x=3x\cdot x^2.
    (2x)∘x=(2x+x)(2x−x)2=3x⋅x2=3x3\displaystyle (2x)\circ x=(2x+x)(2x-x)^2=3x\cdot x^2=3x^3
  4. Ecuația (2x)∘x=24\displaystyle (2x)\circ x=24 devine 3x3=24\displaystyle 3x^3=24. Împărțim la 3\displaystyle 3 și obținem x3=8\displaystyle x^3=8.
    3x3=24⇔x3=8\displaystyle 3x^3=24\Leftrightarrow x^3=8
  5. Funcția x↦x3\displaystyle x\mapsto x^3 este injectivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, iar 23=8\displaystyle 2^3=8, deci ecuația x3=8\displaystyle x^3=8 are o singură soluție reală.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x3−x2y−xy2+y3\displaystyle x\circ y=x^3-x^2y-xy^2+y^3.

Determinați numerele naturale m\displaystyle m și n\displaystyle n, cu m>n\displaystyle m>n, pentru care m∘n=9\displaystyle m\circ n=9.
Vezi rezolvarea
  1. Grupăm termenii: m∘n=m3−m2n−mn2+n3=m2(m−n)−n2(m−n)\displaystyle m\circ n=m^3-m^2n-mn^2+n^3=m^2(m-n)-n^2(m-n).
    m∘n=m2(m−n)−n2(m−n)\displaystyle m\circ n=m^2(m-n)-n^2(m-n)
  2. Dăm factor comun m−n\displaystyle m-n: (m−n)(m2−n2)=(m−n)(m−n)(m+n)\displaystyle (m-n)(m^2-n^2)=(m-n)(m-n)(m+n). Din m∘n=9\displaystyle m\circ n=9 rezultă (m+n)(m−n)2=9\displaystyle (m+n)(m-n)^2=9.
    (m+n)(m−n)2=9\displaystyle (m+n)(m-n)^2=9
  3. Cum m>n\displaystyle m>n, avem m−n≥1\displaystyle m-n\geq 1 și m+n∈N\displaystyle m+n\in\mathbb{N}. Produsul (m+n)(m−n)2=9\displaystyle (m+n)(m-n)^2=9 arată că (m−n)2\displaystyle (m-n)^2 divide 9, deci (m−n)2∈{1,9}\displaystyle (m-n)^2\in\{1,9\}, adică m−n∈{1,3}\displaystyle m-n\in\{1,3\}.
    m−n∈{1,3}\displaystyle m-n\in\{1,3\}
  4. Dacă m−n=3\displaystyle m-n=3, atunci (m+n)⋅9=9\displaystyle (m+n)\cdot 9=9, deci m+n=1\displaystyle m+n=1. Dacă m−n=1\displaystyle m-n=1, atunci m+n=9\displaystyle m+n=9.
    m+n=1 și m−n=3 sau m+n=9 și m−n=1\displaystyle m+n=1\text{ și }m-n=3\text{ sau }m+n=9\text{ și }m-n=1
  5. Din m+n=1\displaystyle m+n=1 și m−n=3\displaystyle m-n=3 obținem m=2\displaystyle m=2 și n=−1\displaystyle n=-1, care nu convin deoarece n∉N\displaystyle n\notin\mathbb{N}. Din m+n=9\displaystyle m+n=9 și m−n=1\displaystyle m-n=1 obținem m=5\displaystyle m=5 și n=4\displaystyle n=4, care convin, deoarece (5+4)(5−4)2=9\displaystyle (5+4)(5-4)^2=9.
    m=2 și n=−1, care nu convin, și m=5 și n=4, care convin\displaystyle m=2\text{ și }n=-1\text{, care nu convin, și }m=5\text{ și }n=4\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(0110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} și B=(a2b−3)\displaystyle B=\begin{pmatrix}a&2\\b&-3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Arătați că det⁡A=−1\displaystyle \det A=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim formula determinantului de ordin 2: ∣pqrs∣=p⋅s−q⋅r\displaystyle \begin{vmatrix}p&q\\r&s\end{vmatrix}=p\cdot s-q\cdot r, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    ∣pqrs∣=p⋅s−q⋅r\displaystyle \begin{vmatrix}p&q\\r&s\end{vmatrix}=p\cdot s-q\cdot r
  2. Pentru matricea A\displaystyle A, elementele sunt 0,1,1,0\displaystyle 0,1,1,0. Înlocuim în formulă: diagonala principală dă 0⋅0\displaystyle 0\cdot 0, iar diagonala secundară dă 1⋅1\displaystyle 1\cdot 1.
    det⁡A=∣0110∣=0⋅0−1⋅1\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}=0\cdot 0-1\cdot 1
  3. Calculăm produsele: 0⋅0=0\displaystyle 0\cdot 0=0, iar 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1. Rămâne 0−1\displaystyle 0-1, deci determinantul este −1\displaystyle -1, ceea ce trebuia arătat.
    0−1=−1, deci det⁡A=−1\displaystyle 0-1=-1\text{, deci }\det A=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(0110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} și B=(a2b−3)\displaystyle B=\begin{pmatrix}a&2\\b&-3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Pentru a=3\displaystyle a=3 și b=−1\displaystyle b=-1, calculați 3A−2B\displaystyle 3A-2B.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=3\displaystyle a=3 și b=−1\displaystyle b=-1 în matricea B\displaystyle B.
    B=(32−1−3)\displaystyle B=\begin{pmatrix}3&2\\-1&-3\end{pmatrix}
  2. Calculăm 3A\displaystyle 3A, înmulțind fiecare element al matricei A\displaystyle A cu 3\displaystyle 3.
    3A=(0330)\displaystyle 3A=\begin{pmatrix}0&3\\3&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm 2B\displaystyle 2B, înmulțind fiecare element al matricei B\displaystyle B cu 2\displaystyle 2.
    2B=(64−2−6)\displaystyle 2B=\begin{pmatrix}6&4\\-2&-6\end{pmatrix}
  4. Scriem diferența 3A−2B\displaystyle 3A-2B cu matricele calculate.
    3A−2B=(0330)−(64−2−6)\displaystyle 3A-2B=\begin{pmatrix}0&3\\3&0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}6&4\\-2&-6\end{pmatrix}
  5. Scădem element cu element: 0−6=−6\displaystyle 0-6=-6, 3−4=−1\displaystyle 3-4=-1, 3−(−2)=5\displaystyle 3-(-2)=5, 0−(−6)=6\displaystyle 0-(-6)=6.
    3A−2B=(−6−156)\displaystyle 3A-2B=\begin{pmatrix}-6&-1\\5&6\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(0110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} și B=(a2b−3)\displaystyle B=\begin{pmatrix}a&2\\b&-3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Pentru a=−3\displaystyle a=-3 și b=2\displaystyle b=2, arătați că A⋅B=B⋅A\displaystyle A\cdot B=B\cdot A.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=−3\displaystyle a=-3 și b=2\displaystyle b=2 în matricea B\displaystyle B.
    B=(−322−3)\displaystyle B=\begin{pmatrix}-3&2\\2&-3\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B, înmulțind liniile lui A\displaystyle A cu coloanele lui B\displaystyle B. Prima linie a lui A\displaystyle A, (0    1)\displaystyle (0\;\;1), dă a doua linie a lui B\displaystyle B, iar a doua linie a lui A\displaystyle A, (1    0)\displaystyle (1\;\;0), dă prima linie a lui B\displaystyle B. Deci produsul schimbă între ele liniile lui B\displaystyle B.
    A⋅B=(0⋅(−3)+1⋅20⋅2+1⋅(−3)1⋅(−3)+0⋅21⋅2+0⋅(−3))=(2−3−32)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}0\cdot(-3)+1\cdot 2&0\cdot 2+1\cdot(-3)\\1\cdot(-3)+0\cdot 2&1\cdot 2+0\cdot(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-3\\-3&2\end{pmatrix}
  3. Calculăm produsul B⋅A\displaystyle B\cdot A, înmulțind liniile lui B\displaystyle B cu coloanele lui A\displaystyle A. Aici se schimbă între ele coloanele lui B\displaystyle B.
    B⋅A=(−3⋅0+2⋅1−3⋅1+2⋅02⋅0+(−3)⋅12⋅1+(−3)⋅0)=(2−3−32)\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}-3\cdot 0+2\cdot 1&-3\cdot 1+2\cdot 0\\2\cdot 0+(-3)\cdot 1&2\cdot 1+(-3)\cdot 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&-3\\-3&2\end{pmatrix}
  4. Comparăm cele două produse: matricele obținute sunt egale, deci A⋅B=B⋅A\displaystyle A\cdot B=B\cdot A.
    A⋅B=B⋅A=(2−3−32)\displaystyle A\cdot B=B\cdot A=\begin{pmatrix}2&-3\\-3&2\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(0110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} și B=(a2b−3)\displaystyle B=\begin{pmatrix}a&2\\b&-3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Determinați numerele reale a\displaystyle a și b\displaystyle b pentru care B⋅B=I2\displaystyle B\cdot B=I_2, unde I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul B⋅B\displaystyle B\cdot B folosind regula linie pe coloană: fiecare element se obține înmulțind linia din prima matrice cu coloana din a doua.
    B⋅B=(a2b−3)(a2b−3)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}a&2\\b&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&2\\b&-3\end{pmatrix}
  2. Calculăm cele patru elemente: a⋅a+2⋅b\displaystyle a\cdot a+2\cdot b, a⋅2+2⋅(−3)\displaystyle a\cdot 2+2\cdot(-3), b⋅a+(−3)⋅b\displaystyle b\cdot a+(-3)\cdot b și b⋅2+(−3)(−3)\displaystyle b\cdot 2+(-3)(-3).
    B⋅B=(a2+2b2a−6ab−3b2b+9)\displaystyle B\cdot B=\begin{pmatrix}a^2+2b&2a-6\\ab-3b&2b+9\end{pmatrix}
  3. Egalăm element cu element matricea obținută cu matricea unitate I2\displaystyle I_2. Obținem un sistem de patru ecuații.
    {a2+2b=12a−6=0ab−3b=02b+9=1\displaystyle \begin{cases}a^2+2b=1\\2a-6=0\\ab-3b=0\\2b+9=1\end{cases}
  4. Din a doua ecuație, 2a−6=0\displaystyle 2a-6=0, rezultă a=3\displaystyle a=3.
    a=3\displaystyle a=3
  5. Din a patra ecuație, 2b+9=1\displaystyle 2b+9=1, rezultă 2b=−8\displaystyle 2b=-8, deci b=−4\displaystyle b=-4.
    b=−4\displaystyle b=-4
  6. Verificăm cu celelalte două ecuații: a2+2b=9−8=1\displaystyle a^2+2b=9-8=1 și ab−3b=b(a−3)=0\displaystyle ab-3b=b(a-3)=0. Ambele sunt satisfăcute, deci a=3\displaystyle a=3 și b=−4\displaystyle b=-4.
    a=3 și b=−4\displaystyle a=3\text{ și }b=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(0110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} și B=(a2b−3)\displaystyle B=\begin{pmatrix}a&2\\b&-3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Arătați că det⁡(A−B)≤−3\displaystyle \det(A-B)\le -3, pentru orice numere naturale nenule a\displaystyle a și b\displaystyle b.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea A−B\displaystyle A-B scăzând element cu element: pe prima linie 0−a\displaystyle 0-a și 1−2\displaystyle 1-2, pe a doua linie 1−b\displaystyle 1-b și 0−(−3)\displaystyle 0-(-3).
    A−B=(−a−11−b3)\displaystyle A-B=\begin{pmatrix}-a&-1\\1-b&3\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: (−a)⋅3−(−1)(1−b)\displaystyle (-a)\cdot 3-(-1)(1-b).
    det⁡(A−B)=−3a+(1−b)=1−(3a+b)\displaystyle \det(A-B)=-3a+(1-b)=1-(3a+b)
  3. Deoarece a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere naturale nenule, avem a≥1\displaystyle a\ge 1 și b≥1\displaystyle b\ge 1. Înmulțim prima inegalitate cu 3\displaystyle 3 și o adunăm cu a doua.
    3a+b≥3⋅1+1=4\displaystyle 3a+b\ge 3\cdot 1+1=4
  4. Din 3a+b≥4\displaystyle 3a+b\ge 4 rezultă că 1−(3a+b)≤1−4\displaystyle 1-(3a+b)\le 1-4, adică determinantul este cel mult −3\displaystyle -3, pentru orice numere naturale nenule a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    det⁡(A−B)=1−(3a+b)≤1−4=−3\displaystyle \det(A-B)=1-(3a+b)\le 1-4=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(0110)\displaystyle A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} și B=(a2b−3)\displaystyle B=\begin{pmatrix}a&2\\b&-3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale.

Arătați că, dacă numărul a\displaystyle a este cu 5\displaystyle 5 mai mare decât numărul b\displaystyle b, atunci det⁡(A⋅B+B⋅A)=0\displaystyle \det(A\cdot B+B\cdot A)=0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A⋅B\displaystyle A\cdot B. Înmulțirea cu A\displaystyle A din stânga interschimbă liniile matricei B\displaystyle B.
    A⋅B=(0110)(a2b−3)=(b−3a2)\displaystyle A\cdot B=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a&2\\b&-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b&-3\\a&2\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul B⋅A\displaystyle B\cdot A. Înmulțirea cu A\displaystyle A din dreapta interschimbă coloanele matricei B\displaystyle B.
    B⋅A=(a2b−3)(0110)=(2a−3b)\displaystyle B\cdot A=\begin{pmatrix}a&2\\b&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&a\\-3&b\end{pmatrix}
  3. Adunăm cele două matrice element cu element și calculăm determinantul ca diferență între produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe cea secundară.
    A⋅B+B⋅A=(b+2a−3a−3b+2)⇒det⁡(A⋅B+B⋅A)=(b+2)2−(a−3)2\displaystyle A\cdot B+B\cdot A=\begin{pmatrix}b+2&a-3\\a-3&b+2\end{pmatrix}\Rightarrow\det(A\cdot B+B\cdot A)=(b+2)^2-(a-3)^2
  4. Din ipoteză, a\displaystyle a este cu 5\displaystyle 5 mai mare decât b\displaystyle b, deci a=b+5\displaystyle a=b+5. Înlocuim în determinant: a−3=b+5−3=b+2\displaystyle a-3=b+5-3=b+2.
    a−3=b+2\displaystyle a-3=b+2
  5. Cei doi pătrați din determinant sunt egali, deci diferența lor este zero.
    a=b+5, deci det⁡(A⋅B+B⋅A)=(b+2)2−(b+5−3)2=(b+2)2−(b+2)2=0\displaystyle a=b+5\text{, deci }\det(A\cdot B+B\cdot A)=(b+2)^2-(b+5-3)^2=(b+2)^2-(b+2)^2=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.