Bac matematică M4 pedagogic 2020, model, test de evaluare 14: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 48−27+75−108=0\displaystyle \sqrt{48}-\sqrt{27}+\sqrt{75}-\sqrt{108}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Descompunem fiecare număr de sub radical astfel încât să apară un pătrat perfect înmulțit cu 3: 48=16⋅3\displaystyle 48=16\cdot 3, iar 27=9⋅3\displaystyle 27=9\cdot 3.
    48=16⋅3\displaystyle 48=16\cdot 3,27=9⋅3\displaystyle \quad 27=9\cdot 3
  2. Facem la fel pentru 75 și 108: 75=25⋅3\displaystyle 75=25\cdot 3, iar 108=36⋅3\displaystyle 108=36\cdot 3.
    75=25⋅3\displaystyle 75=25\cdot 3,108=36⋅3\displaystyle \quad 108=36\cdot 3
  3. Scoatem factorii pătrate perfecte de sub radicali: 48=43\displaystyle \sqrt{48}=4\sqrt{3}, 27=33\displaystyle \sqrt{27}=3\sqrt{3}, 75=53\displaystyle \sqrt{75}=5\sqrt{3}, 108=63\displaystyle \sqrt{108}=6\sqrt{3}. Înlocuim în expresie.
    48−27+75−108=43−33+53−63\displaystyle \sqrt{48}-\sqrt{27}+\sqrt{75}-\sqrt{108}=4\sqrt{3}-3\sqrt{3}+5\sqrt{3}-6\sqrt{3}
  4. Reducem termenii asemenea, adică grupăm primii doi termeni și ultimii doi: 4−3=1\displaystyle 4-3=1, iar 5−6=−1\displaystyle 5-6=-1. Obținem 3−3\displaystyle \sqrt{3}-\sqrt{3}.
    3−3\displaystyle \sqrt{3}-\sqrt{3}
  5. Diferența a două numere egale este 0, deci 48−27+75−108=0\displaystyle \sqrt{48}-\sqrt{27}+\sqrt{75}-\sqrt{108}=0.
    3−3=0\displaystyle \sqrt{3}-\sqrt{3}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=3x−2\displaystyle f(x)=3x-2 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=3−2x\displaystyle g(x)=3-2x.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție are coordonatele (x,y)\displaystyle (x,y) care verifică ambele ecuații, deci abscisa se află din egalitatea f(x)=g(x)\displaystyle f(x)=g(x).
    f(x)=g(x)⇔3x−2=3−2x\displaystyle f(x)=g(x)\Leftrightarrow 3x-2=3-2x
  2. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: adunăm 2x\displaystyle 2x și adunăm 2\displaystyle 2 în ambii membri.
    3x+2x=3+2⇔5x=5\displaystyle 3x+2x=3+2\Leftrightarrow 5x=5
  3. Împărțim la 5\displaystyle 5 și obținem abscisa punctului de intersecție.
    x=1\displaystyle x=1
  4. Aflăm ordonata înlocuind x=1\displaystyle x=1 în expresia lui f\displaystyle f: f(1)=3⋅1−2=1\displaystyle f(1)=3\cdot 1-2=1. Verificăm și cu g\displaystyle g: g(1)=3−2⋅1=1\displaystyle g(1)=3-2\cdot 1=1, la fel.
    y=f(1)=3⋅1−2=1=g(1)\displaystyle y=f(1)=3\cdot 1-2=1=g(1)
  5. Punctul de intersecție al graficelor are abscisa 1\displaystyle 1 și ordonata 1\displaystyle 1, adică punctul (1,1)\displaystyle (1,1).
    x=1 și y=1\displaystyle x=1\text{ și }y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 58−3x=25\displaystyle 5^{8-3x}=25.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem membrul drept ca putere a lui 5: 25=52\displaystyle 25=5^{2}. Ecuația devine 58−3x=52\displaystyle 5^{8-3x}=5^{2}.
    58−3x=52\displaystyle 5^{8-3x}=5^{2}
  2. Funcția at\displaystyle a^{t} cu a=5>1\displaystyle a=5>1 este injectivă, deci din egalitatea puterilor cu aceeași bază rezultă egalitatea exponenților: 8−3x=2\displaystyle 8-3x=2.
    8−3x=2\displaystyle 8-3x=2
  3. Mutăm 8 în membrul drept: −3x=2−8=−6\displaystyle -3x=2-8=-6. Împărțim la −3\displaystyle -3 și obținem x=−6−3=2\displaystyle x=\dfrac{-6}{-3}=2. Soluția este un număr real, deci convine.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale pare de două cifre se pot forma cu cifrele 1\displaystyle 1, 2\displaystyle 2, 3\displaystyle 3, 4\displaystyle 4 și 5\displaystyle 5.
Vezi rezolvarea
  1. Un număr de două cifre are forma ab‾\displaystyle \overline{ab}, cu cifra zecilor a\displaystyle a și cifra unităților b\displaystyle b. Cifrele pot fi alese dintre 1,2,3,4,5\displaystyle 1, 2, 3, 4, 5 și se pot repeta. Numărul este par dacă ultima cifră b\displaystyle b este pară.
    b∈{1,2,3,4,5} și b par\displaystyle b\in\{1,2,3,4,5\}\text{ și }b\text{ par}
  2. Dintre cifrele 1,2,3,4,5\displaystyle 1, 2, 3, 4, 5, cifrele pare sunt 2\displaystyle 2 și 4\displaystyle 4, deci cifra unităților se poate alege în 2\displaystyle 2 moduri.
    b∈{2,4}⇒2 moduri\displaystyle b\in\{2,4\}\Rightarrow 2\text{ moduri}
  3. Cifra zecilor a\displaystyle a poate fi oricare dintre cele 5\displaystyle 5 cifre date, deci se alege în 5\displaystyle 5 moduri, independent de cifra unităților.
    a∈{1,2,3,4,5}⇒5 moduri\displaystyle a\in\{1,2,3,4,5\}\Rightarrow 5\text{ moduri}
  4. Aplicăm regula produsului: înmulțim numărul de moduri de alegere a celor două cifre. Se pot forma 10\displaystyle 10 numere pare.
    10 numere\displaystyle 10\text{ numere}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,4)\displaystyle A(1,4), B(5,4)\displaystyle B(5,4) și C(5,8)\displaystyle C(5,8). Arătați că triunghiul ABC\displaystyle ABC este isoscel.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula distanței dintre două puncte: pentru M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2) avem MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
    MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
  2. Calculăm lungimea laturii AB\displaystyle AB, cu A(1,4)\displaystyle A(1,4) și B(5,4)\displaystyle B(5,4): AB=(5−1)2+(4−4)2=16+0\displaystyle AB=\sqrt{(5-1)^2+(4-4)^2}=\sqrt{16+0}.
    AB=16=4\displaystyle AB=\sqrt{16}=4
  3. Calculăm lungimea laturii BC\displaystyle BC, cu B(5,4)\displaystyle B(5,4) și C(5,8)\displaystyle C(5,8): BC=(5−5)2+(8−4)2=0+16\displaystyle BC=\sqrt{(5-5)^2+(8-4)^2}=\sqrt{0+16}.
    BC=16=4\displaystyle BC=\sqrt{16}=4
  4. Deoarece AB=BC=4\displaystyle AB=BC=4, triunghiul ABC\displaystyle ABC are două laturi congruente, deci este isoscel, cu vârful în B\displaystyle B.
    AB=BC=4, deci triunghiul ABC este isoscel\displaystyle AB=BC=4\text{, deci triunghiul }ABC\text{ este isoscel}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați E=sin⁡45∘⋅cos⁡45∘+cos⁡60∘−sin⁡245∘+cos⁡245∘\displaystyle E=\sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ+\cos 60^\circ-\sin^2 45^\circ+\cos^2 45^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim valorile cunoscute pentru unghiurile remarcabile: sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡45∘=22\displaystyle \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2} și cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}.
    sin⁡45∘=22\displaystyle \sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡45∘=22\displaystyle \ \cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}, cos⁡60∘=12\displaystyle \ \cos 60^\circ=\frac{1}{2}
  2. Înlocuim aceste valori în E=sin⁡45∘⋅cos⁡45∘+cos⁡60∘−sin⁡245∘+cos⁡245∘\displaystyle E=\sin 45^\circ\cdot\cos 45^\circ+\cos 60^\circ-\sin^2 45^\circ+\cos^2 45^\circ.
    E=22⋅22+12−(22)2+(22)2\displaystyle E=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2
  3. Calculăm: 22⋅22=24\displaystyle \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2}{4} și (22)2=24\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{2}{4}. Expresia devine o sumă de fracții.
    E=24+12−24+24\displaystyle E=\frac{2}{4}+\frac{1}{2}-\frac{2}{4}+\frac{2}{4}
  4. Simplificăm 24=12\displaystyle \dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}. Termenii 24\displaystyle \dfrac{2}{4} și −24\displaystyle -\dfrac{2}{4} se reduc, iar rămâne 24+12=12+12\displaystyle \dfrac{2}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}.
    E=12+12=1\displaystyle E=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−(x+y)+1\displaystyle x\circ y=xy-(x+y)+1.

Arătați că 1∘2020=0\displaystyle 1\circ 2020=0.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∘y=xy−(x+y)+1\displaystyle x\circ y=xy-(x+y)+1 pentru x=1\displaystyle x=1 și y=2020\displaystyle y=2020.
    1∘2020=1⋅2020−(1+2020)+1\displaystyle 1\circ 2020=1\cdot 2020-(1+2020)+1
  2. Calculăm produsul 1⋅2020=2020\displaystyle 1\cdot 2020=2020 și suma 1+2020=2021\displaystyle 1+2020=2021.
    1∘2020=2020−2021+1\displaystyle 1\circ 2020=2020-2021+1
  3. Efectuăm calculul: 2020−2021=−1\displaystyle 2020-2021=-1, apoi −1+1=0\displaystyle -1+1=0. Deci 1∘2020=0\displaystyle 1\circ 2020=0.
    1∘2020=0\displaystyle 1\circ 2020=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−(x+y)+1\displaystyle x\circ y=xy-(x+y)+1.

Arătați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este comutativă dacă x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}. Pornim de la definiția legii: x∘y=xy−(x+y)+1\displaystyle x\circ y=xy-(x+y)+1.
    x∘y=xy−(x+y)+1\displaystyle x\circ y=xy-(x+y)+1
  2. Deoarece înmulțirea și adunarea numerelor reale sunt comutative, avem xy=yx\displaystyle xy=yx și x+y=y+x\displaystyle x+y=y+x. Înlocuim în expresie: xy−(x+y)+1=yx−(y+x)+1\displaystyle xy-(x+y)+1=yx-(y+x)+1.
    xy−(x+y)+1=yx−(y+x)+1\displaystyle xy-(x+y)+1=yx-(y+x)+1
  3. Expresia yx−(y+x)+1\displaystyle yx-(y+x)+1 este exact definiția lui y∘x\displaystyle y\circ x, deci x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}. Prin urmare, legea „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
    x∘y=y∘x, pentru orice x\displaystyle x\circ y=y\circ x\text{, pentru orice }x,y∈R, deci legea este \displaystyle y\in\mathbb{R}\text{, deci legea este }comutativa˘\displaystyle \text{comutativă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−(x+y)+1\displaystyle x\circ y=xy-(x+y)+1.

Demonstrați că x∘y=(x−1)(y−1)\displaystyle x\circ y=(x-1)(y-1), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=xy−(x+y)+1\displaystyle x\circ y=xy-(x+y)+1 și desfacem paranteza: minusul din fața parantezei schimbă semnul ambilor termeni din ea.
    x∘y=xy−x−y+1\displaystyle x\circ y=xy-x-y+1
  2. Grupăm termenii xy\displaystyle xy și −x\displaystyle -x și dăm factor comun pe x\displaystyle x, iar ceilalți doi termeni, −y+1\displaystyle -y+1, rămân neschimbați.
    x∘y=x(y−1)−y+1\displaystyle x\circ y=x(y-1)-y+1
  3. Observăm că −y+1=−(y−1)\displaystyle -y+1=-(y-1), deci apare aceeași paranteză (y−1)\displaystyle (y-1) în ambii termeni.
    x∘y=x(y−1)−(y−1)\displaystyle x\circ y=x(y-1)-(y-1)
  4. Dăm factor comun pe (y−1)\displaystyle (y-1) și obținem produsul cerut, valabil pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x∘y=(x−1)(y−1), pentru orice numere \displaystyle x\circ y=(x-1)(y-1)\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−(x+y)+1\displaystyle x\circ y=xy-(x+y)+1.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care (x−1)∘x=0\displaystyle (x-1)\circ x=0.
Vezi rezolvarea
  1. Dezvoltăm (x−1)(y−1)=xy−x−y+1\displaystyle (x-1)(y-1)=xy-x-y+1 și observăm că este chiar xy−(x+y)+1\displaystyle xy-(x+y)+1. Deci x∘y=(x−1)(y−1)\displaystyle x\circ y=(x-1)(y-1).
    x∘y=(x−1)(y−1)\displaystyle x\circ y=(x-1)(y-1)
  2. Înlocuim în forma obținută primul argument cu x−1\displaystyle x-1 și al doilea cu x\displaystyle x: (x−1)∘x=((x−1)−1)(x−1)=(x−2)(x−1)\displaystyle (x-1)\circ x=\left((x-1)-1\right)(x-1)=(x-2)(x-1). Ecuația (x−1)∘x=0\displaystyle (x-1)\circ x=0 devine (x−2)(x−1)=0\displaystyle (x-2)(x-1)=0.
    (x−2)(x−1)=0\displaystyle (x-2)(x-1)=0
  3. Un produs este zero când cel puțin unul dintre factori este zero: x−2=0\displaystyle x-2=0 sau x−1=0\displaystyle x-1=0. Rezultă x=2\displaystyle x=2 sau x=1\displaystyle x=1.
    x=1 sau x=2\displaystyle x=1\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−(x+y)+1\displaystyle x\circ y=xy-(x+y)+1.

Arătați că x2∘x2=(x−1)2(x+1)2\displaystyle x^2\circ x^2=(x-1)^2(x+1)^2, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim în definiția legii x∘y=xy−(x+y)+1\displaystyle x\circ y=xy-(x+y)+1 pe x\displaystyle x și pe y\displaystyle y cu x2\displaystyle x^{2}. Obținem x2∘x2=x2⋅x2−(x2+x2)+1\displaystyle x^{2}\circ x^{2}=x^{2}\cdot x^{2}-(x^{2}+x^{2})+1.
    x2∘x2=x4−2x2+1\displaystyle x^{2}\circ x^{2}=x^{4}-2x^{2}+1
  2. Observăm că legea se scrie în formă factorizată, deoarece (x−1)(y−1)=xy−x−y+1=xy−(x+y)+1\displaystyle (x-1)(y-1)=xy-x-y+1=xy-(x+y)+1. Deci x∘y=(x−1)(y−1)\displaystyle x\circ y=(x-1)(y-1), iar pentru x2\displaystyle x^{2} și x2\displaystyle x^{2} obținem (x2−1)(x2−1)\displaystyle (x^{2}-1)(x^{2}-1).
    x2∘x2=(x2−1)(x2−1)\displaystyle x^{2}\circ x^{2}=(x^{2}-1)(x^{2}-1)
  3. Aplicăm formula diferenței de pătrate a2−b2=(a−b)(a+b)\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) pentru a=x\displaystyle a=x și b=1\displaystyle b=1: x2−1=(x−1)(x+1)\displaystyle x^{2}-1=(x-1)(x+1). O folosim pentru fiecare dintre cei doi factori.
    (x2−1)(x2−1)=(x−1)(x+1)(x−1)(x+1)\displaystyle (x^{2}-1)(x^{2}-1)=(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)
  4. Grupăm factorii egali: (x−1)(x−1)=(x−1)2\displaystyle (x-1)(x-1)=(x-1)^{2} și (x+1)(x+1)=(x+1)2\displaystyle (x+1)(x+1)=(x+1)^{2}. Egalitatea este adevărată pentru orice număr real x\displaystyle x.
    x2∘x2=(x−1)2(x+1)2, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x^{2}\circ x^{2}=(x-1)^{2}(x+1)^{2}\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=xy−(x+y)+1\displaystyle x\circ y=xy-(x+y)+1.

Determinați perechile (a,b)\displaystyle (a,b) de numere naturale, știind că a∘b=3\displaystyle a\circ b=3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem condiția a∘b=3\displaystyle a\circ b=3 folosind definiția legii: ab−(a+b)+1=3\displaystyle ab-(a+b)+1=3.
    ab−a−b+1=3\displaystyle ab-a-b+1=3
  2. Observăm că ab−a−b+1\displaystyle ab-a-b+1 se factorizează prin grupare: a(b−1)−(b−1)=(a−1)(b−1)\displaystyle a(b-1)-(b-1)=(a-1)(b-1). Deci egalitatea devine (a−1)(b−1)=3\displaystyle (a-1)(b-1)=3.
    (a−1)(b−1)=3\displaystyle (a-1)(b-1)=3
  3. Cum a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere naturale, a−1\displaystyle a-1 și b−1\displaystyle b-1 sunt numere întregi, iar produsul lor este 3\displaystyle 3. Prin urmare, a−1\displaystyle a-1 și b−1\displaystyle b-1 sunt divizori întregi ai lui 3\displaystyle 3, adică pot fi 1\displaystyle 1, 3\displaystyle 3, −1\displaystyle -1 sau −3\displaystyle -3. Perechile posibile (a−1,b−1)\displaystyle (a-1,b-1) sunt (1,3)\displaystyle (1,3), (3,1)\displaystyle (3,1), (−1,−3)\displaystyle (-1,-3), (−3,−1)\displaystyle (-3,-1).
    (a−1,b−1)∈{(1,3),(3,1),(−1,−3),(−3,−1)}\displaystyle (a-1,b-1)\in\{(1,3),(3,1),(-1,-3),(-3,-1)\}
  4. Cazurile cu factori negativi dau a=0\displaystyle a=0, b=−2\displaystyle b=-2 sau a=−2\displaystyle a=-2, b=0\displaystyle b=0, iar −2\displaystyle -2 nu este număr natural. Deci aceste cazuri se elimină.
    (a,b)=(0,−2) sau (−2,0), care nu convin\displaystyle (a,b)=(0,-2)\text{ sau }(-2,0)\text{, care nu convin}
  5. Din (a−1,b−1)=(1,3)\displaystyle (a-1,b-1)=(1,3) obținem a=2\displaystyle a=2 și b=4\displaystyle b=4. Din (a−1,b−1)=(3,1)\displaystyle (a-1,b-1)=(3,1) obținem a=4\displaystyle a=4 și b=2\displaystyle b=2. Ambele perechi sunt formate din numere naturale, deci convin.
    (a,b)=(2,4) sau (a,b)=(4,2)\displaystyle (a,b)=(2,4)\text{ sau }(a,b)=(4,2)
  6. Răspuns final: perechile de numere naturale cu a∘b=3\displaystyle a\circ b=3 sunt (2,4)\displaystyle (2,4) și (4,2)\displaystyle (4,2).
    (2,4) sau (4,2)\displaystyle (2,4)\text{ sau }(4,2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(21−4−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x)=xI2+A\displaystyle M(x)=xI_2+A, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=0\displaystyle \det A=0.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem formula determinantului de ordinul doi: pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, determinantul este ad−bc\displaystyle ad-bc.
    ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc
  2. Scriem determinantul matricei A\displaystyle A și înlocuim elementele în formulă: a=2\displaystyle a=2, b=1\displaystyle b=1, c=−4\displaystyle c=-4, d=−2\displaystyle d=-2.
    det⁡A=∣21−4−2∣=2⋅(−2)−(−4)⋅1\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&1\\-4&-2\end{vmatrix}=2\cdot(-2)-(-4)\cdot 1
  3. Calculăm produsele: 2⋅(−2)=−4\displaystyle 2\cdot(-2)=-4, iar (−4)⋅1=−4\displaystyle (-4)\cdot 1=-4, deci scăderea devine −4−(−4)=−4+4\displaystyle -4-(-4)=-4+4. Rezultă că determinantul este 0\displaystyle 0.
    det⁡A=−4+4=0\displaystyle \det A=-4+4=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(21−4−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x)=xI2+A\displaystyle M(x)=xI_2+A, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(M(x))=16\displaystyle \det(M(x))=16.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea M(x)=xI2+A\displaystyle M(x)=xI_2+A: înmulțim I2\displaystyle I_2 cu x\displaystyle x și adunăm element cu element matricea A\displaystyle A.
    M(x)=(x00x)+(21−4−2)=(2+x1−4−2+x)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}x&0\\0&x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2+x&1\\-4&-2+x\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul matricei M(x)\displaystyle M(x): produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(M(x))=(2+x)(−2+x)−1⋅(−4)\displaystyle \det(M(x))=(2+x)(-2+x)-1\cdot(-4)
  3. Folosim formula (x+2)(x−2)=x2−4\displaystyle (x+2)(x-2)=x^{2}-4 și reducem termenii: −4+4=0\displaystyle -4+4=0. Rezultă că determinantul este x2\displaystyle x^{2} pentru orice x\displaystyle x real.
    det⁡(M(x))=x2−4+4=x2, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \det(M(x))=x^{2}-4+4=x^{2}\text{, pentru orice număr real }x
  4. Punem condiția det⁡(M(x))=16\displaystyle \det(M(x))=16, adică x2=16\displaystyle x^{2}=16, și rezolvăm: x\displaystyle x este un număr al cărui pătrat este 16\displaystyle 16.
    x2=16⇔x=−4 sau x=4\displaystyle x^{2}=16\Leftrightarrow x=-4\text{ sau }x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(21−4−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x)=xI2+A\displaystyle M(x)=xI_2+A, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că M(−1)+M(0)+M(1)=3A\displaystyle M(-1)+M(0)+M(1)=3A.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția M(x)=xI2+A\displaystyle M(x)=xI_2+A și scriem M(−1)\displaystyle M(-1), M(0)\displaystyle M(0) și M(1)\displaystyle M(1).
    M(−1)=−I2+A\displaystyle M(-1)=-I_2+A,M(0)=0⋅I2+A=A\displaystyle \quad M(0)=0\cdot I_2+A=A,M(1)=I2+A\displaystyle \quad M(1)=I_2+A
  2. Adunăm cele trei matrice: M(−1)+M(0)+M(1)\displaystyle M(-1)+M(0)+M(1).
    M(−1)+M(0)+M(1)=(−1)⋅I2+A+0⋅I2+A+1⋅I2+A\displaystyle M(-1)+M(0)+M(1)=(-1)\cdot I_2+A+0\cdot I_2+A+1\cdot I_2+A
  3. Termenii −I2\displaystyle -I_2 și I2\displaystyle I_2 se reduc, iar 0⋅I2\displaystyle 0\cdot I_2 este matricea nulă. Rămân trei termeni egali cu A\displaystyle A.
    −I2+A+A+I2+A=A+A+A=3A\displaystyle -I_2+A+A+I_2+A=A+A+A=3A
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(21−4−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x)=xI2+A\displaystyle M(x)=xI_2+A, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că M(x)⋅M(y)=xyI2+(x+y)A\displaystyle M(x)\cdot M(y)=xyI_2+(x+y)A, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul M(x)⋅M(y)\displaystyle M(x)\cdot M(y) folosind definiția: M(x)=xI2+A\displaystyle M(x)=xI_2+A și M(y)=yI2+A\displaystyle M(y)=yI_2+A.
    M(x)⋅M(y)=(xI2+A)(yI2+A)\displaystyle M(x)\cdot M(y)=(xI_2+A)(yI_2+A)
  2. Desfacem parantezele prin distributivitate. Scalarii se scot în fața matricelor, iar I2⋅I2=I2\displaystyle I_2\cdot I_2=I_2, I2⋅A=A⋅I2=A\displaystyle I_2\cdot A=A\cdot I_2=A.
    (xI2+A)(yI2+A)=xyI2+xA+yA+A⋅A\displaystyle (xI_2+A)(yI_2+A)=xyI_2+xA+yA+A\cdot A
  3. Calculăm A⋅A\displaystyle A\cdot A, înmulțind linii cu coloane: A⋅A=(21−4−2)(21−4−2)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix}.
    A⋅A=(2⋅2+1⋅(−4)2⋅1+1⋅(−2)−4⋅2+(−2)⋅(−4)−4⋅1+(−2)⋅(−2))\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}2\cdot2+1\cdot(-4)&2\cdot1+1\cdot(-2)\\-4\cdot2+(-2)\cdot(-4)&-4\cdot1+(-2)\cdot(-2)\end{pmatrix}
  4. Efectuăm calculele: 4−4=0\displaystyle 4-4=0, 2−2=0\displaystyle 2-2=0, −8+8=0\displaystyle -8+8=0, −4+4=0\displaystyle -4+4=0.
    A⋅A=(0000)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}
  5. Înlocuim A⋅A\displaystyle A\cdot A cu matricea nulă și grupăm xA+yA=(x+y)A\displaystyle xA+yA=(x+y)A. Obținem egalitatea cerută, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    A⋅A=(0000), deci M(x)⋅M(y)=xyI2+(x+y)A, pentru orice numere \displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\text{, deci }M(x)\cdot M(y)=xyI_2+(x+y)A\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(21−4−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x)=xI2+A\displaystyle M(x)=xI_2+A, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x\displaystyle x pentru care det⁡(M(x)−xA)≤3x−2\displaystyle \det(M(x)-xA)\le 3x-2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea M(x)=xI2+A\displaystyle M(x)=xI_2+A, adunând element cu element matricea xI2\displaystyle xI_2 cu matricea A\displaystyle A.
    M(x)=(x+21−4x−2)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}x+2&1\\-4&x-2\end{pmatrix}
  2. Calculăm xA\displaystyle xA, înmulțind fiecare element al lui A\displaystyle A cu x\displaystyle x.
    xA=(2xx−4x−2x)\displaystyle xA=\begin{pmatrix}2x&x\\-4x&-2x\end{pmatrix}
  3. Scădem cele două matrice element cu element: pe prima linie x+2−2x=2−x\displaystyle x+2-2x=2-x și 1−x\displaystyle 1-x, pe a doua linie −4+4x\displaystyle -4+4x și x−2+2x=3x−2\displaystyle x-2+2x=3x-2.
    M(x)−xA=(2−x1−x−4+4x3x−2)\displaystyle M(x)-xA=\begin{pmatrix}2-x&1-x\\-4+4x&3x-2\end{pmatrix}
  4. Calculăm determinantul ca diferență între produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe cealaltă diagonală. Folosim −4+4x=4(x−1)\displaystyle -4+4x=4(x-1) și 1−x=−(x−1)\displaystyle 1-x=-(x-1), deci al doilea produs este −4(x−1)2=−4x2+8x−4\displaystyle -4(x-1)^2=-4x^2+8x-4, iar primul produs este (2−x)(3x−2)=−3x2+8x−4\displaystyle (2-x)(3x-2)=-3x^2+8x-4. Diferența lor este x2\displaystyle x^2, pentru orice x\displaystyle x real.
    det⁡(M(x)−xA)=(2−x)(3x−2)−(1−x)(4x−4)=x2\displaystyle \det(M(x)-xA)=(2-x)(3x-2)-(1-x)(4x-4)=x^2
  5. Înlocuim determinantul în inegalitatea dată și mutăm toți termenii în partea stângă.
    x2≤3x−2⇔x2−3x+2≤0\displaystyle x^2\le 3x-2\Leftrightarrow x^2-3x+2\le 0
  6. Rezolvăm ecuația asociată x2−3x+2=0\displaystyle x^2-3x+2=0. Discriminantul este Δ=9−8=1\displaystyle \Delta=9-8=1, deci rădăcinile sunt 3−12\displaystyle \dfrac{3-1}{2} și 3+12\displaystyle \dfrac{3+1}{2}.
    x1=1, x2=2\displaystyle x_1=1\text{, }x_2=2
  7. Funcția de gradul al doilea are coeficientul lui x2\displaystyle x^2 pozitiv, deci este negativă sau nulă între rădăcini. Inegalitatea este nestrictă, deci rădăcinile se includ în mulțime.
    x∈[1,2]\displaystyle x\in[1,2]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(21−4−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&1\\-4&-2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și M(x)=xI2+A\displaystyle M(x)=xI_2+A, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul natural n\displaystyle n pentru care M(1)+M(2)+…+M(n)=9M(5)\displaystyle M(1)+M(2)+\ldots+M(n)=9M(5).
Vezi rezolvarea
  1. Din definiție, M(x)=xI2+A\displaystyle M(x)=xI_2+A, deci M(x)=(x+21−4x−2)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}x+2&1\\-4&x-2\end{pmatrix}.
    M(x)=(x+21−4x−2)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}x+2&1\\-4&x-2\end{pmatrix}
  2. Scriem fiecare termen sub forma M(k)=kI2+A\displaystyle M(k)=kI_2+A și adunăm: M(1)+M(2)+…+M(n)=(1+2+…+n)I2+nA\displaystyle M(1)+M(2)+\ldots+M(n)=(1+2+\ldots+n)I_2+nA, pentru că A\displaystyle A apare de n\displaystyle n ori.
    M(1)+…+M(n)=(1+2+…+n)I2+nA\displaystyle M(1)+\ldots+M(n)=(1+2+\ldots+n)I_2+nA
  3. Folosim 1+2+…+n=n(n+1)2\displaystyle 1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2} și dăm factor comun pe n\displaystyle n: suma devine n(n+1)2I2+nA=n(n+12I2+A)\displaystyle \dfrac{n(n+1)}{2}I_2+nA=n\left(\dfrac{n+1}{2}I_2+A\right).
    n(n+1)2I2+nA=n(n+12I2+A)\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}I_2+nA=n\left(\frac{n+1}{2}I_2+A\right)
  4. Paranteza este chiar M(n+12)\displaystyle M\left(\dfrac{n+1}{2}\right), deci M(1)+M(2)+…+M(n)=nM(n+12)\displaystyle M(1)+M(2)+\ldots+M(n)=nM\left(\dfrac{n+1}{2}\right).
    M(1)+M(2)+…+M(n)=nM(n+12)\displaystyle M(1)+M(2)+\ldots+M(n)=nM\left(\frac{n+1}{2}\right)
  5. Egalitatea cerută este nM(n+12)=9M(5)\displaystyle nM\left(\dfrac{n+1}{2}\right)=9M(5), adică n(n+12+21−4n+12−2)=9(71−43)\displaystyle n\begin{pmatrix}\dfrac{n+1}{2}+2&1\\-4&\dfrac{n+1}{2}-2\end{pmatrix}=9\begin{pmatrix}7&1\\-4&3\end{pmatrix}.
    n(n+12+21−4n+12−2)=(639−3627)\displaystyle n\begin{pmatrix}\frac{n+1}{2}+2&1\\-4&\frac{n+1}{2}-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}63&9\\-36&27\end{pmatrix}
  6. Din elementul de pe poziția (1,2)\displaystyle (1,2) obținem n=9\displaystyle n=9. Verificăm: 9⋅(102+2)=63\displaystyle 9\cdot\left(\dfrac{10}{2}+2\right)=63, 9⋅(−4)=−36\displaystyle 9\cdot(-4)=-36, 9⋅(102−2)=27\displaystyle 9\cdot\left(\dfrac{10}{2}-2\right)=27, deci toate elementele coincid, iar n=9\displaystyle n=9 este număr natural și convine.
    n=9, care convine\displaystyle n=9\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.