Bac matematică M4 pedagogic 2015, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 81−18+50−8=9\displaystyle \sqrt{81}-\sqrt{18}+\sqrt{50}-\sqrt{8}=9.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul din 81\displaystyle 81 este un pătrat perfect: 81=9\displaystyle \sqrt{81}=9.
    81=9\displaystyle \sqrt{81}=9
  2. Scriem 18=9⋅2\displaystyle 18=9\cdot 2, deci 18=9⋅2=32\displaystyle \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}.
    18=9⋅2=32\displaystyle \sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}
  3. Scriem 50=25⋅2\displaystyle 50=25\cdot 2, deci 50=52\displaystyle \sqrt{50}=5\sqrt{2}. Scriem 8=4⋅2\displaystyle 8=4\cdot 2, deci 8=22\displaystyle \sqrt{8}=2\sqrt{2}.
    50=52 și 8=22\displaystyle \sqrt{50}=5\sqrt{2}\text{ și }\sqrt{8}=2\sqrt{2}
  4. Înlocuim în expresie: 81−18+50−8=9−32+52−22\displaystyle \sqrt{81}-\sqrt{18}+\sqrt{50}-\sqrt{8}=9-3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}.
    9−32+52−22\displaystyle 9-3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}
  5. Grupăm termenii cu 2\displaystyle \sqrt{2}: (−3+5−2)2=0⋅2=0\displaystyle (-3+5-2)\sqrt{2}=0\cdot\sqrt{2}=0. Rămâne doar 9\displaystyle 9, deci expresia este egală cu 9\displaystyle 9.
    9−32+52−22=9+(−3+5−2)2=9\displaystyle 9-3\sqrt{2}+5\sqrt{2}-2\sqrt{2}=9+(-3+5-2)\sqrt{2}=9
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care f(2)=0\displaystyle f(2)=0, unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−m\displaystyle f(x)=x-m.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în expresia funcției f(x)=x−m\displaystyle f(x)=x-m și obținem valoarea funcției în punctul 2\displaystyle 2.
    f(2)=2−m\displaystyle f(2)=2-m
  2. Punem condiția din enunț, f(2)=0\displaystyle f(2)=0, adică 2−m=0\displaystyle 2-m=0.
    2−m=0\displaystyle 2-m=0
  3. Rezolvăm ecuația în m\displaystyle m: mutăm m\displaystyle m în partea dreaptă și obținem m=2\displaystyle m=2. Verificare: f(2)=2−2=0\displaystyle f(2)=2-2=0.
    2−m=0⇔m=2\displaystyle 2-m=0\Leftrightarrow m=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x2+1=1\displaystyle \sqrt{x^2+1}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Expresia de sub radical, x2+1\displaystyle x^{2}+1, este mereu pozitivă, deci radicalul există pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Membrul drept este 1>0\displaystyle 1>0, deci putem ridica ecuația la pătrat.
    x2+1≥1>0\displaystyle x^{2}+1\geq 1>0, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Ridicăm la pătrat ambii membri ai ecuației x2+1=1\displaystyle \sqrt{x^{2}+1}=1 și obținem x2+1=1\displaystyle x^{2}+1=1.
    x2+1=1\displaystyle x^{2}+1=1
  3. Scădem 1 din ambii membri și obținem x2=0\displaystyle x^{2}=0, deci x=0\displaystyle x=0.
    x2=0⇒x=0\displaystyle x^{2}=0\Rightarrow x=0
  4. Verificăm soluția în ecuația inițială: 02+1=1=1\displaystyle \sqrt{0^{2}+1}=\sqrt{1}=1, egal cu membrul drept. Deci x=0\displaystyle x=0 verifică ecuația.
    x=0 care verifica˘ ecuația\displaystyle x=0\text{ care verifică ecuația}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
O firmă folosește 2000\displaystyle 2000 de lei pentru publicitate, ceea ce reprezintă 5%\displaystyle 5\% din profitul anual al firmei. Determinați profitul anual al firmei.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x profitul anual al firmei, în lei. Suma de 2000\displaystyle 2000 de lei reprezintă 5%\displaystyle 5\% din x\displaystyle x, deci scriem ecuația 5%⋅x=2000\displaystyle 5\%\cdot x=2000.
    5%⋅x=2000\displaystyle 5\%\cdot x=2000
  2. Transformăm procentul în fracție: 5%=5100=120\displaystyle 5\%=\dfrac{5}{100}=\dfrac{1}{20}. Deci 5%⋅x=x20\displaystyle 5\%\cdot x=\dfrac{x}{20}.
    5%⋅x=x20\displaystyle 5\%\cdot x=\frac{x}{20}
  3. Înlocuim în ecuație: x20=2000\displaystyle \dfrac{x}{20}=2000. Înmulțim ambii membri cu 20\displaystyle 20 și obținem x=2000⋅20=40000\displaystyle x=2000\cdot 20=40000. Profitul anual al firmei este de 40000\displaystyle 40000 de lei.
    x20=2 000⇒x=40 000 de lei\displaystyle \frac{x}{20}=2\,000\Rightarrow x=40\,000\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul M(1,−1)\displaystyle M(1,-1) și este paralelă cu dreapta d\displaystyle d de ecuație y=x−1\displaystyle y=x-1.
Vezi rezolvarea
  1. Dreapta d\displaystyle d are ecuația y=x−1\displaystyle y=x-1, de forma y=mx+n\displaystyle y=mx+n. Coeficientul lui x\displaystyle x este panta, deci md=1\displaystyle m_d=1.
    md=1\displaystyle m_d=1
  2. Dreptele paralele au pante egale, deci dreapta căutată, de pantă m\displaystyle m, verifică m=md\displaystyle m=m_d.
    m=md=1\displaystyle m=m_d=1
  3. Dreapta de pantă m\displaystyle m ce trece prin M(x0,y0)\displaystyle M(x_0,y_0) are ecuația y−y0=m(x−x0)\displaystyle y-y_0=m(x-x_0). Pentru M(1,−1)\displaystyle M(1,-1) și m=1\displaystyle m=1 obținem y−(−1)=1⋅(x−1)\displaystyle y-(-1)=1\cdot(x-1).
    y+1=x−1\displaystyle y+1=x-1
  4. Din y+1=x−1\displaystyle y+1=x-1 rezultă y=x−1−1\displaystyle y=x-1-1. Verificare: pentru x=1\displaystyle x=1 obținem y=−1\displaystyle y=-1, deci M\displaystyle M aparține dreptei.
    y=x−2\displaystyle y=x-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡30∘+3⋅cos⁡30∘=2\displaystyle \sin 30^\circ+\sqrt{3}\cdot\cos 30^\circ=2.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim valorile cunoscute pentru unghiul de 30∘\displaystyle 30^\circ: sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2} și cos⁡30∘=32\displaystyle \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2}, cos⁡30∘=32\displaystyle \ \cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  2. Înlocuim valorile în expresia sin⁡30∘+3⋅cos⁡30∘\displaystyle \sin 30^\circ+\sqrt{3}\cdot\cos 30^\circ.
    12+3⋅32\displaystyle \dfrac{1}{2}+\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  3. Calculăm produsul: 3⋅3=3\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3, deci 3⋅32=32\displaystyle \sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3}{2}.
    12+32\displaystyle \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}
  4. Adunăm fracțiile cu același numitor: 12+32=42=2\displaystyle \dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}=\dfrac{4}{2}=2. Deci egalitatea din enunț este adevărată.
    sin⁡30∘+3⋅cos⁡30∘=12+3⋅32=2\displaystyle \sin 30^\circ+\sqrt{3}\cdot\cos 30^\circ=\dfrac{1}{2}+\sqrt{3}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−2\displaystyle x*y=x+y-2.

Calculați (−2)∗2\displaystyle (-2)*2.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este x∗y=x+y−2\displaystyle x*y=x+y-2. Înlocuim x=−2\displaystyle x=-2 și y=2\displaystyle y=2 în definiție.
    (−2)∗2=(−2)+2−2\displaystyle (-2)*2=(-2)+2-2
  2. Calculăm suma: −2+2=0\displaystyle -2+2=0, apoi 0−2=−2\displaystyle 0-2=-2.
    (−2)+2−2=0−2=−2\displaystyle (-2)+2-2=0-2=-2
  3. Rezultatul final este (−2)∗2=−2\displaystyle (-2)*2=-2.
    (−2)∗2=−2\displaystyle (-2)*2=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−2\displaystyle x*y=x+y-2.

Arătați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Asociativitatea înseamnă că pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R} avem (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z). Calculăm mai întâi (x∗y)∗z\displaystyle (x*y)*z.
    (x∗y)∗z=(x+y−2)∗z\displaystyle (x*y)*z=(x+y-2)*z
  2. Aplicăm definiția legii pentru numerele x+y−2\displaystyle x+y-2 și z\displaystyle z: le adunăm și scădem 2\displaystyle 2. Obținem (x+y−2)+z−2\displaystyle (x+y-2)+z-2, adică x+y+z−4\displaystyle x+y+z-4.
    (x∗y)∗z=(x+y−2)+z−2=x+y+z−4\displaystyle (x*y)*z=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4
  3. Calculăm acum cealaltă grupare, x∗(y∗z)\displaystyle x*(y*z). Mai întâi y∗z=y+z−2\displaystyle y*z=y+z-2.
    y∗z=y+z−2\displaystyle y*z=y+z-2
  4. Aplicăm definiția legii pentru x\displaystyle x și y+z−2\displaystyle y+z-2: x∗(y+z−2)=x+(y+z−2)−2=x+y+z−4\displaystyle x*(y+z-2)=x+(y+z-2)-2=x+y+z-4. Acest rezultat coincide cu (x∗y)∗z\displaystyle (x*y)*z, deci legea este asociativă.
    x∗(y∗z)=x+y+z−4=(x∗y)∗z pentru orice numere reale x\displaystyle x*(y*z)=x+y+z-4=(x*y)*z\text{ pentru orice numere reale }x,y și z\displaystyle y\text{ și }z
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−2\displaystyle x*y=x+y-2.

Verificați dacă e=2\displaystyle e=2 este element neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Amintim definiția: e\displaystyle e este element neutru dacă x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Trebuie să verificăm egalitatea în ambele ordini pentru e=2\displaystyle e=2.
    x∗2=x și 2∗x=x\displaystyle x*2=x\text{ și }2*x=x, ∀x∈R\displaystyle \ \forall x\in\mathbb{R}
  2. Calculăm x∗2\displaystyle x*2 înlocuind y\displaystyle y cu 2\displaystyle 2 în legea x∗y=x+y−2\displaystyle x*y=x+y-2. Obținem x∗2=x+2−2=x\displaystyle x*2=x+2-2=x, pentru orice x\displaystyle x real.
    x∗2=x+2−2=x pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*2=x+2-2=x\text{ pentru orice număr real }x
  3. Calculăm 2∗x\displaystyle 2*x înlocuind primul termen cu 2\displaystyle 2 și al doilea cu x\displaystyle x. Obținem 2∗x=2+x−2=x\displaystyle 2*x=2+x-2=x, pentru orice x\displaystyle x real. Deci ambele condiții din definiție sunt îndeplinite și e=2\displaystyle e=2 este element neutru al legii „∗\displaystyle *”.
    2∗x=2+x−2=x pentru orice numa˘r real x\displaystyle 2*x=2+x-2=x\text{ pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−2\displaystyle x*y=x+y-2.

Determinați numărul real x\displaystyle x, știind că (x+1)∗x=3\displaystyle (x+1)*x=3.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=x+y−2\displaystyle x*y=x+y-2 pentru numerele x+1\displaystyle x+1 și x\displaystyle x, adică înlocuim x\displaystyle x cu x+1\displaystyle x+1 și y\displaystyle y cu x\displaystyle x.
    (x+1)∗x=(x+1)+x−2\displaystyle (x+1)*x=(x+1)+x-2
  2. Din condiția (x+1)∗x=3\displaystyle (x+1)*x=3 obținem ecuația:
    (x+1)+x−2=3\displaystyle (x+1)+x-2=3
  3. Reducem termenii asemenea: x+x=2x\displaystyle x+x=2x și 1−2=−1\displaystyle 1-2=-1, deci ecuația devine:
    2x−1=3\displaystyle 2x-1=3
  4. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri și obținem 2x=4\displaystyle 2x=4, apoi împărțim la 2\displaystyle 2.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−2\displaystyle x*y=x+y-2.

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9x∗3x=0\displaystyle 9^x*3^x=0.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=x+y−2\displaystyle x*y=x+y-2 pentru numerele 9x\displaystyle 9^x și 3x\displaystyle 3^x. Ecuația devine 9x+3x−2=0\displaystyle 9^x+3^x-2=0.
    9x+3x−2=0\displaystyle 9^x+3^x-2=0
  2. Scriem 9x=(3x)2\displaystyle 9^x=\left(3^x\right)^2. Notăm t=3x\displaystyle t=3^x, cu t>0\displaystyle t>0. Ecuația devine t2+t−2=0\displaystyle t^2+t-2=0.
    t2+t−2=0\displaystyle t^2+t-2=0,t=3x>0\displaystyle \quad t=3^x>0
  3. Descompunem trinomul: t2+t−2=(t+2)(t−1)\displaystyle t^2+t-2=(t+2)(t-1). Revenind la t=3x\displaystyle t=3^x, ecuația este echivalentă cu (3x+2)(3x−1)=0\displaystyle (3^x+2)(3^x-1)=0.
    9x+3x−2=0⇔(3x+2)(3x−1)=0\displaystyle 9^x+3^x-2=0\Leftrightarrow(3^x+2)(3^x-1)=0
  4. Un produs este nul dacă un factor este nul. Dar 3x+2>0\displaystyle 3^x+2>0 pentru orice x\displaystyle x real, deci rămâne 3x−1=0\displaystyle 3^x-1=0, adică 3x=1\displaystyle 3^x=1.
    3x=1\displaystyle 3^x=1
  5. Cum 1=30\displaystyle 1=3^0 și funcția exponențială este injectivă, obținem x=0\displaystyle x=0. Aceasta este unica soluție reală a ecuației.
    x=0\displaystyle x=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−2\displaystyle x*y=x+y-2.

Arătați că x2∗1x2≥0\displaystyle x^2*\frac{1}{x^2}\geq 0 pentru orice număr real nenul x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=x+y−2\displaystyle x*y=x+y-2 pentru x2\displaystyle x^{2} și 1x2\displaystyle \dfrac{1}{x^{2}}.
    x2∗1x2=x2+1x2−2\displaystyle x^{2}*\dfrac{1}{x^{2}}=x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}-2
  2. Aducem toți termenii la numitorul comun x2\displaystyle x^{2}, care este nenul deoarece x≠0\displaystyle x\neq 0.
    x2+1x2−2=x4−2x2+1x2\displaystyle x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}-2=\dfrac{x^{4}-2x^{2}+1}{x^{2}}
  3. Numărătorul are forma a2−2ab+b2=(a−b)2\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}, cu a=x2\displaystyle a=x^{2} și b=1\displaystyle b=1.
    x4−2x2+1=(x2−1)2\displaystyle x^{4}-2x^{2}+1=(x^{2}-1)^{2}
  4. Numărătorul (x2−1)2≥0\displaystyle (x^{2}-1)^{2}\geq 0, iar numitorul x2>0\displaystyle x^{2}>0 pentru x≠0\displaystyle x\neq 0. Un raport dintre un număr nenegativ și unul pozitiv este nenegativ, deci inegalitatea este demonstrată.
    x2∗1x2=(x2−1)2x2≥0 pentru orice numa˘r real \displaystyle x^{2}*\dfrac{1}{x^{2}}=\dfrac{(x^{2}-1)^{2}}{x^{2}}\geq 0\text{ pentru orice număr real }nenul x\displaystyle \text{nenul }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a1−1a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 1\\ -1 & a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Calculați det⁡(A(0))\displaystyle \det(A(0)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=0\displaystyle a=0 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem A(0)=(01−10)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}.
    A(0)=(01−10)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordin doi: ∣abcd∣=a⋅d−c⋅b\displaystyle \begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}=a\cdot d-c\cdot b. Obținem det⁡(A(0))=0⋅0−(−1)⋅1\displaystyle \det(A(0))=0\cdot 0-(-1)\cdot 1.
    det⁡(A(0))=∣01−10∣=0⋅0−(−1)⋅1\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{vmatrix}=0\cdot 0-(-1)\cdot 1
  3. Calculăm: 0⋅0=0\displaystyle 0\cdot 0=0, iar (−1)⋅1=−1\displaystyle (-1)\cdot 1=-1, deci 0−(−1)=0+1=1\displaystyle 0-(-1)=0+1=1. Rezultatul este det⁡(A(0))=1\displaystyle \det(A(0))=1.
    det⁡(A(0))=1\displaystyle \det(A(0))=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a1−1a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 1\\ -1 & a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că 4⋅A(1)−3⋅A(−1)=A(7)\displaystyle 4\cdot A(1)-3\cdot A(-1)=A(7).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim pe a\displaystyle a cu 1\displaystyle 1 în matricea A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(11−11)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}
  2. Înlocuim pe a\displaystyle a cu −1\displaystyle -1 și apoi cu 7\displaystyle 7. Elementele 1\displaystyle 1 și −1\displaystyle -1 din afara diagonalei principale nu depind de a\displaystyle a, deci rămân neschimbate.
    A(−1)=(−11−1−1)\displaystyle A(-1)=\begin{pmatrix}-1 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix}, A(7)=(71−17)\displaystyle \ A(7)=\begin{pmatrix}7 & 1\\ -1 & 7\end{pmatrix}
  3. Scriem membrul stâng al egalității cu matricele găsite.
    4⋅A(1)−3⋅A(−1)=4⋅(11−11)−3⋅(−11−1−1)\displaystyle 4\cdot A(1)-3\cdot A(-1)=4\cdot\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}-3\cdot\begin{pmatrix}-1 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix}
  4. Înmulțim fiecare matrice cu scalarul ei, element cu element.
    (44−44)−(−33−3−3)\displaystyle \begin{pmatrix}4 & 4\\ -4 & 4\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-3 & 3\\ -3 & -3\end{pmatrix}
  5. Scădem matricele element cu element: 4−(−3)=7\displaystyle 4-(-3)=7, 4−3=1\displaystyle 4-3=1, −4−(−3)=−1\displaystyle -4-(-3)=-1, 4−(−3)=7\displaystyle 4-(-3)=7. Rezultatul este chiar A(7)\displaystyle A(7), deci egalitatea este demonstrată.
    4⋅A(1)−3⋅A(−1)=(71−17)=A(7)\displaystyle 4\cdot A(1)-3\cdot A(-1)=\begin{pmatrix}7 & 1\\ -1 & 7\end{pmatrix}=A(7)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a1−1a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 1\\ -1 & a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a, știind că det⁡(A(a))=10\displaystyle \det(A(a))=10.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a) după formula determinantului de ordin 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică det⁡(A(a))=a⋅a−1⋅(−1)\displaystyle \det(A(a))=a\cdot a-1\cdot(-1).
    det⁡(A(a))=a⋅a−1⋅(−1)\displaystyle \det(A(a))=a\cdot a-1\cdot(-1)
  2. Simplificăm expresia: a⋅a=a2\displaystyle a\cdot a=a^{2}, iar −1⋅(−1)=1\displaystyle -1\cdot(-1)=1, deci determinantul este a2+1\displaystyle a^{2}+1.
    det⁡(A(a))=∣a1−1a∣=a2+1\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}a & 1\\ -1 & a\end{vmatrix}=a^{2}+1
  3. Punem condiția din enunț: det⁡(A(a))=10\displaystyle \det(A(a))=10, adică a2+1=10\displaystyle a^{2}+1=10.
    a2+1=10\displaystyle a^{2}+1=10
  4. Trecem 1\displaystyle 1 în membrul drept și obținem a2=10−1=9\displaystyle a^{2}=10-1=9.
    a2=9\displaystyle a^{2}=9
  5. Ecuația a2=9\displaystyle a^{2}=9 are două soluții reale: a=−3\displaystyle a=-3 și a=3\displaystyle a=3. Ambele verifică, deoarece (−3)2+1=32+1=10\displaystyle (-3)^{2}+1=3^{2}+1=10.
    a1=−3 și a2=3\displaystyle a_1=-3\text{ și }a_2=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a1−1a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 1\\ -1 & a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(a)−I2)>0\displaystyle \det(A(a)-I_2)>0 pentru orice număr real a\displaystyle a, unde I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem A(a)−I2\displaystyle A(a)-I_2 scăzând element cu element: A(a)−I2=(a1−1a)−(1001)\displaystyle A(a)-I_2=\begin{pmatrix}a & 1\\ -1 & a\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}. Doar elementele de pe diagonala principală se modifică: din fiecare se scade 1\displaystyle 1.
    A(a)−I2=(a−11−1a−1)\displaystyle A(a)-I_2=\begin{pmatrix}a-1 & 1\\ -1 & a-1\end{pmatrix}
  2. Determinantul de ordin 2 este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(a)−I2)=(a−1)(a−1)−1⋅(−1)\displaystyle \det(A(a)-I_2)=(a-1)(a-1)-1\cdot(-1).
    det⁡(A(a)−I2)=(a−1)2−1⋅(−1)\displaystyle \det(A(a)-I_2)=(a-1)^2-1\cdot(-1)
  3. Simplificăm: −1⋅(−1)=1\displaystyle -1\cdot(-1)=1, deci determinantul este un pătrat plus 1\displaystyle 1. Deoarece (a−1)2≥0\displaystyle (a-1)^2\ge 0 pentru orice număr real a\displaystyle a, rezultă (a−1)2+1≥1>0\displaystyle (a-1)^2+1\ge 1>0.
    det⁡(A(a)−I2)=(a−1)2+1>0 pentru orice numa˘r real a\displaystyle \det(A(a)-I_2)=(a-1)^2+1>0\text{ pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a1−1a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 1\\ -1 & a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați inversa matricei A(2)\displaystyle A(2).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=2\displaystyle a=2 în matricea dată și obținem A(2)=(21−12)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2 & 1\\ -1 & 2\end{pmatrix}.
    A(2)=(21−12)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2 & 1\\ -1 & 2\end{pmatrix}
  2. Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe diagonala secundară. Avem det⁡(A(2))=2⋅2−1⋅(−1)=4+1=5\displaystyle \det(A(2))=2\cdot 2-1\cdot(-1)=4+1=5. Cum 5≠0\displaystyle 5\neq 0, matricea este inversabilă.
    det⁡(A(2))=2⋅2−1⋅(−1)=5\displaystyle \det(A(2))=2\cdot 2-1\cdot(-1)=5
  3. Transpusa se obține schimbând liniile cu coloanele: AT(2)=(2−112)\displaystyle A^{T}(2)=\begin{pmatrix}2 & -1\\ 1 & 2\end{pmatrix}.
    AT(2)=(2−112)\displaystyle A^{T}(2)=\begin{pmatrix}2 & -1\\ 1 & 2\end{pmatrix}
  4. Calculăm complemenții algebrici ai elementelor transpusei: 2\displaystyle 2, −1⋅(−1)=1\displaystyle -1\cdot(-1)=1, −1\displaystyle -1, 2\displaystyle 2 în pozițiile corespunzătoare. Obținem A∗(2)=(2−112)\displaystyle A^{*}(2)=\begin{pmatrix}2 & -1\\ 1 & 2\end{pmatrix}.
    A∗(2)=(2−112)\displaystyle A^{*}(2)=\begin{pmatrix}2 & -1\\ 1 & 2\end{pmatrix}
  5. Aplicăm formula A−1(2)=1det⁡(A(2))⋅A∗(2)=15(2−112)\displaystyle A^{-1}(2)=\dfrac{1}{\det(A(2))}\cdot A^{*}(2)=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix}2 & -1\\ 1 & 2\end{pmatrix}. Rezultă A−1(2)=(25−151525)\displaystyle A^{-1}(2)=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{5} & -\dfrac{1}{5}\\ \dfrac{1}{5} & \dfrac{2}{5}\end{pmatrix}.
    A−1(2)=(25−151525)\displaystyle A^{-1}(2)=\begin{pmatrix}\dfrac{2}{5} & -\dfrac{1}{5}\\ \dfrac{1}{5} & \dfrac{2}{5}\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(a1−1a)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a & 1\\ -1 & a\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul matricelor A(a)\displaystyle A(a), unde a\displaystyle a este număr întreg și det⁡(A(a))≤401\displaystyle \det(A(a))\leq 401.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a) ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(A(a))=a⋅a−1⋅(−1)\displaystyle \det(A(a))=a\cdot a-1\cdot(-1).
    det⁡(A(a))=a2+1\displaystyle \det(A(a))=a^{2}+1
  2. Înlocuim determinantul în condiția det⁡(A(a))≤401\displaystyle \det(A(a))\leq 401 și obținem a2+1≤401\displaystyle a^{2}+1\leq 401. Scădem 1\displaystyle 1 din ambii membri.
    a2≤400\displaystyle a^{2}\leq 400
  3. Inegalitatea a2≤400\displaystyle a^{2}\leq 400 este echivalentă cu ∣a∣≤20\displaystyle |a|\leq 20, adică −20≤a≤20\displaystyle -20\leq a\leq 20.
    a∈[−20,20]∩Z\displaystyle a\in[-20,20]\cap\mathbb{Z}
  4. Numărăm valorile întregi de la −20\displaystyle -20 la 20\displaystyle 20: sunt 20\displaystyle 20 de valori negative, valoarea 0\displaystyle 0 și 20\displaystyle 20 de valori pozitive, adică 20+1+20=41\displaystyle 20+1+20=41. Fiecare valoare a lui a\displaystyle a dă o matrice diferită, deci sunt 41\displaystyle 41 de matrice.
    41\displaystyle 41
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.