Bac matematică M4 pedagogic 2025, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Se consideră progresia aritmetică (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1} cu a2=4\displaystyle a_2=4 și a3=6\displaystyle a_3=6. Calculați a1\displaystyle a_1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie proprietatea generală a termenului din mijloc al unei progresii aritmetice: orice termen (cu excepția primului) este media aritmetică a vecinilor săi.
    an=an−1+an+12\displaystyle a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}
  2. Se aplică proprietatea pentru n=2\displaystyle n=2, obținându-se relația dintre a1\displaystyle a_1, a2\displaystyle a_2 și a3\displaystyle a_3.
    a2=a1+a32\displaystyle a_2=\frac{a_1+a_3}{2}
  3. Se înlocuiesc valorile date a2=4\displaystyle a_2=4 și a3=6\displaystyle a_3=6 în relația obținută.
    4=a1+62\displaystyle 4=\frac{a_1+6}{2}
  4. Se elimină numitorul, înmulțind ambii membri ai ecuației cu 2\displaystyle 2.
    8=a1+6\displaystyle 8=a_1+6
  5. Se izolează a1\displaystyle a_1, scăzând 6\displaystyle 6 din ambii membri, obținându-se valoarea căutată.
    a1=2\displaystyle a_1=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x2−x+4\displaystyle f(x)=x^2-x+4. Arătați că f(0)=f(1)\displaystyle f(0)=f(1).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia funcției și se înlocuiește x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0.
    f(0)=02−0+4\displaystyle f(0)=0^2-0+4
  2. Se calculează valoarea obținută pentru f(0)\displaystyle f(0).
    f(0)=4\displaystyle f(0)=4
  3. Se înlocuiește x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în expresia funcției.
    f(1)=12−1+4\displaystyle f(1)=1^2-1+4
  4. Se calculează valoarea obținută pentru f(1)\displaystyle f(1) și se compară cu f(0)\displaystyle f(0), obținându-se egalitatea cerută.
    f(1)=4\displaystyle f(1)=4, deci f(0)=f(1)\displaystyle \text{ deci }f(0)=f(1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 73x−2−49⋅7x=0\displaystyle 7^{3x-2}-49\cdot 7^{x}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se observă că funcția exponențială cu baza 7\displaystyle 7 este definită pentru orice număr real, deci ecuația are sens pentru toți x\displaystyle x reali (nu apar restricții de domeniu).
    x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}
  2. Se izolează termenul cu exponent mai mare, trecând celălalt termen în membrul drept.
    73x−2=49⋅7x\displaystyle 7^{3x-2}=49\cdot 7^{x}
  3. Se scrie 49\displaystyle 49 ca putere a lui 7\displaystyle 7, adică 49=72\displaystyle 49=7^2, și se folosește regula am⋅an=am+n\displaystyle a^m\cdot a^n=a^{m+n} pentru a aduce membrul drept la o singură putere a lui 7\displaystyle 7.
    49⋅7x=72⋅7x=7x+2\displaystyle 49\cdot 7^{x}=7^{2}\cdot 7^{x}=7^{x+2}
  4. Ecuația devine 73x−2=7x+2\displaystyle 7^{3x-2}=7^{x+2}; deoarece funcția exponențială f(t)=7t\displaystyle f(t)=7^t este strict crescătoare (deci injectivă), puterile egale implică exponenții egali. Se egalează exponenții și se rezolvă ecuația liniară obținută.
    73x−2=7x+2\displaystyle 7^{3x-2}=7^{x+2}, deci 3x−2=x+2\displaystyle \text{ deci }3x-2=x+2, de unde obținem 2x=4\displaystyle \text{ de unde obținem }2x=4
  5. Se împarte ecuația 2x=4\displaystyle 2x=4 prin 2\displaystyle 2 pentru a obține soluția finală.
    x=2\displaystyle x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După ce parcurge 75%\displaystyle 75\% din lungimea unui traseu montan, un alpinist constată că mai are de parcurs 2\displaystyle 2 km până la finalul traseului. Calculați lungimea întregului traseu montan.
Vezi rezolvarea
  1. Se notează cu x\displaystyle x lungimea totală a traseului montan (în km).
    x=lungimea traseului (km)\displaystyle x=\text{lungimea traseului (km)}
  2. Se exprimă distanța deja parcursă, adică 75%\displaystyle 75\% din x\displaystyle x, sub formă de fracție.
    75100⋅x\displaystyle \frac{75}{100}\cdot x
  3. Distanța rămasă de parcurs este diferența dintre lungimea totală și distanța parcursă, iar aceasta este egală cu 2\displaystyle 2 km, conform enunțului.
    x−75100⋅x=2\displaystyle x-\frac{75}{100}\cdot x=2, unde x reprezinta˘ lungimea \displaystyle \text{ unde }x\text{ reprezintă lungimea }traseului\displaystyle \text{traseului}
  4. Se efectuează calculul din stânga ecuației: se scade fracția din x\displaystyle x, aducând totul la un numitor comun.
    x(1−75100)=2\displaystyle x\left(1-\frac{75}{100}\right)=2
  5. Se simplifică fracția rezultată: 1−75100=25100=14\displaystyle 1 - \dfrac{75}{100} = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}.
    14⋅x=2\displaystyle \frac{1}{4}\cdot x=2
  6. Se rezolvă ecuația obținută, înmulțind ambele părți cu 4\displaystyle 4 pentru a afla valoarea lui x\displaystyle x.
    x=2⋅4\displaystyle x=2\cdot 4
  7. Se calculează valoarea finală a lui x\displaystyle x, obținând lungimea întregului traseu montan.
    x=8 km\displaystyle x=8\text{ km}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(2,3)\displaystyle A(2,3) și B(5,7)\displaystyle B(5,7). Determinați lungimea segmentului AC\displaystyle AC, știind că punctul B\displaystyle B este mijlocul segmentului AC\displaystyle AC.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică coordonatele punctelor A și B din enunț.
    A(2,3)\displaystyle A(2,3), B(5,7)\displaystyle \ B(5,7)
  2. Se scrie formula distanței dintre două puncte în plan.
    AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2\displaystyle AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}
  3. Se înlocuiesc coordonatele punctelor A\displaystyle A și B\displaystyle B în formula distanței.
    AB=(5−2)2+(7−3)2\displaystyle AB=\sqrt{(5-2)^2+(7-3)^2}
  4. Se calculează diferențele de coordonate și se ridică la pătrat.
    AB=32+42=9+16=25=5\displaystyle AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
  5. Se folosește faptul că B\displaystyle B este mijlocul segmentului AC\displaystyle AC, deci B\displaystyle B împarte segmentul AC\displaystyle AC în două părți egale, AB=BC\displaystyle AB=BC, iar AC\displaystyle AC este suma acestora, adică dublul lui AB\displaystyle AB.
    AC=AB+BC=2⋅AB\displaystyle AC=AB+BC=2\cdot AB
  6. Se înlocuiește valoarea găsită pentru AB\displaystyle AB și se calculează lungimea segmentului AC\displaystyle AC.
    AC=2AB=2⋅5=10\displaystyle AC=2AB=2\cdot 5=10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 4(sin⁡60∘⋅cos⁡30∘−sin⁡45∘⋅cos⁡45∘)=1\displaystyle 4\left(\sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia din enunț pe care trebuie să o evaluăm.
    4(sin⁡60∘⋅cos⁡30∘−sin⁡45∘⋅cos⁡45∘)\displaystyle 4\left(\sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ\right)
  2. Se scriu valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de 30°\displaystyle 30°, 45°\displaystyle 45° și 60°\displaystyle 60°.
    sin⁡60∘=cos⁡30∘=32\displaystyle \sin 60^\circ=\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡45∘=cos⁡45∘=22\displaystyle \ \sin 45^\circ=\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}
  3. Se înlocuiesc aceste valori în expresia dată.
    4(32⋅32−22⋅22)\displaystyle 4\left(\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}\right)
  4. Se efectuează înmulțirile din paranteză: primul produs dă 34\displaystyle \dfrac{3}{4}, iar al doilea produs dă 12\displaystyle \dfrac{1}{2}.
    32⋅32=34\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3}{4},22⋅22=24=12\displaystyle \quad \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}
  5. Se calculează diferența celor două fracții obținute, aducându-le la același numitor.
    34−12=34−24=14\displaystyle \frac{3}{4}-\frac{1}{2}=\frac{3}{4}-\frac{2}{4}=\frac{1}{4}
  6. Se înmulțește rezultatul obținut cu 4\displaystyle 4, finalizând calculul și confirmând egalitatea cerută.
    4(sin⁡60∘⋅cos⁡30∘−sin⁡45∘⋅cos⁡45∘)=4(32⋅32−22⋅22)=4⋅14=1\displaystyle 4\left(\sin 60^\circ \cdot \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \cdot \cos 45^\circ\right)=4\left(\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}\right)=4\cdot\frac{1}{4}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y2−1\displaystyle x\circ y=\frac{x+y}{2}-1.

Arătați că (−2)∘4=0\displaystyle (-2)\circ 4=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile x=−2\displaystyle x=-2 și y=4\displaystyle y=4 care trebuie substituite.
    x∘y=x+y2−1\displaystyle x\circ y=\frac{x+y}{2}-1, unde x=−2\displaystyle \text{ unde }x=-2, y=4\displaystyle \text{ }y=4
  2. Se înlocuiesc valorile x=−2\displaystyle x=-2 și y=4\displaystyle y=4 în definiția legii de compoziție.
    (−2)∘4=−2+42−1=\displaystyle (-2)\circ 4=\frac{-2+4}{2}-1=
  3. Se calculează suma de la numărător: −2+4=2\displaystyle -2+4=2, apoi se împarte la 2\displaystyle 2.
    22−1=1−1\displaystyle \frac{2}{2}-1=1-1
  4. Se efectuează scăderea finală pentru a obține rezultatul.
    =1−1=0\displaystyle =1-1=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y2−1\displaystyle x\circ y=\frac{x+y}{2}-1.

Arătați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Se reamintește definiția legii de compoziție date și condiția de comutativitate: legea ∘\displaystyle \circ este comutativă dacă x∘y=y∘x\displaystyle x\circ y=y\circ x pentru orice x,y\displaystyle x, y reale.
    x∘y=x+y2−1\displaystyle x\circ y=\frac{x+y}{2}-1
  2. Se calculează y∘x\displaystyle y\circ x folosind definiția legii de compoziție, înlocuind în formulă pe x\displaystyle x cu y\displaystyle y și pe y\displaystyle y cu x\displaystyle x.
    y∘x=y+x2−1=\displaystyle y\circ x=\frac{y+x}{2}-1=
  3. Se observă că adunarea numerelor reale este comutativă, deci y+x=x+y\displaystyle y+x=x+y, iar expresia obținută se rescrie astfel.
    y+x2−1=x+y2−1\displaystyle \frac{y+x}{2}-1=\frac{x+y}{2}-1
  4. Se compară rezultatul obținut pentru y∘x\displaystyle y\circ x cu expresia inițială a lui x∘y\displaystyle x\circ y și se constată că sunt egale, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, deci legea de compoziție este comutativă.
    =x+y2−1=x∘y\displaystyle =\frac{x+y}{2}-1=x\circ y, pentru orice numere reale x și y\displaystyle \text{ pentru orice numere reale }x\text{ și }y, deci legea de compoziție \displaystyle \text{ deci legea de compoziție }„∘” este comutativa˘\displaystyle \text{„}\circ\text{” este comutativă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y2−1\displaystyle x\circ y=\frac{x+y}{2}-1.

Demonstrați că (2x+1)∘1=x\displaystyle (2x+1)\circ 1=x, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată, înlocuind x\displaystyle x cu (2x+1)\displaystyle (2x+1) și y\displaystyle y cu 1\displaystyle 1, conform definiției.
    (2x+1)∘1=(2x+1)+12−1\displaystyle (2x+1)\circ 1=\frac{(2x+1)+1}{2}-1
  2. Se adună termenii de la numărător: (2x+1)+1=2x+2\displaystyle (2x+1)+1 = 2x+2.
    (2x+1)∘1=2x+22−1\displaystyle (2x+1)\circ 1=\frac{2x+2}{2}-1
  3. Se simplifică fracția prin 2\displaystyle 2, obținând x+1\displaystyle x+1.
    2x+22−1=x+1−1\displaystyle \frac{2x+2}{2}-1=x+1-1
  4. Se efectuează scăderea finală, obținând rezultatul simplificat, valabil pentru orice număr real x\displaystyle x.
    =x+1−1=x\displaystyle =x+1-1=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y2−1\displaystyle x\circ y=\frac{x+y}{2}-1.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x2∘x=2\displaystyle x^2\circ x=2.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii de compoziție pentru elementele x2\displaystyle x^{2} și x\displaystyle x, adică înlocuim în formulă a=x2\displaystyle a=x^{2} și b=x\displaystyle b=x.
    x2∘x=x2+x2−1\displaystyle x^2\circ x=\frac{x^2+x}{2}-1, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x
  2. Conform enunțului, se cere să determinăm numerele reale x\displaystyle x pentru care x2∘x=2\displaystyle x^{2}\circ x=2, deci punem condiția ca expresia obținută anterior să fie egală cu 2\displaystyle 2.
    x2+x2−1=2\displaystyle \frac{x^2+x}{2}-1=2
  3. Adunăm 1\displaystyle 1 în ambii membri ai ecuației pentru a izola fracția.
    x2+x2=3\displaystyle \frac{x^2+x}{2}=3
  4. Amplificăm ecuația cu 2\displaystyle 2 pentru a elimina numitorul.
    x2+x=6\displaystyle x^2+x=6
  5. Trecem toți termenii într-un singur membru pentru a obține ecuația de gradul al doilea sub formă standard.
    x2+x−6=0\displaystyle x^2+x-6=0
  6. Calculăm discriminantul ecuației de gradul al doilea: Δ=b2−4ac\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac, cu a=1\displaystyle a=1, b=1\displaystyle b=1, c=−6\displaystyle c=-6.
    Δ=12−4⋅1⋅(−6)=1+24=25\displaystyle \Delta=1^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25
  7. Calculăm rădăcinile ecuației folosind formula x=−b±Δ2a\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}, obținând cele două soluții reale.
    x1,2=−1±52⇒x1=−3\displaystyle x_{1,2}=\frac{-1\pm5}{2}\Rightarrow x_1=-3, x2=2\displaystyle \ x_2=2
  8. Scriem soluția finală, reluând etapele esențiale: formarea ecuației, reducerea la forma standard și determinarea soluțiilor.
    x2+x2−1=2\displaystyle \frac{x^2+x}{2}-1=2, deci x2+x−6=0\displaystyle \text{ deci }x^2+x-6=0, de unde obținem x=−3 sau x=2\displaystyle \text{ de unde obținem }x=-3\text{ sau }x=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y2−1\displaystyle x\circ y=\frac{x+y}{2}-1.

Arătați că (x2+3)∘(4x+5)≥1\displaystyle (x^2+3)\circ(4x+5)\geq 1, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție definită și se identifică elementele x2+3\displaystyle x^{2}+3 și 4x+5\displaystyle 4x+5 care trebuie compuse.
    x∘y=x+y2−1\displaystyle x\circ y=\frac{x+y}{2}-1, deci (x2+3)∘(4x+5)=(x2+3)+(4x+5)2−1\displaystyle \text{ deci }(x^2+3)\circ(4x+5)=\frac{(x^2+3)+(4x+5)}{2}-1
  2. Se adună termenii de la numărător, grupând monoamele asemenea.
    (x2+3)+(4x+5)=x2+4x+8\displaystyle (x^2+3)+(4x+5)=x^2+4x+8
  3. Se înlocuiește suma obținută în expresia legii de compoziție și se aduce totul la un numitor comun, scăzând 1\displaystyle 1 (adică 22\displaystyle \dfrac{2}{2}).
    (x2+3)∘(4x+5)=x2+4x+82−1=x2+4x+8−22=x2+4x+62\displaystyle (x^2+3)\circ(4x+5)=\frac{x^2+4x+8}{2}-1=\frac{x^2+4x+8-2}{2}=\frac{x^2+4x+6}{2}, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x
  4. Se rescrie numărătorul x2+4x+6\displaystyle x^{2}+4x+6 evidențiind un pătrat perfect: se scrie 6\displaystyle 6 ca 4+2\displaystyle 4+2, astfel încât primii trei termeni să formeze pătratul lui (x+2)\displaystyle (x+2).
    x2+4x+6=x2+4x+4+2=(x+2)2+2\displaystyle x^2+4x+6=x^2+4x+4+2=(x+2)^2+2
  5. Se împarte expresia obținută la 2\displaystyle 2, separând fracția în două părți, și se observă că (x+2)22\displaystyle \dfrac{(x+2)^{2}}{2} este întotdeauna nenegativ, deci întreaga expresie este cel puțin 1\displaystyle 1.
    x2+4x+62=x2+4x+42+1=(x+2)22+1≥1\displaystyle \frac{x^2+4x+6}{2}=\frac{x^2+4x+4}{2}+1=\frac{(x+2)^2}{2}+1\geq 1, pentru orice numa˘r real x\displaystyle \text{ pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y2−1\displaystyle x\circ y=\frac{x+y}{2}-1.

Determinați perechile (m,n)\displaystyle (m,n) de numere naturale, cu m<n\displaystyle m<n, pentru care m∘n≤0\displaystyle m\circ n\leq 0.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la legea de compoziție dată și se înlocuiește x\displaystyle x cu m\displaystyle m, respectiv y\displaystyle y cu n\displaystyle n, unde m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt numere naturale.
    m∘n=m+n2−1\displaystyle m\circ n=\frac{m+n}{2}-1
  2. Se aduce expresia la același numitor, scriind −1\displaystyle -1 ca −22\displaystyle -\dfrac{2}{2}, pentru a obține o singură fracție.
    m∘n=m+n2−22=m+n−22\displaystyle m\circ n=\frac{m+n}{2}-\frac{2}{2}=\frac{m+n-2}{2}
  3. Se pune condiția cerută de problemă, anume ca rezultatul legii de compoziție să fie mai mic sau egal cu 0\displaystyle 0.
    m∘n≤0⇔m+n−22≤0\displaystyle m\circ n\leq 0\Leftrightarrow \frac{m+n-2}{2}\leq 0
  4. Se rezolvă inecuația, înmulțind ambii membri cu 2\displaystyle 2 (număr pozitiv, deci sensul inegalității se păstrează) și se obține o condiție simplă pe suma m+n\displaystyle m+n.
    m+n−22≤0⇔m+n−2≤0⇔m+n≤2\displaystyle \frac{m+n-2}{2}\leq 0 \Leftrightarrow m+n-2\leq 0 \Leftrightarrow m+n\leq 2
  5. Se caută toate perechile de numere naturale m\displaystyle m și n\displaystyle n, cu m<n\displaystyle m<n, astfel încât suma lor să fie cel mult 2\displaystyle 2. Se analizează cazurile posibile: dacă m=0\displaystyle m=0, atunci n\displaystyle n poate fi 1\displaystyle 1 sau 2\displaystyle 2 (deoarece n>m\displaystyle n>m și m+n≤2\displaystyle m+n\leq 2); dacă m≥1\displaystyle m\geq 1, atunci n≥2\displaystyle n\geq 2, iar suma ar depăși 2\displaystyle 2 (cu excepția m=n=1\displaystyle m=n=1, care nu respectă m<n\displaystyle m<n). Rezultă astfel perechile căutate.
    m+n−22≤0⇔m+n≤2 și, cum m și n sunt numere naturale, cu m<n\displaystyle \frac{m+n-2}{2}\leq 0 \Leftrightarrow m+n\leq 2\text{ și, cum }m\text{ și }n\text{ sunt numere naturale, cu }m<n, obținem perechile (0,1) și (0,2)\displaystyle \text{ obținem perechile }(0,1)\text{ și }(0,2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a−1aaa+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a-1&a\\a&a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(2))=−1\displaystyle \det(A(2))=-1.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește a=2\displaystyle a=2 în expresiile elementelor matricei A(a)\displaystyle A(a): a−1=1\displaystyle a-1=1, a=2\displaystyle a=2, a+1=3\displaystyle a+1=3, obținându-se matricea A(2)\displaystyle A(2).
    A(2)=(1223)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}
  2. Se scrie determinantul matricei A(2)\displaystyle A(2) folosind formula pentru determinantul unei matrice de ordin 2\displaystyle 2.
    det⁡(A(2))=∣1223∣=1⋅3−2⋅2=\displaystyle \det(A(2))=\begin{vmatrix}1&2\\2&3\end{vmatrix}=1\cdot 3-2\cdot 2=
  3. Se efectuează calculele: se calculează produsele 1⋅3\displaystyle 1\cdot 3 și 2⋅2\displaystyle 2\cdot 2, apoi se face scăderea pentru a obține valoarea determinantului.
    =3−4=−1\displaystyle =3-4=-1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a−1aaa+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a-1&a\\a&a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(2)+A(0)=2A(1)\displaystyle A(2)+A(0)=2A(1).
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează A(2)\displaystyle A(2) înlocuind a=2\displaystyle a=2 în definiția matricei A(a)\displaystyle A(a).
    A(2)=(2−1222+1)=(1223)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix}2-1&2\\2&2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}
  2. Se calculează A(0)\displaystyle A(0) înlocuind a=0\displaystyle a=0 în definiția matricei A(a)\displaystyle A(a).
    A(0)=(0−1000+1)=(−1001)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}0-1&0\\0&0+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}
  3. Se adună cele două matrice obținute, element cu element.
    A(2)+A(0)=(1223)+(−1001)=(0224)=\displaystyle A(2)+A(0)=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&2\\2&4\end{pmatrix}=
  4. Se scrie matricea obținută A(1)\displaystyle A(1) pentru a=1\displaystyle a=1, pentru a compara cu rezultatul sumei.
    A(1)=(1−1111+1)=(0112)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1-1&1\\1&1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}
  5. Se scoate factor comun 2\displaystyle 2 din matricea sumă și se recunoaște că matricea rămasă este exact A(1)\displaystyle A(1), obținând astfel rezultatul final.
    =2(0112)=2A(1)\displaystyle =2\begin{pmatrix}0&1\\1&2\end{pmatrix}=2A(1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a−1aaa+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a-1&a\\a&a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(0)⋅A(0)=I2\displaystyle A(0)\cdot A(0)=I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Se înlocuiește a=0\displaystyle a=0 în expresia matricei A(a)\displaystyle A(a) pentru a obține matricea A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)=(0−1000+1)=(−1001)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}0-1&0\\0&0+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}
  2. Se efectuează înmulțirea A(0)⋅A(0)\displaystyle A(0)\cdot A(0) folosind regula de înmulțire a matricelor (element cu element, linie pe coloană).
    A(0)⋅A(0)=((−1)⋅(−1)+0⋅0(−1)⋅0+0⋅10⋅(−1)+1⋅00⋅0+1⋅1)=\displaystyle A(0)\cdot A(0)=\begin{pmatrix}(-1)\cdot(-1)+0\cdot 0 & (-1)\cdot 0+0\cdot 1\\0\cdot(-1)+1\cdot 0 & 0\cdot 0+1\cdot 1\end{pmatrix}=
  3. Se calculează efectiv fiecare sumă din matrice, obținându-se elementele finale.
    (1+00+00+00+1)=(1001)\displaystyle \begin{pmatrix}1+0&0+0\\0+0&0+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  4. Se identifică matricea obținută cu matricea unitate I2\displaystyle I_2, obținând rezultatul final.
    =(1001)=I2\displaystyle =\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a−1aaa+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a-1&a\\a&a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Demonstrați că matricea A(a)\displaystyle A(a) este inversabilă, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem explicit matricea A(a)\displaystyle A(a) conform enunțului, pentru a identifica elementele necesare calculului determinantului.
    A(a)=(a−1aaa+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a-1&a\\a&a+1\end{pmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului unei matrice de ordin 2\displaystyle 2, det⁡=(element de pe diagonala principala˘)×(element de pe diagonala principala˘)−(element de pe diagonala secundara˘)×(element de pe diagonala secundara˘)\displaystyle \det = (\text{element de pe diagonala principală}) \times (\text{element de pe diagonala principală}) - (\text{element de pe diagonala secundară}) \times (\text{element de pe diagonala secundară}), pentru matricea A(a)\displaystyle A(a).
    det⁡(A(a))=∣a−1aaa+1∣=(a−1)(a+1)−a2=\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}a-1&a\\a&a+1\end{vmatrix}=(a-1)(a+1)-a^2=
  3. Calculăm produsul (a−1)(a+1)\displaystyle (a-1)(a+1) folosind formula de calcul prescurtat, diferența de pătrate.
    (a−1)(a+1)=a2−1\displaystyle (a-1)(a+1)=a^2-1
  4. Înlocuim rezultatul obținut în expresia determinantului și reducem termenii asemenea, obținând o valoare constantă, independentă de a\displaystyle a.
    =a2−1−a2=−1\displaystyle =a^2-1-a^2=-1, deci det⁡(A(a))≠0\displaystyle \text{ deci }\det(A(a))\neq 0, de unde obținem ca˘ \displaystyle \text{ de unde obținem că }matricea A(a) este inversabila˘, pentru \displaystyle \text{matricea }A(a)\text{ este inversabilă, pentru }orice numa˘r real a\displaystyle \text{orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a−1aaa+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a-1&a\\a&a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele reale a\displaystyle a pentru care det⁡(A(a)+aI2)=11\displaystyle \det(A(a)+aI_2)=11.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea aI2\displaystyle aI_{2}, obținută prin înmulțirea matricei unitate cu scalarul a\displaystyle a.
    aI2=(a00a)\displaystyle aI_2=\begin{pmatrix}a&0\\0&a\end{pmatrix}
  2. Se adună matricea A(a)\displaystyle A(a) cu matricea aI2\displaystyle aI_{2}, element cu element.
    A(a)+aI2=((a−1)+aa+0a+0(a+1)+a)=(2a−1aa2a+1)\displaystyle A(a)+aI_2=\begin{pmatrix}(a-1)+a & a+0\\ a+0 & (a+1)+a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2a-1 & a\\ a & 2a+1\end{pmatrix}
  3. Se calculează determinantul matricei obținute, folosind formula determinantului pentru o matrice 2×2\displaystyle 2\times 2: det⁡=\displaystyle \det = (element din stânga sus)(element din dreapta jos) - (element din dreapta sus)(element din stânga jos).
    det⁡(A(a)+aI2)=(2a−1)(2a+1)−a⋅a=(4a2−1)−a2=3a2−1\displaystyle \det(A(a)+aI_2)=(2a-1)(2a+1)-a\cdot a=(4a^2-1)-a^2=3a^2-1, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \text{ pentru orice număr real }a
  4. Conform cerinței problemei, se pune condiția ca determinantul calculat să fie egal cu 11\displaystyle 11, obținându-se astfel ecuația în necunoscuta a\displaystyle a.
    3a2−1=11\displaystyle 3a^2-1=11
  5. Se rezolvă ecuația obținută: se aduc termenii asemenea, se împarte prin 3\displaystyle 3 și se extrage rădăcina pătrată pentru a determina valorile lui a\displaystyle a.
    3a2−1=11⇒3a2=12⇒a2=4⇒a=−2 sau a=2\displaystyle 3a^2-1=11\Rightarrow 3a^2=12\Rightarrow a^2=4\Rightarrow a=-2\text{ sau }a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și A(a)=(a−1aaa+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a-1&a\\a&a+1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Se consideră matricea C(a,b)=aA(b)+bA(a)\displaystyle C(a,b)=aA(b)+bA(a), unde a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere reale. Determinați perechile (a,b)\displaystyle (a,b) de numere naturale pentru care suma elementelor matricei C(a,b)\displaystyle C(a,b) este egală cu 24\displaystyle 24.
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu matricele A(a)\displaystyle A(a) și A(b)\displaystyle A(b) conform definiției date, pentru a putea calcula combinația liniară cerută.
    A(a)=(a−1aaa+1)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}a-1&a\\a&a+1\end{pmatrix},A(b)=(b−1bbb+1)\displaystyle \quad A(b)=\begin{pmatrix}b-1&b\\b&b+1\end{pmatrix}
  2. Se calculează produsul scalarului a\displaystyle a cu matricea A(b)\displaystyle A(b), înmulțind fiecare element cu a\displaystyle a.
    aA(b)=(ab−aababab+a)\displaystyle aA(b)=\begin{pmatrix}ab-a&ab\\ab&ab+a\end{pmatrix}
  3. Se calculează produsul scalarului b\displaystyle b cu matricea A(a)\displaystyle A(a), înmulțind fiecare element cu b\displaystyle b.
    bA(a)=(ab−bababab+b)\displaystyle bA(a)=\begin{pmatrix}ab-b&ab\\ab&ab+b\end{pmatrix}
  4. Se adună cele două matrice obținute, element cu element, pentru a obține matricea C(a,b)\displaystyle C(a,b), grupând termenii asemenea.
    C(a,b)=aA(b)+bA(a)=(2ab−a−b2ab2ab2ab+a+b)\displaystyle C(a,b)=aA(b)+bA(a)=\begin{pmatrix}2ab-a-b&2ab\\2ab&2ab+a+b\end{pmatrix}, unde a și b sunt numere reale\displaystyle \text{ unde }a\text{ și }b\text{ sunt numere reale}
  5. Se calculează suma celor patru elemente ale matricei C(a,b)\displaystyle C(a,b), adunând termenii de pe fiecare linie.
    (2ab−a−b)+2ab+2ab+(2ab+a+b)=8ab\displaystyle (2ab-a-b)+2ab+2ab+(2ab+a+b)=8ab
  6. Se pune condiția ca suma elementelor matricei să fie egală cu 24\displaystyle 24, obținându-se o ecuație în a\displaystyle a și b\displaystyle b.
    8ab=24\displaystyle 8ab=24
  7. Se simplifică ecuația obținută și, folosind faptul că a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt numere naturale, se determină perechile posibile prin descompunerea lui 3\displaystyle 3 ca produs de doi factori naturali.
    8ab=24\displaystyle 8ab=24, deci ab=3 și, cum a și b sunt numere naturale, \displaystyle \text{ deci }ab=3\text{ și, cum }a\text{ și }b\text{ sunt numere naturale, }obținem perechile (1,3) și (3,1)\displaystyle \text{obținem perechile }(1,3)\text{ și }(3,1)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.