Bac matematică M4 pedagogic 2021, model, test de evaluare 1: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 3(13−1+13+1)=3\displaystyle \sqrt{3}\left(\frac{1}{\sqrt{3}-1}+\frac{1}{\sqrt{3}+1}\right)=3.
Vezi rezolvarea
  1. Aducem fracțiile din paranteză la același numitor. Numitorul comun este produsul (3−1)(3+1)\displaystyle (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1).
    13−1+13+1=3+1+3−1(3−1)(3+1)\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}-1}+\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}
  2. Calculăm numitorul cu formula (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}. Obținem (3−1)(3+1)=3−1=2\displaystyle (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=3-1=2.
    (3−1)(3+1)=(3)2−12=3−1=2\displaystyle (\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=(\sqrt{3})^{2}-1^{2}=3-1=2
  3. Scriem expresia din enunț cu suma fracțiilor adusă la numitorul 2\displaystyle 2.
    3⋅3+1+3−12\displaystyle \sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1}{2}
  4. Reducem termenii de la numărător: +1\displaystyle +1 și −1\displaystyle -1 se anulează, iar 3+3=23\displaystyle \sqrt{3}+\sqrt{3}=2\sqrt{3}. Simplificăm fracția cu 2\displaystyle 2.
    3⋅232=3⋅3\displaystyle \sqrt{3}\cdot\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}
  5. Înmulțim: 3⋅3=3\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3. Deci egalitatea din enunț este adevărată.
    3⋅232=3\displaystyle \sqrt{3}\cdot\frac{2\sqrt{3}}{2}=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați numerele naturale m\displaystyle m pentru care funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−m\displaystyle f(x)=x-m verifică relația f(1)≥0\displaystyle f(1)\ge 0.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 în formula funcției f(x)=x−m\displaystyle f(x)=x-m: f(1)=1−m\displaystyle f(1)=1-m.
    f(1)=1−m\displaystyle f(1)=1-m
  2. Condiția din enunț este f(1)≥0\displaystyle f(1)\ge 0, deci obținem inegalitatea 1−m≥0\displaystyle 1-m\ge 0.
    1−m≥0\displaystyle 1-m\ge 0
  3. Rezolvăm inegalitatea: adunăm m\displaystyle m în ambii membri și obținem 1≥m\displaystyle 1\ge m, adică m≤1\displaystyle m\le 1.
    m≤1\displaystyle m\le 1
  4. Cum m\displaystyle m este număr natural, singurele valori care verifică m≤1\displaystyle m\le 1 sunt 0\displaystyle 0 și 1\displaystyle 1.
    m≤1, deci m=0 sau m=1\displaystyle m\le 1\text{, deci }m=0\text{ sau }m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 2log⁡2x=log⁡2(3x+4)\displaystyle 2\log_2 x=\log_2(3x+4).
Vezi rezolvarea
  1. Punem condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive. Din x>0\displaystyle x>0 și 3x+4>0\displaystyle 3x+4>0 rezultă x>0\displaystyle x>0.
    x∈(0,∞)\displaystyle x\in(0,\infty)
  2. Aplicăm proprietatea logaritmului unei puteri: 2log⁡2x=log⁡2x2\displaystyle 2\log_2 x=\log_2 x^{2}, valabilă pentru x>0\displaystyle x>0. Ecuația devine log⁡2x2=log⁡2(3x+4)\displaystyle \log_2 x^{2}=\log_2(3x+4).
    log⁡2x2=log⁡2(3x+4)\displaystyle \log_2 x^{2}=\log_2(3x+4)
  3. Deoarece funcția logaritm este injectivă, egalăm argumentele: x2=3x+4\displaystyle x^{2}=3x+4. Aducem ecuația la forma generală: x2−3x−4=0\displaystyle x^{2}-3x-4=0.
    x2−3x−4=0\displaystyle x^{2}-3x-4=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=9+16=25\displaystyle \Delta=9+16=25, deci Δ=5\displaystyle \sqrt{\Delta}=5. Rădăcinile sunt x1=3−52=−1\displaystyle x_1=\dfrac{3-5}{2}=-1 și x2=3+52=4\displaystyle x_2=\dfrac{3+5}{2}=4.
    x1=−1\displaystyle x_1=-1, x2=4\displaystyle \ x_2=4
  5. Verificăm condiția x>0\displaystyle x>0: valoarea x=−1\displaystyle x=-1 nu convine, iar x=4\displaystyle x=4 convine. Verificare: 2log⁡24=4\displaystyle 2\log_2 4=4 și log⁡216=4\displaystyle \log_2 16=4. Deci ecuația are o singură soluție.
    x=−1, care nu convine, sau x=4, care convine\displaystyle x=-1\text{, care nu convine, sau }x=4\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o scumpire cu 10%\displaystyle 10\% prețul unui obiect este 440\displaystyle 440 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x prețul obiectului înainte de scumpire, în lei. Scumpirea cu 10%\displaystyle 10\% înseamnă că la prețul inițial se adaugă 10%\displaystyle 10\% din el.
    pretul initial x\displaystyle \text{pretul initial } x, cresterea 10100⋅x\displaystyle \ \text{cresterea } \dfrac{10}{100}\cdot x
  2. Prețul după scumpire este 440\displaystyle 440 de lei, deci scriem ecuația scumpirii: x+10100⋅x=440\displaystyle x+\dfrac{10}{100}\cdot x=440.
    x+10100⋅x=440\displaystyle x+\dfrac{10}{100}\cdot x=440
  3. Dăm factor comun pe x\displaystyle x: x(1+110)=440\displaystyle x\left(1+\dfrac{1}{10}\right)=440, adică 1110⋅x=440\displaystyle \dfrac{11}{10}\cdot x=440.
    1110⋅x=440\displaystyle \dfrac{11}{10}\cdot x=440
  4. Înmulțim ambii membri cu 1011\displaystyle \dfrac{10}{11}: x=440⋅1011=40⋅10\displaystyle x=440\cdot\dfrac{10}{11}=40\cdot 10. Prețul obiectului înainte de scumpire este de 400\displaystyle 400 de lei.
    x=400 lei\displaystyle x=400\text{ lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul M(1,2)\displaystyle M(1,2) și este paralelă cu dreapta d\displaystyle d de ecuație y=x+2\displaystyle y=x+2.
Vezi rezolvarea
  1. Dreapta d\displaystyle d are ecuația y=x+2\displaystyle y=x+2, scrisă sub forma y=mx+n\displaystyle y=mx+n. Coeficientul lui x\displaystyle x este panta, deci md=1\displaystyle m_d=1.
    md=1\displaystyle m_d=1
  2. Dreptele paralele au aceeași pantă. Dacă dreapta căutată este d′\displaystyle d', atunci md′=md=1\displaystyle m_{d'}=m_d=1.
    md′=1\displaystyle m_{d'}=1
  3. Ecuația dreptei de pantă m\displaystyle m care trece prin M(xM,yM)\displaystyle M(x_M,y_M) este y−yM=m(x−xM)\displaystyle y-y_M=m(x-x_M). Cu M(1,2)\displaystyle M(1,2) și m=1\displaystyle m=1 obținem y−2=1⋅(x−1)\displaystyle y-2=1\cdot(x-1), adică y−2=x−1\displaystyle y-2=x-1.
    y−2=x−1\displaystyle y-2=x-1
  4. Din y−2=x−1\displaystyle y-2=x-1 obținem y=x+1\displaystyle y=x+1. Verificare: pentru x=1\displaystyle x=1 avem y=1+1=2\displaystyle y=1+1=2, deci M(1,2)\displaystyle M(1,2) se află pe dreaptă, iar panta este 1\displaystyle 1.
    y=x+1\displaystyle y=x+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați perimetrul triunghiului echilateral ABC\displaystyle ABC, știind că înălțimea AD\displaystyle AD este de lungime 33\displaystyle 3\sqrt{3}.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm latura triunghiului echilateral cu l=AB\displaystyle l=AB. Într-un triunghi echilateral, înălțimea este AD=l32\displaystyle AD=\dfrac{l\sqrt{3}}{2}.
    AD=AB32\displaystyle AD=\frac{AB\sqrt{3}}{2}
  2. Înlocuim AD=33\displaystyle AD=3\sqrt{3} în formulă și obținem egalitatea de mai jos.
    33=AB32\displaystyle 3\sqrt{3}=\frac{AB\sqrt{3}}{2}
  3. Împărțim ambii membri la 3\displaystyle \sqrt{3}, apoi înmulțim cu 2\displaystyle 2: 3=AB2\displaystyle 3=\dfrac{AB}{2}, deci AB=6\displaystyle AB=6.
    AB=6\displaystyle AB=6
  4. Perimetrul triunghiului echilateral este de trei ori latura: P=3⋅AB=3⋅6\displaystyle P=3\cdot AB=3\cdot 6.
    P△ABC=3⋅6=18\displaystyle P_{\triangle ABC}=3\cdot 6=18
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2(x+y)+6\displaystyle x*y=xy-2(x+y)+6.

Arătați că (−2)∗2=2\displaystyle (-2)*2=2.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția x∗y=xy−2(x+y)+6\displaystyle x*y=xy-2(x+y)+6 pentru x=−2\displaystyle x=-2 și y=2\displaystyle y=2.
    (−2)∗2=(−2)⋅2−2((−2)+2)+6\displaystyle (-2)*2=(-2)\cdot 2-2\left((-2)+2\right)+6
  2. Calculăm produsul (−2)⋅2=−4\displaystyle (-2)\cdot 2=-4 și suma din paranteză (−2)+2=0\displaystyle (-2)+2=0.
    (−2)⋅2=−4\displaystyle (-2)\cdot 2=-4,(−2)+2=0\displaystyle \quad (-2)+2=0
  3. Înlocuim în expresie și obținem −4−2⋅0+6=2\displaystyle -4-2\cdot 0+6=2, deci egalitatea cerută este adevărată.
    (−2)∗2=−4−2⋅0+6=2\displaystyle (-2)*2=-4-2\cdot 0+6=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2(x+y)+6\displaystyle x*y=xy-2(x+y)+6.

Demonstrați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea „∗\displaystyle *” este comutativă dacă x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}. Pornim de la definiție: x∗y=xy−2(x+y)+6\displaystyle x*y=xy-2(x+y)+6.
    x∗y=xy−2(x+y)+6\displaystyle x*y=xy-2(x+y)+6
  2. Folosim comutativitatea înmulțirii și a adunării în R\displaystyle \mathbb{R}: xy=yx\displaystyle xy=yx și x+y=y+x\displaystyle x+y=y+x. Atunci x∗y=xy−2(x+y)+6=yx−2(y+x)+6\displaystyle x*y=xy-2(x+y)+6=yx-2(y+x)+6.
    x∗y=xy−2(x+y)+6=yx−2(y+x)+6\displaystyle x*y=xy-2(x+y)+6=yx-2(y+x)+6
  3. Expresia yx−2(y+x)+6\displaystyle yx-2(y+x)+6 este exact definiția lui y∗x\displaystyle y*x. Deci x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, adică legea „∗\displaystyle *” este comutativă.
    =y∗x, pentru orice numere \displaystyle =y*x\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2(x+y)+6\displaystyle x*y=xy-2(x+y)+6.

Demonstrați că x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție, x∗y=xy−2(x+y)+6\displaystyle x*y=xy-2(x+y)+6, și desfacem paranteza: −2(x+y)=−2x−2y\displaystyle -2(x+y)=-2x-2y.
    x∗y=xy−2x−2y+6\displaystyle x*y=xy-2x-2y+6
  2. Grupăm termenii care conțin pe x\displaystyle x: xy−2x=x(y−2)\displaystyle xy-2x=x(y-2). Pentru ceilalți termeni scriem 6=4+2\displaystyle 6=4+2, deci −2y+6=−2y+4+2=−2(y−2)+2\displaystyle -2y+6=-2y+4+2=-2(y-2)+2.
    x∗y=x(y−2)−2(y−2)+2\displaystyle x*y=x(y-2)-2(y-2)+2
  3. Dăm factor comun pe y−2\displaystyle y-2: x(y−2)−2(y−2)=(x−2)(y−2)\displaystyle x(y-2)-2(y-2)=(x-2)(y-2). Astfel egalitatea cerută este demonstrată pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2(x+y)+6\displaystyle x*y=xy-2(x+y)+6.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care (x+1)∗x=4\displaystyle (x+1)*x=4.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea de compoziție se poate scrie sub forma (x−2)(y−2)+2\displaystyle (x-2)(y-2)+2. Verificăm: (x−2)(y−2)=xy−2x−2y+4\displaystyle (x-2)(y-2)=xy-2x-2y+4, iar adăugând 2\displaystyle 2 obținem xy−2(x+y)+6\displaystyle xy-2(x+y)+6.
    x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu x+1\displaystyle x+1 și y\displaystyle y cu x\displaystyle x în forma obținută, iar egalitatea cu 4\displaystyle 4 devine o ecuație în x\displaystyle x.
    (x+1−2)(x−2)+2=4\displaystyle (x+1-2)(x-2)+2=4
  3. Reducem termenii: x+1−2=x−1\displaystyle x+1-2=x-1. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri, apoi efectuăm înmulțirea: (x−1)(x−2)=x2−3x+2\displaystyle (x-1)(x-2)=x^{2}-3x+2, deci x2−3x+2=2\displaystyle x^{2}-3x+2=2. Scăzând încă 2\displaystyle 2, rămâne ecuația de gradul al doilea incompletă.
    x2−3x=0\displaystyle x^{2}-3x=0
  4. Dăm factor comun pe x\displaystyle x: x(x−3)=0\displaystyle x(x-3)=0. Un produs este nul când un factor este nul, deci x=0\displaystyle x=0 sau x−3=0\displaystyle x-3=0.
    x=0 sau x=3\displaystyle x=0\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2(x+y)+6\displaystyle x*y=xy-2(x+y)+6.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care 22x∗2x=2\displaystyle 2^{2x}*2^x=2.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea de compoziție se poate scrie sub o formă factorizată: x∗y=xy−2x−2y+4+2=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=xy-2x-2y+4+2=(x-2)(y-2)+2.
    x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2
  2. Aplicăm această formă pentru numerele 22x\displaystyle 2^{2x} și 2x\displaystyle 2^{x}, apoi egalăm cu 2\displaystyle 2.
    (22x−2)(2x−2)+2=2\displaystyle (2^{2x}-2)(2^{x}-2)+2=2
  3. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri și obținem un produs egal cu zero: (22x−2)(2x−2)=0\displaystyle (2^{2x}-2)(2^{x}-2)=0. Produsul este nul când unul dintre factori este nul.
    22x−2=0 sau 2x−2=0\displaystyle 2^{2x}-2=0\text{ sau }2^{x}-2=0
  4. Rezolvăm prima ecuație: 22x=2=21\displaystyle 2^{2x}=2=2^{1}, deci 2x=1\displaystyle 2x=1, adică x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2}.
    x=12\displaystyle x=\frac{1}{2}
  5. Rezolvăm a doua ecuație: 2x=2=21\displaystyle 2^{x}=2=2^{1}, deci x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
  6. Soluțiile ecuației sunt x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2} și x=1\displaystyle x=1.
    x=12 sau x=1\displaystyle x=\frac{1}{2}\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=xy−2(x+y)+6\displaystyle x*y=xy-2(x+y)+6.

Determinați valorile reale ale lui x\displaystyle x pentru care (x−1)∗x≤2\displaystyle (x-1)*x\le 2.
Vezi rezolvarea
  1. Rescriem legea în forma x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2. Verificăm: (x−2)(y−2)+2=xy−2x−2y+4+2=xy−2(x+y)+6\displaystyle (x-2)(y-2)+2=xy-2x-2y+4+2=xy-2(x+y)+6.
    x∗y=(x−2)(y−2)+2\displaystyle x*y=(x-2)(y-2)+2
  2. Înlocuim în forma obținută: (x−1)∗x=(x−1−2)(x−2)+2=(x−3)(x−2)+2\displaystyle (x-1)*x=(x-1-2)(x-2)+2=(x-3)(x-2)+2.
    (x−1)∗x=(x−3)(x−2)+2\displaystyle (x-1)*x=(x-3)(x-2)+2
  3. Inegalitatea (x−1)∗x≤2\displaystyle (x-1)*x\le 2 devine (x−3)(x−2)+2≤2\displaystyle (x-3)(x-2)+2\le 2, deci, scăzând 2\displaystyle 2 din ambii membri, obținem (x−3)(x−2)≤0\displaystyle (x-3)(x-2)\le 0.
    (x−3)(x−2)≤0\displaystyle (x-3)(x-2)\le 0
  4. Rădăcinile expresiei (x−3)(x−2)\displaystyle (x-3)(x-2) sunt 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3. Coeficientul lui x2\displaystyle x^{2} este pozitiv, deci expresia este mai mică sau egală cu zero între rădăcini, inclusiv în rădăcini. Așadar x∈[2,3]\displaystyle x\in[2,3].
    x∈[2,3]\displaystyle x\in[2,3]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(3a03)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3 & a\\ 0 & 3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că det⁡(A(a))=9\displaystyle \det(A(a))=9, pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(a)=(3a03)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3 & a\\ 0 & 3\end{pmatrix} și folosim formula determinantului de ordinul doi: ∣pqrs∣=p⋅s−q⋅r\displaystyle \begin{vmatrix}p & q\\ r & s\end{vmatrix}=p\cdot s-q\cdot r.
    det⁡(A(a))=∣3a03∣\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}3 & a\\ 0 & 3\end{vmatrix}
  2. Pe diagonala principală avem 3\displaystyle 3 și 3\displaystyle 3, iar pe cea secundară avem a\displaystyle a și 0\displaystyle 0. Obținem produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare.
    det⁡(A(a))=3⋅3−0⋅a\displaystyle \det(A(a))=3\cdot 3-0\cdot a
  3. Calculăm: 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9, iar 0⋅a=0\displaystyle 0\cdot a=0 pentru orice a\displaystyle a real. Deci rezultatul nu depinde de a\displaystyle a.
    det⁡(A(a))=9−0=9, pentru orice numa˘r real a\displaystyle \det(A(a))=9-0=9\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(3a03)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3 & a\\ 0 & 3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(0)⋅A(2021)=3A(2021)\displaystyle A(0)\cdot A(2021)=3A(2021).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(0)\displaystyle A(0), înlocuind a=0\displaystyle a=0 în A(a)=(3a03)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3 & a\\ 0 & 3\end{pmatrix}: pe diagonala principală avem 3\displaystyle 3, iar în rest 0\displaystyle 0.
    A(0)=(3003)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}3 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}
  2. Scriem matricea A(2021)\displaystyle A(2021), înlocuind a=2021\displaystyle a=2021.
    A(2021)=(3202103)\displaystyle A(2021)=\begin{pmatrix}3 & 2021\\ 0 & 3\end{pmatrix}
  3. Scoatem factorul 3\displaystyle 3 din matricea A(0)\displaystyle A(0): obținem 3\displaystyle 3 ori matricea unitate I2\displaystyle I_2. Apoi scriem produsul cerut.
    A(0)⋅A(2021)=(3003)⋅(3202103)=3⋅(1001)⋅(3202103)\displaystyle A(0)\cdot A(2021)=\begin{pmatrix}3 & 0\\ 0 & 3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3 & 2021\\ 0 & 3\end{pmatrix}=3\cdot\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3 & 2021\\ 0 & 3\end{pmatrix}
  4. Matricea unitate I2\displaystyle I_2 este element neutru la înmulțirea matricelor, deci I2⋅A(2021)=A(2021)\displaystyle I_2\cdot A(2021)=A(2021). Rămâne 3\displaystyle 3 ori A(2021)\displaystyle A(2021), ceea ce trebuia arătat.
    3⋅I2⋅A(2021)=3⋅(3202103)=3A(2021)\displaystyle 3\cdot I_2\cdot A(2021)=3\cdot\begin{pmatrix}3 & 2021\\ 0 & 3\end{pmatrix}=3A(2021)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(3a03)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3 & a\\ 0 & 3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Arătați că A(a−1)+A(a+1)=2A(a)\displaystyle A(a-1)+A(a+1)=2A(a), pentru orice număr real a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu a−1\displaystyle a-1 în A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(a−1)\displaystyle A(a-1).
    A(a−1)=(3a−103)\displaystyle A(a-1)=\begin{pmatrix}3 & a-1\\ 0 & 3\end{pmatrix}
  2. Înlocuim a\displaystyle a cu a+1\displaystyle a+1 în A(a)\displaystyle A(a) și obținem matricea A(a+1)\displaystyle A(a+1).
    A(a+1)=(3a+103)\displaystyle A(a+1)=\begin{pmatrix}3 & a+1\\ 0 & 3\end{pmatrix}
  3. Adunăm matricele element cu element: 3+3=6\displaystyle 3+3=6, (a−1)+(a+1)=2a\displaystyle (a-1)+(a+1)=2a, 0+0=0\displaystyle 0+0=0, 3+3=6\displaystyle 3+3=6.
    A(a−1)+A(a+1)=(3a−103)+(3a+103)=(62a06)\displaystyle A(a-1)+A(a+1)=\begin{pmatrix}3 & a-1\\ 0 & 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3 & a+1\\ 0 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}6 & 2a\\ 0 & 6\end{pmatrix}
  4. Scoatem factorul 2\displaystyle 2 din toate elementele matricei: 6=2⋅3\displaystyle 6=2\cdot 3 și 2a=2⋅a\displaystyle 2a=2\cdot a. Rămâne matricea A(a)\displaystyle A(a), deci egalitatea are loc pentru orice a\displaystyle a real.
    (62a06)=2⋅(3a03)=2⋅A(a), pentru orice numa˘r real a\displaystyle \begin{pmatrix}6 & 2a\\ 0 & 6\end{pmatrix}=2\cdot\begin{pmatrix}3 & a\\ 0 & 3\end{pmatrix}=2\cdot A(a)\text{, pentru orice număr real }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(3a03)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3 & a\\ 0 & 3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numerele naturale nenule m\displaystyle m și n\displaystyle n pentru care A(m)⋅A(n)=3A(3)\displaystyle A(m)\cdot A(n)=3A(3).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricele A(m)=(3m03)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix}3 & m\\ 0 & 3\end{pmatrix} și A(n)=(3n03)\displaystyle A(n)=\begin{pmatrix}3 & n\\ 0 & 3\end{pmatrix}.
    A(m)⋅A(n)=(3m03)⋅(3n03)\displaystyle A(m)\cdot A(n)=\begin{pmatrix}3 & m\\ 0 & 3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3 & n\\ 0 & 3\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul element cu element, după regula linie pe coloană: pe diagonală 3⋅3=9\displaystyle 3\cdot 3=9, în colțul din dreapta sus 3⋅n+m⋅3=3(n+m)\displaystyle 3\cdot n+m\cdot 3=3(n+m), iar în stânga jos 0\displaystyle 0.
    A(m)⋅A(n)=(93(n+m)09)\displaystyle A(m)\cdot A(n)=\begin{pmatrix}9 & 3(n+m)\\ 0 & 9\end{pmatrix}
  3. Calculăm 3A(3)\displaystyle 3A(3) înmulțind fiecare element al matricei A(3)=(3303)\displaystyle A(3)=\begin{pmatrix}3 & 3\\ 0 & 3\end{pmatrix} cu 3\displaystyle 3.
    3A(3)=(9909)\displaystyle 3A(3)=\begin{pmatrix}9 & 9\\ 0 & 9\end{pmatrix}
  4. Egalăm cele două matrice. Elementele de pe diagonală coincid, iar din egalitatea elementelor din dreapta sus obținem 3(n+m)=9\displaystyle 3(n+m)=9, deci n+m=3\displaystyle n+m=3.
    n+m=3\displaystyle n+m=3
  5. Căutăm numerele naturale nenule cu suma 3\displaystyle 3. Cum m≥1\displaystyle m\geq 1 și n≥1\displaystyle n\geq 1, fiecare este cel mult 2\displaystyle 2. Dacă m=1\displaystyle m=1, atunci n=2\displaystyle n=2, iar dacă m=2\displaystyle m=2, atunci n=1\displaystyle n=1. Cazul 3\displaystyle 3 și 0\displaystyle 0 nu convine, deoarece 0\displaystyle 0 nu este nenul.
    n=1, m=2 sau n=2, m=1\displaystyle n=1\text{, }m=2\text{ sau }n=2\text{, }m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(3a03)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3 & a\\ 0 & 3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care A(a2)−2A(a)+A(1)=O2\displaystyle A(a^2)-2A(a)+A(1)=O_2, unde O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim parametrul în definiția A(a)=(3a03)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3 & a\\ 0 & 3\end{pmatrix} și obținem A(a2)\displaystyle A(a^2), A(a)\displaystyle A(a) și A(1)\displaystyle A(1).
    A(a2)=(3a203)\displaystyle A(a^2)=\begin{pmatrix}3 & a^2\\ 0 & 3\end{pmatrix}, A(a)=(3a03)\displaystyle \ A(a)=\begin{pmatrix}3 & a\\ 0 & 3\end{pmatrix}, A(1)=(3103)\displaystyle \ A(1)=\begin{pmatrix}3 & 1\\ 0 & 3\end{pmatrix}
  2. Înlocuim matricele în egalitatea A(a2)−2A(a)+A(1)=O2\displaystyle A(a^2)-2A(a)+A(1)=O_2.
    (3a203)−2⋅(3a03)+(3103)=(0000)\displaystyle \begin{pmatrix}3 & a^2\\ 0 & 3\end{pmatrix}-2\cdot\begin{pmatrix}3 & a\\ 0 & 3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3 & 1\\ 0 & 3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}
  3. Efectuăm operațiile element cu element. Pe diagonală avem 3−2⋅3+3=0\displaystyle 3-2\cdot 3+3=0, sub diagonală avem 0\displaystyle 0, iar în colțul dreapta sus avem a2−2a+1\displaystyle a^2-2a+1.
    (0a2−2a+100)=(0000)\displaystyle \begin{pmatrix}0 & a^2-2a+1\\ 0 & 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}
  4. Două matrice sunt egale când elementele corespunzătoare sunt egale. Singura condiție netrivială vine din colțul dreapta sus.
    a2−2a+1=0\displaystyle a^2-2a+1=0
  5. Recunoaștem pătratul perfect: a2−2a+1=(a−1)2\displaystyle a^2-2a+1=(a-1)^2.
    (a−1)2=0\displaystyle (a-1)^2=0
  6. Un pătrat este zero doar când baza este zero, deci a−1=0\displaystyle a-1=0.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricea A(a)=(3a03)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}3 & a\\ 0 & 3\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real.

Determinați numărul matricelor A(k)\displaystyle A(k), unde k\displaystyle k este număr întreg și det⁡(k⋅A(k))≤36\displaystyle \det(k\cdot A(k))\le 36.
Vezi rezolvarea
  1. Înmulțim fiecare element al matricei A(k)\displaystyle A(k) cu k\displaystyle k: matricea k⋅A(k)\displaystyle k\cdot A(k) are pe diagonala principală 3k\displaystyle 3k, deasupra diagonalei k2\displaystyle k^2 și sub diagonală 0\displaystyle 0.
    k⋅A(k)=(3kk203k)\displaystyle k\cdot A(k)=\begin{pmatrix}3k & k^{2}\\ 0 & 3k\end{pmatrix}
  2. Determinantul este 3k⋅3k−k2⋅0\displaystyle 3k\cdot 3k-k^{2}\cdot 0, adică produsul elementelor de pe diagonala principală.
    det⁡(k⋅A(k))=3k⋅3k−k2⋅0=9k2\displaystyle \det(k\cdot A(k))=3k\cdot 3k-k^{2}\cdot 0=9k^{2}
  3. Condiția det⁡(k⋅A(k))≤36\displaystyle \det(k\cdot A(k))\le 36 devine o inegalitate în k\displaystyle k.
    det⁡(k⋅A(k))≤36⇔9k2≤36\displaystyle \det(k\cdot A(k))\le 36\Leftrightarrow 9k^{2}\le 36
  4. Împărțim inegalitatea la 9\displaystyle 9, care este pozitiv, deci sensul rămâne același.
    k2≤4\displaystyle k^{2}\le 4
  5. Inegalitatea k2≤4\displaystyle k^{2}\le 4 este echivalentă cu ∣k∣≤2\displaystyle |k|\le 2, adică k\displaystyle k se află în intervalul [−2,2]\displaystyle [-2,2].
    k∈[−2,2]\displaystyle k\in[-2,2]
  6. Cum k\displaystyle k este număr întreg, valorile posibile sunt cele din intervalul [−2,2]\displaystyle [-2,2]. Fiecărei valori îi corespunde o matrice A(k)\displaystyle A(k), deci numărăm valorile lui k\displaystyle k.
    k∈{−2,−1,0,1,2}, deci sunt 5 matrice\displaystyle k\in\{-2,-1,0,1,2\}\text{, deci sunt }5\text{ matrice}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.