Bac matematică M4 pedagogic 2020, model, test de evaluare 18: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

5 puncte

Arătați că

\displaystyle \frac{22+\left(\sqrt{2}\right)^2}{4}-\frac{22-\left(\sqrt{2}\right)^2}{5}=2

.

Vezi rezolvarea

Folosim faptul că pătratul radicalului dintr-un număr pozitiv este chiar numărul: $\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^2=2$ .
$\displaystyle \left(\sqrt{2}\right)^2=2$
Înlocuim în expresie această valoare la numărătorul ambelor fracții: $\displaystyle \dfrac{22+2}{4}-\dfrac{22-2}{5}$ .
$\displaystyle \frac{22+2}{4}-\frac{22-2}{5}$
Efectuăm adunarea și scăderea de la numărători: $\displaystyle 22+2=24$ , iar $\displaystyle 22-2=20$ .
$\displaystyle \frac{24}{4}-\frac{20}{5}$
Efectuăm împărțirile: $\displaystyle \dfrac{24}{4}=6$ , iar $\displaystyle \dfrac{20}{5}=4$ .
$\displaystyle 6-4$
Efectuăm scăderea: $\displaystyle 6-4=2$ , adică exact egalitatea cerută.
$\displaystyle 6-4=2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte

Se consideră funcția

\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

\displaystyle f(x)=2x+3

. Determinați mulțimea valorilor reale ale lui

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle f(3x+1)\le f(x)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle f(3x+1)$ înlocuind pe $\displaystyle x$ cu $\displaystyle 3x+1$ în expresia funcției: $\displaystyle f(3x+1)=2(3x+1)+3$ .
$\displaystyle f(3x+1)=2(3x+1)+3$
Desfacem parantezele și reducem termenii: $\displaystyle 2(3x+1)+3=6x+2+3=6x+5$ .
$\displaystyle f(3x+1)=6x+5$
Scriem inegalitatea $\displaystyle f(3x+1)\le f(x)$ cu expresiile obținute: $\displaystyle 2(3x+1)+3\le 2x+3$ .
$\displaystyle 2(3x+1)+3\le 2x+3$
Mutăm toți termenii în partea stângă: $\displaystyle 6x+5-2x-3\le 0$ , adică $\displaystyle 4x+2\le 0$ .
$\displaystyle 2(3x+1)+3\le 2x+3\Leftrightarrow 4x+2\le 0$
Scădem $\displaystyle 2$ din ambii membri și obținem $\displaystyle 4x\le -2$ . Împărțim cu $\displaystyle 4$ , care este pozitiv, deci sensul inegalității rămâne același: $\displaystyle x\le -\dfrac{1}{2}$ .
$\displaystyle x\le -\frac{1}{2}$
Mulțimea valorilor lui $\displaystyle x$ este intervalul $\displaystyle \left(-\infty,-\dfrac{1}{2}\right]$ .
$\displaystyle x\le -\frac{1}{2}\text{, deci }x\in\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right]$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația

\displaystyle x=\sqrt{3x-2}

.

Vezi rezolvarea

Radicalul este mereu pozitiv sau nul, deci trebuie ca $\displaystyle x\geq 0$ , iar sub radical $\displaystyle 3x-2\geq 0$ , adică $\displaystyle x\geq \dfrac{2}{3}$ . Reținem condiția pentru verificarea finală.
$\displaystyle x\geq \dfrac{2}{3}$
Ridicăm ecuația la pătrat: $\displaystyle x^{2}=3x-2$ .
$\displaystyle x^{2}=3x-2$
Mutăm toți termenii în stânga și obținem ecuația de gradul al doilea $\displaystyle x^{2}-3x+2=0$ .
$\displaystyle x^{2}-3x+2=0$
Calculăm discriminantul: $\displaystyle \Delta=9-8=1$ . Soluțiile sunt $\displaystyle x=\dfrac{3\pm 1}{2}$ , deci $\displaystyle x=1$ sau $\displaystyle x=2$ .
$\displaystyle x=1\text{ sau }x=2$
Verificăm soluțiile în ecuația inițială. Pentru $\displaystyle x=1$ : $\displaystyle \sqrt{3\cdot 1-2}=\sqrt{1}=1$ . Pentru $\displaystyle x=2$ : $\displaystyle \sqrt{3\cdot 2-2}=\sqrt{4}=2$ . Ambele respectă condiția $\displaystyle x\geq \dfrac{2}{3}$ , deci convin.
$\displaystyle x=1\text{ sau }x=2\text{, care convin}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte

După o ieftinire cu

\displaystyle 20\%

prețul unui obiect este

\displaystyle 28

de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.

Vezi rezolvarea

Notăm cu $\displaystyle p$ prețul obiectului înainte de ieftinire, în lei. Ieftinirea cu $\displaystyle 20\%$ înseamnă că se scade din $\displaystyle p$ valoarea $\displaystyle \dfrac{20}{100}\cdot p$ .
$\displaystyle p-\frac{20}{100}\cdot p=28$
Simplificăm fracția $\displaystyle \dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5}$ , deci ecuația devine $\displaystyle p-\dfrac{p}{5}=28$ . Dăm factor comun pe $\displaystyle p$ .
$\displaystyle p\left(1-\frac{1}{5}\right)=28$
Calculăm paranteza: $\displaystyle 1-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$ . Ecuația devine $\displaystyle \dfrac{4}{5}\cdot p=28$ .
$\displaystyle \frac{4}{5}\cdot p=28$
Înmulțim ambii membri cu $\displaystyle \dfrac{5}{4}$ și obținem $\displaystyle p=28\cdot\dfrac{5}{4}=35$ . Verificare: $\displaystyle 20\%$ din $\displaystyle 35$ este $\displaystyle 7$ , iar $\displaystyle 35-7=28$ .
$\displaystyle p=35\text{ de lei}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte

În reperul cartezian

\displaystyle xOy

se consideră punctul

\displaystyle A(3,4)

și dreapta

\displaystyle d

de ecuație

\displaystyle y=2x-1

. Determinați ecuația dreptei care trece prin punctul

\displaystyle A

și este paralelă cu dreapta

\displaystyle d

.

Vezi rezolvarea

Identificăm panta dreptei $\displaystyle d$ din ecuația ei redusă $\displaystyle y=mx+n$ . Coeficientul lui $\displaystyle x$ este $\displaystyle 2$ , deci panta dreptei $\displaystyle d$ este $\displaystyle m_d=2$ .
$\displaystyle m_d=2$
Dreptele paralele au aceeași pantă, deci dreapta căutată are panta $\displaystyle m=m_d=2$ .
$\displaystyle m=2$
Scriem ecuația dreptei care trece prin $\displaystyle A(3,4)$ și are panta $\displaystyle 2$ , cu formula $\displaystyle y-y_A=m(x-x_A)$ . Înlocuind, obținem $\displaystyle y-4=2(x-3)$ .
$\displaystyle y-4=2(x-3)$
Desfacem parantezele și aducem ecuația la forma redusă: $\displaystyle y=2x-6+4$ , adică $\displaystyle y=2x-2$ . Verificare: pentru $\displaystyle x=3$ se obține $\displaystyle y=2\cdot 3-2=4$ , deci punctul $\displaystyle A$ se află pe dreaptă.
$\displaystyle y=2x-2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte

Calculați aria triunghiului isoscel

\displaystyle ABC

, știind că

\displaystyle m(\angle A)=90^\circ

și

\displaystyle BC=8

.

Vezi rezolvarea

Triunghiul $\displaystyle ABC$ este isoscel cu unghiul drept în $\displaystyle A$ , deci ipotenuza este $\displaystyle BC$ , iar $\displaystyle AB=AC$ . Ducem înălțimea $\displaystyle AD$ , cu $\displaystyle D\in BC$ .
$\displaystyle AB=AC$ , $\displaystyle \ BC=8\text{ ipotenuză}$
Într-un triunghi isoscel, înălțimea din vârf este și mediană, deci $\displaystyle D$ este mijlocul lui $\displaystyle BC$ . În triunghiul dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză, deci $\displaystyle AD=\dfrac{BC}{2}$ .
$\displaystyle AD=\frac{BC}{2}=\frac{8}{2}=4$
Aplicăm formula ariei: $\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{BC\cdot AD}{2}$ , cu baza $\displaystyle BC=8$ și înălțimea $\displaystyle AD=4$ .
$\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{4\cdot 8}{2}=16$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=6^x\cdot 6^y

.

Arătați că

\displaystyle (-2020)*2020=1

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm definiția legii $\displaystyle x*y=6^x\cdot 6^y$ pentru $\displaystyle x=-2020$ și $\displaystyle y=2020$ .
$\displaystyle (-2020)*2020=6^{-2020}\cdot 6^{2020}$
Folosim regula $\displaystyle a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ : baza $\displaystyle 6$ se păstrează, iar exponenții se adună.
$\displaystyle 6^{-2020}\cdot 6^{2020}=6^{-2020+2020}$
Exponenții sunt opuși, deci $\displaystyle -2020+2020=0$ . Cum orice număr nenul la puterea $\displaystyle 0$ este $\displaystyle 1$ , obținem egalitatea cerută.
$\displaystyle 6^{0}=1\text{, deci }(-2020)*2020=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=6^x\cdot 6^y

.

Demonstrați că legea de compoziție „

\displaystyle *

” este comutativă.

Vezi rezolvarea

Comutativitatea înseamnă că $\displaystyle x*y=y*x$ pentru orice $\displaystyle x,y\in\mathbb{R}$ . Fixăm două numere reale oarecare $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ și scriem definiția legii: $\displaystyle x*y=6^x\cdot 6^y$ .
$\displaystyle x*y=6^x\cdot 6^y$
Numerele $\displaystyle 6^x$ și $\displaystyle 6^y$ sunt numere reale, iar înmulțirea numerelor reale este comutativă, deci putem schimba ordinea factorilor: $\displaystyle 6^x\cdot 6^y=6^y\cdot 6^x$ .
$\displaystyle x*y=6^x\cdot 6^y=6^y\cdot 6^x$
Expresia $\displaystyle 6^y\cdot 6^x$ este, conform definiției legii (cu rolurile lui $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ inversate), chiar $\displaystyle y*x$ . Rezultă că $\displaystyle x*y=y*x$ pentru orice numere reale $\displaystyle x$ și $\displaystyle y$ , deci legea „ $\displaystyle *$ ” este comutativă.
$\displaystyle x*y=y*x\text{, pentru orice numere }$ $\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y\text{, deci legea de }$ $\displaystyle \text{compoziție }*\text{ este comutativă}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=6^x\cdot 6^y

.

Verificați dacă

\displaystyle x*(-x)=1

, pentru orice număr real

\displaystyle x

.

Vezi rezolvarea

Legea de compoziție este $\displaystyle x*y=6^x\cdot 6^y$ , pentru orice $\displaystyle x,y\in\mathbb{R}$ .
$\displaystyle x*y=6^x\cdot 6^y$
Înlocuim $\displaystyle y$ cu $\displaystyle -x$ și obținem $\displaystyle x*(-x)=6^x\cdot 6^{-x}$ .
$\displaystyle x*(-x)=6^x\cdot 6^{-x}$
La înmulțirea puterilor cu aceeași bază exponenții se adună: $\displaystyle a^m\cdot a^n=a^{m+n}$ . Deci $\displaystyle 6^x\cdot 6^{-x}=6^{x+(-x)}$ .
$\displaystyle x*(-x)=6^x\cdot 6^{-x}=6^{x+(-x)}$
Exponentul este $\displaystyle x+(-x)=0$ , iar $\displaystyle 6^0=1$ . Rezultatul nu depinde de $\displaystyle x$ , deci egalitatea $\displaystyle x*(-x)=1$ este adevărată pentru orice număr real $\displaystyle x$ .
$\displaystyle 6^0=1\text{, pentru orice număr real }x$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=6^x\cdot 6^y

.

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle x*x=36

.

Vezi rezolvarea

Scriem condiția $\displaystyle x*x=36$ folosind definiția legii de compoziție $\displaystyle x*y=6^x\cdot 6^y$ : în locul lui $\displaystyle y$ punem tot $\displaystyle x$ .
$\displaystyle 6^{x}\cdot 6^{x}=36$
Folosim regula de la înmulțirea puterilor cu aceeași bază: se adună exponenții, deci $\displaystyle 6^{x}\cdot 6^{x}=6^{x+x}$ . Scriem și $\displaystyle 36=6^{2}$ .
$\displaystyle 6^{x+x}=6^{2}$
Funcția exponențială de bază $\displaystyle 6$ este injectivă, deci putem egala exponenții: $\displaystyle x+x=2$ , adică $\displaystyle 2x=2$ .
$\displaystyle 2x=2$
Împărțim ecuația la $\displaystyle 2$ și obținem soluția: $\displaystyle x=1$ .
$\displaystyle x=1$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=6^x\cdot 6^y

.

Determinați numărul real

\displaystyle x

pentru care

\displaystyle (x-6)*(6-x)=6^x

.

Vezi rezolvarea

Aplicăm definiția legii de compoziție: $\displaystyle a*b=6^a\cdot 6^b$ . Aici $\displaystyle a=x-6$ și $\displaystyle b=6-x$ , deci $\displaystyle (x-6)*(6-x)=6^{x-6}\cdot 6^{6-x}$ .
$\displaystyle (x-6)*(6-x)=6^{x-6}\cdot 6^{6-x}$
Folosim regula $\displaystyle 6^m\cdot 6^n=6^{m+n}$ . Suma exponenților este $\displaystyle (x-6)+(6-x)=0$ , deci produsul este $\displaystyle 6^0$ .
$\displaystyle 6^{(x-6)+(6-x)}=6^0$
Înlocuim în ecuația $\displaystyle (x-6)*(6-x)=6^x$ și obținem ecuația exponențială $\displaystyle 6^0=6^x$ .
$\displaystyle 6^{(x-6)+(6-x)}=6^x\Leftrightarrow 6^0=6^x$
Funcția $\displaystyle t\mapsto 6^t$ este injectivă, deci din $\displaystyle 6^0=6^x$ rezultă că exponenții sunt egali: $\displaystyle x=0$ .
$\displaystyle x=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție

\displaystyle x*y=6^x\cdot 6^y

. Dați exemplu de numere iraționale

\displaystyle p

și

\displaystyle q

pentru care numărul

\displaystyle p*q

este rațional.

Vezi rezolvarea

Scriem legea de compoziție pentru $\displaystyle p$ și $\displaystyle q$ și folosim regula de la produsul puterilor cu aceeași bază: exponenții se adună. Avem $\displaystyle p*q=6^p\cdot 6^q=6^{p+q}$ .
$\displaystyle p*q=6^p\cdot 6^q=6^{p+q}$
Numărul $\displaystyle 6^{p+q}$ este rațional dacă $\displaystyle p+q=0$ , pentru că atunci $\displaystyle 6^{0}=1$ . Deci alegem $\displaystyle q=-p$ , cu $\displaystyle p$ irațional. Opusul unui număr irațional este tot irațional.
$\displaystyle q=-p$ , $\displaystyle \quad p+q=0$
Alegem $\displaystyle p=\sqrt{2}$ , număr irațional, și $\displaystyle q=-\sqrt{2}$ , tot irațional. Atunci $\displaystyle p*q=6^{\sqrt{2}-\sqrt{2}}=6^0=1$ , care este număr rațional.
$\displaystyle p=\sqrt{2}\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\text{ și }q=-\sqrt{2}\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}\text{, avem }p*q=6^{\sqrt{2}-\sqrt{2}}=6^0=1\in\mathbb{Q}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-1\\1&2\end{pmatrix}

,

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle M(a)=aA+I_2

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Arătați că

\displaystyle \det A=5

.

Vezi rezolvarea

Avem $\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-1\\1&2\end{pmatrix}$ . Pentru o matrice de ordin 2, determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: $\displaystyle \begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$ .
$\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}2&-1\\1&2\end{vmatrix}$
Înlocuim în formulă: pe diagonala principală avem $\displaystyle 2$ și $\displaystyle 2$ , iar pe cea secundară avem $\displaystyle -1$ și $\displaystyle 1$ .
$\displaystyle \det A=2\cdot 2-1\cdot(-1)$
Calculăm produsele: $\displaystyle 2\cdot 2=4$ , iar $\displaystyle 1\cdot(-1)=-1$ . Deci scăderea lui $\displaystyle -1$ revine la adunarea lui $\displaystyle 1$ , adică $\displaystyle 4+1=5$ .
$\displaystyle \det A=4+1=5$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-1\\1&2\end{pmatrix}

,

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle M(a)=aA+I_2

, unde

\displaystyle a

este număr real. Arătați că

\displaystyle A\cdot A-4A+5I_2=O_2

, unde

\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}

.

Vezi rezolvarea

Calculăm produsul $\displaystyle A\cdot A$ înmulțind linie cu coloană. Elementul de pe poziția (1,1) este $\displaystyle 2\cdot 2+(-1)\cdot 1=3$ , cel de pe (1,2) este $\displaystyle 2\cdot(-1)+(-1)\cdot 2=-4$ , cel de pe (2,1) este $\displaystyle 1\cdot 2+2\cdot 1=4$ , iar cel de pe (2,2) este $\displaystyle 1\cdot(-1)+2\cdot 2=3$ .
$\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}3&-4\\4&3\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle 4A$ înmulțind fiecare element al matricei $\displaystyle A$ cu $\displaystyle 4$ .
$\displaystyle 4A=\begin{pmatrix}8&-4\\4&8\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle 5I_2$ înmulțind fiecare element al matricei unitate cu $\displaystyle 5$ . Astfel avem toate cele trei matrice necesare.
$\displaystyle 5I_2=\begin{pmatrix}5&0\\0&5\end{pmatrix}$
Efectuăm operațiile element cu element: din $\displaystyle A\cdot A$ scădem $\displaystyle 4A$ și adunăm $\displaystyle 5I_2$ . Pe diagonală obținem $\displaystyle 3-8+5=0$ , iar în afara diagonalei $\displaystyle -4+4+0=0$ și $\displaystyle 4-4+0=0$ .
$\displaystyle A\cdot A-4A+5I_2=\begin{pmatrix}3-8+5&-4+4+0\\4-4+0&3-8+5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-1\\1&2\end{pmatrix}

,

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle M(a)=aA+I_2

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Calculați

\displaystyle M(1)\cdot M(-1)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm $\displaystyle M(1)$ înlocuind $\displaystyle a=1$ : $\displaystyle M(1)=A+I_2=\begin{pmatrix}2&-1\\1&2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ , adică adunăm element cu element.
$\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}3&-1\\1&3\end{pmatrix}$
Calculăm $\displaystyle M(-1)$ înlocuind $\displaystyle a=-1$ : $\displaystyle M(-1)=-A+I_2=\begin{pmatrix}-2&1\\-1&-2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ . Obținem astfel ambele matrice cerute.
$\displaystyle M(1)=\begin{pmatrix}3&-1\\1&3\end{pmatrix}$ , $\displaystyle \ M(-1)=\begin{pmatrix}-1&1\\-1&-1\end{pmatrix}$
Scriem produsul $\displaystyle M(1)\cdot M(-1)=\begin{pmatrix}3&-1\\1&3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-1&1\\-1&-1\end{pmatrix}$ și calculăm fiecare element: pe linia întâi $\displaystyle 3\cdot(-1)+(-1)\cdot(-1)=-2$ și $\displaystyle 3\cdot 1+(-1)\cdot(-1)=4$ , iar pe linia a doua $\displaystyle 1\cdot(-1)+3\cdot(-1)=-4$ și $\displaystyle 1\cdot 1+3\cdot(-1)=-2$ .
$\displaystyle \begin{pmatrix}3\cdot(-1)+(-1)\cdot(-1)&3\cdot 1+(-1)\cdot(-1)\\1\cdot(-1)+3\cdot(-1)&1\cdot 1+3\cdot(-1)\end{pmatrix}$
Adunăm termenii din fiecare element și obținem matricea produs $\displaystyle M(1)\cdot M(-1)$ , care este răspunsul final.
$\displaystyle M(1)\cdot M(-1)=\begin{pmatrix}-2&4\\-4&-2\end{pmatrix}$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-1\\1&2\end{pmatrix}

,

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle M(a)=aA+I_2

, unde

\displaystyle a

este număr real. Arătați că

\displaystyle M(a-1)+M(a+1)=2M(a)

, pentru orice număr real

\displaystyle a

.

Vezi rezolvarea

Folosim definiția lui $\displaystyle M$ : pentru orice număr real $\displaystyle t$ avem $\displaystyle M(t)=tA+I_2$ . Aplicăm definiția pentru $\displaystyle t=a-1$ și pentru $\displaystyle t=a+1$ ; pentru $\displaystyle t=a-1$ rezultă $\displaystyle M(a-1)=(a-1)A+I_2$ , iar pentru $\displaystyle t=a+1$ rezultă $\displaystyle M(a+1)=(a+1)A+I_2$ .
$\displaystyle M(a-1)=(a-1)A+I_2$
Adunăm cele două matrice scrise cu definiția lui $\displaystyle M$ .
$\displaystyle M(a-1)+M(a+1)=(a-1)A+I_2+(a+1)A+I_2$
Grupăm termenii care conțin $\displaystyle A$ și termenii care conțin $\displaystyle I_2$ , apoi dăm factor comun $\displaystyle A$ : $\displaystyle (a-1)A+(a+1)A=\left((a-1)+(a+1)\right)A=2aA$ .
$\displaystyle (a-1)A+(a+1)A+I_2+I_2=2aA+2I_2$
Dăm factor comun $\displaystyle 2$ și recunoaștem definiția lui $\displaystyle M(a)$ . Egalitatea este adevărată pentru orice număr real $\displaystyle a$ .
$\displaystyle 2aA+2I_2=2(aA+I_2)=2M(a)\text{, pentru orice număr real }a$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-1\\1&2\end{pmatrix}

,

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle M(a)=aA+I_2

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Determinați numărul real

\displaystyle a

pentru care

\displaystyle M(a)\cdot M(a)=M(0)

.

Vezi rezolvarea

Calculăm pătratul matricei $\displaystyle A$ , adică $\displaystyle A\cdot A$ , folosind înmulțirea linie cu coloană.
$\displaystyle A^2=\begin{pmatrix}2&-1\\1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&-1\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-4\\4&3\end{pmatrix}$
Dezvoltăm produsul $\displaystyle M(a)\cdot M(a)=(aA+I_2)(aA+I_2)$ . Matricele $\displaystyle A$ și $\displaystyle I_2$ comută, deci obținem $\displaystyle a^2A^2+2aA+I_2$ . Înlocuim $\displaystyle A^2$ și $\displaystyle A$ și adunăm element cu element.
$\displaystyle M(a)\cdot M(a)=a^2A^2+2aA+I_2=\begin{pmatrix}3a^2+4a+1&-4a^2-2a\\4a^2+2a&3a^2+4a+1\end{pmatrix}$
Pentru $\displaystyle a=0$ avem $\displaystyle M(0)=0\cdot A+I_2=I_2$ . Egalăm matricea obținută cu matricea unitate.
$\displaystyle \begin{pmatrix}3a^2+4a+1&-4a^2-2a\\4a^2+2a&3a^2+4a+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$
Comparăm elementele de pe diagonală: $\displaystyle 3a^2+4a+1=1$ , deci $\displaystyle 3a^2+4a=0$ . Dăm factor comun $\displaystyle a$ .
$\displaystyle a(3a+4)=0\Rightarrow a=0\text{ sau }a=-\dfrac{4}{3}$
Comparăm elementele din afara diagonalei: $\displaystyle 4a^2+2a=0$ . Dăm factor comun $\displaystyle 2a$ .
$\displaystyle 2a(2a+1)=0\Rightarrow a=0\text{ sau }a=-\dfrac{1}{2}$
Toate egalitățile trebuie să fie adevărate simultan, deci alegem valoarea comună celor două ecuații. Aceasta este $\displaystyle a=0$ , iar pentru ea matricea obținută este chiar $\displaystyle I_2$ .
$\displaystyle a=0$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte

Se consideră matricele

\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&-1\\1&2\end{pmatrix}

,

\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

și

\displaystyle M(a)=aA+I_2

, unde

\displaystyle a

este număr real.

Demonstrați că

\displaystyle \det(M(a))>0

, pentru orice număr real

\displaystyle a

.

Vezi rezolvarea

Calculăm matricea $\displaystyle aA$ , înmulțind fiecare element al lui $\displaystyle A$ cu $\displaystyle a$ .
$\displaystyle aA=\begin{pmatrix}2a&-a\\a&2a\end{pmatrix}$
Adunăm matricea unitate $\displaystyle I_2$ și obținem matricea $\displaystyle M(a)$ : se adaugă $\displaystyle 1$ pe diagonala principală.
$\displaystyle M(a)=\begin{pmatrix}2a+1&-a\\a&2a+1\end{pmatrix}$
Calculăm determinantul: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică $\displaystyle \det(M(a))=(2a+1)(2a+1)-(-a)\cdot a$ .
$\displaystyle \det(M(a))=\begin{vmatrix}2a+1&-a\\a&2a+1\end{vmatrix}=(2a+1)^2+a^2\text{, pentru orice număr real }a$
Un pătrat al unui număr real este mereu mai mare sau egal cu zero: $\displaystyle (2a+1)^2\ge 0$ și $\displaystyle a^2\ge 0$ . Egalitatea cu zero a sumei ar cere ca ambii termeni să fie zero simultan.
$\displaystyle (2a+1)^2\ge 0\text{ și }a^2\ge 0$
Cei doi termeni nu pot fi zero în același timp: $\displaystyle a^2=0$ doar pentru $\displaystyle a=0$ , dar atunci $\displaystyle (2a+1)^2=1\neq 0$ . Prin urmare suma este strict pozitivă pentru orice $\displaystyle a$ real.
$\displaystyle (2a+1)^2+a^2>0\text{, deci }\det(M(a))>0\text{, pentru orice număr real }a$

Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Bac matematică M4 pedagogic 2020, model, test de evaluare 18: subiecte rezolvate pas cu pas

Subiectul I.1

Subiectul I.2

Subiectul I.3

Subiectul I.4

Subiectul I.5

Subiectul I.6

Subiectul II.1.1)

Subiectul II.1.2)

Subiectul II.1.3)

Subiectul II.1.4)

Subiectul II.1.5)

Subiectul II.1.6)

Subiectul III.1.1)

Subiectul III.1.2)

Subiectul III.1.3)

Subiectul III.1.4)

Subiectul III.1.5)

Subiectul III.1.6)

Aceeași sesiune, alți ani