Bac matematică M4 pedagogic 2021, model, test de evaluare 5: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 22−3−3(3+2)=1\displaystyle \frac{2}{2-\sqrt{3}}-\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+2\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Raționalizăm numitorul fracției: amplificăm cu conjugatul lui 2−3\displaystyle 2-\sqrt{3}, adică cu 2+3\displaystyle 2+\sqrt{3}.
    22−3=2(2+3)(2−3)(2+3)\displaystyle \frac{2}{2-\sqrt{3}}=\frac{2\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}
  2. La numitor folosim formula (a−b)(a+b)=a2−b2\displaystyle (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}: obținem 22−(3)2=4−3\displaystyle 2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}=4-3.
    2(2+3)4−3\displaystyle \frac{2\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}
  3. Desfacem parantezele din al doilea termen: 3⋅3=3\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3, iar 3⋅2=23\displaystyle \sqrt{3}\cdot 2=2\sqrt{3}. Expresia devine:
    2(2+3)4−3−3⋅3−23\displaystyle \frac{2\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}-2\sqrt{3}
  4. Calculăm 4−3=1\displaystyle 4-3=1 și desfacem paranteza de la numărător: 2(2+3)=4+23\displaystyle 2\left(2+\sqrt{3}\right)=4+2\sqrt{3}. Înlocuim 3⋅3=3\displaystyle \sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3.
    4+23−3−23\displaystyle 4+2\sqrt{3}-3-2\sqrt{3}
  5. Reducem termenii: 23−23=0\displaystyle 2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0, iar 4−3=1\displaystyle 4-3=1. Deci egalitatea este adevărată.
    4+23−3−23=1\displaystyle 4+2\sqrt{3}-3-2\sqrt{3}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−6\displaystyle f(x)=2x-6. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că f(a)+f(2a)=f(9)\displaystyle f(a)+f(2a)=f(9).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu a\displaystyle a în f(x)=2x−6\displaystyle f(x)=2x-6 și obținem f(a)=2a−6\displaystyle f(a)=2a-6.
    f(a)=2a−6\displaystyle f(a)=2a-6
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 2a\displaystyle 2a: f(2a)=2⋅2a−6=4a−6\displaystyle f(2a)=2\cdot 2a-6=4a-6.
    f(2a)=4a−6\displaystyle f(2a)=4a-6
  3. Înlocuim x\displaystyle x cu 9\displaystyle 9: f(9)=2⋅9−6=18−6=12\displaystyle f(9)=2\cdot 9-6=18-6=12.
    f(a)=2a−6\displaystyle f(a)=2a-6, f(2a)=4a−6\displaystyle \ f(2a)=4a-6, f(9)=12\displaystyle \ f(9)=12
  4. Relația f(a)+f(2a)=f(9)\displaystyle f(a)+f(2a)=f(9) devine (2a−6)+(4a−6)=12\displaystyle (2a-6)+(4a-6)=12, adică 6a−12=12\displaystyle 6a-12=12.
    6a−12=12\displaystyle 6a-12=12
  5. Din 6a−12=12\displaystyle 6a-12=12 obținem 6a=24\displaystyle 6a=24, deci a=246=4\displaystyle a=\dfrac{24}{6}=4.
    6a−12=12⇔a=4\displaystyle 6a-12=12\Leftrightarrow a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația x+3x=2x\displaystyle x+\sqrt{3x}=2x.
Vezi rezolvarea
  1. Radicalul există doar dacă 3x≥0\displaystyle 3x\ge 0, deci x≥0\displaystyle x\ge 0.
    x≥0\displaystyle x\ge 0
  2. Izolăm radicalul: 3x=2x−x\displaystyle \sqrt{3x}=2x-x, adică 3x=x\displaystyle \sqrt{3x}=x.
    3x=x\displaystyle \sqrt{3x}=x
  3. Ambii membri sunt nenegativi, deci ridicăm la pătrat: (3x)2=x2\displaystyle \left(\sqrt{3x}\right)^{2}=x^{2}, adică 3x=x2\displaystyle 3x=x^{2}.
    3x=x2\displaystyle 3x=x^{2}
  4. Mutăm totul în același membru și dăm factor comun: x2−3x=0\displaystyle x^{2}-3x=0, deci x(x−3)=0\displaystyle x(x-3)=0.
    x(x−3)=0\displaystyle x(x-3)=0
  5. Din produsul nul rezultă x=0\displaystyle x=0 sau x=3\displaystyle x=3. Verificăm: pentru x=0\displaystyle x=0 avem 0+0=0\displaystyle 0+0=0, iar pentru x=3\displaystyle x=3 avem 3+9=6=2⋅3\displaystyle 3+\sqrt{9}=6=2\cdot 3. Ambele soluții verifică ecuația și respectă x≥0\displaystyle x\ge 0.
    x=0 sau x=3, care convin\displaystyle x=0\text{ sau }x=3\text{, care convin}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale impare de trei cifre se pot forma cu cifre din mulțimea {1,2,3,4,5}\displaystyle \{1,2,3,4,5\}.
Vezi rezolvarea
  1. Numărul trebuie să fie impar, deci ultima cifră (cifra unităților) trebuie să fie impară. Din mulțimea {1,2,3,4,5}\displaystyle \{1,2,3,4,5\}, cifrele impare sunt 1\displaystyle 1, 3\displaystyle 3 și 5\displaystyle 5, deci avem 3\displaystyle 3 alegeri pentru cifra unităților.
    3\displaystyle 3
  2. Cifrele pot fi repetate, deoarece enunțul nu cere cifre distincte. Cifra zecilor poate fi oricare dintre cele 5\displaystyle 5 cifre ale mulțimii, deci are 5\displaystyle 5 alegeri. La fel, cifra sutelor are 5\displaystyle 5 alegeri, iar 0\displaystyle 0 nu face parte din mulțime, deci nu apar probleme cu prima cifră.
    5 alegeri pentru zeci și 5 alegeri pentru sute\displaystyle 5\text{ alegeri pentru zeci și }5\text{ alegeri pentru sute}
  3. Aplicăm regula produsului: înmulțim numărul de alegeri pentru cele trei cifre. Obținem 3⋅5⋅5=75\displaystyle 3\cdot 5\cdot 5=75 de numere.
    3⋅5⋅5=75\displaystyle 3\cdot 5\cdot 5=75
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(1,−3)\displaystyle A(1,-3), B(5,1)\displaystyle B(5,1) și dreapta d\displaystyle d de ecuație x−2y+a=0\displaystyle x-2y+a=0, unde a\displaystyle a este număr real. Determinați numărul real a\displaystyle a, știind că mijlocul segmentului AB\displaystyle AB este situat pe dreapta d\displaystyle d.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem formulele pentru coordonatele mijlocului M\displaystyle M al segmentului AB\displaystyle AB: xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2} și yM=yA+yB2\displaystyle y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2},yM=yA+yB2\displaystyle \quad y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
  2. Înlocuim coordonatele punctelor A(1,−3)\displaystyle A(1,-3) și B(5,1)\displaystyle B(5,1): xM=1+52=3\displaystyle x_M=\dfrac{1+5}{2}=3 și yM=−3+12=−1\displaystyle y_M=\dfrac{-3+1}{2}=-1. Deci mijlocul este M(3,−1)\displaystyle M(3,-1).
    M(3,−1)\displaystyle M(3,-1)
  3. Punctul M\displaystyle M se află pe dreapta d\displaystyle d, deci coordonatele lui verifică ecuația x−2y+a=0\displaystyle x-2y+a=0. Înlocuim x=3\displaystyle x=3 și y=−1\displaystyle y=-1: 3−2⋅(−1)+a=0\displaystyle 3-2\cdot(-1)+a=0.
    3−2⋅(−1)+a=0\displaystyle 3-2\cdot(-1)+a=0
  4. Calculăm: 3+2+a=0\displaystyle 3+2+a=0, adică 5+a=0\displaystyle 5+a=0, de unde obținem a=−5\displaystyle a=-5.
    a=−5\displaystyle a=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Se consideră triunghiul ABC\displaystyle ABC, dreptunghic în A\displaystyle A, cu BC=20\displaystyle BC=20 și sin⁡B=45\displaystyle \sin B=\frac{4}{5}. Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul este dreptunghic în A\displaystyle A, deci BC\displaystyle BC este ipotenuza, iar AC\displaystyle AC este cateta opusă unghiului B\displaystyle B. Scriem sinusul lui B\displaystyle B ca raport dintre cateta opusă și ipotenuză: sin⁡B=ACBC\displaystyle \sin B=\dfrac{AC}{BC}.
    sin⁡B=ACBC\displaystyle \sin B=\frac{AC}{BC}
  2. Înlocuim valorile cunoscute: 45=AC20\displaystyle \dfrac{4}{5}=\dfrac{AC}{20}, deci AC=4⋅205\displaystyle AC=\dfrac{4\cdot 20}{5}.
    AC=4⋅205=16\displaystyle AC=\frac{4\cdot 20}{5}=16
  3. Aflăm cealaltă catetă folosind teorema lui Pitagora: AB2=BC2−AC2=202−162=400−256=144\displaystyle AB^{2}=BC^{2}-AC^{2}=20^{2}-16^{2}=400-256=144, deci AB=12\displaystyle AB=12.
    AB=400−256=144=12\displaystyle AB=\sqrt{400-256}=\sqrt{144}=12
  4. Aria unui triunghi dreptunghic este jumătate din produsul catetelor: A=AB⋅AC2=12⋅162=1922\displaystyle \mathcal{A}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{12\cdot 16}{2}=\dfrac{192}{2}.
    A=AB⋅AC2=16⋅122=96\displaystyle \mathcal{A}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{16\cdot 12}{2}=96
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=5xy−5x−5y+6\displaystyle x\circ y=5xy-5x-5y+6.

Arătați că 1∘5=1\displaystyle 1\circ 5=1.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție pentru x=1\displaystyle x=1 și y=5\displaystyle y=5, adică înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 și y\displaystyle y cu 5\displaystyle 5 în expresia 5xy−5x−5y+6\displaystyle 5xy-5x-5y+6.
    1∘5=5⋅1⋅5−5⋅1−5⋅5+6\displaystyle 1\circ 5=5\cdot 1\cdot 5-5\cdot 1-5\cdot 5+6
  2. Efectuăm înmulțirile din fiecare termen: 5⋅1⋅5=25\displaystyle 5\cdot 1\cdot 5=25, 5⋅1=5\displaystyle 5\cdot 1=5, iar 5⋅5=25\displaystyle 5\cdot 5=25.
    1∘5=25−5−25+6\displaystyle 1\circ 5=25-5-25+6
  3. Efectuăm adunările și scăderile: 25−5=20\displaystyle 25-5=20, 20−25=−5\displaystyle 20-25=-5, iar −5+6=1\displaystyle -5+6=1. Deci 1∘5=1\displaystyle 1\circ 5=1, ceea ce trebuia arătat.
    25−5−25+6=1\displaystyle 25-5-25+6=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=5xy−5x−5y+6\displaystyle x\circ y=5xy-5x-5y+6.

Arătați că x∘y=5(x−1)(y−1)+1\displaystyle x\circ y=5(x-1)(y-1)+1, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția x∘y=5xy−5x−5y+6\displaystyle x\circ y=5xy-5x-5y+6 și scriem 6=5+1\displaystyle 6=5+1, pentru a pregăti gruparea termenilor.
    x∘y=5xy−5x−5y+5+1\displaystyle x\circ y=5xy-5x-5y+5+1
  2. Grupăm 5xy−5x=5x(y−1)\displaystyle 5xy-5x=5x(y-1) și −5y+5=−5(y−1)\displaystyle -5y+5=-5(y-1). Termenul +1\displaystyle +1 rămâne neschimbat. Apare factorul y−1\displaystyle y-1 în ambele grupe.
    x∘y=5x(y−1)−5(y−1)+1\displaystyle x\circ y=5x(y-1)-5(y-1)+1
  3. Dăm factor comun pe y−1\displaystyle y-1 și obținem (y−1)(5x−5)+1\displaystyle (y-1)(5x-5)+1.
    (y−1)(5x−5)+1\displaystyle (y-1)(5x-5)+1
  4. Scriem 5x−5=5(x−1)\displaystyle 5x-5=5(x-1), deci obținem forma cerută, valabilă pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    x∘y=5(x−1)(y−1)+1\displaystyle x\circ y=5(x-1)(y-1)+1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=5xy−5x−5y+6\displaystyle x\circ y=5xy-5x-5y+6.

Arătați că e=65\displaystyle e=\frac{6}{5} este elementul neutru al legii „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul e\displaystyle e este neutru dacă x∘e=e∘x=x\displaystyle x\circ e=e\circ x=x pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R}. Verificăm mai întâi egalitatea x∘e=x\displaystyle x\circ e=x, pentru e=65\displaystyle e=\dfrac{6}{5}, înlocuind în definiția legii.
    x∘65=5x⋅65−5x−5⋅65+6\displaystyle x\circ\frac{6}{5}=5x\cdot\frac{6}{5}-5x-5\cdot\frac{6}{5}+6
  2. Efectuăm calculele: 5⋅65=6\displaystyle 5\cdot\dfrac{6}{5}=6, deci obținem 6x−5x−6+6\displaystyle 6x-5x-6+6, adică x\displaystyle x.
    x∘65=6x−5x−6+6=x\displaystyle x\circ\frac{6}{5}=6x-5x-6+6=x
  3. Verificăm acum și egalitatea e∘x=x\displaystyle e\circ x=x, înlocuind pe e\displaystyle e cu 65\displaystyle \dfrac{6}{5} în primul argument al legii.
    65∘x=5⋅65⋅x−5⋅65−5x+6\displaystyle \frac{6}{5}\circ x=5\cdot\frac{6}{5}\cdot x-5\cdot\frac{6}{5}-5x+6
  4. Simplificăm: 5⋅65=6\displaystyle 5\cdot\dfrac{6}{5}=6, deci rămâne 6x−6−5x+6=x\displaystyle 6x-6-5x+6=x. Cum ambele egalități sunt adevărate pentru orice x\displaystyle x real, 65\displaystyle \dfrac{6}{5} este elementul neutru.
    65∘x=6x−6−5x+6=x, deci e=65 este elementul neutru\displaystyle \frac{6}{5}\circ x=6x-6-5x+6=x\text{, deci }e=\frac{6}{5}\text{ este elementul neutru}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=5xy−5x−5y+6\displaystyle x\circ y=5xy-5x-5y+6.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care 45∘x=65\displaystyle \frac{4}{5}\circ x=\frac{6}{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în formă factorizată. Grupăm termenii: 5xy−5x−5y+6=5(xy−x−y+1)+1=5(x−1)(y−1)+1\displaystyle 5xy-5x-5y+6=5(xy-x-y+1)+1=5(x-1)(y-1)+1.
    x∘y=5(x−1)(y−1)+1\displaystyle x\circ y=5(x-1)(y-1)+1
  2. Înlocuim primul număr cu 45\displaystyle \dfrac{4}{5}. Calculăm 45−1=−15\displaystyle \dfrac{4}{5}-1=-\dfrac{1}{5}.
    45∘x=5⋅(−15)(x−1)+1\displaystyle \frac{4}{5}\circ x=5\cdot\left(-\frac{1}{5}\right)(x-1)+1
  3. Simplificăm: 5⋅(−15)=−1\displaystyle 5\cdot\left(-\dfrac{1}{5}\right)=-1, deci obținem −(x−1)+1=−x+2\displaystyle -(x-1)+1=-x+2.
    45∘x=−x+2\displaystyle \frac{4}{5}\circ x=-x+2
  4. Egalăm cu 65\displaystyle \dfrac{6}{5} și rezolvăm ecuația de gradul I: −x+2=65\displaystyle -x+2=\dfrac{6}{5}, deci x=2−65=45\displaystyle x=2-\dfrac{6}{5}=\dfrac{4}{5}.
    x=45\displaystyle x=\frac{4}{5}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=5xy−5x−5y+6\displaystyle x\circ y=5xy-5x-5y+6.

Determinați perechile (a,b)\displaystyle (a,b) de numere naturale pentru care a∘b=21\displaystyle a\circ b=21.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea în forma factorizată: 5(a−1)(b−1)=5ab−5a−5b+5\displaystyle 5(a-1)(b-1)=5ab-5a-5b+5, deci a∘b=5ab−5a−5b+6=5(a−1)(b−1)+1\displaystyle a\circ b=5ab-5a-5b+6=5(a-1)(b-1)+1.
    a∘b=5(a−1)(b−1)+1\displaystyle a\circ b=5(a-1)(b-1)+1
  2. Punem condiția a∘b=21\displaystyle a\circ b=21, adică 5(a−1)(b−1)+1=21\displaystyle 5(a-1)(b-1)+1=21. Scădem 1 și împărțim la 5.
    5(a−1)(b−1)+1=21⇔(a−1)(b−1)=4\displaystyle 5(a-1)(b-1)+1=21\Leftrightarrow (a-1)(b-1)=4
  3. Deoarece a,b∈N\displaystyle a,b\in\mathbb{N}, avem a−1≥−1\displaystyle a-1\ge -1 și b−1≥−1\displaystyle b-1\ge -1. Produsul lor este 4>0\displaystyle 4>0, deci factorii sunt ambii pozitivi sau ambii negativi. Ambii negativi nu se poate, pentru că ar trebui să fie −1\displaystyle -1 și −4\displaystyle -4 sau −2\displaystyle -2 și −2\displaystyle -2, iar valorile mai mici decât −1\displaystyle -1 nu sunt permise. Rămân factorii pozitivi, divizori ai lui 4\displaystyle 4.
    a−1\displaystyle a-1, b−1∈{1,2,4}\displaystyle \ b-1\in\{1,2,4\}
  4. Descompunem 4\displaystyle 4 ca produs de doi factori pozitivi: 4=1⋅4=2⋅2=4⋅1\displaystyle 4=1\cdot 4=2\cdot 2=4\cdot 1. Pentru fiecare caz aflăm a\displaystyle a și b\displaystyle b adunând 1\displaystyle 1 la factori.
    {a−1=1, b−1=4⇒(a,b)=(2,5)a−1=2, b−1=2⇒(a,b)=(3,3)a−1=4, b−1=1⇒(a,b)=(5,2)\displaystyle \begin{cases}a-1=1,\ b-1=4 \Rightarrow (a,b)=(2,5)\\ a-1=2,\ b-1=2 \Rightarrow (a,b)=(3,3)\\ a-1=4,\ b-1=1 \Rightarrow (a,b)=(5,2)\end{cases}
  5. Toate cele trei perechi au componente numere naturale, deci convin. Acestea sunt soluțiile problemei.
    (a,b)∈{(2,5), (3,3), (5,2)}\displaystyle (a,b)\in\{(2,5),\ (3,3),\ (5,2)\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∘y=5xy−5x−5y+6\displaystyle x\circ y=5xy-5x-5y+6.

Calculați 51∘52∘53∘…∘59\displaystyle \frac{5}{1}\circ\frac{5}{2}\circ\frac{5}{3}\circ\ldots\circ\frac{5}{9}.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că în șir apare termenul 55\displaystyle \dfrac{5}{5}, care este egal cu 1\displaystyle 1. Vom arăta că 1\displaystyle 1 este element absorbant pentru legea dată, adică 1\displaystyle 1 compus cu orice număr dă 1\displaystyle 1.
    55=1\displaystyle \dfrac{5}{5}=1
  2. Calculăm x∘1\displaystyle x\circ 1, înlocuind y=1\displaystyle y=1 în definiția legii: x∘1=5x⋅1−5x−5⋅1+6\displaystyle x\circ 1=5x\cdot 1-5x-5\cdot 1+6. Reducem termenii: 5x−5x−5+6=1\displaystyle 5x-5x-5+6=1.
    x∘1=5x−5x−5+6=1\displaystyle x\circ 1=5x-5x-5+6=1
  3. Legea este comutativă, deoarece expresia 5xy−5x−5y+6\displaystyle 5xy-5x-5y+6 este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y. Deci și 1∘y=1\displaystyle 1\circ y=1, pentru orice y\displaystyle y real.
    x∘1=1 și 1∘y=1, pentru orice x\displaystyle x\circ 1=1\text{ și }1\circ y=1\text{, pentru orice }x,y∈R\displaystyle y\in\mathbb{R}
  4. Legea fiind asociativă, putem grupa termenii cum dorim. Grupăm primii patru termeni, apoi îi compunem cu 1=55\displaystyle 1=\dfrac{5}{5} și cu restul șirului.
    (51∘52∘53∘54)∘1∘56∘…∘59\displaystyle \left(\frac{5}{1}\circ\frac{5}{2}\circ\frac{5}{3}\circ\frac{5}{4}\right)\circ 1\circ\frac{5}{6}\circ\ldots\circ\frac{5}{9}
  5. Paranteza din stânga, compusă cu 1\displaystyle 1, dă 1\displaystyle 1, deoarece x∘1=1\displaystyle x\circ 1=1 pentru orice x\displaystyle x. Rămâne 1\displaystyle 1 compus cu restul șirului, iar 1∘y=1\displaystyle 1\circ y=1 pentru orice y\displaystyle y, deci rezultatul este 1\displaystyle 1.
    (51∘52∘53∘54)∘1∘56∘…∘59=1∘(56∘…∘59)=1\displaystyle \left(\frac{5}{1}\circ\frac{5}{2}\circ\frac{5}{3}\circ\frac{5}{4}\right)\circ 1\circ\frac{5}{6}\circ\ldots\circ\frac{5}{9}=1\circ\left(\frac{5}{6}\circ\ldots\circ\frac{5}{9}\right)=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−2−432)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2&-4\\3&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=2xA−I2\displaystyle B(x)=2xA-I_2, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡A=8\displaystyle \det A=8.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea este A=(−2−432)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2&-4\\3&2\end{pmatrix}. Pentru o matrice de ordin doi, det⁡(abcd)=ad−bc\displaystyle \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc.
    det⁡A=∣−2−432∣\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}-2&-4\\3&2\end{vmatrix}
  2. Aici a=−2\displaystyle a=-2, b=−4\displaystyle b=-4, c=3\displaystyle c=3, d=2\displaystyle d=2, deci det⁡A=a⋅d−b⋅c\displaystyle \det A=a\cdot d-b\cdot c.
    det⁡A=−2⋅2−(−4)⋅3\displaystyle \det A=-2\cdot 2-(-4)\cdot 3
  3. Avem −2⋅2=−4\displaystyle -2\cdot 2=-4 și −(−4)⋅3=+12\displaystyle -(-4)\cdot 3=+12. Atunci det⁡A=−4+12=8\displaystyle \det A=-4+12=8, adică egalitatea cerută.
    −4+12=8\displaystyle -4+12=8
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−2−432)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2&-4\\3&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=2xA−I2\displaystyle B(x)=2xA-I_2, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că A⋅A=−8I2\displaystyle A\cdot A=-8I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A, unde A=(−2−432)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2&-4\\3&2\end{pmatrix}. Elementul de pe linia i\displaystyle i și coloana j\displaystyle j se obține înmulțind linia i\displaystyle i din prima matrice cu coloana j\displaystyle j din a doua matrice.
    A⋅A=(−2−432)⋅(−2−432)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}-2&-4\\3&2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}-2&-4\\3&2\end{pmatrix}
  2. Calculăm prima linie: (−2)(−2)+(−4)⋅3=4−12=−8\displaystyle (-2)(-2)+(-4)\cdot 3=4-12=-8 și (−2)(−4)+(−4)⋅2=8−8=0\displaystyle (-2)(-4)+(-4)\cdot 2=8-8=0.
    (4−128+(−8))=(−80)\displaystyle \begin{pmatrix}4-12&8+(-8)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm a doua linie: 3⋅(−2)+2⋅3=−6+6=0\displaystyle 3\cdot(-2)+2\cdot 3=-6+6=0 și 3⋅(−4)+2⋅2=−12+4=−8\displaystyle 3\cdot(-4)+2\cdot 2=-12+4=-8. Obținem matricea completă.
    A⋅A=(4−128+(−8)−6+6−12+4)=(−800−8)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}4-12&8+(-8)\\-6+6&-12+4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-8&0\\0&-8\end{pmatrix}
  4. Scoatem factorul −8\displaystyle -8 din matrice și recunoaștem matricea unitate I2\displaystyle I_2. Rezultă că A⋅A=−8I2\displaystyle A\cdot A=-8I_2.
    (−800−8)=−8(1001)=−8I2\displaystyle \begin{pmatrix}-8&0\\0&-8\end{pmatrix}=-8\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=-8I_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−2−432)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2&-4\\3&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=2xA−I2\displaystyle B(x)=2xA-I_2, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că matricea B(x)\displaystyle B(x) este inversabilă, pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm 2xA\displaystyle 2xA, înmulțind fiecare element al matricei A\displaystyle A cu 2x\displaystyle 2x.
    2xA=(−4x−8x6x4x)\displaystyle 2xA=\begin{pmatrix}-4x&-8x\\6x&4x\end{pmatrix}
  2. Scădem matricea unitate I2\displaystyle I_2, adică scădem 1\displaystyle 1 de pe diagonala principală.
    B(x)=(−4x−1−8x6x4x−1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}-4x-1&-8x\\6x&4x-1\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul lui B(x)\displaystyle B(x) ca produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(B(x))=(−4x−1)(4x−1)−(−8x)⋅6x\displaystyle \det(B(x))=(-4x-1)(4x-1)-(-8x)\cdot 6x.
    det⁡(B(x))=(−4x−1)(4x−1)+48x2\displaystyle \det(B(x))=(-4x-1)(4x-1)+48x^2
  4. Dezvoltăm produsul: (−4x−1)(4x−1)=−(4x+1)(4x−1)=−(16x2−1)=−16x2+1\displaystyle (-4x-1)(4x-1)=-(4x+1)(4x-1)=-(16x^2-1)=-16x^2+1. Adunăm 48x2\displaystyle 48x^2 și obținem determinantul.
    det⁡(B(x))=−16x2+1+48x2=32x2+1\displaystyle \det(B(x))=-16x^2+1+48x^2=32x^2+1
  5. Pentru orice x\displaystyle x real avem x2≥0\displaystyle x^2\ge 0, deci 32x2+1≥1>0\displaystyle 32x^2+1\ge 1>0. Determinantul este nenul pentru orice x\displaystyle x real, deci B(x)\displaystyle B(x) este inversabilă pentru orice număr real x\displaystyle x.
    32x2+1>0, deci det⁡(B(x))≠0, adica˘ B(x) este inversabila˘\displaystyle 32x^2+1>0\text{, deci }\det(B(x))\neq 0\text{, adică }B(x)\text{ este inversabilă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−2−432)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2&-4\\3&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=2xA−I2\displaystyle B(x)=2xA-I_2, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care B(x)⋅B(12)=9I2\displaystyle B(x)\cdot B\left(\frac{1}{2}\right)=9I_2.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea B(x)=2xA−I2\displaystyle B(x)=2xA-I_2: înmulțim A\displaystyle A cu 2x\displaystyle 2x și scădem matricea unitate I2\displaystyle I_2.
    B(x)=(−4x−1−8x6x4x−1)\displaystyle B(x)=\begin{pmatrix}-4x-1&-8x\\6x&4x-1\end{pmatrix}
  2. Pentru x=12\displaystyle x=\dfrac{1}{2} avem 2x=1\displaystyle 2x=1, deci B(12)=A−I2\displaystyle B\left(\dfrac{1}{2}\right)=A-I_2.
    B(12)=(−3−431)\displaystyle B\left(\frac{1}{2}\right)=\begin{pmatrix}-3&-4\\3&1\end{pmatrix}
  3. Înmulțim cele două matrice, linie cu coloană: de exemplu, elementul din stânga sus este (−4x−1)(−3)+(−8x)⋅3=−12x+3\displaystyle (-4x-1)(-3)+(-8x)\cdot 3=-12x+3. Procedăm la fel pentru celelalte trei elemente.
    B(x)⋅B(12)=(−12x+38x+4−6x−3−20x−1)\displaystyle B(x)\cdot B\left(\frac{1}{2}\right)=\begin{pmatrix}-12x+3&8x+4\\-6x-3&-20x-1\end{pmatrix}
  4. Egalăm matricea obținută cu 9I2=(9009)\displaystyle 9I_2=\begin{pmatrix}9&0\\0&9\end{pmatrix}, element cu element.
    {−12x+3=98x+4=0−6x−3=0−20x−1=9\displaystyle \begin{cases}-12x+3=9\\8x+4=0\\-6x-3=0\\-20x-1=9\end{cases}
  5. Rezolvăm ecuațiile: din prima, −12x=6\displaystyle -12x=6, deci x=−12\displaystyle x=-\dfrac{1}{2}. Celelalte trei ecuații dau aceeași valoare, deci x=−12\displaystyle x=-\dfrac{1}{2} convine.
    x=−12\displaystyle x=-\frac{1}{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−2−432)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2&-4\\3&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=2xA−I2\displaystyle B(x)=2xA-I_2, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că xB(x)−yB(y)=(x−y)B(x+y)\displaystyle xB(x)-yB(y)=(x-y)B(x+y), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția B(x)=2xA−I2\displaystyle B(x)=2xA-I_2. Atunci xB(x)=x(2xA−I2)=2x2A−xI2\displaystyle xB(x)=x(2xA-I_2)=2x^{2}A-xI_2, iar analog yB(y)=2y2A−yI2\displaystyle yB(y)=2y^{2}A-yI_2.
    xB(x)=2x2A−xI2\displaystyle xB(x)=2x^{2}A-xI_2,yB(y)=2y2A−yI2\displaystyle \quad yB(y)=2y^{2}A-yI_2
  2. Scădem cele două expresii: xB(x)−yB(y)=2x2A−xI2−(2y2A−yI2)\displaystyle xB(x)-yB(y)=2x^{2}A-xI_2-\left(2y^{2}A-yI_2\right), adică se schimbă semnul termenilor din a doua paranteză.
    xB(x)−yB(y)=2x2A−xI2−2y2A+yI2\displaystyle xB(x)-yB(y)=2x^{2}A-xI_2-2y^{2}A+yI_2
  3. Grupăm termenii care conțin A\displaystyle A și pe cei care conțin I2\displaystyle I_2: 2x2A−2y2A=2(x2−y2)A\displaystyle 2x^{2}A-2y^{2}A=2\left(x^{2}-y^{2}\right)A și −xI2+yI2=−(x−y)I2\displaystyle -xI_2+yI_2=-(x-y)I_2. Folosim formula x2−y2=(x−y)(x+y)\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y).
    2(x−y)(x+y)A−(x−y)I2\displaystyle 2(x-y)(x+y)A-(x-y)I_2
  4. Dăm factor comun x−y\displaystyle x-y: 2(x−y)(x+y)A−(x−y)I2=(x−y)(2(x+y)A−I2)\displaystyle 2(x-y)(x+y)A-(x-y)I_2=(x-y)\left(2(x+y)A-I_2\right). Expresia din paranteză este chiar B(x+y)=2(x+y)A−I2\displaystyle B(x+y)=2(x+y)A-I_2, deci egalitatea este demonstrată pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    (x−y)(2(x+y)A−I2)=(x−y)B(x+y)\displaystyle (x-y)\left(2(x+y)A-I_2\right)=(x-y)B(x+y)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele A=(−2−432)\displaystyle A=\begin{pmatrix}-2&-4\\3&2\end{pmatrix}, I2=(1001)\displaystyle I_2=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} și B(x)=2xA−I2\displaystyle B(x)=2xA-I_2, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul întreg k\displaystyle k pentru care B(1)−2B(2)+3B(3)−…−20B(20)=kB(21)\displaystyle B(1)-2B(2)+3B(3)-\ldots-20B(20)=kB(21).
Vezi rezolvarea
  1. Avem B(x)=2xA−I2\displaystyle B(x)=2xA-I_2. Pentru orice k\displaystyle k, calculăm diferența kB(k)−(21−k)B(21−k)\displaystyle kB(k)-(21-k)B(21-k) și o comparăm cu B(21)=42A−I2\displaystyle B(21)=42A-I_2.
    kB(k)−(21−k)B(21−k)=2A(k2−(21−k)2)+(21−2k)I2\displaystyle kB(k)-(21-k)B(21-k)=2A\left(k^{2}-(21-k)^{2}\right)+(21-2k)I_2
  2. Folosim k2−(21−k)2=(2k−(21))⋅21\displaystyle k^{2}-(21-k)^{2}=(2k-(21))\cdot 21, adică 21(2k−21)\displaystyle 21(2k-21). Atunci 2A⋅21(2k−21)+(21−2k)I2=(2k−21)(42A−I2)\displaystyle 2A\cdot 21(2k-21)+(21-2k)I_2=(2k-21)(42A-I_2).
    kB(k)−(21−k)B(21−k)=(2k−21)B(21)\displaystyle kB(k)-(21-k)B(21-k)=(2k-21)B(21)
  3. Grupăm termenii de rang k\displaystyle k și 21−k\displaystyle 21-k, pentru k=1,2,…,10\displaystyle k=1,2,\ldots,10. Prima pereche, pentru k=1\displaystyle k=1, este B(1)−20B(20)\displaystyle B(1)-20B(20), deci după formula de mai sus obținem (2⋅1−21)B(21)\displaystyle (2\cdot 1-21)B(21).
    B(1)−20B(20)=−19B(21)\displaystyle B(1)-20B(20)=-19B(21)
  4. Pentru k\displaystyle k par perechea apare cu semn minus: −(kB(k)−(21−k)B(21−k))=−(2k−21)B(21)\displaystyle -(kB(k)-(21-k)B(21-k))=-(2k-21)B(21). Pentru k=2\displaystyle k=2 obținem 17B(21)\displaystyle 17B(21), iar pentru k=10\displaystyle k=10 obținem B(21)\displaystyle B(21). Astfel suma devine o sumă de multipli ai lui B(21)\displaystyle B(21).
    (B(1)−20B(20))−…−(10B(10)−11B(11))=(−19+17−15+…−3+1)B(21)\displaystyle \left(B(1)-20B(20)\right)-\ldots-\left(10B(10)-11B(11)\right)=(-19+17-15+\ldots-3+1)B(21)
  5. Grupăm coeficienții câte doi: −19+17=−2\displaystyle -19+17=-2, −15+13=−2\displaystyle -15+13=-2, ..., −3+1=−2\displaystyle -3+1=-2. Sunt 5\displaystyle 5 perechi, deci suma coeficienților este 5⋅(−2)\displaystyle 5\cdot(-2).
    5⋅(−2)=−10\displaystyle 5\cdot(-2)=-10
  6. Deci B(1)−2B(2)+3B(3)−…−20B(20)=−10B(21)\displaystyle B(1)-2B(2)+3B(3)-\ldots-20B(20)=-10B(21). Comparând cu kB(21)\displaystyle kB(21), obținem k=−10\displaystyle k=-10.
    5⋅(−2)B(21)=−10B(21), deci k=−10\displaystyle 5\cdot(-2)B(21)=-10B(21)\text{, deci }k=-10
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.