Bac matematică M4 pedagogic 2026, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 64−42+22(2−2)=4\displaystyle \sqrt{64}-4\sqrt{2}+2\sqrt{2}\left(2-\sqrt{2}\right)=4.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la expresia dată în enunț.
    64−42+22(2−2)\displaystyle \sqrt{64}-4\sqrt{2}+2\sqrt{2}\left(2-\sqrt{2}\right)
  2. Se calculează radicalul din 64\displaystyle 64, care este 8\displaystyle 8, și se rescrie expresia.
    8−42+22(2−2)\displaystyle 8-4\sqrt{2}+2\sqrt{2}\left(2-\sqrt{2}\right)
  3. Se desface paranteza folosind proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de scădere: 22\displaystyle 2\sqrt{2} se înmulțește atât cu 2\displaystyle 2, cât și cu 2\displaystyle \sqrt{2}, iar rezultatul se introduce în expresia inițială.
    8−42+42−22⋅2\displaystyle 8-4\sqrt{2}+4\sqrt{2}-2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}
  4. Se observă că termenii −42\displaystyle -4\sqrt{2} și +42\displaystyle +4\sqrt{2} se anulează reciproc, iar produsul 2⋅2\displaystyle \sqrt{2}\cdot\sqrt{2} este egal cu 2\displaystyle 2, deci 22⋅2=4\displaystyle 2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=4. Se efectuează scăderea rămasă.
    8−4=4\displaystyle 8-4=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=7x−4\displaystyle f(x)=7x-4. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(a)=5a\displaystyle f(a)=5a.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează f(a)\displaystyle f(a) înlocuind x\displaystyle x cu a\displaystyle a în expresia funcției f(x)=7x−4\displaystyle f(x)=7x-4.
    f(a)=7a−4\displaystyle f(a)=7a-4
  2. Se pune condiția din enunț, egalând f(a)\displaystyle f(a) cu 5a\displaystyle 5a, obținându-se ecuația de rezolvat.
    7a−4=5a\displaystyle 7a-4=5a
  3. Se trec termenii care conțin a\displaystyle a în membrul stâng, iar termenii liberi în membrul drept.
    7a−5a=4\displaystyle 7a-5a=4
  4. Se reduc termenii asemenea din membrul stâng.
    2a=4\displaystyle 2a=4
  5. Se împarte ecuația prin coeficientul lui a\displaystyle a pentru a afla valoarea lui a\displaystyle a.
    a=2\displaystyle a=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 9⋅3x=35\displaystyle 9\cdot 3^{x}=3^{5}.
Vezi rezolvarea
  1. Se pornește de la ecuația dată și se identifică baza comună posibilă, observând că 9\displaystyle 9 este o putere a lui 3\displaystyle 3.
    9⋅3x=35\displaystyle 9\cdot 3^{x}=3^{5}
  2. Se scrie 9\displaystyle 9 ca putere a lui 3\displaystyle 3, deoarece 32=9\displaystyle 3^{2}=9.
    9=32\displaystyle 9=3^{2}
  3. Se înlocuiește 9\displaystyle 9 cu 32\displaystyle 3^{2} în ecuație și se folosește regula de înmulțire a puterilor cu aceeași bază, adunând exponenții.
    32⋅3x=32+x\displaystyle 3^{2}\cdot 3^{x}=3^{2+x}
  4. Se scrie ecuația cu ambii membri exprimați ca puteri ale lui 3\displaystyle 3, apoi, deoarece bazele sunt egale, se egalează exponenții obținând o ecuație liniară.
    32+x=35⇒2+x=5\displaystyle 3^{2+x}=3^{5}\Rightarrow 2+x=5
  5. Se rezolvă ecuația liniară obținută, izolând necunoscuta x\displaystyle x.
    x=5−2\displaystyle x=5-2
  6. Se calculează valoarea finală a lui x\displaystyle x, care este soluția ecuației.
    x=3\displaystyle x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o ieftinire cu 15%\displaystyle 15\%, prețul unui obiect s-a micșorat cu 75\displaystyle 75 de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.
Vezi rezolvarea
  1. Se notează cu x\displaystyle x prețul obiectului înainte de ieftinire (prețul inițial, în lei).
    x=prețul inițial (lei)\displaystyle x = \text{prețul inițial (lei)}
  2. Se exprimă procentul de 15%\displaystyle 15\% ca fracție din prețul inițial x\displaystyle x, deoarece reducerea de preț reprezintă 15%\displaystyle 15\% din valoarea inițială.
    15100⋅x=reducerea de preț\displaystyle \dfrac{15}{100}\cdot x = \text{reducerea de preț}
  3. Se scrie ecuația procentuală corespunzătoare, știind că reducerea de preț este de 75\displaystyle 75 de lei.
    15100⋅x=75\displaystyle \dfrac{15}{100}\cdot x=75
  4. Se simplifică fracția 15100\displaystyle \dfrac{15}{100} și se rescrie ecuația într-o formă mai simplă pentru a izola pe x\displaystyle x.
    320⋅x=75\displaystyle \dfrac{3}{20}\cdot x=75
  5. Se rezolvă ecuația înmulțind ambii membri cu inversul fracției, pentru a afla valoarea lui x\displaystyle x.
    x=75⋅203\displaystyle x=75\cdot\dfrac{20}{3}
  6. Se efectuează calculul și se obține prețul inițial al obiectului, verificând că soluția are sens (preț pozitiv).
    x=500 de lei\displaystyle x=500 \text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(0,4)\displaystyle A(0,4), B(2,0)\displaystyle B(2,0) și C(6,6)\displaystyle C(6,6). Arătați că MA=MB\displaystyle MA=MB, unde punctul M\displaystyle M este mijlocul segmentului OC\displaystyle OC.
Vezi rezolvarea
  1. Se identifică coordonatele punctului O\displaystyle O, originea reperului, și ale punctului C\displaystyle C, date în enunț.
    O(0,0)\displaystyle O(0,0), C(6,6)\displaystyle \ C(6,6)
  2. Se calculează coordonatele mijlocului M\displaystyle M al segmentului OC\displaystyle OC, folosind formula mijlocului unui segment: coordonatele lui M\displaystyle M sunt media aritmetică a coordonatelor capetelor.
    M(0+62,0+62)\displaystyle M\left(\dfrac{0+6}{2}, \dfrac{0+6}{2}\right)
  3. Se efectuează calculele și se obțin coordonatele punctului M\displaystyle M.
    M(3,3)\displaystyle M(3,3)
  4. Se aplică formula distanței dintre două puncte pentru a calcula MA\displaystyle MA, folosind coordonatele M(3,3)\displaystyle M(3,3) și A(0,4)\displaystyle A(0,4).
    MA=(3−0)2+(3−4)2\displaystyle MA=\sqrt{(3-0)^2+(3-4)^2}
  5. Se efectuează calculele sub radical pentru MA\displaystyle MA.
    MA=9+1=10\displaystyle MA=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}
  6. Se aplică formula distanței dintre două puncte pentru a calcula MB\displaystyle MB, folosind coordonatele M(3,3)\displaystyle M(3,3) și B(2,0)\displaystyle B(2,0).
    MB=(3−2)2+(3−0)2\displaystyle MB=\sqrt{(3-2)^2+(3-0)^2}
  7. Se efectuează calculele sub radical pentru MB\displaystyle MB.
    MB=1+9=10\displaystyle MB=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}
  8. Se compară cele două distanțe obținute și se concluzionează că MA=MB\displaystyle MA=MB.
    MA=10\displaystyle MA=\sqrt{10}, MB=10\displaystyle \ MB=\sqrt{10}, deci MA=MB\displaystyle \text{ deci } MA=MB
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că 4(sin⁡60∘)2−(sin⁡45∘)2−2(sin⁡30∘)2=2\displaystyle 4\left(\sin 60^{\circ}\right)^{2}-\left(\sin 45^{\circ}\right)^{2}-2\left(\sin 30^{\circ}\right)^{2}=2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie expresia dată în enunț, pe care trebuie să o calculăm folosind valorile funcțiilor trigonometrice pentru unghiuri speciale.
    4(sin⁡60∘)2−(sin⁡45∘)2−2(sin⁡30∘)2\displaystyle 4\left(\sin 60^{\circ}\right)^2-\left(\sin 45^{\circ}\right)^2-2\left(\sin 30^{\circ}\right)^2
  2. Se scriu valorile cunoscute ale funcțiilor trigonometrice pentru unghiurile de 60°\displaystyle 60°, 45°\displaystyle 45° și 30°\displaystyle 30°.
    sin⁡60∘=32\displaystyle \sin 60^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, sin⁡45∘=22\displaystyle \ \sin 45^{\circ}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, sin⁡30∘=12\displaystyle \ \sin 30^{\circ}=\dfrac{1}{2}
  3. Se înlocuiesc aceste valori în expresia dată.
    4(32)2−(22)2−2(12)2\displaystyle 4\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2
  4. Se ridică la pătrat fiecare termen: se calculează pătratele fracțiilor obținute.
    (32)2=34\displaystyle \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4}, (22)2=24=12\displaystyle \ \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}, (12)2=14\displaystyle \ \left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}
  5. Se înmulțesc pătratele obținute cu coeficienții din expresie și se simplifică fiecare termen.
    4⋅34=3\displaystyle 4\cdot\dfrac{3}{4}=3, 2⋅14=12\displaystyle \ 2\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}
  6. Se scrie expresia cu valorile calculate și se efectuează operațiile de adunare și scădere, obținându-se rezultatul final.
    4(32)2−(22)2−2(12)2=3−12−12=2\displaystyle 4\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=3-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y3−4\displaystyle x*y=\dfrac{x+y}{3}-4.

Arătați că 7∗8=1\displaystyle 7*8=1.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie legea de compoziție dată și se identifică valorile x=7\displaystyle x=7 și y=8\displaystyle y=8 care trebuie înlocuite.
    x∗y=x+y3−4\displaystyle x*y=\dfrac{x+y}{3}-4, unde x=7\displaystyle \text{ unde }x=7, y=8\displaystyle \text{ }y=8
  2. Se înlocuiesc valorile x=7\displaystyle x=7 și y=8\displaystyle y=8 în definiția legii de compoziție.
    7∗8=7+83−4\displaystyle 7*8=\dfrac{7+8}{3}-4
  3. Se calculează suma de la numărător: 7+8=15\displaystyle 7+8=15.
    7∗8=153−4\displaystyle 7*8=\dfrac{15}{3}-4
  4. Se efectuează împărțirea 153=5\displaystyle \dfrac{15}{3}=5, obținându-se expresia 5−4\displaystyle 5-4.
    5−4=1\displaystyle 5-4=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y3−4\displaystyle x*y=\dfrac{x+y}{3}-4.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care 4∗x=x\displaystyle 4*x=x.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii de compoziție pentru perechea (4,x)\displaystyle (4, x), înlocuind în formula x∗y=x+y3−4\displaystyle x*y = \dfrac{x+y}{3} - 4 valorile x=4\displaystyle x=4 și y=x\displaystyle y=x, pentru a obține expresia lui 4∗x\displaystyle 4*x.
    4∗x=4+x3−4\displaystyle 4*x=\dfrac{4+x}{3}-4
  2. Punem condiția ca 4∗x\displaystyle 4*x să fie egal cu x\displaystyle x (căutăm elementul x\displaystyle x care satisface această ecuație), obținând astfel o ecuație liniară în x\displaystyle x.
    4+x3−4=x\displaystyle \dfrac{4+x}{3}-4=x
  3. Amplificăm ecuația cu 3\displaystyle 3 pentru a elimina numitorul, obținând o ecuație fără fracții.
    4+x−12=3x\displaystyle 4+x-12=3x
  4. Reducem termenii asemenea din stânga ecuației.
    x−8=3x\displaystyle x-8=3x
  5. Mutăm termenii cu x\displaystyle x într-o parte și constantele în cealaltă parte a ecuației.
    −8=3x−x⇒−8=2x\displaystyle -8=3x-x \Rightarrow -8=2x
  6. Împărțim ambii membri ai ecuației prin 2\displaystyle 2 pentru a afla valoarea lui x\displaystyle x, obținând astfel soluția ecuației.
    x=−4\displaystyle x=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y3−4\displaystyle x*y=\dfrac{x+y}{3}-4.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x∗x2=0\displaystyle x*x^{2}=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se aplică definiția legii de compoziție pentru elementele x\displaystyle x și x2\displaystyle x^{2}, înlocuind în formulă.
    x∗x2=x+x23−4\displaystyle x*x^{2}=\dfrac{x+x^{2}}{3}-4
  2. Se aduce expresia la același numitor, scriind −4\displaystyle -4 ca −123\displaystyle -\dfrac{12}{3}, pentru a obține o singură fracție.
    x∗x2=x+x2−123=x2+x−123\displaystyle x*x^{2}=\dfrac{x+x^{2}-12}{3}=\dfrac{x^{2}+x-12}{3}
  3. Se pune condiția din enunț, x∗x2=0\displaystyle x*x^{2}=0, și se înlocuiește expresia obținută anterior.
    x2+x−123=0\displaystyle \dfrac{x^{2}+x-12}{3}=0
  4. Se amplifică ecuația cu 3\displaystyle 3 pentru a elimina numitorul, obținând o ecuație de gradul al doilea.
    x2+x−12=0\displaystyle x^{2}+x-12=0
  5. Se calculează discriminantul ecuației de gradul al doilea.
    Δ=12−4⋅1⋅(−12)=1+48=49\displaystyle \Delta=1^{2}-4\cdot1\cdot(-12)=1+48=49
  6. Se determină rădăcinile ecuației folosind formula x=−b±Δ2a\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} și se obține soluția finală.
    x=−1±72⇒x=−4 sau x=3\displaystyle x=\dfrac{-1\pm7}{2}\Rightarrow x=-4\text{ sau }x=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y3−4\displaystyle x*y=\dfrac{x+y}{3}-4.

Arătați că (2x)∗(2y)=2⋅(x∗(y+6))\displaystyle (2x)*(2y)=2\cdot\left(x*(y+6)\right), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția x∗y=x+y3−4\displaystyle x*y=\dfrac{x+y}{3}-4 pentru numerele 2x\displaystyle 2x și 2y\displaystyle 2y: în locul lui x\displaystyle x punem 2x\displaystyle 2x, iar în locul lui y\displaystyle y punem 2y\displaystyle 2y.
    (2x)∗(2y)=2x+2y3−4\displaystyle (2x)*(2y)=\dfrac{2x+2y}{3}-4
  2. Calculăm x∗(y+6)\displaystyle x*(y+6) cu definiția legii: în locul lui y\displaystyle y punem y+6\displaystyle y+6.
    x∗(y+6)=x+y+63−4\displaystyle x*(y+6)=\dfrac{x+y+6}{3}-4
  3. Simplificăm: x+y+63=x+y3+2\displaystyle \dfrac{x+y+6}{3}=\dfrac{x+y}{3}+2, iar 2−4=−2\displaystyle 2-4=-2.
    x∗(y+6)=x+y3−2\displaystyle x*(y+6)=\dfrac{x+y}{3}-2
  4. Înmulțim cu 2\displaystyle 2 rezultatul obținut: 2⋅(x∗(y+6))=2(x+y3−2)=2x+2y3−4\displaystyle 2\cdot\left(x*(y+6)\right)=2\left(\dfrac{x+y}{3}-2\right)=\dfrac{2x+2y}{3}-4. Aceasta este exact expresia lui (2x)∗(2y)\displaystyle (2x)*(2y) de la primul pas, deci egalitatea este adevărată pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}.
    2⋅(x∗(y+6))=2x+2y3−4=(2x)∗(2y)\displaystyle 2\cdot\left(x*(y+6)\right)=\dfrac{2x+2y}{3}-4=(2x)*(2y)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y3−4\displaystyle x*y=\dfrac{x+y}{3}-4.

Determinați numerele naturale n\displaystyle n pentru care (3n)∗((2n)∗n)≤−n\displaystyle (3n)*((2n)*n)\leq -n.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie definiția legii de compoziție și se identifică expresia inegalității de rezolvat: (3n)∗((2n)∗n)≤−n\displaystyle (3n)*((2n)*n) \leq -n, pentru n\displaystyle n număr natural.
    x∗y=x+y3−4\displaystyle x*y=\dfrac{x+y}{3}-4,(3n)∗((2n)∗n)≤−n\displaystyle \quad (3n)*((2n)*n)\leq -n
  2. Se calculează mai întâi (2n)∗n\displaystyle (2n)*n, aplicând definiția legii de compoziție pentru x=2n\displaystyle x=2n și y=n\displaystyle y=n.
    (2n)∗n=2n+n3−4=3n3−4=n−4\displaystyle (2n)*n=\dfrac{2n+n}{3}-4=\dfrac{3n}{3}-4=n-4
  3. Se calculează apoi (3n)∗((2n)∗n)\displaystyle (3n)*((2n)*n), folosind rezultatul anterior (2n)∗n=n−4\displaystyle (2n)*n=n-4 și aplicând din nou definiția legii de compoziție pentru x=3n\displaystyle x=3n și y=n−4\displaystyle y=n-4.
    (3n)∗((2n)∗n)=3n+(n−4)3−4=4n−43−4=4n−4−123=4n−163\displaystyle (3n)*((2n)*n)=\dfrac{3n+(n-4)}{3}-4=\dfrac{4n-4}{3}-4=\dfrac{4n-4-12}{3}=\dfrac{4n-16}{3}
  4. Se scrie inegalitatea din enunț folosind rezultatele obținute mai sus.
    4n−163≤−n\displaystyle \dfrac{4n-16}{3}\leq -n
  5. Se elimină numitorul înmulțind ambii membri ai inegalității cu 3\displaystyle 3 (număr pozitiv, deci sensul inegalității se păstrează).
    4n−16≤−3n\displaystyle 4n-16\leq -3n
  6. Se grupează termenii cu n\displaystyle n în membrul stâng și termenii liberi în membrul drept, obținându-se inecuația liniară simplificată.
    4n+3n≤16⇒7n≤16\displaystyle 4n+3n\leq 16\Rightarrow 7n\leq 16
  7. Se rezolvă inecuația liniară obținută, apoi se selectează dintre soluțiile reale doar valorile n\displaystyle n care sunt numere naturale.
    n≤167≈2,28⇒n∈{0,1,2}, singurele numere \displaystyle n\leq \dfrac{16}{7}\approx 2{,}28\Rightarrow n\in\{0,1,2\}\text{, singurele numere }naturale care verifica˘ \displaystyle \text{naturale care verifică }inegalitatea\displaystyle \text{inegalitatea}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y3−4\displaystyle x*y=\dfrac{x+y}{3}-4.

Determinați x∈(0,+∞)\displaystyle x\in(0,+\infty) pentru care lg⁡x∗lg⁡x=(−3)∗lg⁡1x\displaystyle \lg x * \lg x=(-3)*\lg\dfrac{1}{x}.
Vezi rezolvarea
  1. Se precizează domeniul de definiție: pentru a avea sens lg⁡x\displaystyle \lg x și lg⁡(1x)\displaystyle \lg\left(\dfrac{1}{x}\right), trebuie ca x>0\displaystyle x>0.
    x>0\displaystyle x>0
  2. Se calculează lg⁡x∗lg⁡x\displaystyle \lg x * \lg x folosind definiția legii de compoziție, înlocuind ambele variabile cu lg⁡x\displaystyle \lg x.
    lg⁡x∗lg⁡x=lg⁡x+lg⁡x3−4=2lg⁡x3−4\displaystyle \lg x*\lg x=\dfrac{\lg x+\lg x}{3}-4=\dfrac{2\lg x}{3}-4
  3. Se calculează (−3)∗lg⁡1x\displaystyle (-3)*\lg\dfrac{1}{x} folosind definiția legii, ținând cont că lg⁡1x=−lg⁡x\displaystyle \lg\dfrac{1}{x}=-\lg x.
    (−3)∗lg⁡1x=−3+lg⁡1x3−4=−3−lg⁡x3−4\displaystyle (-3)*\lg\dfrac{1}{x}=\dfrac{-3+\lg\frac{1}{x}}{3}-4=\dfrac{-3-\lg x}{3}-4
  4. Se scrie ecuația obținută prin egalarea celor două expresii calculate mai sus.
    2lg⁡x3−4=−3−lg⁡x3−4\displaystyle \dfrac{2\lg x}{3}-4=\dfrac{-3-\lg x}{3}-4
  5. Se elimină termenul −4\displaystyle -4 din ambii membri și se amplifică ecuația cu 3\displaystyle 3 pentru a elimina numitorii.
    2lg⁡x=−3−lg⁡x\displaystyle 2\lg x=-3-\lg x
  6. Se grupează termenii cu lg⁡x\displaystyle \lg x în stânga și se rezolvă ecuația liniară în lg⁡x\displaystyle \lg x.
    3lg⁡x=−3⇒lg⁡x=−1\displaystyle 3\lg x=-3\Rightarrow \lg x=-1
  7. Se determină x\displaystyle x din ecuația lg⁡x=−1\displaystyle \lg x = -1 și se verifică apartenența la domeniul x>0\displaystyle x>0, obținând soluția finală.
    lg⁡x=−1⇒x=110, care aparține \displaystyle \lg x=-1\Rightarrow x=\dfrac{1}{10}\text{, care aparține }domeniului x>0\displaystyle \text{domeniului }x>0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(160−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&6\\0&-2\end{pmatrix}, B=(1200)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix} și M(x,y)=xA+yB\displaystyle M(x,y)=xA+yB, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Arătați că det⁡A=−2\displaystyle \det A=-2.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea A\displaystyle A, ale cărei elemente sunt necesare pentru calculul determinantului.
    A=(160−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&6\\0&-2\end{pmatrix}
  2. Se aplică formula determinantului unei matrice de ordin 2: pentru o matrice (abcd)\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}, determinantul este a⋅d−b⋅c\displaystyle a\cdot d-b\cdot c.
    det⁡A=∣160−2∣=1⋅(−2)−6⋅0\displaystyle \det A=\begin{vmatrix}1&6\\0&-2\end{vmatrix}=1\cdot(-2)-6\cdot 0
  3. Se efectuează înmulțirile din expresia determinantului.
    1⋅(−2)−6⋅0=−2−0\displaystyle 1\cdot(-2)-6\cdot 0=-2-0
  4. Se calculează rezultatul final al determinantului prin efectuarea scăderii.
    −2−0=−2\displaystyle -2-0=-2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(160−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&6\\0&-2\end{pmatrix}, B=(1200)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix} și M(x,y)=xA+yB\displaystyle M(x,y)=xA+yB, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care A+2I2=aB\displaystyle A+2I_{2}=aB.
Vezi rezolvarea
  1. Se scriu explicit matricele A\displaystyle A și I2\displaystyle I_2, precum și 2I2\displaystyle 2I_2, pentru a putea calcula suma A+2I2\displaystyle A+2I_2.
    A=(160−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&6\\0&-2\end{pmatrix},I2=(1001)⇒2I2=(2002)\displaystyle \quad I_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\Rightarrow 2I_{2}=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}
  2. Se adună element cu element matricea A\displaystyle A cu matricea 2I2\displaystyle 2I_2, obținând o nouă matrice.
    A+2I2=(1+26+00+0−2+2)=(3600)\displaystyle A+2I_{2}=\begin{pmatrix}1+2&6+0\\0+0&-2+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&6\\0&0\end{pmatrix}
  3. Se scrie matricea B\displaystyle B și se calculează 3B\displaystyle 3B, observând că rezultatul coincide cu A+2I2\displaystyle A+2I_2, deci A+2I2=3B\displaystyle A+2I_2=3B.
    B=(1200)⇒3B=(3600)=A+2I2\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}\Rightarrow 3B=\begin{pmatrix}3&6\\0&0\end{pmatrix}=A+2I_{2}
  4. Se presupune că A+2I2\displaystyle A+2I_2 se poate scrie sub forma aB\displaystyle aB, cu a\displaystyle a număr real, și se compară cu 3B\displaystyle 3B obținut anterior.
    aB=A+2I2=3B\displaystyle aB=A+2I_{2}=3B
  5. Deoarece B≠O2\displaystyle B\neq O_2 (elementele nu sunt toate nule), din egalitatea aB=3B\displaystyle aB=3B rezultă, prin identificarea coeficienților, că a\displaystyle a trebuie să fie egal cu 3\displaystyle 3.
    3B=aB⇒a=3\displaystyle 3B=aB\Rightarrow a=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(160−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&6\\0&-2\end{pmatrix}, B=(1200)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix} și M(x,y)=xA+yB\displaystyle M(x,y)=xA+yB, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Arătați că A⋅A+A=2I2\displaystyle A\cdot A+A=2I_{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea A\displaystyle A conform enunțului, pentru a putea calcula produsul A⋅A\displaystyle A\cdot A.
    A=(160−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&6\\0&-2\end{pmatrix}
  2. Se calculează fiecare element al produsului A⋅A\displaystyle A\cdot A, folosind regula de înmulțire a matricelor (linie pe coloană): elementul (1,1)\displaystyle (1,1) este 1⋅1+6⋅0\displaystyle 1\cdot 1+6\cdot 0, elementul (1,2)\displaystyle (1,2) este 1⋅6+6⋅(−2)\displaystyle 1\cdot 6+6\cdot(-2), elementul (2,1)\displaystyle (2,1) este 0⋅1+(−2)⋅0\displaystyle 0\cdot 1+(-2)\cdot 0, iar elementul (2,2)\displaystyle (2,2) este 0⋅6+(−2)⋅(−2)\displaystyle 0\cdot 6+(-2)\cdot(-2).
    A⋅A=(1⋅1+6⋅01⋅6+6⋅(−2)0⋅1+(−2)⋅00⋅6+(−2)⋅(−2))\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1\cdot1+6\cdot0 & 1\cdot6+6\cdot(-2)\\0\cdot1+(-2)\cdot0 & 0\cdot6+(-2)\cdot(-2)\end{pmatrix}
  3. Se efectuează calculele numerice din fiecare element: 1+0=1\displaystyle 1+0=1, 6−12=−6\displaystyle 6-12=-6, 0+0=0\displaystyle 0+0=0, 0+4=4\displaystyle 0+4=4, obținându-se astfel matricea produs A⋅A\displaystyle A\cdot A.
    A⋅A=(1−604)\displaystyle A\cdot A=\begin{pmatrix}1&-6\\0&4\end{pmatrix}
  4. Se adună, element cu element, matricea A⋅A\displaystyle A\cdot A obținută anterior cu matricea A\displaystyle A: pe fiecare poziție se adună elementele corespunzătoare din cele două matrice.
    A⋅A+A=(1+1−6+60+04+(−2))\displaystyle A\cdot A+A=\begin{pmatrix}1+1 & -6+6\\0+0 & 4+(-2)\end{pmatrix}
  5. Se efectuează adunările din fiecare poziție, obținându-se matricea rezultat, care se scrie apoi ca 2\displaystyle 2 înmulțit cu matricea identitate I2\displaystyle I_2, verificându-se astfel relația cerută.
    A⋅A+A=(2002)=2(1001)=2I2\displaystyle A\cdot A+A=\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=2I_{2}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(160−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&6\\0&-2\end{pmatrix}, B=(1200)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix} și M(x,y)=xA+yB\displaystyle M(x,y)=xA+yB, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y pentru care M(x,y)⋅A=B\displaystyle M(x,y)\cdot A=B.
Vezi rezolvarea
  1. Se calculează xA\displaystyle xA, înmulțind fiecare element al matricei A\displaystyle A cu scalarul x\displaystyle x.
    xA=(x6x0−2x)\displaystyle xA=\begin{pmatrix}x&6x\\0&-2x\end{pmatrix}
  2. Se calculează yB\displaystyle yB, înmulțind fiecare element al matricei B\displaystyle B cu scalarul y\displaystyle y.
    yB=(y2y00)\displaystyle yB=\begin{pmatrix}y&2y\\0&0\end{pmatrix}
  3. Se adună cele două matrice obținute pentru a determina M(x,y)=xA+yB\displaystyle M(x,y)=xA+yB.
    M(x,y)=(x+y6x+2y0−2x)\displaystyle M(x,y)=\begin{pmatrix}x+y&6x+2y\\0&-2x\end{pmatrix}
  4. Se calculează produsul M(x,y)⋅A\displaystyle M(x,y)\cdot A, înmulțind matricea obținută anterior cu matricea A\displaystyle A, folosind regula de înmulțire a matricelor (linie pe coloană).
    M(x,y)⋅A=((x+y)⋅1+(6x+2y)⋅0(x+y)⋅6+(6x+2y)⋅(−2)0⋅1+(−2x)⋅00⋅6+(−2x)⋅(−2))\displaystyle M(x,y)\cdot A=\begin{pmatrix}(x+y)\cdot1+(6x+2y)\cdot0 & (x+y)\cdot6+(6x+2y)\cdot(-2)\\ 0\cdot1+(-2x)\cdot0 & 0\cdot6+(-2x)\cdot(-2)\end{pmatrix}
  5. Se simplifică elementele obținute, ajungând la forma finală a produsului M(x,y)⋅A\displaystyle M(x,y)\cdot A.
    M(x,y)⋅A=(x+y−6x+2y04x)\displaystyle M(x,y)\cdot A=\begin{pmatrix}x+y&-6x+2y\\0&4x\end{pmatrix}
  6. Se pune condiția ca M(x,y)⋅A\displaystyle M(x,y)\cdot A să fie egală cu matricea B\displaystyle B, obținându-se un sistem de ecuații prin egalarea elementelor corespunzătoare.
    {x+y=1−6x+2y=24x=0\displaystyle \begin{cases}x+y=1\\-6x+2y=2\\4x=0\end{cases}
  7. Din a treia ecuație se obține x=0\displaystyle x=0, apoi din prima ecuație se determină y\displaystyle y, verificându-se și în a doua ecuație.
    x=0, y=1\displaystyle x=0\text{, }y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(160−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&6\\0&-2\end{pmatrix}, B=(1200)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix} și M(x,y)=xA+yB\displaystyle M(x,y)=xA+yB, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Arătați că, dacă x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale distincte astfel încât det⁡(M(x,y))=det⁡(M(y,x))\displaystyle \det(M(x,y))=\det(M(y,x)), atunci x+y=0\displaystyle x+y=0.
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie matricea M(x,y)=xA+yB\displaystyle M(x,y) = xA + yB, calculând fiecare element prin înmulțirea cu scalari și adunarea matricelor.
    M(x,y)=x(160−2)+y(1200)=(x+y6x+2y0−2x)\displaystyle M(x,y)=x\begin{pmatrix}1&6\\0&-2\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+y&6x+2y\\0&-2x\end{pmatrix}
  2. Se calculează determinantul matricei M(x,y)\displaystyle M(x,y), observând că elementul de pe poziția (2,1)\displaystyle (2,1) este 0\displaystyle 0, deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonala principală.
    det⁡(M(x,y))=(x+y)⋅(−2x)−0⋅(6x+2y)=−2x(x+y)\displaystyle \det(M(x,y))=(x+y)\cdot(-2x)-0\cdot(6x+2y)=-2x(x+y)
  3. Se scrie matricea M(y,x)\displaystyle M(y,x), obținută din M(x,y)\displaystyle M(x,y) prin schimbarea rolurilor lui x\displaystyle x și y\displaystyle y (adică se calculează yA+xB\displaystyle yA + xB).
    M(y,x)=y(160−2)+x(1200)=(x+y6y+2x0−2y)\displaystyle M(y,x)=y\begin{pmatrix}1&6\\0&-2\end{pmatrix}+x\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+y&6y+2x\\0&-2y\end{pmatrix}
  4. Se calculează determinantul matricei M(y,x)\displaystyle M(y,x), în mod analog, ca produs al elementelor de pe diagonala principală.
    det⁡(M(x,y))=−2x(x+y)\displaystyle \det(M(x,y))=-2x(x+y),det⁡(M(y,x))=−2y(x+y)\displaystyle \quad \det(M(y,x))=-2y(x+y)
  5. Se pune condiția din enunț ca cei doi determinanți să fie egali, obținându-se o ecuație în x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    −2x(x+y)=−2y(x+y)\displaystyle -2x(x+y)=-2y(x+y)
  6. Se aduce ecuația la forma egalată cu zero și se factorizează, scoțând factorul comun (x+y)\displaystyle (x+y).
    −2x(x+y)+2y(x+y)=0⇒(x+y)(−2x+2y)=0⇒(x+y)⋅(−2)(x−y)=0\displaystyle -2x(x+y)+2y(x+y)=0\Rightarrow (x+y)(-2x+2y)=0\Rightarrow (x+y)\cdot(-2)(x-y)=0
  7. Se simplifică prin −2\displaystyle -2 (nenul) și se obține produsul (x+y)(x−y)=0\displaystyle (x+y)(x-y)=0, apoi se folosește ipoteza x≠y\displaystyle x \neq y pentru a elimina soluția x−y=0\displaystyle x-y=0, rămânând soluția finală x+y=0\displaystyle x+y=0.
    (x+y)(x−y)=0⇒x+y=0, deoarece x≠y\displaystyle (x+y)(x-y)=0\Rightarrow x+y=0\text{, deoarece }x\neq y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele I2=(1001)\displaystyle I_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}, A=(160−2)\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&6\\0&-2\end{pmatrix}, B=(1200)\displaystyle B=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix} și M(x,y)=xA+yB\displaystyle M(x,y)=xA+yB, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care M(x,x)⋅M(x,−x)=M(−2,2)\displaystyle M(x,x)\cdot M(x,-x)=M(-2,2).
Vezi rezolvarea
  1. Se scrie explicit matricea M(x,x)=xA+xB\displaystyle M(x,x) = xA + xB, calculând suma elementelor corespunzătoare.
    M(x,x)=x(160−2)+x(1200)=(2x8x0−2x)\displaystyle M(x,x)=x\begin{pmatrix}1&6\\0&-2\end{pmatrix}+x\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x&8x\\0&-2x\end{pmatrix}
  2. Se scrie explicit matricea M(x,−x)=xA−xB\displaystyle M(x,-x) = xA - xB, calculând suma elementelor corespunzătoare.
    M(x,−x)=x(160−2)−x(1200)=(04x0−2x)\displaystyle M(x,-x)=x\begin{pmatrix}1&6\\0&-2\end{pmatrix}-x\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&4x\\0&-2x\end{pmatrix}
  3. Se înmulțesc cele două matrice obținute, element cu element, pentru a obține produsul M(x,x)⋅M(x,−x)\displaystyle M(x,x)\cdot M(x,-x).
    M(x,x)⋅M(x,−x)=(2x8x0−2x)(04x0−2x)=(2x⋅0+8x⋅02x⋅4x+8x⋅(−2x)0⋅0+(−2x)⋅00⋅4x+(−2x)⋅(−2x))=(0−8x204x2)\displaystyle M(x,x)\cdot M(x,-x)=\begin{pmatrix}2x&8x\\0&-2x\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&4x\\0&-2x\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x\cdot0+8x\cdot0&2x\cdot4x+8x\cdot(-2x)\\0\cdot0+(-2x)\cdot0&0\cdot4x+(-2x)\cdot(-2x)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-8x^{2}\\0&4x^{2}\end{pmatrix}
  4. Se scoate factor comun x2\displaystyle x^{2} și se recunoaște matricea rezultată ca fiind x2⋅M(−2,2)\displaystyle x^{2}\cdot M(-2,2), calculând întâi explicit M(−2,2)\displaystyle M(-2,2) pentru verificare.
    M(−2,2)=−2(160−2)+2(1200)=(0−804)⇒M(x,x)⋅M(x,−x)=x2(0−804)=x2M(−2,2)\displaystyle M(-2,2)=-2\begin{pmatrix}1&6\\0&-2\end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-8\\0&4\end{pmatrix}\Rightarrow M(x,x)\cdot M(x,-x)=x^{2}\begin{pmatrix}0&-8\\0&4\end{pmatrix}=x^{2}M(-2,2)
  5. Se rezolvă ecuația x2M(−2,2)=M(−2,2)\displaystyle x^{2}M(-2,2)=M(-2,2), care conduce la x2=1\displaystyle x^{2}=1, deci soluțiile sunt x=−1\displaystyle x=-1 sau x=1\displaystyle x=1.
    x2M(−2,2)=M(−2,2)⇒x2(0−804)=(0−804)⇒x2=1⇒x=−1 sau x=1\displaystyle x^{2}M(-2,2)=M(-2,2)\Rightarrow x^{2}\begin{pmatrix}0&-8\\0&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&-8\\0&4\end{pmatrix}\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow x=-1\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.