Bac matematică M4 pedagogic 2020, model, test de evaluare 13: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că 4(1−12)(1−13)(1−14)=1\displaystyle 4\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{3}\right)\left(1-\frac{1}{4}\right)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm prima paranteză, aducând la numitor comun: 1−12=22−12\displaystyle 1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{2}-\dfrac{1}{2}.
    1−12=12\displaystyle 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}
  2. Calculăm a doua paranteză: 1−13=33−13\displaystyle 1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{3}-\dfrac{1}{3}.
    1−13=23\displaystyle 1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}
  3. Calculăm a treia paranteză: 1−14=44−14\displaystyle 1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{4}{4}-\dfrac{1}{4}. Astfel avem toate cele trei valori din paranteze.
    1−14=34\displaystyle 1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}
  4. Înlocuim valorile obținute în expresia dată: 4(1−12)(1−13)(1−14)=4⋅12⋅23⋅34\displaystyle 4\left(1-\dfrac{1}{2}\right)\left(1-\dfrac{1}{3}\right)\left(1-\dfrac{1}{4}\right)=4\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{3}{4}.
    4⋅12⋅23⋅34\displaystyle 4\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}
  5. Înmulțim și simplificăm: numărătorii 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3 se simplifică cu numitorii 2\displaystyle 2 și 3\displaystyle 3, iar 4\displaystyle 4 se simplifică cu numitorul 4\displaystyle 4. Rezultă 1\displaystyle 1, deci egalitatea este adevărată.
    4⋅12⋅23⋅34=4⋅1⋅2⋅32⋅3⋅4=1\displaystyle 4\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}=\frac{4\cdot 1\cdot 2\cdot 3}{2\cdot 3\cdot 4}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x\displaystyle x, pentru care f(x)≥g(x)\displaystyle f(x)\geq g(x), unde f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=4x+1\displaystyle f(x)=4x+1 și g:R→R\displaystyle g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, g(x)=x+4\displaystyle g(x)=x+4.
Vezi rezolvarea
  1. Inegalitatea f(x)≥g(x)\displaystyle f(x)\geq g(x) devine, prin înlocuirea expresiilor funcțiilor, 4x+1≥x+4\displaystyle 4x+1\geq x+4.
    4x+1≥x+4\displaystyle 4x+1\geq x+4
  2. Mutăm termenii cu x\displaystyle x în stânga și numerele în dreapta: 4x−x≥4−1\displaystyle 4x-x\geq 4-1.
    4x−x≥4−1\displaystyle 4x-x\geq 4-1
  3. Reducem termenii asemenea și obținem 3x≥3\displaystyle 3x\geq 3.
    3x≥3\displaystyle 3x\geq 3
  4. Împărțim la 3\displaystyle 3, număr pozitiv, deci sensul inegalității nu se schimbă: x≥1\displaystyle x\geq 1. Mulțimea valorilor căutate este x∈[1,+∞)\displaystyle x\in[1,+\infty).
    x≥1⇔x∈[1,+∞)\displaystyle x\geq 1\Leftrightarrow x\in[1,+\infty)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 114x2+3x=11\displaystyle 11^{4x^2+3x}=11.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem 11\displaystyle 11 ca putere a lui 11\displaystyle 11, adică 11=111\displaystyle 11=11^{1}, ca să avem aceeași bază în ambii membri. Ecuația devine 114x2+3x=111\displaystyle 11^{4x^{2}+3x}=11^{1}.
    114x2+3x=111\displaystyle 11^{4x^{2}+3x}=11^{1}
  2. Funcția exponențială cu baza 11>1\displaystyle 11>1 este injectivă, deci putem egala exponenții: 4x2+3x=1\displaystyle 4x^{2}+3x=1.
    4x2+3x=1\displaystyle 4x^{2}+3x=1
  3. Mutăm termenul 1\displaystyle 1 în membrul stâng și obținem ecuația de gradul al doilea 4x2+3x−1=0\displaystyle 4x^{2}+3x-1=0.
    4x2+3x−1=0\displaystyle 4x^{2}+3x-1=0
  4. Calculăm discriminantul, cu a=4\displaystyle a=4, b=3\displaystyle b=3, c=−1\displaystyle c=-1: Δ=b2−4ac=32−4⋅4⋅(−1)=9+16=25\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=3^{2}-4\cdot 4\cdot(-1)=9+16=25.
    Δ=25\displaystyle \Delta=25
  5. Aplicăm formula x=−b±Δ2a=−3±58\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-3\pm 5}{8}. Obținem x1=−3−58=−1\displaystyle x_{1}=\dfrac{-3-5}{8}=-1 și x2=−3+58=14\displaystyle x_{2}=\dfrac{-3+5}{8}=\dfrac{1}{4}. Ambele sunt numere reale, deci sunt soluții ale ecuației inițiale.
    x=−1 sau x=14\displaystyle x=-1\text{ sau }x=\frac{1}{4}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
O firmă folosește 5000\displaystyle 5000 de lei pentru publicitate, sumă care reprezintă 5%\displaystyle 5\% din profitul anual al firmei. Calculați profitul anual al firmei.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm cu x\displaystyle x profitul anual al firmei, în lei. Cei 5000\displaystyle 5000 de lei reprezintă 5%\displaystyle 5\% din x\displaystyle x, adică 5100\displaystyle \dfrac{5}{100} din x\displaystyle x.
    x=profitul anual (ıˆn lei)\displaystyle x=\text{profitul anual (în lei)}
  2. Scriem ecuația: 5100⋅x=5000\displaystyle \dfrac{5}{100}\cdot x=5000.
    5100⋅x=5000\displaystyle \frac{5}{100}\cdot x=5000
  3. Înmulțim ambii membri cu 100\displaystyle 100: 5x=500 000\displaystyle 5x=500\,000. Apoi împărțim la 5\displaystyle 5: x=500 0005\displaystyle x=\dfrac{500\,000}{5}.
    x=5000⋅1005=500 0005\displaystyle x=\frac{5000\cdot 100}{5}=\frac{500\,000}{5}
  4. Efectuăm împărțirea: x=100 000\displaystyle x=100\,000. Verificare: 5100⋅100 000=5000\displaystyle \dfrac{5}{100}\cdot 100\,000=5000. Profitul anual al firmei este de 100 000\displaystyle 100\,000 de lei.
    x=100 000 de lei\displaystyle x=100\,000\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(4,0)\displaystyle A(4,0), B(7,4)\displaystyle B(7,4) și C(1,4)\displaystyle C(1,4). Calculați perimetrul triunghiului ABC\displaystyle ABC.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula distanței dintre două puncte: pentru M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2) avem MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}. Perimetrul este P=AB+AC+BC\displaystyle P=AB+AC+BC.
    MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
  2. Calculăm AB\displaystyle AB, cu A(4,0)\displaystyle A(4,0) și B(7,4)\displaystyle B(7,4): AB=(7−4)2+(4−0)2=9+16=25=5\displaystyle AB=\sqrt{(7-4)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
    AB=32+42=25=5\displaystyle AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5
  3. Calculăm AC\displaystyle AC, cu A(4,0)\displaystyle A(4,0) și C(1,4)\displaystyle C(1,4): AC=(1−4)2+(4−0)2=9+16=25=5\displaystyle AC=\sqrt{(1-4)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
    AC=(−3)2+42=25=5\displaystyle AC=\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{25}=5
  4. Calculăm BC\displaystyle BC, cu B(7,4)\displaystyle B(7,4) și C(1,4)\displaystyle C(1,4). Punctele au aceeași ordonată, deci BC=(1−7)2+(4−4)2=36=6\displaystyle BC=\sqrt{(1-7)^2+(4-4)^2}=\sqrt{36}=6.
    BC=(−6)2+02=6\displaystyle BC=\sqrt{(-6)^2+0^2}=6
  5. Adunăm lungimile celor trei laturi: P△ABC=AB+AC+BC=5+5+6=16\displaystyle P_{\triangle ABC}=AB+AC+BC=5+5+6=16.
    P△ABC=5+5+6=16\displaystyle P_{\triangle ABC}=5+5+6=16
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Arătați că sin⁡230∘+cos⁡260∘−cos⁡60∘=0\displaystyle \sin^2 30^\circ+\cos^2 60^\circ-\cos 60^\circ=0.
Vezi rezolvarea
  1. Reținem valorile remarcabile: sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\dfrac{1}{2} și cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}.
    sin⁡30∘=12\displaystyle \sin 30^\circ=\frac{1}{2},cos⁡60∘=12\displaystyle \quad \cos 60^\circ=\frac{1}{2}
  2. Înlocuim valorile în expresia sin⁡230∘+cos⁡260∘−cos⁡60∘\displaystyle \sin^2 30^\circ+\cos^2 60^\circ-\cos 60^\circ.
    (12)2+(12)2−12\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{1}{2}
  3. Calculăm pătratele: (12)2=14\displaystyle \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4}.
    14+14−12\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}
  4. Adunăm cele două fracții cu numitor 4: 14+14=12\displaystyle \dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}. Apoi scădem 12\displaystyle \dfrac{1}{2} și obținem 0\displaystyle 0, deci egalitatea este demonstrată.
    14+14−12=12−12=0\displaystyle \frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y+50\displaystyle x\circ y=x+y+50.

Arătați că (−1)∘1=50\displaystyle (-1)\circ 1=50.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, x∘y=x+y+50\displaystyle x\circ y=x+y+50. Aici luăm x=−1\displaystyle x=-1 și y=1\displaystyle y=1.
    x=−1\displaystyle x=-1, y=1\displaystyle \ y=1
  2. Înlocuim x=−1\displaystyle x=-1 și y=1\displaystyle y=1 în expresia x+y+50\displaystyle x+y+50.
    (−1)∘1=(−1)+1+50\displaystyle (-1)\circ 1=(-1)+1+50
  3. Calculăm suma: −1+1=0\displaystyle -1+1=0, deci rămâne 0+50=50\displaystyle 0+50=50. Am obținut exact valoarea cerută.
    (−1)∘1=0+50=50\displaystyle (-1)\circ 1=0+50=50
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y+50\displaystyle x\circ y=x+y+50.

Arătați că legea de compoziție „∘\displaystyle \circ” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Asociativitatea înseamnă că pentru orice x,y,z∈R\displaystyle x,y,z\in\mathbb{R} avem (x∘y)∘z=x∘(y∘z)\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z). Fixăm x,y,z\displaystyle x,y,z reale arbitrare și calculăm separat cele două părți.
    (x∘y)∘z=x∘(y∘z) pentru orice x\displaystyle (x\circ y)\circ z=x\circ(y\circ z)\text{ pentru orice }x,y\displaystyle y,z∈R\displaystyle z\in\mathbb{R}
  2. Calculăm x∘y=x+y+50\displaystyle x\circ y=x+y+50, apoi aplicăm legea între acest rezultat și z\displaystyle z: adunăm cele două numere și adăugăm 50\displaystyle 50.
    (x∘y)∘z=(x+y+50)∘z=(x+y+50)+z+50\displaystyle (x\circ y)\circ z=(x+y+50)\circ z=(x+y+50)+z+50
  3. Reducem termenii asemenea: 50+50=100\displaystyle 50+50=100.
    (x∘y)∘z=x+y+z+100\displaystyle (x\circ y)\circ z=x+y+z+100
  4. Calculăm acum cealaltă parte. Mai întâi y∘z=y+z+50\displaystyle y\circ z=y+z+50, apoi aplicăm legea între x\displaystyle x și acest rezultat.
    x∘(y∘z)=x∘(y+z+50)=x+(y+z+50)+50\displaystyle x\circ(y\circ z)=x\circ(y+z+50)=x+(y+z+50)+50
  5. Reducem termenii asemenea și obținem aceeași expresie ca la prima parte: x∘(y∘z)=x+y+z+100=(x∘y)∘z\displaystyle x\circ(y\circ z)=x+y+z+100=(x\circ y)\circ z. Deci cele două produse triple sunt egale pentru orice x,y,z\displaystyle x,y,z reale, adică legea este asociativă.
    x∘(y∘z)=x+y+z+100=(x∘y)∘z, deci legea „∘” este asociativa˘\displaystyle x\circ(y\circ z)=x+y+z+100=(x\circ y)\circ z\text{, deci legea „}\circ\text{” este asociativă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y+50\displaystyle x\circ y=x+y+50.

Verificați dacă e=−50\displaystyle e=-50 este elementul neutru al legii de compoziție „∘\displaystyle \circ”.
Vezi rezolvarea
  1. Reamintim definiția: e\displaystyle e este element neutru dacă pentru orice x∈R\displaystyle x\in\mathbb{R} avem x∘e=x\displaystyle x\circ e=x și e∘x=x\displaystyle e\circ x=x. Verificăm cu e=−50\displaystyle e=-50.
    x∘(−50)=x și (−50)∘x=x, pentru orice x∈R\displaystyle x\circ(-50)=x\text{ și }(-50)\circ x=x\text{, pentru orice }x\in\mathbb{R}
  2. Calculăm x∘(−50)\displaystyle x\circ(-50) înlocuind în definiția legii y\displaystyle y cu −50\displaystyle -50.
    x∘(−50)=x+(−50)+50\displaystyle x\circ(-50)=x+(-50)+50
  3. Reducem termenii −50\displaystyle -50 și 50\displaystyle 50 și obținem x\displaystyle x. Prima egalitate este verificată.
    x∘(−50)=x+(−50)+50=x\displaystyle x\circ(-50)=x+(-50)+50=x
  4. Calculăm (−50)∘x\displaystyle (-50)\circ x înlocuind în definiția legii x\displaystyle x cu −50\displaystyle -50 și y\displaystyle y cu x\displaystyle x.
    (−50)∘x=(−50)+x+50\displaystyle (-50)\circ x=(-50)+x+50
  5. Reducem termenii −50\displaystyle -50 și 50\displaystyle 50 și obținem x\displaystyle x. Ambele egalități sunt verificate pentru orice x\displaystyle x real, deci e=−50\displaystyle e=-50 este elementul neutru al legii „∘\displaystyle \circ”.
    (−50)∘x=(−50)+x+50=x, deci e=−50 este elementul neutru al \displaystyle (-50)\circ x=(-50)+x+50=x\text{, deci }e=-50\text{ este elementul neutru al }legii de compoziție „∘”\displaystyle \text{legii de compoziție „}\circ\text{”}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y+50\displaystyle x\circ y=x+y+50.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care x2∘x=92\displaystyle x^2\circ x=92.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii pentru x2\displaystyle x^{2} și x\displaystyle x: x2∘x=x2+x+50\displaystyle x^{2}\circ x=x^{2}+x+50.
    x2∘x=x2+x+50\displaystyle x^{2}\circ x=x^{2}+x+50
  2. Ecuația x2∘x=92\displaystyle x^{2}\circ x=92 devine x2+x+50=92\displaystyle x^{2}+x+50=92.
    x2+x+50=92\displaystyle x^{2}+x+50=92
  3. Scădem 92\displaystyle 92 din ambii membri: x2+x+50−92=0\displaystyle x^{2}+x+50-92=0, deci x2+x−42=0\displaystyle x^{2}+x-42=0.
    x2+x+50=92⇔x2+x−42=0\displaystyle x^{2}+x+50=92\Leftrightarrow x^{2}+x-42=0
  4. Pentru a=1\displaystyle a=1, b=1\displaystyle b=1, c=−42\displaystyle c=-42 avem Δ=b2−4ac=1+168=169=132\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=1+168=169=13^{2}.
    Δ=169=132\displaystyle \Delta=169=13^{2}
  5. Aplicăm formula x=−1±132\displaystyle x=\dfrac{-1\pm 13}{2}, de unde x1=122=6\displaystyle x_{1}=\dfrac{12}{2}=6 și x2=−142=−7\displaystyle x_{2}=\dfrac{-14}{2}=-7. Ambele sunt numere reale, deci convin.
    x=−7 sau x=6\displaystyle x=-7\text{ sau }x=6
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y+50\displaystyle x\circ y=x+y+50.

Demonstrați că (x2−y−50)∘(x−y2)=(x−y)(x+y+1)\displaystyle (x^2-y-50)\circ(x-y^2)=(x-y)(x+y+1), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii a∘b=a+b+50\displaystyle a\circ b=a+b+50, cu a=x2−y−50\displaystyle a=x^2-y-50 și b=x−y2\displaystyle b=x-y^2.
    (x2−y−50)∘(x−y2)=x2−y−50+x−y2+50\displaystyle (x^2-y-50)\circ(x-y^2)=x^2-y-50+x-y^2+50
  2. Reducem termenii: −50\displaystyle -50 și +50\displaystyle +50 se anulează, apoi grupăm termenii rămași.
    x2−y2+x−y\displaystyle x^2-y^2+x-y
  3. Scriem diferența de pătrate ca produs: x2−y2=(x−y)(x+y)\displaystyle x^2-y^2=(x-y)(x+y).
    (x−y)(x+y)+(x−y)\displaystyle (x-y)(x+y)+(x-y)
  4. Dăm factor comun pe x−y\displaystyle x-y și obținem egalitatea cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    (x−y)(x+y+1), pentru orice numere \displaystyle (x-y)(x+y+1)\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∘y=x+y+50\displaystyle x\circ y=x+y+50.

Determinați numerele naturale m\displaystyle m și n\displaystyle n, știind că ((m2−n−50)∘(m−n2))∘(m−n)=57\displaystyle \left((m^2-n-50)\circ(m-n^2)\right)\circ(m-n)=57.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm prima compunere, folosind definiția x∘y=x+y+50\displaystyle x\circ y=x+y+50: (m2−n−50)∘(m−n2)=m2−n−50+m−n2+50=m2+m−n2−n\displaystyle (m^2-n-50)\circ(m-n^2)=m^2-n-50+m-n^2+50=m^2+m-n^2-n.
    (m2−n−50)∘(m−n2)=m2+m−n2−n\displaystyle (m^2-n-50)\circ(m-n^2)=m^2+m-n^2-n
  2. Grupăm termenii: m2−n2+m−n=(m−n)(m+n)+(m−n)\displaystyle m^2-n^2+m-n=(m-n)(m+n)+(m-n). Scoatem factor comun m−n\displaystyle m-n și obținem (m−n)(m+n+1)\displaystyle (m-n)(m+n+1).
    m2+m−n2−n=(m−n)(m+n+1)\displaystyle m^2+m-n^2-n=(m-n)(m+n+1)
  3. Compunem rezultatul cu m−n\displaystyle m-n: ((m−n)(m+n+1))∘(m−n)=(m−n)(m+n+1)+(m−n)+50\displaystyle \left((m-n)(m+n+1)\right)\circ(m-n)=(m-n)(m+n+1)+(m-n)+50. Scoatem factor comun m−n\displaystyle m-n și obținem (m−n)(m+n+2)+50\displaystyle (m-n)(m+n+2)+50.
    ((m−n)(m+n+1))∘(m−n)=(m−n)(m+n+2)+50\displaystyle \left((m-n)(m+n+1)\right)\circ(m-n)=(m-n)(m+n+2)+50
  4. Ecuația din enunț devine (m−n)(m+n+2)+50=57\displaystyle (m-n)(m+n+2)+50=57, deci (m−n)(m+n+2)=7\displaystyle (m-n)(m+n+2)=7.
    (m−n)(m+n+2)=7\displaystyle (m-n)(m+n+2)=7
  5. Numărul 7\displaystyle 7 este prim, iar m+n+2≥2\displaystyle m+n+2\ge 2, deci m+n+2\displaystyle m+n+2 este pozitiv și diferit de 1\displaystyle 1. Rămâne doar m+n+2=7\displaystyle m+n+2=7 și m−n=1\displaystyle m-n=1, adică m+n=5\displaystyle m+n=5 și m−n=1\displaystyle m-n=1.
    m+n=5 și m−n=1\displaystyle m+n=5\text{ și }m-n=1
  6. Adunăm ecuațiile sistemului: 2m=6\displaystyle 2m=6, deci m=3\displaystyle m=3, iar apoi n=5−3=2\displaystyle n=5-3=2. Verificare: (3−2)(3+2+2)=1⋅7=7\displaystyle (3-2)(3+2+2)=1\cdot 7=7, iar m,n∈N\displaystyle m,n\in\mathbb{N}.
    m=3\displaystyle m=3, n=2\displaystyle \ n=2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricele O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} și A(a)=(1a2a21)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a^2\\a^2&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real pozitiv.

Arătați că det⁡(A(0))=1\displaystyle \det(A(0))=1.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a\displaystyle a cu 0\displaystyle 0 în matricea A(a)\displaystyle A(a). Cum 02=0\displaystyle 0^{2}=0, elementele de pe diagonala secundară devin 0\displaystyle 0, iar cele de pe diagonala principală rămân 1\displaystyle 1. Obținem matricea unitate de ordin 2\displaystyle 2.
    A(0)=(1001)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul de ordin 2\displaystyle 2 al matricei A(0)\displaystyle A(0) și aplicăm formula: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară.
    det⁡(A(0))=∣1001∣=1⋅1−0⋅0\displaystyle \det(A(0))=\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}=1\cdot 1-0\cdot 0
  3. Calculăm produsele: 1⋅1=1\displaystyle 1\cdot 1=1, iar 0⋅0=0\displaystyle 0\cdot 0=0. Scăzând, obținem 1\displaystyle 1, deci determinantul este 1\displaystyle 1, așa cum trebuia arătat.
    1−0=1, deci det⁡(A(0))=1\displaystyle 1-0=1\text{, deci }\det(A(0))=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricele O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} și A(a)=(1a2a21)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a^2\\a^2&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real pozitiv.

Determinați numărul real pozitiv a\displaystyle a pentru care det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A(a)\displaystyle A(a): produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică det⁡(A(a))=1⋅1−a2⋅a2\displaystyle \det(A(a))=1\cdot 1-a^{2}\cdot a^{2}.
    det⁡(A(a))=∣1a2a21∣=1⋅1−a2⋅a2\displaystyle \det(A(a))=\begin{vmatrix}1&a^2\\a^2&1\end{vmatrix}=1\cdot 1-a^2\cdot a^2
  2. Efectuăm calculul: a2⋅a2=a4\displaystyle a^{2}\cdot a^{2}=a^{4}, deci determinantul este 1−a4\displaystyle 1-a^{4} pentru orice a\displaystyle a real pozitiv.
    det⁡(A(a))=1−a4\displaystyle \det(A(a))=1-a^4
  3. Punem condiția det⁡(A(a))=0\displaystyle \det(A(a))=0, adică 1−a4=0\displaystyle 1-a^{4}=0, și descompunem ca diferență de pătrate: 1−a4=(1−a2)(1+a2)\displaystyle 1-a^{4}=(1-a^{2})(1+a^{2}).
    1−a4=0⇔(1−a2)(1+a2)=0\displaystyle 1-a^4=0\Leftrightarrow(1-a^2)(1+a^2)=0
  4. Factorul 1+a2\displaystyle 1+a^{2} este mereu strict pozitiv, deci nu poate fi zero. Rămâne 1−a2=0\displaystyle 1-a^{2}=0, adică a2=1\displaystyle a^{2}=1.
    1−a2=0⇔a2=1\displaystyle 1-a^2=0\Leftrightarrow a^2=1
  5. Ecuația a2=1\displaystyle a^{2}=1 are soluțiile a=−1\displaystyle a=-1 și a=1\displaystyle a=1. Cum a\displaystyle a este pozitiv, a=−1\displaystyle a=-1 nu convine, iar a=1\displaystyle a=1 convine.
    a=−1, care nu convine, sau a=1, care convine; deci a=1\displaystyle a=-1\text{, care nu convine, sau }a=1\text{, care convine; deci }a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricele O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} și A(a)=(1a2a21)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a^2\\a^2&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real pozitiv.

Arătați că A(1)⋅A(1)−2A(1)=O2\displaystyle A(1)\cdot A(1)-2A(1)=O_2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim a=1\displaystyle a=1 în A(a)\displaystyle A(a). Cum 12=1\displaystyle 1^{2}=1, obținem A(1)\displaystyle A(1) cu toate elementele egale cu 1\displaystyle 1.
    A(1)=(1111)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(1)⋅A(1)\displaystyle A(1)\cdot A(1) element cu element: fiecare element este 1⋅1+1⋅1=2\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 1=2.
    A(1)⋅A(1)=(1111)⋅(1111)=(2222)\displaystyle A(1)\cdot A(1)=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}
  3. Calculăm 2A(1)\displaystyle 2A(1), înmulțind fiecare element al matricei A(1)\displaystyle A(1) cu 2\displaystyle 2.
    2A(1)=(2222)\displaystyle 2A(1)=\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}
  4. Scriem diferența cerută, folosind cele două rezultate obținute.
    A(1)⋅A(1)−2A(1)=(2222)−(2222)\displaystyle A(1)\cdot A(1)-2A(1)=\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2&2\\2&2\end{pmatrix}
  5. Scădem matricele element cu element: fiecare element devine 2−2=0\displaystyle 2-2=0. Obținem matricea nulă, deci egalitatea este demonstrată.
    (0000)=O2\displaystyle \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}=O_2
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricele O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} și A(a)=(1a2a21)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a^2\\a^2&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real pozitiv.

Determinați numărul real pozitiv a\displaystyle a pentru care A(2)⋅A(a)=3A(1)\displaystyle A(\sqrt{2})\cdot A(a)=3A(1).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(2)\displaystyle A(\sqrt{2}): pentru a=2\displaystyle a=\sqrt{2} avem a2=2\displaystyle a^{2}=2, deci A(2)=(1221)\displaystyle A(\sqrt{2})=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}.
    A(2)=(1221)\displaystyle A(\sqrt{2})=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}
  2. Scriem egalitatea din enunț, știind că A(1)=(1111)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}.
    (1221)⋅(1a2a21)=3(1111)\displaystyle \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&a^{2}\\a^{2}&1\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}
  3. Calculăm produsul, înmulțind linie cu coloană: 1⋅1+2⋅a2=1+2a2\displaystyle 1\cdot 1+2\cdot a^{2}=1+2a^{2}, 1⋅a2+2⋅1=a2+2\displaystyle 1\cdot a^{2}+2\cdot 1=a^{2}+2, 2⋅1+a2⋅1=2+a2\displaystyle 2\cdot 1+a^{2}\cdot 1=2+a^{2}, 2⋅a2+1⋅1=2a2+1\displaystyle 2\cdot a^{2}+1\cdot 1=2a^{2}+1. În dreapta, 3A(1)\displaystyle 3A(1) are toate elementele egale cu 3\displaystyle 3.
    (1+2a2a2+22+a22a2+1)=(3333)\displaystyle \begin{pmatrix}1+2a^{2}&a^{2}+2\\2+a^{2}&2a^{2}+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&3\\3&3\end{pmatrix}
  4. Egalăm elementele corespunzătoare. Din 1+2a2=3\displaystyle 1+2a^{2}=3 rezultă 2a2=2\displaystyle 2a^{2}=2, deci a2=1\displaystyle a^{2}=1. Din a2+2=3\displaystyle a^{2}+2=3 rezultă tot a2=1\displaystyle a^{2}=1, deci ecuațiile sunt compatibile.
    a2=1\displaystyle a^{2}=1
  5. Din a2=1\displaystyle a^{2}=1 avem a=1\displaystyle a=1 sau a=−1\displaystyle a=-1, dar a\displaystyle a este număr real pozitiv, deci rămâne a=1\displaystyle a=1.
    a=1\displaystyle a=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricele O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} și A(a)=(1a2a21)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a^2\\a^2&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real pozitiv.

Demonstrați că det⁡(A(a)−A(0))≤0\displaystyle \det(A(a)-A(0))\leq 0, pentru orice număr real pozitiv a\displaystyle a.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(0)\displaystyle A(0): în formula lui A(a)\displaystyle A(a) înlocuim a\displaystyle a cu 0\displaystyle 0, deci a2\displaystyle a^2 devine 0\displaystyle 0, iar elementele de pe diagonală rămân 1\displaystyle 1.
    A(0)=(1001)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
  2. Scădem cele două matrice element cu element. Pe diagonală obținem 1−1=0\displaystyle 1-1=0, iar în afara diagonalei rămâne a2−0=a2\displaystyle a^2-0=a^2.
    A(a)−A(0)=(0a2a20)\displaystyle A(a)-A(0)=\begin{pmatrix}0&a^2\\a^2&0\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul de ordin 2\displaystyle 2: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică 0⋅0−a2⋅a2\displaystyle 0\cdot 0-a^2\cdot a^2.
    det⁡(A(a)−A(0))=∣0a2a20∣=0⋅0−a2⋅a2=−a4\displaystyle \det(A(a)-A(0))=\begin{vmatrix}0&a^2\\a^2&0\end{vmatrix}=0\cdot 0-a^2\cdot a^2=-a^4
  4. Observăm semnul: a4\displaystyle a^4 este o putere pară, deci a4≥0\displaystyle a^4\geq 0, prin urmare −a4≤0\displaystyle -a^4\leq 0, pentru orice a\displaystyle a real pozitiv. Astfel inegalitatea cerută este demonstrată.
    det⁡(A(a)−A(0))=−a4≤0, pentru orice numa˘r real \displaystyle \det(A(a)-A(0))=-a^4\leq 0\text{, pentru orice număr real }pozitiv a\displaystyle \text{pozitiv }a
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricele O2=(0000)\displaystyle O_2=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix} și A(a)=(1a2a21)\displaystyle A(a)=\begin{pmatrix}1&a^2\\a^2&1\end{pmatrix}, unde a\displaystyle a este număr real pozitiv.

Determinați perechile (a,b)\displaystyle (a,b) de numere reale pozitive, știind că A(a)⋅A(b)=A(2)+A(12)\displaystyle A(\sqrt{a})\cdot A(\sqrt{b})=A(2)+A\left(\frac{1}{2}\right).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricele A(a)\displaystyle A(\sqrt{a}) și A(b)\displaystyle A(\sqrt{b}): în A(x)\displaystyle A(x) apare x2\displaystyle x^2, deci pentru x=a\displaystyle x=\sqrt{a} obținem a\displaystyle a, iar pentru x=b\displaystyle x=\sqrt{b} obținem b\displaystyle b.
    A(a)=(1aa1)\displaystyle A(\sqrt{a})=\begin{pmatrix}1&a\\a&1\end{pmatrix},A(b)=(1bb1)\displaystyle \quad A(\sqrt{b})=\begin{pmatrix}1&b\\b&1\end{pmatrix}
  2. Înmulțim cele două matrice, linie cu coloană.
    A(a)⋅A(b)=(1+abb+aa+bab+1)\displaystyle A(\sqrt{a})\cdot A(\sqrt{b})=\begin{pmatrix}1+ab&b+a\\a+b&ab+1\end{pmatrix}
  3. Calculăm membrul drept: A(2)\displaystyle A(2) are a2=4\displaystyle a^2=4, iar A(12)\displaystyle A\left(\frac{1}{2}\right) are a2=14\displaystyle a^2=\frac{1}{4}. Adunăm matricele element cu element: pe diagonală 1+1=2\displaystyle 1+1=2, iar în rest 4+14=174\displaystyle 4+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}.
    A(2)+A(12)=(21741742)\displaystyle A(2)+A\left(\frac{1}{2}\right)=\begin{pmatrix}2&\frac{17}{4}\\\frac{17}{4}&2\end{pmatrix}
  4. Egalăm elementele celor două matrice. Din 1+ab=2\displaystyle 1+ab=2 obținem ab=1\displaystyle ab=1, iar din a+b=174\displaystyle a+b=\frac{17}{4} obținem suma. Avem un sistem de tip sumă și produs.
    ab=1 și a+b=174\displaystyle ab=1\text{ și }a+b=\frac{17}{4}
  5. Numerele a\displaystyle a și b\displaystyle b sunt rădăcinile ecuației t2−St+P=0\displaystyle t^2-St+P=0 cu S=174\displaystyle S=\frac{17}{4} și P=1\displaystyle P=1. Amplificăm cu 4\displaystyle 4 ca să scăpăm de numitor.
    t2−174t+1=0  ⟺  4t2−17t+4=0\displaystyle t^2-\frac{17}{4}t+1=0\iff 4t^2-17t+4=0
  6. Calculăm discriminantul și rădăcinile ecuației. Discriminantul este Δ=289−64=225\displaystyle \Delta=289-64=225, deci t=17±158\displaystyle t=\frac{17\pm 15}{8}, adică t=4\displaystyle t=4 sau t=14\displaystyle t=\frac{1}{4}. Ambele sunt pozitive, deci convin. Perechile (a,b)\displaystyle (a,b) sunt (14,4)\displaystyle \left(\frac{1}{4},4\right) și (4,14)\displaystyle \left(4,\frac{1}{4}\right).
    (a,b)∈{(14,4),(4,14)}\displaystyle (a,b)\in\left\{\left(\frac{1}{4},4\right),\left(4,\frac{1}{4}\right)\right\}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.