Bac matematică M4 pedagogic 2014, model: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că numărul 12+2(2−3)−8\displaystyle \sqrt{12}+2\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)-\sqrt{8} este natural.
Vezi rezolvarea
  1. Scoatem factorii de sub radicali. Descompunem 12=4⋅3\displaystyle 12=4\cdot 3, deci 12=4⋅3=23\displaystyle \sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}.
    12=23\displaystyle \sqrt{12}=2\sqrt{3}
  2. Descompunem 8=4⋅2\displaystyle 8=4\cdot 2, deci 8=4⋅2=22\displaystyle \sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}.
    8=22\displaystyle \sqrt{8}=2\sqrt{2}
  3. Înlocuim în expresie și desfacem paranteza: 2(2−3)=22−23\displaystyle 2\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)=2\sqrt{2}-2\sqrt{3}. Obținem 23+22−23−22\displaystyle 2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-2\sqrt{3}-2\sqrt{2}.
    23+22−23−22\displaystyle 2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-2\sqrt{3}-2\sqrt{2}
  4. Reducem termenii asemenea: 23−23=0\displaystyle 2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0 și 22−22=0\displaystyle 2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0. Rezultatul este 0\displaystyle 0, care este număr natural.
    23+22−23−22=0∈N\displaystyle 2\sqrt{3}+2\sqrt{2}-2\sqrt{3}-2\sqrt{2}=0\in\mathbb{N}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x−3\displaystyle f(x)=2x-3. Determinați coordonatele punctului de intersecție dintre graficul funcției f\displaystyle f și axa absciselor.
Vezi rezolvarea
  1. Punctul de intersecție cu axa absciselor Ox\displaystyle Ox se află pe axă, deci are ordonata zero: y=0\displaystyle y=0. Cum punctul este pe grafic, y=f(x)\displaystyle y=f(x).
    y=0\displaystyle y=0
  2. Din f(x)=0\displaystyle f(x)=0 obținem ecuația 2x−3=0\displaystyle 2x-3=0.
    2x−3=0\displaystyle 2x-3=0
  3. Trecem −3\displaystyle -3 în membrul drept: 2x=3\displaystyle 2x=3. Împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem x=32\displaystyle x=\dfrac{3}{2}.
    x=32\displaystyle x=\frac{3}{2}
  4. Punctul de intersecție are abscisa 32\displaystyle \dfrac{3}{2} și ordonata 0\displaystyle 0, deci este punctul A(32,0)\displaystyle A\left(\dfrac{3}{2},0\right).
    A(32,0)\displaystyle A\left(\frac{3}{2},0\right)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația 7x2+1=49\displaystyle 7^{x^2+1}=49.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem membrul drept ca putere a lui 7\displaystyle 7: 49=72\displaystyle 49=7^{2}. Ecuația devine 7x2+1=72\displaystyle 7^{x^{2}+1}=7^{2}.
    7x2+1=72\displaystyle 7^{x^{2}+1}=7^{2}
  2. Funcția exponențială de bază 7\displaystyle 7 este injectivă, deci egalăm exponenții: x2+1=2\displaystyle x^{2}+1=2. Mutăm totul în stânga și obținem x2−1=0\displaystyle x^{2}-1=0.
    7x2+1=72⇔x2+1=2⇔x2−1=0\displaystyle 7^{x^{2}+1}=7^{2}\Leftrightarrow x^{2}+1=2\Leftrightarrow x^{2}-1=0
  3. Descompunem diferența de pătrate: (x−1)(x+1)=0\displaystyle (x-1)(x+1)=0. Un produs este nul când un factor este nul, deci x−1=0\displaystyle x-1=0 sau x+1=0\displaystyle x+1=0. Ambele valori sunt numere reale, deci sunt soluții.
    x1=−1 și x2=1\displaystyle x_1=-1\text{ și }x_2=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
După o scumpire cu 10%\displaystyle 10\%, urmată de o ieftinire cu 10%\displaystyle 10\% din noul preț, un produs costă 1980 de lei. Calculați prețul produsului înainte de scumpire.
Vezi rezolvarea
  1. Notăm prețul inițial al produsului cu x\displaystyle x lei. Scumpirea cu 10%\displaystyle 10\% înseamnă că la preț se adaugă 10%⋅x\displaystyle 10\%\cdot x.
    x+10%⋅x\displaystyle x+10\%\cdot x
  2. Calculăm prețul după scumpire: x+110x=10x+x10\displaystyle x+\dfrac{1}{10}x=\dfrac{10x+x}{10}.
    x+10%⋅x=11x10\displaystyle x+10\%\cdot x=\frac{11x}{10}
  3. Ieftinirea cu 10%\displaystyle 10\% se aplică noului preț 11x10\displaystyle \dfrac{11x}{10}. Prețul final este 1980 de lei, deci scriem ecuația de mai jos.
    11x10−10%⋅11x10=1980\displaystyle \frac{11x}{10}-10\%\cdot\frac{11x}{10}=1980
  4. Dăm factor comun 11x10\displaystyle \dfrac{11x}{10}: 11x10⋅(1−110)=11x10⋅910\displaystyle \dfrac{11x}{10}\cdot\left(1-\dfrac{1}{10}\right)=\dfrac{11x}{10}\cdot\dfrac{9}{10}. Ecuația devine mai simplă.
    99x100=1980\displaystyle \frac{99x}{100}=1980
  5. Rezolvăm ecuația: x=1980⋅10099=20⋅100\displaystyle x=\dfrac{1980\cdot 100}{99}=20\cdot 100. Prețul înainte de scumpire este 2000 de lei.
    x=2000\displaystyle x=2000
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele P(3,4)\displaystyle P(3,4), Q(4,2)\displaystyle Q(4,2) și R(7,2)\displaystyle R(7,2). Determinați coordonatele punctului S\displaystyle S, știind că PQRS\displaystyle PQRS este paralelogram.
Vezi rezolvarea
  1. În paralelogramul PQRS\displaystyle PQRS diagonalele sunt PR\displaystyle PR și QS\displaystyle QS. Ele au același mijloc M\displaystyle M, deci aflăm M\displaystyle M ca mijloc al segmentului PR\displaystyle PR, apoi îl folosim pentru a-l găsi pe S\displaystyle S.
    M=mijlocul lui PR=mijlocul lui QS\displaystyle M=\text{mijlocul lui }PR=\text{mijlocul lui }QS
  2. Calculăm coordonatele mijlocului M\displaystyle M al segmentului PR\displaystyle PR, cu P(3,4)\displaystyle P(3,4) și R(7,2)\displaystyle R(7,2), după formula mijlocului: xM=xP+xR2=3+72\displaystyle x_M=\dfrac{x_P+x_R}{2}=\dfrac{3+7}{2} și yM=yP+yR2=4+22\displaystyle y_M=\dfrac{y_P+y_R}{2}=\dfrac{4+2}{2}.
    xM=5 și yM=3\displaystyle x_M=5\text{ și }y_M=3
  3. M\displaystyle M este și mijlocul segmentului QS\displaystyle QS, cu Q(4,2)\displaystyle Q(4,2) și S(xS,yS)\displaystyle S(x_S,y_S). Scriem formula mijlocului pentru fiecare coordonată: 5=4+xS2\displaystyle 5=\dfrac{4+x_S}{2} și 3=2+yS2\displaystyle 3=\dfrac{2+y_S}{2}.
    xM=xQ+xS2 și yM=yQ+yS2\displaystyle x_M=\frac{x_Q+x_S}{2}\text{ și }y_M=\frac{y_Q+y_S}{2}
  4. Rezolvăm ecuațiile: înmulțim cu 2\displaystyle 2 și scădem coordonatele lui Q\displaystyle Q. Obținem xS=10−4=6\displaystyle x_S=10-4=6 și yS=6−2=4\displaystyle y_S=6-2=4. Deci S\displaystyle S are coordonatele (6,4)\displaystyle (6,4).
    xS=6 și yS=4\displaystyle x_S=6\text{ și }y_S=4, deci S(6,4)\displaystyle \text{ deci }S(6,4)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați cosinusul unghiului A\displaystyle A al triunghiului ABC\displaystyle ABC în care AB=5\displaystyle AB=5, AC=7\displaystyle AC=7 și BC=8\displaystyle BC=8.
Vezi rezolvarea
  1. Unghiul A\displaystyle A este opus laturii BC\displaystyle BC, deci scriem teorema cosinusului pentru această latură: BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡A\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A.
    BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡A\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2\cdot AB\cdot AC\cdot\cos A
  2. Izolăm cos⁡A\displaystyle \cos A și obținem formula în funcție de laturile triunghiului.
    cos⁡A=AB2+AC2−BC22⋅AB⋅AC\displaystyle \cos A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2\cdot AB\cdot AC}
  3. Înlocuim AB=5\displaystyle AB=5, AC=7\displaystyle AC=7, BC=8\displaystyle BC=8. Pătratele sunt 52=25\displaystyle 5^{2}=25, 72=49\displaystyle 7^{2}=49, 82=64\displaystyle 8^{2}=64, iar la numitor avem 2⋅5⋅7\displaystyle 2\cdot 5\cdot 7.
    cos⁡A=25+49−642⋅5⋅7\displaystyle \cos A=\frac{25+49-64}{2\cdot 5\cdot 7}
  4. Calculăm numărătorul: 25+49−64=10\displaystyle 25+49-64=10, iar numitorul este 2⋅5⋅7=70\displaystyle 2\cdot 5\cdot 7=70. Simplificăm fracția prin 10\displaystyle 10 și obținem răspunsul.
    cos⁡A=1070=17\displaystyle \cos A=\frac{10}{70}=\frac{1}{7}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție dată de x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1.

Calculați 2∗3\displaystyle 2*3.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1.
    x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 și y\displaystyle y cu 3\displaystyle 3 în definiția legii.
    2∗3=2+3−1\displaystyle 2*3=2+3-1
  3. Efectuăm calculul: 2+3=5\displaystyle 2+3=5, apoi 5−1=4\displaystyle 5-1=4. Deci 2∗3=4\displaystyle 2*3=4.
    2∗3=4\displaystyle 2*3=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție dată de x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1. Verificați dacă legea de compoziție "∗\displaystyle *" este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea "∗\displaystyle *" este comutativă dacă x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y. Avem deci de comparat cele două expresii.
    x∗y=y∗x, pentru orice x\displaystyle x*y=y*x\text{, pentru orice }x,y∈R\displaystyle y\in\mathbb{R}
  2. Calculăm x∗y\displaystyle x*y direct din definiția legii: se adună x\displaystyle x cu y\displaystyle y și se scade 1\displaystyle 1.
    x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1
  3. Calculăm y∗x\displaystyle y*x aplicând aceeași definiție, cu rolurile lui x\displaystyle x și y\displaystyle y inversate: se adună y\displaystyle y cu x\displaystyle x și se scade 1\displaystyle 1.
    x∗y=x+y−1 și y∗x=y+x−1, pentru orice numere \displaystyle x*y=x+y-1\text{ și }y*x=y+x-1\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
  4. Adunarea numerelor reale este comutativă, deci x+y=y+x\displaystyle x+y=y+x. Prin urmare cele două expresii sunt egale, iar legea "∗\displaystyle *" este comutativă.
    x∗y=y∗x, pentru orice numere \displaystyle x*y=y*x\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție dată de x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1.

Arătați că legea de compoziție "∗\displaystyle *" este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Asociativitatea înseamnă că pentru orice numere reale x,y,z\displaystyle x,y,z avem (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z). Calculăm separat cele două părți, pornind de la definiția x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1.
    (x∗y)∗z=x∗(y∗z), pentru orice x\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)\text{, pentru orice }x,y\displaystyle y,z∈R\displaystyle z\in\mathbb{R}
  2. Mai întâi calculăm x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1, apoi compunem rezultatul cu z\displaystyle z: în definiție, primul element este x+y−1\displaystyle x+y-1, iar al doilea este z\displaystyle z.
    (x∗y)∗z=(x+y−1)∗z\displaystyle (x*y)*z=(x+y-1)*z
  3. Aplicăm definiția: adunăm cele două elemente și scădem 1\displaystyle 1. Reducem termenii asemenea.
    (x+y−1)∗z=(x+y−1)+z−1=x+y+z−2\displaystyle (x+y-1)*z=(x+y-1)+z-1=x+y+z-2
  4. Acum calculăm x∗(y∗z)\displaystyle x*(y*z). Mai întâi y∗z=y+z−1\displaystyle y*z=y+z-1, apoi îl punem ca al doilea element în compunerea cu x\displaystyle x.
    x∗(y∗z)=x∗(y+z−1)\displaystyle x*(y*z)=x*(y+z-1)
  5. Aplicăm definiția: adunăm cele două elemente și scădem 1\displaystyle 1. Reducem termenii asemenea.
    x∗(y+z−1)=x+(y+z−1)−1=x+y+z−2\displaystyle x*(y+z-1)=x+(y+z-1)-1=x+y+z-2
  6. Cele două expresii sunt egale, pentru orice numere reale x,y,z\displaystyle x,y,z, deci legea ∗\displaystyle * este asociativă.
    (x∗y)∗z=x∗(y∗z)=x+y+z−2, deci legea ∗ este asociativa˘\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z)=x+y+z-2\text{, deci legea }*\text{ este asociativă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție dată de x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care (x2)∗x=11\displaystyle \left(x^2\right)*x=11.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1 pentru x2\displaystyle x^{2} în locul lui x\displaystyle x și x\displaystyle x în locul lui y\displaystyle y.
    (x2)∗x=x2+x−1\displaystyle \left(x^{2}\right)*x=x^{2}+x-1
  2. Egalăm rezultatul cu 11\displaystyle 11: x2+x−1=11\displaystyle x^{2}+x-1=11.
    x2+x−1=11\displaystyle x^{2}+x-1=11
  3. Scădem 11\displaystyle 11 din ambii membri și obținem ecuația de gradul al doilea x2+x−12=0\displaystyle x^{2}+x-12=0.
    x2+x−12=0\displaystyle x^{2}+x-12=0
  4. Calculăm discriminantul: Δ=b2−4ac=12−4⋅1⋅(−12)=49\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=1^{2}-4\cdot 1\cdot(-12)=49.
    Δ=49\displaystyle \Delta=49
  5. Aplicăm formula x=−b±Δ2a=−1±72\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-1\pm 7}{2}. Obținem x1=3\displaystyle x_1=3 și x2=−4\displaystyle x_2=-4, ambele numere reale, deci convin.
    x1=3 și x2=−4\displaystyle x_1=3\text{ și }x_2=-4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție dată de x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1.

Arătați că x∗(x+2014)=(x+1007)∗(x+1007)\displaystyle x*(x+2014)=(x+1007)*(x+1007), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Legea de compoziție este a∗b=a+b−1\displaystyle a*b=a+b-1 pentru orice a,b∈R\displaystyle a,b\in\mathbb{R}. O aplicăm pe rând fiecărui membru al egalității.
    a∗b=a+b−1\displaystyle a*b=a+b-1
  2. Pentru membrul stâng luăm a=x\displaystyle a=x și b=x+2014\displaystyle b=x+2014, deci x∗(x+2014)=x+(x+2014)−1\displaystyle x*(x+2014)=x+(x+2014)-1.
    x∗(x+2014)=x+(x+2014)−1\displaystyle x*(x+2014)=x+(x+2014)-1
  3. Reducem termenii asemenea: x+x=2x\displaystyle x+x=2x, iar 2014−1=2013\displaystyle 2014-1=2013. Rezultă membrul stâng.
    x∗(x+2014)=2x+2013\displaystyle x*(x+2014)=2x+2013
  4. Pentru membrul drept luăm a=x+1007\displaystyle a=x+1007 și b=x+1007\displaystyle b=x+1007, deci (x+1007)∗(x+1007)=(x+1007)+(x+1007)−1\displaystyle (x+1007)*(x+1007)=(x+1007)+(x+1007)-1.
    (x+1007)∗(x+1007)=(x+1007)+(x+1007)−1\displaystyle (x+1007)*(x+1007)=(x+1007)+(x+1007)-1
  5. Reducem: 2x+2014−1=2x+2013\displaystyle 2x+2014-1=2x+2013. Cei doi membri sunt egali cu aceeași expresie, deci egalitatea are loc pentru orice număr real x\displaystyle x.
    (x+1007)∗(x+1007)=2x+2013=x∗(x+2014), pentru orice numa˘r real x\displaystyle (x+1007)*(x+1007)=2x+2013=x*(x+2014)\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție dată de x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1.

Determinați numărul real nenul x\displaystyle x pentru care x∗1x=1\displaystyle x*\frac{1}{x}=1.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=x+y−1\displaystyle x*y=x+y-1 pentru y=1x\displaystyle y=\dfrac{1}{x}.
    x∗1x=x+1x−1\displaystyle x*\frac{1}{x}=x+\frac{1}{x}-1
  2. Condiția din enunț este x∗1x=1\displaystyle x*\dfrac{1}{x}=1, deci obținem ecuația:
    x+1x−1=1\displaystyle x+\frac{1}{x}-1=1
  3. Aducem la numitor comun, cu x≠0\displaystyle x\neq 0: x+1x−1=x2+1−xx\displaystyle x+\dfrac{1}{x}-1=\dfrac{x^{2}+1-x}{x}.
    x2−x+1x=1\displaystyle \frac{x^{2}-x+1}{x}=1
  4. Înmulțim cu x≠0\displaystyle x\neq 0: x2−x+1=x\displaystyle x^{2}-x+1=x, apoi mutăm x\displaystyle x în stânga și reducem termenii asemenea.
    x2−2x+1=0\displaystyle x^{2}-2x+1=0
  5. Observăm că x2−2x+1=(x−1)2\displaystyle x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}, deci (x−1)2=0\displaystyle (x-1)^{2}=0, de unde x−1=0\displaystyle x-1=0. Valoarea x=1\displaystyle x=1 este nenulă, deci convine.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Pentru fiecare număr real m\displaystyle m se consideră matricea A(m)=(mm1101m10).A(m)=\begin{pmatrix} m & m & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ m & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Calculați det⁡(A(0))\displaystyle \det(A(0)).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m\displaystyle m cu 0\displaystyle 0 în matricea A(m)\displaystyle A(m) și obținem matricea A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)=(001101010)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
  2. Dezvoltăm determinantul după prima linie, care are un singur element nenul: 1\displaystyle 1 pe poziția (1,3)\displaystyle (1,3). Semnul este (−1)1+3=1\displaystyle (-1)^{1+3}=1, iar minorul se obține eliminând linia 1 și coloana 3.
    det⁡(A(0))=1⋅(−1)1+3⋅∣1001∣\displaystyle \det(A(0))=1\cdot(-1)^{1+3}\cdot\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}
  3. Calculăm determinantul de ordin 2\displaystyle 2: 1⋅1−0⋅0=1\displaystyle 1\cdot 1-0\cdot 0=1. Prin urmare determinantul matricei A(0)\displaystyle A(0) este 1\displaystyle 1.
    det⁡(A(0))=1\displaystyle \det(A(0))=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Pentru fiecare număr real m\displaystyle m se consideră matricea A(m)=(mm1101m10).A(m)=\begin{pmatrix} m & m & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ m & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Calculați A(0)⋅A(1)\displaystyle A(0)\cdot A(1).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=0\displaystyle m=0 în matricea A(m)\displaystyle A(m) și obținem A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)=(001101010)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
  2. Înlocuim m=1\displaystyle m=1 în matricea A(m)\displaystyle A(m) și obținem A(1)\displaystyle A(1).
    A(1)=(111101110)\displaystyle A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
  3. Prima linie a produsului: înmulțim prima linie din A(0)\displaystyle A(0), adică (0, 0, 1)\displaystyle (0,\ 0,\ 1), cu fiecare coloană din A(1)\displaystyle A(1). Rezultă chiar a treia linie din A(1)\displaystyle A(1).
    (0⋅1+0⋅1+1⋅10⋅1+0⋅0+1⋅10⋅1+0⋅1+1⋅0)=(110)\displaystyle \begin{pmatrix} 0\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 1 & 0\cdot 1+0\cdot 0+1\cdot 1 & 0\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}
  4. A doua linie a produsului: linia (1, 0, 1)\displaystyle (1,\ 0,\ 1) din A(0)\displaystyle A(0) dă suma dintre prima și a treia linie din A(1)\displaystyle A(1).
    (1+11+11+0)=(221)\displaystyle \begin{pmatrix} 1+1 & 1+1 & 1+0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \end{pmatrix}
  5. A treia linie a produsului: linia (0, 1, 0)\displaystyle (0,\ 1,\ 0) din A(0)\displaystyle A(0) dă chiar a doua linie din A(1)\displaystyle A(1).
    (101)\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
  6. Adunăm cele trei linii și obținem produsul cerut A(0)⋅A(1)\displaystyle A(0)\cdot A(1).
    A(0)⋅A(1)=(110221101)\displaystyle A(0)\cdot A(1)=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Pentru fiecare număr real m\displaystyle m se consideră matricea A(m)=(mm1101m10).A(m)=\begin{pmatrix} m & m & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ m & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care det⁡(A(m))=m\displaystyle \det(A(m))=m.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm determinantul cu regula lui Sarrus. Adunăm produsele pe diagonala principală și pe paralelele ei: m⋅0⋅0+m⋅1⋅m+1⋅1⋅1\displaystyle m\cdot 0\cdot 0+m\cdot 1\cdot m+1\cdot 1\cdot 1. Scădem produsele pe diagonala secundară și pe paralelele ei: 1⋅0⋅m+m⋅1⋅1+m⋅1⋅0\displaystyle 1\cdot 0\cdot m+m\cdot 1\cdot 1+m\cdot 1\cdot 0.
    det⁡(A(m))=0+m2+1−0−m−0\displaystyle \det(A(m))=0+m^{2}+1-0-m-0
  2. Reducem termenii și obținem determinantul în funcție de m\displaystyle m.
    det⁡(A(m))=m2−m+1\displaystyle \det(A(m))=m^{2}-m+1
  3. Punem condiția din enunț, det⁡(A(m))=m\displaystyle \det(A(m))=m, adică m2−m+1=m\displaystyle m^{2}-m+1=m, și mutăm toți termenii în partea stângă.
    m2−2m+1=0\displaystyle m^{2}-2m+1=0
  4. Recunoaștem pătratul unei diferențe: m2−2m+1=(m−1)2\displaystyle m^{2}-2m+1=(m-1)^{2}. Din (m−1)2=0\displaystyle (m-1)^{2}=0 rezultă m−1=0\displaystyle m-1=0.
    m=1\displaystyle m=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Pentru fiecare număr real m\displaystyle m se consideră matricea A(m)=(mm1101m10).A(m)=\begin{pmatrix} m & m & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ m & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Arătați că A(2)+A(4)=2A(3)\displaystyle A(2)+A(4)=2A(3).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=2\displaystyle m=2 în matricea A(m)\displaystyle A(m) și obținem matricea A(2)\displaystyle A(2).
    A(2)=(221101210)\displaystyle A(2)=\begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}
  2. Înlocuim m=4\displaystyle m=4 în matricea A(m)\displaystyle A(m) și obținem matricea A(4)\displaystyle A(4).
    A(4)=(441101410)\displaystyle A(4)=\begin{pmatrix} 4 & 4 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 4 & 1 & 0 \end{pmatrix}
  3. Adunăm matricele A(2)\displaystyle A(2) și A(4)\displaystyle A(4) element cu element: de exemplu 2+4=6\displaystyle 2+4=6, iar 1+1=2\displaystyle 1+1=2 și 0+0=0\displaystyle 0+0=0.
    A(2)+A(4)=(662202620)\displaystyle A(2)+A(4)=\begin{pmatrix} 6 & 6 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \\ 6 & 2 & 0 \end{pmatrix}
  4. Înlocuim m=3\displaystyle m=3 și înmulțim fiecare element al matricei A(3)\displaystyle A(3) cu 2\displaystyle 2.
    2A(3)=2⋅(331101310)=(662202620)\displaystyle 2A(3)=2\cdot\begin{pmatrix} 3 & 3 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 & 6 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \\ 6 & 2 & 0 \end{pmatrix}
  5. Matricea A(2)+A(4)\displaystyle A(2)+A(4) este egală cu 2A(3)\displaystyle 2A(3), deci A(2)+A(4)=2A(3)\displaystyle A(2)+A(4)=2A(3).
    A(2)+A(4)=2A(3)\displaystyle A(2)+A(4)=2A(3)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Pentru fiecare număr real m\displaystyle m se consideră matricea A(m)=(mm1101m10).A(m)=\begin{pmatrix} m & m & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ m & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Verificați dacă matricea B=(−110001100)\displaystyle B=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} este inversa matricei A(0)\displaystyle A(0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim m=0\displaystyle m=0 în matricea A(m)\displaystyle A(m) și obținem matricea A(0)\displaystyle A(0).
    A(0)=(001101010)\displaystyle A(0)=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
  2. Calculăm produsul A(0)⋅B\displaystyle A(0)\cdot B, adică linie cu coloană. Prima linie a produsului este 0⋅(−1,1,0)+0⋅(0,0,1)+1⋅(1,0,0)=(1,0,0)\displaystyle 0\cdot(-1,1,0)+0\cdot(0,0,1)+1\cdot(1,0,0)=(1,0,0). A doua linie este (−1,1,0)+(1,0,0)=(0,1,0)\displaystyle (-1,1,0)+(1,0,0)=(0,1,0). A treia linie este (0,0,1)\displaystyle (0,0,1). Obținem matricea unitate.
    A(0)⋅B=(100010001)=I3\displaystyle A(0)\cdot B=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I_3
  3. Calculăm și produsul B⋅A(0)\displaystyle B\cdot A(0). Prima linie este −(0,0,1)+(1,0,1)=(1,0,0)\displaystyle -(0,0,1)+(1,0,1)=(1,0,0). A doua linie a lui B\displaystyle B este (0,0,1)\displaystyle (0,0,1), deci obținem a treia linie a lui A(0)\displaystyle A(0), adică (0,1,0)\displaystyle (0,1,0). A treia linie a lui B\displaystyle B este (1,0,0)\displaystyle (1,0,0), deci obținem prima linie a lui A(0)\displaystyle A(0), adică (0,0,1)\displaystyle (0,0,1).
    B⋅A(0)=(100010001)=I3\displaystyle B\cdot A(0)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=I_3
  4. Deoarece A(0)⋅B=I3\displaystyle A(0)\cdot B=I_3 și B⋅A(0)=I3\displaystyle B\cdot A(0)=I_3, matricea B\displaystyle B este inversa matricei A(0)\displaystyle A(0).
    B⋅A(0)=I3⇒matricea B este inversa matricei A(0)\displaystyle B\cdot A(0)=I_3\Rightarrow\text{matricea }B\text{ este inversa matricei }A(0)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Pentru fiecare număr real m\displaystyle m se consideră matricea A(m)=(mm1101m10)\displaystyle A(m)=\begin{pmatrix} m & m & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ m & 1 & 0 \end{pmatrix}. Determinați numărul real m\displaystyle m pentru care sistemul {mx+my+z=0x+z=mmx+y=1\displaystyle \begin{cases} mx+my+z=0 \\ x+z=m \\ mx+y=1 \end{cases} are soluția (0,1,0)\displaystyle (0,1,0).
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0, y=1\displaystyle y=1, z=0\displaystyle z=0 în prima ecuație mx+my+z=0\displaystyle mx+my+z=0 și obținem m⋅0+m⋅1+0=0\displaystyle m\cdot 0+m\cdot 1+0=0.
    m=0\displaystyle m=0
  2. Înlocuim aceleași valori în a doua ecuație x+z=m\displaystyle x+z=m și obținem 0+0=m\displaystyle 0+0=m.
    0=m\displaystyle 0=m
  3. Înlocuim în a treia ecuație mx+y=1\displaystyle mx+y=1 și obținem m⋅0+1=1\displaystyle m\cdot 0+1=1, adică 1=1\displaystyle 1=1, adevărat pentru orice m\displaystyle m. Condițiile obținute formează sistemul de mai jos.
    {m=00=m1=1\displaystyle \begin{cases} m=0 \\ 0=m \\ 1=1 \end{cases}
  4. Primele două condiții dau același rezultat, iar a treia este mereu adevărată, deci singura valoare posibilă este m=0\displaystyle m=0.
    m=0\displaystyle m=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.