Bac matematică M4 pedagogic 2020, model, test de evaluare 10: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Calculați suma primilor patru termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1\displaystyle (a_n)_{n\geq 1}, știind că a1=3\displaystyle a_1=3 și a4=9\displaystyle a_4=9.
Vezi rezolvarea
  1. Avem datele a1=3\displaystyle a_1=3 și a4=9\displaystyle a_4=9, iar cerem suma S4=a1+a2+a3+a4\displaystyle S_4=a_1+a_2+a_3+a_4.
    a1=3\displaystyle a_1=3, a4=9\displaystyle \ a_4=9
  2. Formula sumei primilor n\displaystyle n termeni este Sn=(a1+an)⋅n2\displaystyle S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\cdot n}{2}. Pentru n=4\displaystyle n=4 obținem S4=(a1+a4)⋅42\displaystyle S_4=\dfrac{(a_1+a_4)\cdot 4}{2}.
    S4=(a1+a4)⋅42\displaystyle S_4=\frac{(a_1+a_4)\cdot 4}{2}
  3. Înlocuim a1=3\displaystyle a_1=3 și a4=9\displaystyle a_4=9 în formulă.
    S4=(3+9)⋅42\displaystyle S_4=\frac{(3+9)\cdot 4}{2}
  4. Calculăm 3+9=12\displaystyle 3+9=12, apoi S4=12⋅42=482=24\displaystyle S_4=\dfrac{12\cdot 4}{2}=\dfrac{48}{2}=24.
    S4=12⋅42=482=24\displaystyle S_4=\frac{12\cdot 4}{2}=\frac{48}{2}=24
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=2x+4\displaystyle f(x)=2x+4. Determinați numărul real a\displaystyle a pentru care f(−1)+f(0)+f(1)=f(a)\displaystyle f(-1)+f(0)+f(1)=f(a).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm f(−1)\displaystyle f(-1) înlocuind x\displaystyle x cu −1\displaystyle -1 în formula funcției: f(−1)=2⋅(−1)+4\displaystyle f(-1)=2\cdot(-1)+4.
    f(−1)=−2+4=2\displaystyle f(-1)=-2+4=2
  2. Calculăm f(0)\displaystyle f(0) înlocuind x\displaystyle x cu 0\displaystyle 0: f(0)=2⋅0+4\displaystyle f(0)=2\cdot 0+4.
    f(0)=4\displaystyle f(0)=4
  3. Calculăm f(1)\displaystyle f(1) înlocuind x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1: f(1)=2⋅1+4\displaystyle f(1)=2\cdot 1+4. Obținem cele trei valori: f(−1)=2\displaystyle f(-1)=2, f(0)=4\displaystyle f(0)=4, f(1)=6\displaystyle f(1)=6.
    f(−1)=2\displaystyle f(-1)=2, f(0)=4\displaystyle \ f(0)=4, f(1)=6\displaystyle \ f(1)=6
  4. Adunăm cele trei valori, adică membrul stâng al ecuației: f(−1)+f(0)+f(1)=2+4+6\displaystyle f(-1)+f(0)+f(1)=2+4+6.
    f(−1)+f(0)+f(1)=12\displaystyle f(-1)+f(0)+f(1)=12
  5. Scriem f(a)=2a+4\displaystyle f(a)=2a+4 și egalăm cu 12\displaystyle 12, obținând ecuația de gradul întâi 2a+4=12\displaystyle 2a+4=12.
    2a+4=12\displaystyle 2a+4=12
  6. Scădem 4\displaystyle 4 din ambii membri: 2a=8\displaystyle 2a=8. Apoi împărțim la 2\displaystyle 2 și obținem a=4\displaystyle a=4.
    2a=8⇒a=4\displaystyle 2a=8\Rightarrow a=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡3(x−3)+log⁡3(x+3)=3\displaystyle \log_3(x-3)+\log_3(x+3)=3.
Vezi rezolvarea
  1. Stabilim condițiile de existență ale logaritmilor: argumentele trebuie să fie strict pozitive, deci x−3>0\displaystyle x-3>0 și x+3>0\displaystyle x+3>0. Ambele condiții sunt îndeplinite când x>3\displaystyle x>3, adică x∈(3,+∞)\displaystyle x\in(3,+\infty).
    x∈(3,+∞)\displaystyle x\in(3,+\infty)
  2. Folosim proprietatea logaritmului produsului: log⁡3a+log⁡3b=log⁡3(ab)\displaystyle \log_3 a+\log_3 b=\log_3(ab). Scriem suma logaritmilor ca un singur logaritm în baza 3\displaystyle 3.
    log⁡3((x−3)(x+3))=3\displaystyle \log_3\left((x-3)(x+3)\right)=3
  3. Din definiția logaritmului, log⁡3A=3\displaystyle \log_3 A=3 înseamnă A=33=27\displaystyle A=3^3=27. Produsul (x−3)(x+3)\displaystyle (x-3)(x+3) este x2−9\displaystyle x^2-9. Deci x2−9=27\displaystyle x^2-9=27, de unde x2−36=0\displaystyle x^2-36=0.
    x2−9=33⇒x2−36=0\displaystyle x^2-9=3^3\Rightarrow x^2-36=0
  4. Rezolvăm ecuația: x2=36\displaystyle x^2=36, deci x=−6\displaystyle x=-6 sau x=6\displaystyle x=6.
    x=−6 sau x=6\displaystyle x=-6\text{ sau }x=6
  5. Verificăm condiția de existență x>3\displaystyle x>3. Valoarea −6\displaystyle -6 nu este mai mare decât 3\displaystyle 3, deci nu convine. Valoarea 6\displaystyle 6 este mai mare decât 3\displaystyle 3, deci convine. Singura soluție este x=6\displaystyle x=6.
    x=−6, care nu convine sau x=6, care convine\displaystyle x=-6\text{, care nu convine sau }x=6\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Prețul unui obiect este 1200\displaystyle 1200 de lei. Determinați prețul obiectului după ce acesta se scumpește de două ori, succesiv, cu câte 10%\displaystyle 10\%.
Vezi rezolvarea
  1. La prima scumpire, prețul crește cu 10%\displaystyle 10\% din 1200\displaystyle 1200 de lei. Calculăm mai întâi cât reprezintă 10%\displaystyle 10\% din 1200\displaystyle 1200: 10100⋅1200=120\displaystyle \dfrac{10}{100}\cdot 1200=120 de lei.
    10100⋅1200=120 de lei\displaystyle \frac{10}{100}\cdot 1200=120\text{ de lei}
  2. Adunăm creșterea la prețul inițial: 1200+10100⋅1200=1200+120=1320\displaystyle 1200+\dfrac{10}{100}\cdot 1200=1200+120=1320 de lei. Acesta este prețul după prima scumpire.
    1200+10100⋅1200=1320 de lei\displaystyle 1200+\frac{10}{100}\cdot 1200=1320\text{ de lei}
  3. A doua scumpire se aplică noului preț, 1320\displaystyle 1320 de lei, nu celui inițial. Calculăm 10%\displaystyle 10\% din 1320\displaystyle 1320: 10100⋅1320=132\displaystyle \dfrac{10}{100}\cdot 1320=132 de lei.
    10100⋅1320=132 de lei\displaystyle \frac{10}{100}\cdot 1320=132\text{ de lei}
  4. Adunăm această creștere la 1320\displaystyle 1320 de lei: 1320+10100⋅1320=1320+132=1452\displaystyle 1320+\dfrac{10}{100}\cdot 1320=1320+132=1452. Prețul final al obiectului este 1452\displaystyle 1452 de lei.
    1320+10100⋅1320=1452 de lei\displaystyle 1320+\frac{10}{100}\cdot 1320=1452\text{ de lei}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(3,0)\displaystyle A(3,0), B(0,4)\displaystyle B(0,4), C(−3,0)\displaystyle C(-3,0) și D(0,−4)\displaystyle D(0,-4). Calculați perimetrul patrulaterului ABCD\displaystyle ABCD.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formula distanței dintre două puncte: pentru M(x1,y1)\displaystyle M(x_1,y_1) și N(x2,y2)\displaystyle N(x_2,y_2) avem MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}. O aplicăm pentru fiecare latură a patrulaterului ABCD\displaystyle ABCD.
    MN=(x2−x1)2+(y2−y1)2\displaystyle MN=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}
  2. Pentru A(3,0)\displaystyle A(3,0) și B(0,4)\displaystyle B(0,4) avem AB=(0−3)2+(4−0)2=9+16=25\displaystyle AB=\sqrt{(0-3)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}, deci AB=5\displaystyle AB=5.
    AB=9+16=5\displaystyle AB=\sqrt{9+16}=5
  3. Pentru B(0,4)\displaystyle B(0,4) și C(−3,0)\displaystyle C(-3,0) avem BC=(−3−0)2+(0−4)2=9+16=25\displaystyle BC=\sqrt{(-3-0)^2+(0-4)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}, deci BC=5\displaystyle BC=5.
    BC=9+16=5\displaystyle BC=\sqrt{9+16}=5
  4. Pentru C(−3,0)\displaystyle C(-3,0) și D(0,−4)\displaystyle D(0,-4) avem CD=(0−(−3))2+(−4−0)2=9+16=25\displaystyle CD=\sqrt{(0-(-3))^2+(-4-0)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}, deci CD=5\displaystyle CD=5. Astfel AB=BC=CD=5\displaystyle AB=BC=CD=5.
    AB=5\displaystyle AB=5, BC=5\displaystyle \ BC=5, CD=5\displaystyle \ CD=5
  5. Pentru A(3,0)\displaystyle A(3,0) și D(0,−4)\displaystyle D(0,-4) avem AD=(0−3)2+(−4−0)2=9+16=25\displaystyle AD=\sqrt{(0-3)^2+(-4-0)^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}, deci AD=5\displaystyle AD=5.
    AD=9+16=5\displaystyle AD=\sqrt{9+16}=5
  6. Perimetrul este suma laturilor: PABCD=AB+BC+CD+AD=5+5+5+5\displaystyle P_{ABCD}=AB+BC+CD+AD=5+5+5+5, deci PABCD=20\displaystyle P_{ABCD}=20.
    AD=5\displaystyle AD=5, deci PABCD=20\displaystyle \text{ deci }P_{ABCD}=20
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați aria triunghiului ABC\displaystyle ABC, știind că m(∠B)=45∘\displaystyle m(\angle B)=45^\circ, m(∠C)=45∘\displaystyle m(\angle C)=45^\circ și BC=52\displaystyle BC=5\sqrt{2}.
Vezi rezolvarea
  1. Suma unghiurilor unui triunghi este 180∘\displaystyle 180^\circ, deci m(∠A)=180∘−45∘−45∘\displaystyle m(\angle A)=180^\circ-45^\circ-45^\circ.
    m(∠A)=90∘\displaystyle m(\angle A)=90^\circ
  2. Unghiurile B\displaystyle B și C\displaystyle C sunt congruente, deci AB=AC\displaystyle AB=AC. Cum m(∠A)=90∘\displaystyle m(\angle A)=90^\circ, triunghiul este dreptunghic isoscel, iar BC\displaystyle BC este ipotenuza.
    AB=AC\displaystyle AB=AC, m(∠A)=90∘\displaystyle \ m(\angle A)=90^\circ
  3. Notăm AB=AC=x\displaystyle AB=AC=x. Din teorema lui Pitagora, BC2=x2+x2=2x2\displaystyle BC^{2}=x^{2}+x^{2}=2x^{2}. Cum BC=52\displaystyle BC=5\sqrt{2}, avem (52)2=2x2\displaystyle \left(5\sqrt{2}\right)^{2}=2x^{2}, deci 50=2x2\displaystyle 50=2x^{2}.
    2x2=50\displaystyle 2x^{2}=50
  4. Rezultă x2=25\displaystyle x^{2}=25, deci x=5\displaystyle x=5. Așadar ambele catete au lungimea 5.
    AB=5\displaystyle AB=5, AC=5\displaystyle \ AC=5
  5. Aria triunghiului dreptunghic este semiprodusul catetelor: AΔABC=AB⋅AC2=5⋅52=252\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}=\dfrac{5\cdot 5}{2}=\dfrac{25}{2}.
    AΔABC=AB⋅AC2=252=12,5\displaystyle \mathcal{A}_{\Delta ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{25}{2}=12{,}5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3.

Calculați 1∗(−1)\displaystyle 1*(-1).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem definiția legii de compoziție: pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y, x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3.
    x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3
  2. Înlocuim x\displaystyle x cu 1\displaystyle 1 și y\displaystyle y cu −1\displaystyle -1 în definiție.
    1∗(−1)=1+(−1)−3\displaystyle 1*(-1)=1+(-1)-3
  3. Calculăm: 1+(−1)=0\displaystyle 1+(-1)=0, apoi 0−3=−3\displaystyle 0-3=-3. Deci 1∗(−1)=−3\displaystyle 1*(-1)=-3.
    1∗(−1)=−3\displaystyle 1*(-1)=-3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3.

Verificați dacă legea de compoziție „∗\displaystyle *” este comutativă.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este comutativă dacă x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}. Scriem definiția legii pentru x∗y\displaystyle x*y:
    x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3
  2. Calculăm y∗x\displaystyle y*x cu aceeași definiție, schimbând rolurile lui x\displaystyle x și y\displaystyle y: y∗x=y+x−3\displaystyle y*x=y+x-3.
    y∗x=y+x−3\displaystyle y*x=y+x-3
  3. Adunarea numerelor reale este comutativă, deci x+y=y+x\displaystyle x+y=y+x. Rezultă x+y−3=y+x−3\displaystyle x+y-3=y+x-3, adică x∗y=y∗x\displaystyle x*y=y*x pentru orice x,y∈R\displaystyle x,y\in\mathbb{R}, deci legea este comutativă.
    x∗y=x+y−3=y+x−3=y∗x, pentru orice numere \displaystyle x*y=x+y-3=y+x-3=y*x\text{, pentru orice numere }reale x și y, deci legea de \displaystyle \text{reale }x\text{ și }y\text{, deci legea de }compoziție ∗ este comutativa˘\displaystyle \text{compoziție }*\text{ este comutativă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3.

Arătați că legea de compoziție „∗\displaystyle *” este asociativă.
Vezi rezolvarea
  1. Asociativitatea înseamnă că pentru orice numere reale x\displaystyle x, y\displaystyle y, z\displaystyle z avem (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z). Calculăm separat cele două părți.
    (x∗y)∗z=x∗(y∗z)\displaystyle (x*y)*z=x*(y*z), ∀x\displaystyle \ \forall x,y\displaystyle y,z∈R\displaystyle z\in\mathbb{R}
  2. Mai întâi calculăm x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3, apoi compunem rezultatul cu z\displaystyle z.
    x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3
  3. Aplicăm legea pentru perechea (x+y−3, z)\displaystyle (x+y-3,\ z): se adună cele două numere și se scade 3\displaystyle 3.
    (x∗y)∗z=(x+y−3)∗z=(x+y−3)+z−3=x+y+z−6\displaystyle (x*y)*z=(x+y-3)*z=(x+y-3)+z-3=x+y+z-6
  4. Acum calculăm partea dreaptă. Mai întâi y∗z=y+z−3\displaystyle y*z=y+z-3.
    y∗z=y+z−3\displaystyle y*z=y+z-3
  5. Aplicăm legea pentru perechea (x, y+z−3)\displaystyle (x,\ y+z-3) și obținem aceeași expresie ca la partea stângă. Deci cele două părți sunt egale pentru orice x\displaystyle x, y\displaystyle y, z\displaystyle z reali, adică legea ∗\displaystyle * este asociativă.
    x∗(y∗z)=x∗(y+z−3)=x+y+z−3−3=x+y+z−6=(x∗y)∗z, deci ∗ este asociativa˘\displaystyle x*(y*z)=x*(y+z-3)=x+y+z-3-3=x+y+z-6=(x*y)*z\text{, deci }*\text{ este asociativă}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x\displaystyle x pentru care (x−1)∗(x+1)≤1\displaystyle (x-1)*(x+1)\leq 1.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim definiția legii de compoziție: a∗b=a+b−3\displaystyle a*b=a+b-3. Aici a=x−1\displaystyle a=x-1 și b=x+1\displaystyle b=x+1, deci (x−1)∗(x+1)=(x−1)+(x+1)−3\displaystyle (x-1)*(x+1)=(x-1)+(x+1)-3.
    (x−1)∗(x+1)=(x−1)+(x+1)−3\displaystyle (x-1)*(x+1)=(x-1)+(x+1)-3
  2. Reducem termenii asemenea: −1\displaystyle -1 și +1\displaystyle +1 se anulează, iar x+x=2x\displaystyle x+x=2x. Rămâne 2x−3\displaystyle 2x-3. Inegalitatea devine 2x−3≤1\displaystyle 2x-3\leq 1.
    (x−1)+(x+1)−3≤1⇔2x−3≤1\displaystyle (x-1)+(x+1)-3\leq 1\Leftrightarrow 2x-3\leq 1
  3. Adunăm 3\displaystyle 3 în ambii membri ai inegalității: 2x≤4\displaystyle 2x\leq 4.
    2x≤4\displaystyle 2x\leq 4
  4. Împărțim la 2\displaystyle 2, număr pozitiv, deci sensul inegalității se păstrează: x≤2\displaystyle x\leq 2. Mulțimea valorilor lui x\displaystyle x este intervalul închis la dreapta.
    x∈(−∞,2]\displaystyle x\in(-\infty,2]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care 4x∗2x+1=5\displaystyle 4^x*2^{x+1}=5.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3 pentru numerele 4x\displaystyle 4^x și 2x+1\displaystyle 2^{x+1} și obținem ecuația 4x+2x+1−3=5\displaystyle 4^x+2^{x+1}-3=5.
    4x+2x+1−3=5\displaystyle 4^x+2^{x+1}-3=5
  2. Scriem 4x=22x\displaystyle 4^x=2^{2x} și 2x+1=2⋅2x\displaystyle 2^{x+1}=2\cdot 2^x, apoi mutăm termenul 5\displaystyle 5 în membrul stâng: 22x+2⋅2x−3−5=0\displaystyle 2^{2x}+2\cdot 2^x-3-5=0.
    22x+2⋅2x−8=0\displaystyle 2^{2x}+2\cdot 2^x-8=0
  3. Notăm t=2x\displaystyle t=2^x, cu t>0\displaystyle t>0. Ecuația devine t2+2t−8=0\displaystyle t^2+2t-8=0.
    t2+2t−8=0\displaystyle t^{2}+2t-8=0
  4. Descompunem: t2+2t−8=(t+4)(t−2)\displaystyle t^2+2t-8=(t+4)(t-2), deci (2x+4)(2x−2)=0\displaystyle \left(2^x+4\right)\left(2^x-2\right)=0. Rădăcinile sunt t=−4\displaystyle t=-4 și t=2\displaystyle t=2.
    (2x+4)(2x−2)=0\displaystyle \left(2^x+4\right)\left(2^x-2\right)=0
  5. Cum 2x>0\displaystyle 2^x>0, valoarea t=−4\displaystyle t=-4 nu convine. Rămâne 2x=2\displaystyle 2^x=2, de unde x=1\displaystyle x=1.
    x=1\displaystyle x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție x∗y=x+y−3\displaystyle x*y=x+y-3.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y pentru care (x−1)∗(y+2)=3\displaystyle (x-1)*(y+2)=3 și (2x)∗(y−2)=2\displaystyle (2x)*(y-2)=2.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm definiția legii a∗b=a+b−3\displaystyle a*b=a+b-3 pentru a=x−1\displaystyle a=x-1 și b=y+2\displaystyle b=y+2: (x−1)∗(y+2)=(x−1)+(y+2)−3\displaystyle (x-1)*(y+2)=(x-1)+(y+2)-3.
    (x−1)∗(y+2)=(x−1)+(y+2)−3\displaystyle (x-1)*(y+2)=(x-1)+(y+2)-3
  2. Reducem termenii: x−1+y+2−3=x+y−2\displaystyle x-1+y+2-3=x+y-2. Din x+y−2=3\displaystyle x+y-2=3 obținem x+y=5\displaystyle x+y=5.
    x+y=5\displaystyle x+y=5
  3. Aplicăm definiția pentru a=2x\displaystyle a=2x și b=y−2\displaystyle b=y-2: (2x)∗(y−2)=2x+y−2−3=2x+y−5\displaystyle (2x)*(y-2)=2x+y-2-3=2x+y-5. Din 2x+y−5=2\displaystyle 2x+y-5=2 obținem 2x+y=7\displaystyle 2x+y=7.
    2x+y=7\displaystyle 2x+y=7
  4. Avem sistemul {x+y=52x+y=7\displaystyle \begin{cases}x+y=5\\2x+y=7\end{cases}. Scădem prima ecuație din a doua: (2x+y)−(x+y)=7−5\displaystyle (2x+y)-(x+y)=7-5, deci x=2\displaystyle x=2.
    x=2\displaystyle x=2
  5. Înlocuim x=2\displaystyle x=2 în x+y=5\displaystyle x+y=5: 2+y=5\displaystyle 2+y=5, deci y=3\displaystyle y=3.
    x=2 și y=3\displaystyle x=2\text{ și }y=3
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricea A(x,y)=(11xy)\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}1&1\\x&y\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Arătați că det⁡(A(0,0))=0\displaystyle \det(A(0,0))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x=0\displaystyle x=0 și y=0\displaystyle y=0 în matricea A(x,y)\displaystyle A(x,y) și obținem matricea A(0,0)\displaystyle A(0,0).
    A(0,0)=(1100)\displaystyle A(0,0)=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}
  2. Scriem determinantul matricei A(0,0)\displaystyle A(0,0) și aplicăm regula: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică ad−bc\displaystyle ad-bc.
    det⁡(A(0,0))=∣1100∣=1⋅0−0⋅1\displaystyle \det(A(0,0))=\begin{vmatrix}1&1\\0&0\end{vmatrix}=1\cdot 0-0\cdot 1
  3. Calculăm produsele: 1⋅0=0\displaystyle 1\cdot 0=0 și 0⋅1=0\displaystyle 0\cdot 1=0, deci diferența lor este 0−0=0\displaystyle 0-0=0. Astfel determinantul este egal cu 0\displaystyle 0, ceea ce trebuia arătat.
    det⁡(A(0,0))=0−0=0\displaystyle \det(A(0,0))=0-0=0
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricea A(x,y)=(11xy)\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}1&1\\x&y\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Calculați A(0,0)⋅A(1,1)\displaystyle A(0,0)\cdot A(1,1).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(0,0)\displaystyle A(0,0), înlocuind x=0\displaystyle x=0 și y=0\displaystyle y=0 în forma generală: prima linie rămâne 1, 1\displaystyle 1,\ 1, iar a doua linie devine 0, 0\displaystyle 0,\ 0.
    A(0,0)=(1100)\displaystyle A(0,0)=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}
  2. Scriem matricea A(1,1)\displaystyle A(1,1), înlocuind x=1\displaystyle x=1 și y=1\displaystyle y=1: a doua linie devine 1, 1\displaystyle 1,\ 1.
    A(1,1)=(1111)\displaystyle A(1,1)=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}
  3. Scriem produsul celor două matrice, în ordinea din enunț, și îl calculăm înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua.
    A(0,0)⋅A(1,1)=(1100)⋅(1111)\displaystyle A(0,0)\cdot A(1,1)=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}
  4. Prima linie a produsului: linia (1, 1)\displaystyle (1,\ 1) înmulțită cu fiecare coloană (11)\displaystyle \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} dă 1⋅1+1⋅1=2\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot 1=2, deci ambele elemente sunt 2\displaystyle 2.
    (1⋅1+1⋅11⋅1+1⋅1)=(22)\displaystyle \begin{pmatrix}1\cdot 1+1\cdot 1&1\cdot 1+1\cdot 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2\end{pmatrix}
  5. A doua linie a produsului: linia (0, 0)\displaystyle (0,\ 0) înmulțită cu orice coloană dă 0⋅1+0⋅1=0\displaystyle 0\cdot 1+0\cdot 1=0, deci ambele elemente sunt 0\displaystyle 0. Obținem rezultatul final.
    A(0,0)⋅A(1,1)=(2200)\displaystyle A(0,0)\cdot A(1,1)=\begin{pmatrix}2&2\\0&0\end{pmatrix}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricea A(x,y)=(11xy)\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}1&1\\x&y\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Arătați că det⁡(A(x,y))+det⁡(A(y,x))=0\displaystyle \det(A(x,y))+\det(A(y,x))=0, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei A(x,y)\displaystyle A(x,y) și îl calculăm după formula pentru determinantul de ordinul doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară. Obținem det⁡(A(x,y))=∣11xy∣=1⋅y−1⋅x\displaystyle \det(A(x,y))=\begin{vmatrix}1&1\\x&y\end{vmatrix}=1\cdot y-1\cdot x.
    det⁡(A(x,y))=y−x\displaystyle \det(A(x,y))=y-x
  2. Matricea A(y,x)\displaystyle A(y,x) se obține înlocuind x\displaystyle x cu y\displaystyle y și y\displaystyle y cu x\displaystyle x, deci a doua linie devine (y, x)\displaystyle (y,\ x): A(y,x)=(11yx)\displaystyle A(y,x)=\begin{pmatrix}1&1\\y&x\end{pmatrix}.
    A(y,x)=(11yx)\displaystyle A(y,x)=\begin{pmatrix}1&1\\y&x\end{pmatrix}
  3. Calculăm determinantul matricei A(y,x)\displaystyle A(y,x) cu aceeași formulă: det⁡(A(y,x))=∣11yx∣=1⋅x−1⋅y\displaystyle \det(A(y,x))=\begin{vmatrix}1&1\\y&x\end{vmatrix}=1\cdot x-1\cdot y.
    det⁡(A(y,x))=x−y\displaystyle \det(A(y,x))=x-y
  4. Adunăm cele două determinante: det⁡(A(x,y))+det⁡(A(y,x))=(y−x)+(x−y)\displaystyle \det(A(x,y))+\det(A(y,x))=(y-x)+(x-y). Termenii se reduc, deci suma este 0\displaystyle 0 pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    det⁡(A(x,y))+det⁡(A(y,x))=y−x+x−y=0, pentru orice numere \displaystyle \det(A(x,y))+\det(A(y,x))=y-x+x-y=0\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricea A(x,y)=(11xy)\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}1&1\\x&y\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Determinați numerele reale x\displaystyle x și y\displaystyle y pentru care A(x,y)⋅A(x,y)=2A(x,y)\displaystyle A(x,y)\cdot A(x,y)=2A(x,y).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm produsul A(x,y)⋅A(x,y)\displaystyle A(x,y)\cdot A(x,y), înmulțind liniile primei matrice cu coloanele celei de-a doua. Prima linie: 1⋅1+1⋅x=1+x\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot x=1+x și 1⋅1+1⋅y=1+y\displaystyle 1\cdot 1+1\cdot y=1+y. A doua linie: x⋅1+y⋅x=x+xy\displaystyle x\cdot 1+y\cdot x=x+xy și x⋅1+y⋅y=x+y2\displaystyle x\cdot 1+y\cdot y=x+y^{2}.
    A(x,y)⋅A(x,y)=(1+x1+yx+xyx+y2)\displaystyle A(x,y)\cdot A(x,y)=\begin{pmatrix}1+x&1+y\\x+xy&x+y^{2}\end{pmatrix}
  2. Scriem membrul drept: 2A(x,y)\displaystyle 2A(x,y) se obține înmulțind fiecare element al matricei cu 2\displaystyle 2. Apoi scriem egalitatea cerută între cele două matrice.
    (11xy)(11xy)=2(11xy)⇔(1+x1+yx+xyx+y2)=(222x2y)\displaystyle \begin{pmatrix}1&1\\x&y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&1\\x&y\end{pmatrix}=2\begin{pmatrix}1&1\\x&y\end{pmatrix}\Leftrightarrow\begin{pmatrix}1+x&1+y\\x+xy&x+y^{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&2\\2x&2y\end{pmatrix}
  3. Două matrice sunt egale când elementele de pe aceleași poziții sunt egale. Din primul element obținem 1+x=2\displaystyle 1+x=2, deci x=1\displaystyle x=1. Din al doilea element al primei linii obținem 1+y=2\displaystyle 1+y=2, deci y=1\displaystyle y=1.
    1+x=2⇒x=1 și 1+y=2⇒y=1\displaystyle 1+x=2\Rightarrow x=1\text{ și }1+y=2\Rightarrow y=1
  4. Verificăm cu celelalte două egalități, pentru x=1\displaystyle x=1 și y=1\displaystyle y=1. A treia: x+xy=1+1=2\displaystyle x+xy=1+1=2 și 2x=2\displaystyle 2x=2, deci se verifică. A patra: x+y2=1+1=2\displaystyle x+y^{2}=1+1=2 și 2y=2\displaystyle 2y=2, deci se verifică. Așadar x=1\displaystyle x=1 și y=1\displaystyle y=1 convin.
    x=1 și y=1\displaystyle x=1\text{ și }y=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricea A(x,y)=(11xy)\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}1&1\\x&y\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Determinați numărul natural nenul n\displaystyle n pentru care A(1,1)+A(2,2)+…+A(n,n)=nA(4,4)\displaystyle A(1,1)+A(2,2)+\ldots+A(n,n)=nA(4,4).
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea A(k,k)\displaystyle A(k,k) pentru k∈{1,2,…,n}\displaystyle k\in\{1,2,\ldots,n\}: prima linie este formată din 1\displaystyle 1 și 1\displaystyle 1, iar a doua linie din k\displaystyle k și k\displaystyle k.
    A(k,k)=(11kk)\displaystyle A(k,k)=\begin{pmatrix}1&1\\k&k\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele element cu element. Pe prima linie fiecare element este suma a n\displaystyle n unități, adică n\displaystyle n. Pe a doua linie avem suma 1+2+…+n=n(n+1)2\displaystyle 1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.
    A(1,1)+…+A(n,n)=(nnn(n+1)2n(n+1)2)\displaystyle A(1,1)+\ldots+A(n,n)=\begin{pmatrix}n&n\\\frac{n(n+1)}{2}&\frac{n(n+1)}{2}\end{pmatrix}
  3. Dăm factor comun n\displaystyle n din toate elementele matricei, adică împărțim fiecare element la n\displaystyle n, cu n\displaystyle n număr natural nenul.
    A(1,1)+…+A(n,n)=n(11n+12n+12), unde n este numa˘r natural nenul\displaystyle A(1,1)+\ldots+A(n,n)=n\begin{pmatrix}1&1\\\frac{n+1}{2}&\frac{n+1}{2}\end{pmatrix}\text{, unde }n\text{ este număr natural nenul}
  4. Scriem egalitatea din enunț, cu A(4,4)=(1144)\displaystyle A(4,4)=\begin{pmatrix}1&1\\4&4\end{pmatrix}. Simplificăm cu n≠0\displaystyle n\neq 0.
    n(11n+12n+12)=n(1144)⇒(11n+12n+12)=(1144)\displaystyle n\begin{pmatrix}1&1\\\frac{n+1}{2}&\frac{n+1}{2}\end{pmatrix}=n\begin{pmatrix}1&1\\4&4\end{pmatrix}\Rightarrow\begin{pmatrix}1&1\\\frac{n+1}{2}&\frac{n+1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\4&4\end{pmatrix}
  5. Egalăm elementele de pe a doua linie: n+12=4\displaystyle \dfrac{n+1}{2}=4, deci n+1=8\displaystyle n+1=8, de unde n=7\displaystyle n=7, număr natural nenul.
    n+12=4⇔n=7\displaystyle \frac{n+1}{2}=4\Leftrightarrow n=7
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricea A(x,y)=(11xy)\displaystyle A(x,y)=\begin{pmatrix}1&1\\x&y\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x și y\displaystyle y sunt numere reale.

Determinați numărul perechilor (m,n)\displaystyle (m,n) de numere naturale pentru care suma elementelor matricei A(m,n)\displaystyle A(m,n) este egală cu 102\displaystyle 102.
Vezi rezolvarea
  1. Matricea A(m,n)=(11mn)\displaystyle A(m,n)=\begin{pmatrix}1&1\\m&n\end{pmatrix} are elementele 1\displaystyle 1, 1\displaystyle 1, m\displaystyle m și n\displaystyle n. Suma lor este 1+1+m+n\displaystyle 1+1+m+n.
    1+1+m+n=m+n+2\displaystyle 1+1+m+n=m+n+2
  2. Punem condiția ca suma să fie 102\displaystyle 102: m+n+2=102\displaystyle m+n+2=102. Scădem 2\displaystyle 2 din ambii membri și obținem m+n=100\displaystyle m+n=100.
    m+n+2=102⇔m+n=100\displaystyle m+n+2=102\Leftrightarrow m+n=100
  3. Cum m\displaystyle m și n\displaystyle n sunt numere naturale, iar n=100−m≥0\displaystyle n=100-m\ge 0, rezultă m≤100\displaystyle m\le 100. Deci m\displaystyle m poate lua oricare dintre valorile 0,1,2,…,100\displaystyle 0,1,2,\ldots,100.
    m∈{0,1,2,…,100}\displaystyle m\in\{0,1,2,\ldots,100\}
  4. Pentru fiecare m=k\displaystyle m=k, valoarea n=100−k\displaystyle n=100-k este un număr natural determinat unic. Perechile sunt (k,100−k)\displaystyle (k,100-k), cu k∈{0,1,2,…,100}\displaystyle k\in\{0,1,2,\ldots,100\}.
    (m,n)=(k,100−k)\displaystyle (m,n)=(k,100-k), k∈{0,1,2,…,100}\displaystyle \ k\in\{0,1,2,\ldots,100\}
  5. Numărăm valorile lui k\displaystyle k de la 0\displaystyle 0 la 100\displaystyle 100: sunt 100−0+1=101\displaystyle 100-0+1=101 valori. Deci există 101\displaystyle 101 perechi de numere naturale cu proprietatea cerută.
    101\displaystyle 101
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.