Bac matematică M4 pedagogic 2020, model, test de evaluare 15: subiecte rezolvate pas cu pas

Rezolvările sunt generate cu AI și verificate. Nu reprezintă baremul oficial.

Subiectul I.1

5 puncte
Arătați că (2+1)(2−1)−(2−1)2−(22−3)=1\displaystyle (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)-(\sqrt{2}-1)^2-(2\sqrt{2}-3)=1.
Vezi rezolvarea
  1. Aplicăm formula diferenței de pătrate (a+b)(a−b)=a2−b2\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2} pentru primul produs, cu a=2\displaystyle a=\sqrt{2} și b=1\displaystyle b=1.
    (2+1)(2−1)=2−1=1\displaystyle (\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1
  2. Dezvoltăm pătratul diferenței cu formula (a−b)2=a2−2ab+b2\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}, unde a=2\displaystyle a=\sqrt{2} și b=1\displaystyle b=1.
    (2−1)2=2−22+1=3−22\displaystyle (\sqrt{2}-1)^{2}=2-2\sqrt{2}+1=3-2\sqrt{2}
  3. Înlocuim în expresie și eliminăm parantezele, schimbând semnele termenilor din parantezele precedate de minus.
    (2−1)−(2−22+1)−(22−3)=1−3+22−22+3\displaystyle (2-1)-(2-2\sqrt{2}+1)-(2\sqrt{2}-3)=1-3+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}+3
  4. Reducem termenii: 22−22=0\displaystyle 2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=0, iar 1−3+3=1\displaystyle 1-3+3=1.
    1−3+3+22−22=1\displaystyle 1-3+3+2\sqrt{2}-2\sqrt{2}=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.2

5 puncte
Se consideră funcția f:R→R\displaystyle f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, f(x)=x−5\displaystyle f(x)=x-5. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația f(x)≤2\displaystyle f(x)\le 2.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim expresia funcției f(x)=x−5\displaystyle f(x)=x-5 în inecuația f(x)≤2\displaystyle f(x)\le 2.
    x−5≤2\displaystyle x-5\le 2
  2. Adunăm 5\displaystyle 5 în ambii membri ai inecuației, pentru a izola necunoscuta. Sensul inegalității nu se schimbă, deoarece adunăm același număr în ambele părți.
    x−5+5≤2+5\displaystyle x-5+5\le 2+5
  3. Efectuăm calculele și obținem x≤7\displaystyle x\le 7. Mulțimea soluțiilor este intervalul (−∞,7]\displaystyle (-\infty,7], închis în 7\displaystyle 7.
    x≤7, deci x∈(−∞,7]\displaystyle x\le 7\text{, deci }x\in(-\infty,7]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.3

5 puncte
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡4(x3+1)=log⁡49\displaystyle \log_4(x^3+1)=\log_4 9.
Vezi rezolvarea
  1. Punem condiția de existență a logaritmului: argumentul trebuie să fie strict pozitiv, adică x3+1>0\displaystyle x^{3}+1>0, deci x>−1\displaystyle x>-1.
    x3+1>0⇔x>−1\displaystyle x^{3}+1>0\Leftrightarrow x>-1
  2. Logaritmii au aceeași bază, 4\displaystyle 4, iar funcția logaritmică este injectivă, deci egalăm argumentele: x3+1=9\displaystyle x^{3}+1=9.
    x3+1=9\displaystyle x^{3}+1=9
  3. Trecem 1\displaystyle 1 în membrul drept: x3=9−1\displaystyle x^{3}=9-1, deci x3=8\displaystyle x^{3}=8.
    x3=8\displaystyle x^{3}=8
  4. Deoarece 8=23\displaystyle 8=2^{3}, iar funcția x↦x3\displaystyle x\mapsto x^{3} este injectivă pe R\displaystyle \mathbb{R}, rezultă x=2\displaystyle x=2. Verificăm condiția: 2>−1\displaystyle 2>-1, deci soluția convine.
    x=2, care convine\displaystyle x=2\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.4

5 puncte
Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu elementele mulțimii A={1,2,3,4,5}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\}.
Vezi rezolvarea
  1. Un număr de trei cifre distincte are cifra sutelor, cifra zecilor și cifra unităților, toate alese din mulțimea A={1,2,3,4,5}\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\}, fără repetiție. Cifra 0\displaystyle 0 nu apare în A\displaystyle A, deci nu există restricții legate de prima cifră. Pentru prima cifră (a sutelor) avem 5\displaystyle 5 variante.
    5\displaystyle 5
  2. După ce am ales cifra sutelor, rămân 4\displaystyle 4 cifre disponibile pentru cifra zecilor, deoarece cifrele trebuie să fie distincte.
    4\displaystyle 4
  3. După ce am ales cifra sutelor și cifra zecilor, rămân 3\displaystyle 3 cifre disponibile pentru cifra unităților.
    3\displaystyle 3
  4. Aplicăm regula produsului: înmulțim numărul de variante de la fiecare alegere. Obținem 60\displaystyle 60 de numere.
    5⋅4⋅3=60\displaystyle 5\cdot 4\cdot 3=60
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.5

5 puncte
În reperul cartezian xOy\displaystyle xOy se consideră punctele A(6,4)\displaystyle A(6,4) și B(−6,4)\displaystyle B(-6,4). Determinați coordonatele mijlocului segmentului OM\displaystyle OM, unde M\displaystyle M este mijlocul segmentului AB\displaystyle AB.
Vezi rezolvarea
  1. Folosim formulele pentru coordonatele mijlocului unui segment: pentru A(xA,yA)\displaystyle A(x_A,y_A) și B(xB,yB)\displaystyle B(x_B,y_B), mijlocul are coordonatele x=xA+xB2\displaystyle x=\dfrac{x_A+x_B}{2} și y=yA+yB2\displaystyle y=\dfrac{y_A+y_B}{2}.
    xM=xA+xB2\displaystyle x_M=\dfrac{x_A+x_B}{2}, yM=yA+yB2\displaystyle \ y_M=\dfrac{y_A+y_B}{2}
  2. Calculăm abscisa lui M\displaystyle M, înlocuind abscisele 6\displaystyle 6 și −6\displaystyle -6 ale punctelor A\displaystyle A și B\displaystyle B.
    xM=6+(−6)2=0\displaystyle x_M=\dfrac{6+(-6)}{2}=0
  3. Calculăm ordonata lui M\displaystyle M, înlocuind ordonatele 4\displaystyle 4 și 4\displaystyle 4. Rezultă că M\displaystyle M are coordonatele 0\displaystyle 0 și 4\displaystyle 4.
    yM=4+42=4\displaystyle y_M=\dfrac{4+4}{2}=4, deci M(0,4)\displaystyle \text{ deci }M(0,4)
  4. Notăm cu N\displaystyle N mijlocul segmentului OM\displaystyle OM, unde O(0,0)\displaystyle O(0,0) este originea și M(0,4)\displaystyle M(0,4). Aplicăm din nou formulele mijlocului și calculăm abscisa lui N\displaystyle N.
    xN=0+02=0\displaystyle x_N=\dfrac{0+0}{2}=0
  5. Calculăm ordonata lui N\displaystyle N. Mijlocul segmentului OM\displaystyle OM este punctul N\displaystyle N de coordonate 0\displaystyle 0 și 2\displaystyle 2.
    yN=0+42=2\displaystyle y_N=\dfrac{0+4}{2}=2, deci N(0,2)\displaystyle \text{ deci }N(0,2)
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul I.6

5 puncte
Calculați lungimea laturii BC\displaystyle BC a triunghiului ABC\displaystyle ABC dreptunghic în A\displaystyle A, știind că AB=7\displaystyle AB=7 și m(∠B)=60∘\displaystyle m(\angle B)=60^\circ.
Vezi rezolvarea
  1. Triunghiul ABC\displaystyle ABC este dreptunghic în A\displaystyle A, deci BC\displaystyle BC este ipotenuza, iar AB\displaystyle AB este cateta alăturată unghiului B\displaystyle B. Scriem cosinusul unghiului B\displaystyle B ca raport dintre cateta alăturată și ipotenuză.
    cos⁡B=ABBC\displaystyle \cos B=\dfrac{AB}{BC}
  2. Știm că cos⁡60∘=12\displaystyle \cos 60^\circ=\dfrac{1}{2} și că AB=7\displaystyle AB=7. Înlocuim aceste valori în relația de mai sus.
    12=7BC\displaystyle \dfrac{1}{2}=\dfrac{7}{BC}
  3. Din proporție, înmulțim pe diagonală: BC=2⋅7\displaystyle BC=2\cdot 7. Deci lungimea ipotenuzei este 14.
    BC=14\displaystyle BC=14
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.1)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−4(x+y)+20\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+20.

Arătați că 4∗2020=4\displaystyle 4*2020=4.
Vezi rezolvarea
  1. Legea este x∗y=xy−4(x+y)+20\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+20. Pentru x=4\displaystyle x=4 și y=2020\displaystyle y=2020 obținem expresia de mai jos.
    4∗2020=4⋅2020−4(4+2020)+20\displaystyle 4*2020=4\cdot 2020-4(4+2020)+20
  2. Distribuim factorul 4\displaystyle 4 în paranteză: 4(4+2020)=4⋅4+4⋅2020\displaystyle 4(4+2020)=4\cdot 4+4\cdot 2020.
    4⋅2020−4⋅4−4⋅2020+20\displaystyle 4\cdot 2020-4\cdot 4-4\cdot 2020+20
  3. Termenii 4⋅2020\displaystyle 4\cdot 2020 și −4⋅2020\displaystyle -4\cdot 2020 se reduc, iar rămâne −16+20\displaystyle -16+20, adică 4\displaystyle 4. Deci 4∗2020=4\displaystyle 4*2020=4.
    −16+20=4\displaystyle -16+20=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.2)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−4(x+y)+20\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+20.

Demonstrați că x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Pornim de la definiția legii de compoziție: x∗y=xy−4(x+y)+20\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+20.
    x∗y=xy−4(x+y)+20\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+20
  2. Desfacem parantezele și scriem 20=16+4\displaystyle 20=16+4, pentru a obține termenul 16\displaystyle 16 care va completa produsul (x−4)(y−4)\displaystyle (x-4)(y-4).
    x∗y=xy−4x−4y+16+4\displaystyle x*y=xy-4x-4y+16+4
  3. Grupăm primii doi termeni, care conțin pe x\displaystyle x: xy−4x=x(y−4)\displaystyle xy-4x=x(y-4). Grupăm apoi ceilalți doi termeni: −4y+16=−4(y−4)\displaystyle -4y+16=-4(y-4).
    x∗y=x(y−4)−4(y−4)+4\displaystyle x*y=x(y-4)-4(y-4)+4
  4. Scoatem factorul comun y−4\displaystyle y-4 și obținem forma cerută, valabilă pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    x(y−4)−4(y−4)+4=(x−4)(y−4)+4, pentru orice numere \displaystyle x(y-4)-4(y-4)+4=(x-4)(y-4)+4\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.3)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−4(x+y)+20\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+20.

Determinați mulțimea valorilor reale ale lui x\displaystyle x pentru care x∗x≤5\displaystyle x*x\le 5.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem legea sub o formă mai convenabilă. Desfacem (x−4)(y−4)=xy−4x−4y+16\displaystyle (x-4)(y-4)=xy-4x-4y+16, deci xy−4(x+y)+20=(x−4)(y−4)+4\displaystyle xy-4(x+y)+20=(x-4)(y-4)+4.
    x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4
  2. Înlocuim y=x\displaystyle y=x în forma obținută și avem x∗x=(x−4)(x−4)+4\displaystyle x*x=(x-4)(x-4)+4.
    x∗x=(x−4)2+4\displaystyle x*x=(x-4)^{2}+4
  3. Inecuația x∗x≤5\displaystyle x*x\le 5 devine (x−4)2+4≤5\displaystyle (x-4)^{2}+4\le 5. Scăzând 4\displaystyle 4 din ambii membri obținem (x−4)2≤1\displaystyle (x-4)^{2}\le 1.
    (x−4)2+4≤5⇔(x−4)2≤1\displaystyle (x-4)^{2}+4\le 5\Leftrightarrow (x-4)^{2}\le 1
  4. Condiția (x−4)2≤1\displaystyle (x-4)^{2}\le 1 este echivalentă cu ∣x−4∣≤1\displaystyle |x-4|\le 1, adică −1≤x−4≤1\displaystyle -1\le x-4\le 1.
    −1≤x−4≤1\displaystyle -1\le x-4\le 1
  5. Adunând 4\displaystyle 4 în fiecare membru obținem 3≤x≤5\displaystyle 3\le x\le 5, deci mulțimea cerută este un interval închis.
    x∈[3,5]\displaystyle x\in[3,5]
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.4)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−4(x+y)+20\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+20.

Arătați că e=5\displaystyle e=5 este elementul neutru al legii de compoziție „∗\displaystyle *”.
Vezi rezolvarea
  1. Elementul e\displaystyle e este neutru dacă x∗e=e∗x=x\displaystyle x*e=e*x=x pentru orice x\displaystyle x real. Verificăm mai întâi egalitatea la dreapta, cu e=5\displaystyle e=5, înlocuind în definiția legii: x∗5=x⋅5−4(x+5)+20\displaystyle x*5=x\cdot 5-4(x+5)+20.
    x∗5=5x−4(x+5)+20\displaystyle x*5=5x-4(x+5)+20
  2. Desfacem parantezele și reducem termenii asemenea: 5x−4x−20+20=x\displaystyle 5x-4x-20+20=x. Același rezultat se obține din forma (x−4)(5−4)+4=x−4+4=x\displaystyle (x-4)(5-4)+4=x-4+4=x.
    x∗5=(x−4)(5−4)+4=x−4+4=x, pentru orice numa˘r real x\displaystyle x*5=(x-4)(5-4)+4=x-4+4=x\text{, pentru orice număr real }x
  3. Verificăm acum egalitatea la stânga: scriem 5∗x\displaystyle 5*x cu definiția legii, 5∗x=5x−4(5+x)+20\displaystyle 5*x=5x-4(5+x)+20.
    5∗x=5x−4(5+x)+20\displaystyle 5*x=5x-4(5+x)+20
  4. Reducem termenii: 5x−20−4x+20=x\displaystyle 5x-20-4x+20=x, adică (5−4)(x−4)+4=x−4+4=x\displaystyle (5-4)(x-4)+4=x-4+4=x. Cum x∗5=5∗x=x\displaystyle x*5=5*x=x pentru orice x\displaystyle x real, e=5\displaystyle e=5 este elementul neutru al legii „∗\displaystyle *”.
    5∗x=(5−4)(x−4)+4=x−4+4=x, pentru orice numa˘r real x, deci e=5 este elementul neutru al \displaystyle 5*x=(5-4)(x-4)+4=x-4+4=x\text{, pentru orice număr real }x\text{, deci }e=5\text{ este elementul neutru al }legii de compoziție „∗”\displaystyle \text{legii de compoziție „}*\text{”}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.5)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−4(x+y)+20\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+20.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care 4x∗x=4\displaystyle 4^x*x=4.
Vezi rezolvarea
  1. Observăm că legea se poate scrie sub formă factorizată, deoarece (x−4)(y−4)=xy−4x−4y+16\displaystyle (x-4)(y-4)=xy-4x-4y+16, iar adăugând 4\displaystyle 4 obținem xy−4(x+y)+20\displaystyle xy-4(x+y)+20.
    x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4
  2. Aplicăm forma factorizată pentru numerele 4x\displaystyle 4^x și x\displaystyle x: înlocuim primul număr cu 4x\displaystyle 4^x și al doilea cu x\displaystyle x.
    4x∗x=(4x−4)(x−4)+4\displaystyle 4^x*x=(4^x-4)(x-4)+4
  3. Egalăm cu 4\displaystyle 4 și scădem 4\displaystyle 4 din ambii membri, ca să rămână un produs egal cu zero.
    (4x−4)(x−4)+4=4⇔(4x−4)(x−4)=0\displaystyle (4^x-4)(x-4)+4=4\Leftrightarrow(4^x-4)(x-4)=0
  4. Un produs este zero când cel puțin un factor este zero. Primul factor: 4x−4=0\displaystyle 4^x-4=0, adică 4x=4\displaystyle 4^x=4, deci x=1\displaystyle x=1. Al doilea factor: x−4=0\displaystyle x-4=0, deci x=4\displaystyle x=4.
    4x=4⇒x=1 sau x−4=0⇒x=4\displaystyle 4^x=4\Rightarrow x=1\text{ sau }x-4=0\Rightarrow x=4
  5. Soluțiile ecuației sunt x=1\displaystyle x=1 și x=4\displaystyle x=4, ambele numere reale.
    x=1 sau x=4\displaystyle x=1\text{ sau }x=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul II.1.6)

5 puncte
Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă x∗y=xy−4(x+y)+20\displaystyle x*y=xy-4(x+y)+20.

Arătați că 1∗2∗3∗4∗…∗2020=4\displaystyle 1*2*3*4*\ldots*2020=4.
Vezi rezolvarea
  1. Rescriem legea de compoziție într-o formă factorizată: x∗y=xy−4x−4y+20=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=xy-4x-4y+20=(x-4)(y-4)+4, deoarece (x−4)(y−4)=xy−4x−4y+16\displaystyle (x-4)(y-4)=xy-4x-4y+16.
    x∗y=(x−4)(y−4)+4\displaystyle x*y=(x-4)(y-4)+4
  2. Calculăm x∗4\displaystyle x*4 pentru orice număr real x\displaystyle x: al doilea factor devine 4−4=0\displaystyle 4-4=0, deci produsul este 0\displaystyle 0 și rămâne doar 4\displaystyle 4.
    x∗4=(x−4)⋅0+4=4\displaystyle x*4=(x-4)\cdot 0+4=4
  3. Legea este comutativă, pentru că expresia (x−4)(y−4)+4\displaystyle (x-4)(y-4)+4 este simetrică în x\displaystyle x și y\displaystyle y. Deci și 4∗y=4\displaystyle 4*y=4 pentru orice y\displaystyle y real. Așadar 4\displaystyle 4 este element absorbant.
    x∗4=4\displaystyle x*4=4, 4∗y=4, unde x și y sunt numere reale\displaystyle \ 4*y=4\text{, unde }x\text{ și }y\text{ sunt numere reale}
  4. Legea este asociativă, deci putem grupa factorii cum dorim. Între numerele de la 1\displaystyle 1 la 2020\displaystyle 2020 apare și numărul 4\displaystyle 4, iar pentru grupare folosim paranteza (1∗2∗3)∗4\displaystyle (1*2*3)*4, apoi restul factorilor de la 5\displaystyle 5 la 2020\displaystyle 2020.
    1∗2∗3∗4∗…∗2020=((1∗2∗3)∗4)∗5∗…∗2020\displaystyle 1*2*3*4*\ldots*2020=((1*2*3)*4)*5*\ldots*2020
  5. Notăm a=1∗2∗3\displaystyle a=1*2*3, un număr real. Din proprietatea de element absorbant, a∗4=4\displaystyle a*4=4. Obținem 4∗(5∗6∗…∗2020)\displaystyle 4*(5*6*\ldots*2020), iar 4∗y=4\displaystyle 4*y=4 pentru orice y\displaystyle y real, deci rezultatul este 4\displaystyle 4.
    ((1∗2∗3)∗4)∗5∗…∗2020=4∗(5∗6∗…∗2020)=4\displaystyle ((1*2*3)*4)*5*\ldots*2020=4*(5*6*\ldots*2020)=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.1)

5 puncte
Se consideră matricea M(x)=(1x2xx+1)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}1 & x\\ 2x & x+1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că det⁡(M(2))=−5\displaystyle \det(M(2))=-5.
Vezi rezolvarea
  1. Înlocuim x\displaystyle x cu 2\displaystyle 2 în matricea M(x)\displaystyle M(x): primul rând devine (1, 2)\displaystyle (1,\ 2), iar al doilea rând devine (2⋅2, 2+1)=(4, 3)\displaystyle (2\cdot 2,\ 2+1)=(4,\ 3).
    M(2)=(1243)\displaystyle M(2)=\begin{pmatrix}1 & 2\\ 4 & 3\end{pmatrix}
  2. Aplicăm formula determinantului de ordin doi: produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul elementelor de pe diagonala secundară, adică ∣abcd∣=ad−bc\displaystyle \begin{vmatrix}a & b\\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc.
    det⁡(M(2))=1⋅3−4⋅2\displaystyle \det(M(2))=1\cdot 3-4\cdot 2
  3. Calculăm produsele: 1⋅3=3\displaystyle 1\cdot 3=3 și 4⋅2=8\displaystyle 4\cdot 2=8, apoi scădem: 3−8=−5\displaystyle 3-8=-5. Deci determinantul este −5\displaystyle -5, ceea ce trebuia arătat.
    3−8=−5\displaystyle 3-8=-5
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.2)

5 puncte
Se consideră matricea M(x)=(1x2xx+1)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}1 & x\\ 2x & x+1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Demonstrați că M(x)+M(x+2)=2M(x+1)\displaystyle M(x)+M(x+2)=2M(x+1), pentru orice număr real x\displaystyle x.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricea M(x+2)\displaystyle M(x+2), înlocuind x\displaystyle x cu x+2\displaystyle x+2 în fiecare element al matricei M(x)\displaystyle M(x): primul element rămâne 1\displaystyle 1, apoi x+2\displaystyle x+2, apoi 2(x+2)\displaystyle 2(x+2) și (x+2)+1\displaystyle (x+2)+1.
    M(x+2)=(1x+22x+4x+3)\displaystyle M(x+2)=\begin{pmatrix}1 & x+2\\ 2x+4 & x+3\end{pmatrix}
  2. Adunăm matricele M(x)\displaystyle M(x) și M(x+2)\displaystyle M(x+2) element cu element și reducem termenii asemenea: 1+1=2\displaystyle 1+1=2, x+x+2=2x+2\displaystyle x+x+2=2x+2, 2x+2x+4=4x+4\displaystyle 2x+2x+4=4x+4, x+1+x+3=2x+4\displaystyle x+1+x+3=2x+4.
    M(x)+M(x+2)=(22x+24x+42x+4)\displaystyle M(x)+M(x+2)=\begin{pmatrix}2 & 2x+2\\ 4x+4 & 2x+4\end{pmatrix}
  3. Scoatem factor comun 2\displaystyle 2 din fiecare element al matricei obținute: 2x+2=2(x+1)\displaystyle 2x+2=2(x+1), 4x+4=2⋅2(x+1)\displaystyle 4x+4=2\cdot 2(x+1), 2x+4=2(x+2)\displaystyle 2x+4=2(x+2).
    M(x)+M(x+2)=2(1x+12(x+1)x+2)\displaystyle M(x)+M(x+2)=2\begin{pmatrix}1 & x+1\\ 2(x+1) & x+2\end{pmatrix}
  4. Observăm că matricea din paranteză este chiar M(x+1)\displaystyle M(x+1), deoarece x+2=(x+1)+1\displaystyle x+2=(x+1)+1. Rezultă egalitatea cerută pentru orice număr real x\displaystyle x.
    2(1x+12(x+1)x+1+1)=2M(x+1), pentru orice numa˘r real x\displaystyle 2\begin{pmatrix}1 & x+1\\ 2(x+1) & x+1+1\end{pmatrix}=2M(x+1)\text{, pentru orice număr real }x
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.3)

5 puncte
Se consideră matricea M(x)=(1x2xx+1)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}1 & x\\ 2x & x+1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numerele reale x\displaystyle x pentru care det⁡(M(x))=0\displaystyle \det(M(x))=0.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem determinantul matricei M(x)\displaystyle M(x) ca diferență între produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul elementelor de pe diagonala secundară: det⁡(M(x))=1⋅(x+1)−x⋅2x\displaystyle \det(M(x))=1\cdot(x+1)-x\cdot 2x.
    det⁡(M(x))=1⋅(x+1)−x⋅2x\displaystyle \det(M(x))=1\cdot(x+1)-x\cdot 2x
  2. Efectuăm calculele: x⋅2x=2x2\displaystyle x\cdot 2x=2x^{2}, deci determinantul este valabil pentru orice număr real x\displaystyle x.
    det⁡(M(x))=x+1−2x2\displaystyle \det(M(x))=x+1-2x^{2}
  3. Impunem condiția det⁡(M(x))=0\displaystyle \det(M(x))=0, adică x+1−2x2=0\displaystyle x+1-2x^{2}=0. Înmulțim cu −1\displaystyle -1 și obținem ecuația de gradul al doilea.
    2x2−x−1=0\displaystyle 2x^{2}-x-1=0
  4. Identificăm a=2\displaystyle a=2, b=−1\displaystyle b=-1, c=−1\displaystyle c=-1 și calculăm discriminantul: Δ=b2−4ac=1+8=9\displaystyle \Delta=b^{2}-4ac=1+8=9.
    Δ=(−1)2−4⋅2⋅(−1)=9\displaystyle \Delta=(-1)^{2}-4\cdot 2\cdot(-1)=9
  5. Aplicăm formula x=−b±Δ2a=1±34\displaystyle x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{1\pm 3}{4}. Rezultă x1=1−34=−12\displaystyle x_1=\dfrac{1-3}{4}=-\dfrac{1}{2} și x2=1+34=1\displaystyle x_2=\dfrac{1+3}{4}=1.
    x=−12 sau x=1\displaystyle x=-\frac{1}{2}\text{ sau }x=1
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.4)

5 puncte
Se consideră matricea M(x)=(1x2xx+1)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}1 & x\\ 2x & x+1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Arătați că M(x)⋅M(y)=M(y)⋅M(x)\displaystyle M(x)\cdot M(y)=M(y)\cdot M(x), pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
Vezi rezolvarea
  1. Scriem matricele M(x)=(1x2xx+1)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}1 & x\\ 2x & x+1\end{pmatrix} și M(y)=(1y2yy+1)\displaystyle M(y)=\begin{pmatrix}1 & y\\ 2y & y+1\end{pmatrix}.
    M(x)⋅M(y)=(1x2xx+1)(1y2yy+1)\displaystyle M(x)\cdot M(y)=\begin{pmatrix}1 & x\\ 2x & x+1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & y\\ 2y & y+1\end{pmatrix}
  2. Calculăm prima linie a produsului: 1⋅1+x⋅2y=1+2xy\displaystyle 1\cdot 1+x\cdot 2y=1+2xy și 1⋅y+x(y+1)=y+xy+x\displaystyle 1\cdot y+x(y+1)=y+xy+x.
    (1+2xyy+xy+x)\displaystyle \begin{pmatrix}1+2xy & y+xy+x\end{pmatrix}
  3. Calculăm a doua linie: 2x⋅1+(x+1)⋅2y=2x+2xy+2y\displaystyle 2x\cdot 1+(x+1)\cdot 2y=2x+2xy+2y și 2x⋅y+(x+1)(y+1)=2xy+xy+x+y+1=3xy+x+y+1\displaystyle 2x\cdot y+(x+1)(y+1)=2xy+xy+x+y+1=3xy+x+y+1.
    M(x)⋅M(y)=(1+2xyy+xy+x2x+2xy+2y3xy+x+y+1)\displaystyle M(x)\cdot M(y)=\begin{pmatrix}1+2xy & y+xy+x\\ 2x+2xy+2y & 3xy+x+y+1\end{pmatrix}
  4. Pentru M(y)⋅M(x)\displaystyle M(y)\cdot M(x) procedăm la fel, schimbând între ele x\displaystyle x și y\displaystyle y: 1+2yx\displaystyle 1+2yx, x+yx+y\displaystyle x+yx+y, 2y+2yx+2x\displaystyle 2y+2yx+2x și 3yx+y+x+1\displaystyle 3yx+y+x+1.
    M(y)⋅M(x)=(1+2yxx+yx+y2y+2yx+2x3yx+y+x+1)\displaystyle M(y)\cdot M(x)=\begin{pmatrix}1+2yx & x+yx+y\\ 2y+2yx+2x & 3yx+y+x+1\end{pmatrix}
  5. Comparăm elementele: deoarece xy=yx\displaystyle xy=yx și adunarea este comutativă, avem 1+2xy=1+2yx\displaystyle 1+2xy=1+2yx, y+xy+x=x+yx+y\displaystyle y+xy+x=x+yx+y, 2x+2xy+2y=2y+2yx+2x\displaystyle 2x+2xy+2y=2y+2yx+2x și 3xy+x+y+1=3yx+y+x+1\displaystyle 3xy+x+y+1=3yx+y+x+1. Deci cele două produse sunt egale, pentru orice numere reale x\displaystyle x și y\displaystyle y.
    M(x)⋅M(y)=M(y)⋅M(x), pentru orice numere \displaystyle M(x)\cdot M(y)=M(y)\cdot M(x)\text{, pentru orice numere }reale x și y\displaystyle \text{reale }x\text{ și }y
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.5)

5 puncte
Se consideră matricea M(x)=(1x2xx+1)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}1 & x\\ 2x & x+1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul real x\displaystyle x pentru care M(x)⋅M(−x)=M(0)\displaystyle M(x)\cdot M(-x)=M(0).
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm matricea M(0)\displaystyle M(0), punând x=0\displaystyle x=0 în M(x)\displaystyle M(x). Se obține matricea unitate de ordin 2.
    M(0)=(1001)=I2\displaystyle M(0)=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}=I_2
  2. Scriem matricea M(−x)\displaystyle M(-x), înlocuind x\displaystyle x cu −x\displaystyle -x în M(x)\displaystyle M(x).
    M(−x)=(1−x−2x−x+1)\displaystyle M(-x)=\begin{pmatrix}1 & -x\\ -2x & -x+1\end{pmatrix}
  3. Calculăm elementele de pe prima linie a produsului M(x)⋅M(−x)\displaystyle M(x)\cdot M(-x), înmulțind prima linie din M(x)\displaystyle M(x) cu fiecare coloană din M(−x)\displaystyle M(-x): 1⋅1+x⋅(−2x)=1−2x2\displaystyle 1\cdot 1+x\cdot(-2x)=1-2x^{2} și 1⋅(−x)+x(−x+1)=−x2\displaystyle 1\cdot(-x)+x(-x+1)=-x^{2}.
    (1−2x2−x2)\displaystyle \begin{pmatrix}1-2x^{2} & -x^{2}\end{pmatrix}
  4. Calculăm elementele de pe a doua linie a produsului, înmulțind a doua linie din M(x)\displaystyle M(x) cu fiecare coloană din M(−x)\displaystyle M(-x): 2x⋅1+(x+1)(−2x)=−2x2\displaystyle 2x\cdot 1+(x+1)(-2x)=-2x^{2} și 2x⋅(−x)+(x+1)(−x+1)=−2x2+1−x2=1−3x2\displaystyle 2x\cdot(-x)+(x+1)(-x+1)=-2x^{2}+1-x^{2}=1-3x^{2}. Obținem matricea produs, valabilă pentru orice x\displaystyle x real.
    M(x)⋅M(−x)=(1−2x2−x2−2x2−3x2+1), pentru orice numa˘r real x\displaystyle M(x)\cdot M(-x)=\begin{pmatrix}1-2x^{2} & -x^{2}\\ -2x^{2} & -3x^{2}+1\end{pmatrix}\text{, pentru orice număr real }x
  5. Egalăm produsul cu M(0)=I2\displaystyle M(0)=I_2, element cu element. Obținem sistemul 1−2x2=1\displaystyle 1-2x^{2}=1, −x2=0\displaystyle -x^{2}=0, −2x2=0\displaystyle -2x^{2}=0, −3x2+1=1\displaystyle -3x^{2}+1=1.
    (1−2x2−x2−2x2−3x2+1)=(1001)\displaystyle \begin{pmatrix}1-2x^{2} & -x^{2}\\ -2x^{2} & -3x^{2}+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}
  6. Toate cele patru ecuații se reduc la x2=0\displaystyle x^{2}=0, deci x=0\displaystyle x=0. Valoarea verifică toate ecuațiile, deci convine.
    x=0, care convine\displaystyle x=0\text{, care convine}
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

Subiectul III.1.6)

5 puncte
Se consideră matricea M(x)=(1x2xx+1)\displaystyle M(x)=\begin{pmatrix}1 & x\\ 2x & x+1\end{pmatrix}, unde x\displaystyle x este număr real.

Determinați numărul natural nenul n\displaystyle n, știind că suma numerelor întregi x\displaystyle x care verifică inegalitatea det⁡(nM(x)−xM(n))≤n2\displaystyle \det(nM(x)-xM(n))\le n^2 este egală cu 36.
Vezi rezolvarea
  1. Calculăm element cu element: n⋅1−x⋅1=n−x\displaystyle n\cdot 1-x\cdot 1=n-x, n⋅x−x⋅n=0\displaystyle n\cdot x-x\cdot n=0, n⋅2x−x⋅2n=0\displaystyle n\cdot 2x-x\cdot 2n=0 și n(x+1)−x(n+1)=n−x\displaystyle n(x+1)-x(n+1)=n-x.
    nM(x)−xM(n)=(n−x00n−x)\displaystyle nM(x)-xM(n)=\begin{pmatrix}n-x & 0\\ 0 & n-x\end{pmatrix}
  2. Matricea este diagonală, deci determinantul este produsul elementelor de pe diagonală: (n−x)(n−x)\displaystyle (n-x)(n-x).
    det⁡(nM(x)−xM(n))=(n−x)2\displaystyle \det(nM(x)-xM(n))=(n-x)^{2}
  3. Inegalitatea devine (n−x)2≤n2\displaystyle (n-x)^{2}\le n^{2}, adică n2−2nx+x2≤n2\displaystyle n^{2}-2nx+x^{2}\le n^{2}, deci x2−2nx≤0\displaystyle x^{2}-2nx\le 0.
    x2−2nx≤0⇔x(x−2n)≤0\displaystyle x^{2}-2nx\le 0\Leftrightarrow x(x-2n)\le 0
  4. Rădăcinile lui x(x−2n)\displaystyle x(x-2n) sunt 0\displaystyle 0 și 2n\displaystyle 2n, iar 2n>0\displaystyle 2n>0. Parabola are ramurile în sus, deci expresia este ≤0\displaystyle \le 0 între rădăcini.
    x∈[0,2n]\displaystyle x\in[0,2n]
  5. Întregii din interval sunt 0,1,2,…,2n\displaystyle 0,1,2,\ldots,2n, iar suma lor este 36\displaystyle 36. Folosim formula 1+2+…+m=m(m+1)2\displaystyle 1+2+\ldots+m=\dfrac{m(m+1)}{2} cu m=2n\displaystyle m=2n.
    0+1+2+…+2n=2n(2n+1)2=36\displaystyle 0+1+2+\ldots+2n=\frac{2n(2n+1)}{2}=36
  6. Simplificăm: n(2n+1)=36\displaystyle n(2n+1)=36, deci 2n2+n−36=0\displaystyle 2n^{2}+n-36=0.
    2n2+n−36=0\displaystyle 2n^{2}+n-36=0
  7. Discriminantul este Δ=1+288=289\displaystyle \Delta=1+288=289, iar Δ=17\displaystyle \sqrt{\Delta}=17. Rădăcinile sunt n=−1+174=4\displaystyle n=\dfrac{-1+17}{4}=4 și n=−1−174=−92\displaystyle n=\dfrac{-1-17}{4}=-\dfrac{9}{2}. Cum n\displaystyle n este număr natural nenul, rămâne n=4\displaystyle n=4.
    n=4\displaystyle n=4
Înregistrează-te ca să exersezi orice problemă și să ai acces la mai multe funcții

În aplicație îți corectăm rezolvarea scrisă de mână pe barem

Creează cont gratuit

Aceeași sesiune, alți ani

Toate subiectele M4 pedagogic

Folosim doar cookie-uri strict necesare (sesiune, limbă, banner, dispozitivul de pe care te-ai autentificat și cele temporare pentru autentificarea cu Google) — niciun cookie de publicitate sau de urmărire de la terți. Detalii în Politica de confidențialitate.